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LEY DE GAUSS
Líneas de Fuerza
Las líneas de fuerza es una manera de poder visualizar la distribución
de un campo eléctrico. Su relación con E es:
a) La tangente a una línea de fuerza en cualquier punto es la dirección
de E en ese punto.
b) Las líneas de fuerza se dibujan de tal forma que el número de líneas
por unidad de área transversal (perpendicular a las líneas) es
proporcional a la magnitud de E. Cuando las líneas son próximas una
a la otra E es muy grande.
Campo Eléctrico (para un par de carga Q1,
Q2)
c) Las líneas de fuerza se dibujan de tal manera que salen de cargas
positivas y entran en cargas negativas
(se originan en q+)
• Las líneas de campo son, si ambas cargas son de signo contrario:
d) Las líneas de fuerza nunca se cruzan.
E
Flujo
Al número de líneas que atraviesan un área A de una superficie se llama
FLUJO a través del área y se representa por
F
El número de líneas que cruzan una unidad de área
perpendicular a las líneas debe ser igual a E
1
m
1
m
En la figura se muestra una superficie de
área 1 m2 colocada en el eje xz, a través de
ella cruzan 9 líneas por unidad de área
perpendicular. Entonces:
E = 9 N/C
Área =A = 1 m2
 N m2 

F  9 A 
 C 
En la siguiente figura, se tiene que
E6
N
C
Sin embargo
F0
debido a que ninguna línea atraviesa la figura
1m
En la siguiente figura se observa que el campo eléctrico E entra en un
área A con un ángulo de inclinación q. Al descomponerlo en sus
componentes rectangulares, la componente Ex es paralela a la superficie
y no la cruza; la componente Ez es perpendicular al área y la cruza. Esta
componente perpendicular a la superficie es la única que contribuye al
flujo.
E
q
Ez
Ex
La componente Ez, en
término de la magnitud del
campo eléctrico E y su ángulo
de inclinación viene dado por:
Ez = E cos q
El flujo a través del área A es:
F  E A  Ez A  AE cosq
Definiendo a A como un vector A que es perpendicular al área,
saliendo de ella y que se aplica solamente a cuerpos que encierran un
volumen.
E
dA
q
dA
dA
Con el vector así definido y
recordando el producto punto
entre vectores, el flujo eléctrico
se expresa como:
F  EA
dA
F  EAcosq
(forma vectorial)
(forma escalar)
Dado que el campo eléctrico puede variar de un punto a otro en una superficie
que encierra un volumen y que no sea plana, se divide el área en una infinidad
de pedazos pequeños
F i  Ei  A i
donde Fi es el flujo a través del área Ai
El flujo total a través de la superficie que encierra un volumen será
F   E i  A i
o bien, cuando
A  0
Entonces el flujo es:
F   E  dA
área
El flujo que sale de una superficie es igual al número de líneas de
campo que atraviesan la superficie.
Debido a la selección o definición del vector de área, las líneas que salen de
la superficie son positivas y las que entran son negativas.
A
E
A
De la figura anterior:
En las caras laterales F = 0 (las líneas no cruzan el volumen)
En la tapa superior
F  EAcosq  EA
En la tapa inferior
F  EA cos q  EA cos 180 0   EA
El flujo neto es:
F Total  0
Ejemplo: Flujo de una carga puntual
Para una carga puntual positiva, el campo eléctrico es radial y sale en
todas direcciones. Para calcular el número de líneas de flujo que salen
de la carga, se elige una esfera concéntrica a la carga, dicha esfera es
imaginaria, luego entonces, su superficie también lo es, en otras
palabras, no es una superficie real y se le denomina superficie
Gaussiana.
dE
dA
dF  E  dA
Con q = 00
Q
F
 E  dA   E cos q dA   EdA
esfera
esfera
esfera
El campo eléctrico que sale de esa superficie gaussiana (de radio r) es
constante en esa superficie por lo que puede salir de la integral,
quedando:
 dA
FE
esfera
El campo eléctrico es el debido a una carga puntual
E 
q
4 0 r 2
La integral sobre la esfera es la suma de todos los diferenciales de área
que componen la superficie de la esfera, la cual es 4r2, luego
entonces, el flujo es:
F
q
4 0 r 2
(4r 2 )
F
q
0
-El flujo es independiente del radio de la superficie gaussiana (esfera)
-El flujo es proporcional a la carga encerrada por la superficie gaussiana
Cada carga positiva q (encerrada en una superficie Gaussiana) debe
tener q/0 líneas de flujo que salen de ella (numero de líneas que cruzan
la superficie).
Si hay n cargas encerradas en una superficie gaussiana, entonces el
flujo total será:
F
1
0
(q1  q 2  q3  ....  qi  ......  q n )
El número de líneas de flujo que cruzan una unidad de área
perpendicular a las líneas es igual a:
 E  dA
El número de líneas que salen de una carga total encerrada dentro de
un volumen, debe ser igual al número de líneas que cruzan la
superficie de tal volumen, es decir:
1
 E  dA  
(q1  q 2  q3  ....  qi  ......  q n )
0
LEY DE GAUSS
 E  dA 
1
0
q
i
volumen
encerrado
Ejemplo: Distribución lineal infinita de carga
La figura muestra una sección de alambre cargado con una densidad lineal
de carga l (carga por unidad de longitud)
Encuentre una expresión para E a una distancia r del alambre
E
De superficie gaussiana se elige un cilindro de longitud l y radio r
 E  dA 
Donde:
q
0
qll
Es la carga total encerrada por la
superficie gaussiana
Entonces:
ll
 E  dA   0
E es constante sobre toda la superficie gaussiana debido a que el
campo eléctrico generado por el alambre es radial y uniforme,
además es perpendicular a tal superficie o a dA (q = 00), por lo que E
puede salir de la integral
ll
 E cos q (dA)   0
ll
E  dA 
0
La integral es sobre todo el cilindro, es decir, sobre su superficie, además
de las dos tapas de los extremos.
En las tapas, las líneas de campo eléctrico y el vector dA forman un
ángulo de 900 por lo que no hay campo eléctrico aquí.
Quedando únicamente el área de la superficie la cual es 2 r l
E (2 r l ) 
l
E
2 0 r
ll
0
Ejemplo: lamina infinita cargada
La figura muestra una fracción de una lámina infinita delgada, no
conductora, cargada con una densidad superficial de carga s (carga por
unidad de área).
Encontrar el valor de E a una distancia r enfrente de la placa
+
+
dE
+
+
+
+
De superficie gaussiana elegimos un
cilindro de altura 2r y área transversal
de las tapas A de tal manera que el
cilindro atraviese la placa, estando
las tapas paralelas a ella (como se
muestra en la figura anterior).
+
dA
+
+
+
+
dE
+
Por simetría,
magnitud en
uniforme y es
superficies de
paralelo a dA.
E tiene la misma
ambos lados, es
perpendicular a las
las tapas, es decir,
Aplicando la ley de Gauss
 E  dA 
q
0
Donde
q = s A (carga total encerrada por la superficie gaussiana)
Como E es constante a una distancia r de la placa y además la superficie
gaussiana consiste de las dos tapaderas y el área lateral del cilindro, el
primer término (izquierda) de la igualdad de la ley de Gauss se puede
descomponer en:
 E  dA   E cos q dA   E cos q dA
tapa
tapa
izquierda

 E cos q dA
tapa
tapa
derecha

 E cos q dA
lateral
área
lateral
Las dos primeras integrales se pueden representar como dos veces
la integral de cualquiera de ellas:
 E cosq dA
tapa
tapa
izquierda

 E cosq dA
tapa
tapa
derecha
2
 E cosq dA
tapa
izquierda
Donde q es el ángulo que forma el vector E con respecto al vector dA
de la tapa, esto es q = 00 y como E es constante en cualquier punto de
esa tapa, puede salir de la integral quedando:
 E cosq dAtapa 
tapa
izquierda
 E cosq dAtapa  2E
tapa
derecha
0
cos
0
dA  2 E

tapa
izquierda
 dA
tapa
izquierda
Y como
2
dA

2

r

tapa
izquierda
es el área de la tapa, entonces las dos integrales son:
 E cosq dAtapa 
tapa
izquierda
2
E
cos
q
dA

4
E

r
tapa

tapa
derecha
La tercera integral (del área lateral)
 E cosq dA
lateral
área
lateral
Se tiene que E es perpendicular al diferencial de área es decir: q = 900
por lo que la integral es:
 E cos q dAlateral  E
área
lateral
0
cos
90
dAlateral  0

área
lateral
Por lo tanto el término de la izquierda de la ley de Gauss es:
2
E

d
A

4

r

Por otro lado, el segundo término de la igualdad de la ley de Gauss es
igual a la carga encerrada entre 0, donde la carga es la carga de
cualquiera de las tapas, esto es: la densidad superficial de carga s que
viene dada por:
q
s 
A
O bien:
q = s A = s (2  r2 )
Sustituyendo los resultados encontrados en la ley de Gauss, se tiene que:
 E  dA 
4 r E 
2
q
0
2s r 2
0
Por lo tanto:
s
E
2 0
Ahora bien, la forma más sencilla de resolver el problema es considerar
los ángulos que forma el campo eléctrico y los diferenciales de área y,
en el caso del área lateral, concluir que es cero; además, considerar que
una integral de un diferencial de área es simplemente el área. Esto es:
 E  dA   E cos q dA 
 E cos q dAtapa 
tapa
izquierda
 E cos q dAtapa 
tapa
derecha

E cos q dAlateral 
área
lateral
En el siguiente paso se consideran las dos tapas y se sustituye la carga
por sA
 E  dA   E cosq dA  2E

tapa
izquierda
Por lo que:
s
E
2 0
dAtapa  2 EA 
sA
0
q
0
Ejemplo: Campo creado por una placa plana conductora infinita de carga
y espesor uniforme
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + + + +
Superficie 2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
Superficie 1
++ + + + + +
+
+
+
+
+
+
+ ++ + ++
+
+
+
+
+
+
+
Como la placa es conductora,
toda su carga está distribuida
uniformemente en su superficie.
Sea s la carga por unidad de
área
q
s 
A
en cada superficie
El campo eléctrico si la carga es positiva, será normal a las superficies
y saliendo de ellas.
Para simplificar el problema, se retoma el ejemplo anterior en el cual:
s
E
2 0
En el punto situado enfrente de la superficie 1 se tiene la contribución de
E1 debido a la distribución de esa carga.
Así mismo, como el campo E es independiente de la distancia de la placa
al punto, en ese mismo punto se tendrá también la contribución E2 debido
a la carga existente en la superficie 2.
Por lo tanto, el campo E total es la superposición de los campos E1 y E2,
es decir:
E  E 1 E2 
s
s
s


2 0 2 0  0
Para un punto enfrente de la superficie 2 ocurre lo mismo.
En el interior, se tienen los campos E1 hacia la derecha de la superficie 1
y dirigiéndose hacia la superficie 2.
También se tiene E2 hacia la izquierda de la superficie 2 y dirigiéndose a
la superficie 1.
Por la razón anterior de que E es independiente de la distancia, ambos
campos son iguales en magnitud y opuestos por lo que se anulan.
Luego entonces, el campo eléctrico dentro de un conductor es cero
Ejemplo: campo eléctrico entre dos placas conductoras paralelas con
cargas opuestas
1
E2
E1
E=0
2
+
+
+
+
+
+
+
-
Si las placas son grandes en
comparación con la distancia de
separación entre ellas, la carga se
concentrará en las superficies
interiores debido a la atracción de
cargas.
El campo eléctrico para una placa, como ya se vio, es uniforme y saliendo si
la placa está cargada positivamente, por lo contrario, si la placa es negativa,
el campo es entrando. El campo debido a una placa es:
s
E
2 0
En el exterior enfrente de cualquier placa E = 0 aunque se tenga una cierta
distribución de carga en la superficie exterior de las placas, ya que los
campo en cualquier punto enfrente de ellas se anularán por tener
direcciones opuestas.
Entre las placa, los campos tienen la misma dirección y dirigidos hacia la
placa cargada negativamente, El campo total entre ellas será la
superposición de E1 y E2.
s
s
s
E  E1  E 2 


2 0 2 0  0
Ejemplo: campo en un punto exterior próximo a cualquier conductor (de
forma irregular) cargado.
Para este caso, la densidad superficial de carga no se distribuye
uniformemente, es decir variará de un punto a otro de la superficie.
Sea s la densidad superficial de carga de un área pequeña A. Al construir
una superficie gaussiana en forma de un cilindro pequeño, la carga dentro
de la superficie será sA.
E será nulo en todos los puntos interiores al conductor (carga total
encerrada es cero), fuera de éste, la componente normal de E es cero en
las paredes del cilindro ( E  ds ). Así, la única contribución al campo
eléctrico total E será la de la base del cilindro, por lo que:
 E  dA 
q
0
Por lo tanto:
 EdA 
s
E
0
s A
0
EA 
sA
0