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FACULTAD DE INGENIERÍA
INFERENCIA
ESTADÍSTICA
Irene Patricia Valdez y Alfaro
Estimación de parámetros
[email protected]
PROCESO DE INFERENCIA ESTADÍSTICA
1.
Definir la población y la característica de interés. En estadística paramétrica es necesario
conocer también cómo es la distribución de la población f(x).
2.
Definir el parámetro de interés ; por ejemplo, la media, la varianza, la proporción, etc.
3.
Determinar el tipo de muestreo, generalmente utilizaremos muestreo aleatorio simple.
Especificar si es con o sin reemplazo.
4.

Determinar el estadístico  que se usará para estimar al parámetro de interés
•
Para buscar estimadores para algún parámetro los métodos más usuales son el
método de los momentos y el método de máxima verosimilitud.
•
Para evaluar y seleccionar a un estimador se utilizan los criterios de insesgabilidad,
eficiencia, consistencia y suficiencia.
5.
Buscar un estadístico Q que sea función del parámetro de interés y de su estimador, y
cuya distribución de probabilidad sea conocida ( la distribución de muestreo de Q).
6.
Obtener la muestra y calcular el valor puntual del estimador, este último valor se conoce
como "estimación puntual“, sí como su error estándar.
7.
Con base en la distribución de muestreo del estadístico Q y en la estimación puntual, se
procede a encontrar una estimación por intervalo para el parámetro de interés o, si es el
caso, se prueban hipótesis acerca del valor del parámetro.
CONCEPTOS PARA RECORDAR
Población
Parámetro
Muestra aleatoria y muestreo aleatorio
Estadístico
• Evaluación de un estadístico: Media, varianza y error
estandar
Distribución de muestreo de un estadístico
Estimador
• Propiedades de un buen estimador: insesgado y de
varianza mínima,
• eficiente, consistente y suficiente.
• Métodos para encontrar estimadores:
– Momentos
– Máxima verosimilitud
CONCEPTOS PARA RECORDAR
Cuando se toma una muestra aleatoria simple
de una población cualquiera con media m y
varianza s2 :
E[X ]  m
y
V[X ] 
s2
n
Además, si la población tiene distribución
normal, la distribución de muestreo de la media
muestral también tiene distribución normal.
 s2 
X ~ N  m , 
n 

¿ y si la población no tiene
distribución normal ?
Teorema central del límite: Sea X={x1, x2, . . ., xn} una
muestra aleatoria simple de una población con función de
densidad de probabilidad f(x) cualquiera con media m y
varianza s2. El estadístico X tiene media m y varianza s2/n y
su distribución de probabilidad tiende a la de una
distribución normal conforme n tiende a infinito.
“LEY DEBIL DE LOS GRANDES NÚMEROS”
2

s 
.
X ~ N  m , 
n 

Para efectos prácticos, se considera que n es grande
cuando n>30
ESTIMACIÓN
PUNTUAL
ESTIMADOR PUNTUAL
f(x;)
X
=?
Es aquel que se utiliza para
estimar el valor de algún
parámetro poblacional, y
que proporciona un único
valor como estimación de
ese parámetro.
Se propone el estadístico T=g(X) como estimador de .
Si E{T}= entonces T es un estimador de  y se escribe:
^
=T
Cuando se efectúa el muestreo y se calcula el valor de , el
^
resultado es la estimación puntual .
* Ejemplo, estimación puntual
X={12.6,11.9,12.3,12.8,11.8,11.7,12.4,12.1,12.3,12.0,12.5,12.9}
Es una muestra aleatoria del espesor (en mm) de las láminas de
plástico que produce una máquina. Si la población tiene distribución
normal, con media m y desviación estándar 0.81, proporcionar una
estimación puntual para m e indicar el error estándar del estimador
utilizado.
El estimador apropiado es:
Es decir:
m̂  X
mˆ  12.2750
1 n
X   xi
n i 1
además:
puesto que:
ES[ X ] 
E[X ]  m
s2
n
0.81
y ES[mˆ ] 
 0.2338
12
* Ejercicio adaptado de: Canavos, George; Probabilidad y Estadística, Aplicaciones y Métodos, Primera edición, Mc Graw Hill, México, 1988. pp 299
ESTIMACIÓN POR
INTERVALOS DE
CONFIANZA
Inferencias sobre la media de
una población con distribución
normal
o
Sobre la media de una
población cualquiera con
muestras grandes
INTERVALOS DE CONFIANZA
Si de una población normal con media m y varianza s2
conocida, se toma una muestra aleatoria simple de tamaño
n, entonces:
 s
X ~ N  m ,
n

2



y
Z
X m
s
~ N 0,1
n
P( z1 / 2  Z  z / 2 )  1  
de la expresión:
z1 / 2 
X m
s
n
 z / 2
despejar m
X  z1 / 2
s
n
 m  X  z / 2
s
n
Con una confianza de (1-)100%
o bien, puesto que la distribución Normal Estándar es simétrica:
X  z / 2
s
n
 m  X  z / 2
Con una confianza de (1-)100%
s
n