Download reforma de las matemáticas modernas y una nueva

REFORMA DE LAS
MATEMÁTICAS
MODERNAS Y UNA
NUEVA DISCIPLINA
ANGEL RUIZ
Presidente,
Comité Interamericano de
Educación Matemática, CIAEM.
www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz
[email protected]
Κάτω από Ευκλείδιας (της
Αλεξάνδρειας)!
Abajo Euclides!
Euclides must go!
Reforma de las Matemáticas
Modernas
“NEW MATH”


Seminario de Royaumont. OECD 1959
Edimburgo 1958: Congreso internacional
de matemáticos
Jean Dieudonné
Royaumont
•años de interés en la “modernización” de
las matemáticas preuniversitarias.
OEEC: Organisation for European Economic
Cooperation
•17 países: Austria, Bélgica, Dinamarca,
Francia, Alemania, Grecia, Islandia, Irlanda,
Italia, Luxemburgo, Holanda, Noruega, Portugal,
Suecia, Suiza, Turquía, Reino Unido
•Estados Unidos, Canadá, miembros asociados
•Yugoslavia, observador



3 secciones principales
Directores
 Jean Dieudonné (Francia)
 Pierre Theron (Inspector General ME,
Francia)
 Howard Fehr (EUA)
 Editor del Reporte final
Presidente Seminario: Marshal Stone
(EUA)
“currículo revolucionario”
1. Definiciones
Ocotal, Costa Rica

Reducir brechas matemáticas universitarias y
preuniversitarias

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
un problema colocado dentro de una óptica
específica (contenidos no métodos)
Erradicación geometría euclidiana
“Conjuntivitis”
Estructuras algebraicas: muy temprano y en
exceso
Peso excesivo aspectos formales y
demostrativos
Peso excesivo simbología y al lenguaje
Sobredimensión del rigor matemático
Poca relación con el entorno o las otras
ciencias. No se hacen aplicaciones
Más características
 Reducir geometría al álgebra o al análisis
 Contenidos algorítmicos omitidos, no son
relevantes
 Resolución de problemas es secundaria en
relación con la axiomática
 El análisis se trata “suave” y no “duro”
 Se condena la estructura combinatoria como
no estructural (debilita discretas)
2. Desarrollo y éxito
Volcán Arenal, Costa Rica
Reuniones para la reforma
 Arhus, Dinamarca, en 1960
(auspiciada por el ICMI);
 Zagrev y Dubrovnik en
Yugoslavia, 1960
 Bolonia en 1962
 Atenas en noviembre de 1963
 Lyon, Francia, en 1969 ....
Estrategia operativa
Primero secundaria y luego primaria.
diferencias nacionales, Brasil
Entre 1959-1975:
 reuniones y conferencias
 grupos de expertos para crear programas
 libros de texto
 preparación de maestros
 creación de proyectos institucionales con
financiación estatal o internacional para la
primaria.
UNESCO
 Centre for Educational Research
and Innovation (CERI), 1968,
revelaba esta dirección
 años cruciales apoyo: 1969 a
1974
Proyectos nacionales
 Nuffield (Inglaterra)
 Geoffrey Matthews
 Alef (Alemania)
 1965, Heinrich Bauersfeld para dirigir el
proyecto de matemáticas escolares
 1966 Alef, Universidad de Frankfurt en
Hessen.
 Analogue (Francia)
 Nicole Picard.
Francia, agenda de la reforma
 1955: clases preparatorias para
las “Grandes Ecoles”;
 1963: reforma en los últimos años
de la secundaria;
 1969: toda la secundaria;
 1971: los primeros años de la
escuela primaria.
Estados Unidos
 National Science Foundation
 1958, conferencia de
matemáticos en Chicago
 una semana después,
Cambridge, Massachussets, EUA
 University
of Illinois Committee on
School Mathematics, 1952
 Max Beberman, “New
Mathematics Curriculum”
 School Mathematics Study
Group, 1958
 Edgard G. Begle, Yale.
3. Razones o Sinrazones
A. Protagonismo matemático
B. El influjo de la ideología Bourbaki
C. El influjo del estructuralismo en la
evolución psicológica y …
pedagógica
D. Compulsiones filosóficas
dominantes sobre las matemáticas
SIMBIOSIS
A. Protagonismo matemático
 Francia y EUA
 Óptica y parámetros específicos
B. El influjo de la ideología Bourbaki
A y B se refuerzan mutuamente
Nicolás Bourbaki: de carne y hueso
Paul Halmos

El general Charles Denis Sauter
Bourbaki fue una figura llena de
colorido. En 1862, a la edad de cuarenta
y seis años, se le ofreció una
oportunidad para llegar a ser rey de
Grecia, pero declinó. Actualmente se le
recuerda principalmente por la forma
cruel como fue tratado por la fortuna en
los azares de la guerra.
 En
1871, después de huir de
Francia a Suiza con un resto
pequeño de su ejército, fue
prisionero allí y trató de
suicidarse. Al parecer fracasó, ya
que llegó a vivir hasta la
venerable edad de ochenta y tres
años.
Bourbaki: el grupo
Primera
generación
H. Cartan
C. Chevalley
J. Delsarte
J. Dieudonné
A. Weil
Charles Ehresmann,
René de Possel,
Szolem Mandelbrojt
Segunda
generacion
J. Dixmier
R. Godement
S. Eilenberg
J.L. Koszul
P. Samuel
J.P Serre
L. Schwartz
Tercera
generación
A. Borel
F. Bruhat
P. Cartier
A. Grothendieck
S. Lang
J. Tate
Primer congreso Bourbaki (Julio 1935):
de izquierda a derecha, de pie, H. Cartan, R. de
Possel, J. Dieudonné, A. Weil, un técnico del
laboratorio universitario; sentados, Mirlés, Cl.
Chevalley, S. Mandelbrojt
Congreso Bourbaki 1938, de izquierda a derecha, S. Weil, C.
Pisot, A. Weil, J. Dieudonné, C. Chabauty,
C. Ehresmann, J. Delsarte
Éléments de
Mathématique
(1938)
I Teoría de Conjuntos
(1939)
II Álgebra
III Topología
IV Funciones de una
variable real
V Espacios
vectoriales
topológicos
VI Integración
∅ (noruego)
Q (Quotient)
Z (Zahlen)
inyectivo, sobreyectivo,
biyectivo,
"la aplicación x --> f(x)"
Henri Cartan
1904-2008 (13
de agosto)
Jean Alexandre
Eugène Dieudonné
1906-1992
André Weil
1906-1998
Claude Chevalley
1909-1984
Jean Delsarte
1903-1968
Laurent Schwartz 19152002
Alexander
Grothendieck
1928-?
La “ideología” Bourbaki
Organización y fundamento
 Unidad matemática: no “matemáticas”
 Axiomática (Elementos)
 Teoría de conjuntos (primer tomo)
 Organización por medio de conjuntos,
relaciones y funciones
De los conjuntos a las
estructuras (y a las categorías!)
Estructura algebraica (grupos,
anillos, módulos, cuerpos, etc.) y
topológica (espacios compactos,
convexos, normales, etc. ) unidas
en los espacios vectoriales
Propósitos
Pierre Cartier (1997):
 Bourbaki: una nueva
matemática.
 Nuevo Euclides: crear los
textos para 2000 años
más
Énfasis
en el rigor; porque esto le
faltaba a los franceses en
contraposición con los alemanes
Otros influjos
H.G. Steiner (Alemania)
 Estructuras en las matemáticas
 Axiomática Hilbert
 Abstracción algebraica
Hilbert
 Formalismo, axiomatismo, legado de
Matemáticos franceses
Afirmación gremial
 después I GM
C. El influjo del estructuralismo en la
evolución psicológica y … pedagógica
etapas mentales
Etapa Sensomotora:
periodo: 0 – 2 años
 Etapa Preoperacional:
periodo: 2 – 7 años
 Etapa de las Operaciones
Concretas:

Periodo: 7 – 11 años

Etapa Lógico Formal:
Período: 12 – 16 años
Etapas: definidas por
estructuras
D. Compulsiones filosóficas dominantes
sobre las matemáticas
 Apriorismo: Primeros principios
 Absolutismo; verdades absolutas,
intemporales
 Axiomatismo
 Proyectos fundacionales: logicismo,
formalismo, intuicionismo
 Racionalismo
 Sobrestimación del Sujeto y la Razón,
criterios de verdad
 Subestimación del objeto - mundo empíricosensorial, historia y sociedad
Sobre el nombre
Bourbaki
 El nombre es
casualidad
 Raoul Husson
(1923)
 Eveline Weil
(1935). Nicolás
H. Cartan y J.P. Serre
Pierre Eilembert
Alain Connes
Sobre la motivación inicial de
Bourbaki
 “Al empezar, nuestro objetivo
era de alguna manera
pedagógico; se trataba de trazar
las grandes líneas de la
enseñanza de las matemáticas
para el nivel de licenciatura”.

André Weil: Memorias de aprendizaje (NIVOLA,
2002)
4. Más razones para el éxito
de la reforma


Condiciones: gremiales,
ideológicas, filosóficas, etc.
Pero también Спутник y Лэйка
Спутник
Sputnik: 4 de
Octubre, 1957
Laika: Sputnik 2, 3
de noviembre 1957
Лэйка
En la URSS, 1966, Acad. Ciencias+
Acad. Ciencias pedagógicas
Bajo A. N. Kolmogorov: comité,
Reforma de 4 a 10 grados.
“el tipo de reforma que se desarrolla en
los países occidentales es inaceptable.”
Por ejemplo: ningún tópico de teoría de
conjuntos se aceptó para incluirse en
los textos escolares.
Aunque algunas aproximaciones en la
enseñanza de la geometría, pero no
como se planteó en Occidente.
Rochester,
1979 ….
5. Fracaso
 Rechazo
maestros, padres y
estudiantes
 Back to basics
 Final: ICME 4, 1980, Berkeley,
EUA
Me arrepiento de
no haber estado
en Royaumont,
…

Las nuevas matemáticas, como un
todo, corresponden al punto de vista
del matemático superficial, que sabe
apreciar solamente pequeños
detalles deductivos y distinciones
estériles y pedantes como aquella
entre número y numeral, y que
pretende realzar lo trivial con una
terminología y un simbolismo
impresionantes y sonoros.

Se nos ofrece una versión abstracta y
rigurosa de la matemática, que oculta
su rica y fructífera esencia y hace
hincapié en generalidades poco
inspiradoras, aisladas de todo otro
cuerpo de conocimiento. Se subrayan
sofisticadas versiones finales de las
ideas simples, mientras se tratan
superficialmente las ideas más
profundas, lo que conduce
necesariamente al dogmatismo.

El formalismo de este plan solamente
puede conducir a una disminución de
la vitalidad de las matemáticas y a
una enseñanza autoritaria, al
aprendizaje mecánico de nuevas
rutinas, mucho más inútiles que las
rutinas tradicionales. Resumiendo,
pone de relieve la forma a expensas
de lo sustancial y presenta lo
sustancial sin pedagogía ninguna.
6. En América Latina
1959:
en Cuba el derrocamiento de Batista y la toma del poder por Fidel Castro.


La reforma se expandió en diferentes países
de distintas maneras:
Textos, Grupo de Estudio de las
Matemáticas Escolares, SMSG, EUA



Brasil: 1961, GEEM de Sao Paulo, O. Santorini,
… NEDEM Curitiba 1962, GEEMPA Porto
Alegre, 1970 ...
Primera Conferencia Interamericana de
Educación Matemática, Bogotá,1961.
Segunda Conferencia Interamericana de
Educación Matemática, Lima, 1966.

Costa Rica: 1964 en programas oficiales
Marshall Stone
Operadores auto adjuntos en espacios
de Hilbert, teoría espectral, álgebras
booleanas, teorema de StoneWeierstrass
Presidente
•AMS (1943-1944)
•IMU (1952-1954)
•ICMI (1959-1962)
•CIAEM (1961-1972)
Frases célebres

Choquet
 “Nuestro lema será:
el álgebra y las
estructuras
fundamentales desde
la Escuela hasta la
Universidad”
 Howard
Fehr
 “La geometría de Euclides (...)
no tiene nada que ver con estos
temas; es hoy estéril, se halla
fuera del camino principal de los
adelantos matemáticos y puede
ser relegada sin temor a los
archivos para uso de los
historiadores del mañana”
Agente de la reforma
 Comité Interamericano de
Educación Matemática CIAEM
 International Commission on
Mathematical Instruction,
 International Mathematical
Union
DE LA REFORMA A
PUENTE ENTRE LAS AMÉRICAS


Integración de educadores matemáticos en
esta región.
Utilización inteligente de los resultados y
experiencias internacionales en beneficio de
la región latinoamericana
Luis Santaló
Ubiratan D’Ambrosio
•Bahía Blanca, Argentina, noviembre/1972
•Caracas, Venezuela, diciembre/1975,
•Campinas-SP, Brasil, febrero/1979
•Guadalajara, México, noviembre/1985,
•Santo Domingo, República Dominicana,
julio/1987
•Miami, EUA, agosto/1991
•Santiago, Chile, agosto/1995,
•Maldonado, Uruguay, agosto/1999
•Blumenau, Brasil, agosto/2003
Aviso clasificado
XIII CIAEM

Recife Brasil, 26-29 junio, 2011
50 AÑOS
1961-2011
Críticas: I CIAEM
Omar Catunda, Brasil:
 … en esta parte del mundo
lo que se planteaba no era
“Fuera Euclides” sino “Al
menos Euclides”.
7. Algunas consecuencias de
la Reforma
Playa Hermosa, Costa Rica
Replanteo de premisas de la Reforma
 Sobre los matemáticos universitarios
(su papel, visión y necesidades)
 Sobre las matemáticas y su enseñanza
aprendizaje
 Sobre el currículo: ideas que
dominaron desde antes de la reforma
 Sobre el papel de los educadores
matemáticos
Replanteo de la óptica y necesidades de los
matemáticos
 No distinción entre matemáticas y educación
matemática, pesó mucho
 Los matemáticos debían comandar la
reforma educativa
 Las necesidades y los paradigmas de los
matemáticos debían asumirse en la
educación
 Subordinación de la geometría al álgebra.
 Papel de los conjuntos y las estructuras.
 Lugar de la axiomática, la demostración y
el rigor
 Relevancia del lenguaje
¿Cómo se vivió la reforma?
Diversidad de desarrollos
teóricos y profesionales en
la Educación Matemática
Diferencias educativas
 Subordinación enseñanza de la
matemática a facultades de
educación o de ciencias sociales o a
departamentos de matemática.
 Organización: ausencia sistema
centralizado en educación (Estados
Unidos) o sistema estatal
centralizado (Francia).
Diferencias filosóficas y culturales
 Filosofía francesa sobre las
matemáticas (Poincaré,
Brunschvicg, Bachelard) o filosofía
neopositivista en el mundo
anglosajón
Diferencias socio académicas y
socio científicas
 Debilidad en ciencias y matemáticas
(América Latina)
 Particularidades nacionales (Brasil o
Costa Rica)
Estudios comparativos
 Países europeos y en America
Latina por separado.
 En la agenda: estudio
comparativo internacional con
varios continentes
Consecuencia más general
Potenciación Educación Matemática
 Investigación, hacia la teoría y la práctica
 Organización y crecimiento



H. G. Steiner:
Más “investigación fundamental”
Perspectiva de sistemas: escolar,
formación de profesores, didáctica
matemática (universidades)
Una nueva disciplina y un
nuevo perfil de formación
8. Una nueva disciplina
Educación Matemática no
es Matemática
Diferencias básicas
 La M es un ciencia “exacta” o
natural
 EM es una ciencia social
objetos no abstractos,
el entorno social y personal es
parte de su objeto
Patrones de progreso cognoscitivos
distintos: más saltos en la EM
 Mayor grado de invocación de
interdisciplina en la EM
 Nociones y conceptos “menos
precisos” en la EM
 Impacto social diferente: participación
de la política (sentido general) en la
EM

Lógicas científicas diferentes
 en la construcción cognoscitiva
 en la validación de sus
resultados
 en la estructura de sus
comunidades académicas
 en su uso social
Currículo, por ejemplo
 Pedagogía
específica de las
matemáticas (L. Shulman, 1986)
 Conocimientos o competencias
 Matemáticas “aplicadas” (H.
Bass, 2005)
International Commission on Mathematical Instruction
ICMI


IV International Congress of Mathematicians (Roma 611 de abril de 1908; 1954 nombre actual)
ICME 11, Congreso mundial en Monterrey,
México, en julio 2008
Felix Klein
(Alemania)
Jacques Hadamard (Francia)
H. Fehr (Estados Unidos)
Hans Freudenthal (Holanda)
ICMI Studies, década 1980’s





1. La influencia de las computadoras y la
informática en las matemáticas y su
enseñanza. Estrasburgo (1985).
2. Las matemáticas escolares en los años
noventa. (1986).
3. Matemáticas como una materia de servicio.
(1987).
4. Matemáticas y cognición. (1987).
5. La popularización de las matemáticas.
(1989).
ICMI Studies, década 1990’s






6. La evaluación en la educación
matemática. (1991).
7. Género y educación matemática. (1993).
8. ¿Qué es investigación en educación
matemática y cuáles son sus resultados?
(1994).
9. Perspectivas de la enseñanza de la
geometría para el siglo XXI. (1995)
10. El papel de la historia de la matemática
en la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas. (1998).
11. La enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas en el nivel universitario. (1998).
ICMI Studies, década 2000
12. El futuro de la enseñanza y el
aprendizaje del álgebra. (2001).
 13. Educación matemática en
tradiciones culturales diferentes. Un
estudio comparativo de Asia del Este
y Occidente. (2002).
 14. Aplicaciones y modelación en la
educación matemática. (2004).

ICMI Studies, década 2000
15. Educación y desarrollo profesional
de los maestros de matemáticas (2005)
 16. Matemáticas retadoras dentro y
fuera del aula (2005)
 17. Tecnologías digitales y enseñanza
de las matemáticas: repensando el
terreno. (2005)
 18. Estadística y probabilidad en la
educación matemática. (2005)

19. Prueba y demostración en la
educación matemática (2007)
 20. Interrelaciones educativas entre
Matemáticas e Industria (2007)
 21 Re-sourcing la Enseñanza y
Aprendizaje de Matemáticas en
Contextos Multilingües (2007)

Síntesis
MUCHAS GRACIAS
POR SU ATENCIÓN
www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz
[email protected]