Download Lógica Matemática

Universidad de Puerto Rico
Prof. Juan L. Vélez
Prof. José A. Toro Clarke
Proposiciones y Cuantificadores

Proposiciones
 Definición: Una oración declaratoria (o
afirmación) que es falsa o verdadera, pero
no ambas, se llama proposición.
 Oraciones exclamativas, interrogativas o
imperativas por naturaleza no son
proposiciones.
Ejemplos:
1.
Caracas es la capital de Venezuela
Proposición
2.
2+2=3
Proposición
3.
¿Qué hora es?
No es una Proposición; oración interrogativa
4.
x+y=z
No es una Proposición; desconocemos x, y, z
Ejemplos:
5.
Tome una taza de café
No es una Proposición; oración imperativa
Nota: “Tomé una taza de café”, si es una proposición
6.
Miguel Cabrera es mejor jugador de
béisbol que Dereck Jeter.
No es una Proposición
Proposiciones Compuestas
Definición: Una proposición es
compuesta cuando se forma por la
combinación de dos o más
proposiciones usando conectivos
lógicos.
 Conectivos y sus respectivos símbolos
tales como:

y  , o  , negación  , si...entonces , si y solo si 
Ejemplos de proposiciones compuestas

Leo el Nacional y leo el Universal.
Compuesta; conectivo y

Si él lo dijo, entonces es cierto.
Compuesta; conectivo si…entonces

Mañana será Domingo.
No es compuesta
Nota: “Mañana no será Domingo”.
Aunque no consta de dos proposiciones,
para conveniencia se considera compuesta
ya que su valor de verdad depende de una
proposición diferente. “Mañana será
Domingo”.
Ejemplos de proposiciones compuestas

La firma de abogados que atendió el
caso se llama Antonetti y Córdova ,
Escritorio Jurídico.
No es compuesta, y no es un conectivo en este caso por
que y es parte del nombre de la firma de abogados
Símbolos de la Lógica Matemática
pq
poq
pq p yq
disyunción p y q: proposición compuesta que
es falsa cuando ambas p y q son falsas y
verdadera en otro caso.
p
q
pq
F
F
F
conjunción p y q: proposición compuesta que
es verdadera cuando tanto como p y q son
verdadera y falsa en otro caso.
p
q
pq
V
V
V
Símbolos de la Lógica Matemática
p
pq
no p
negación de p : proposición formada al escribir
“no es el caso que” o “es falso que” antes de p o
al insertar la palabra “no” de manera adecuada
en p.
p
p
V
F
“si p entonces q” : proposición compuesta
condicional la cual es falsa cuando p es
verdadera y q es falsa y verdadera en otro caso
p
q
V
F
pq
F
Símbolos de la Lógica Matemática
pq
PQ
“p si y sólo si q” : proposición compuesta
bicondicional la cual es verdadera cuando p y q
tienen los mismos valores de verdad y falsa en
caso contrario.
pq
p
q
V
V
V
F
F
V
P y Q son lógicamente equivalentes:
proposiciones compuestas P p1 , p 2 , p3 ,..., p n 
y Qq1 , q 2 , q 3 ,..., q n  son lógicamente
equivalentes si tienen tablas de verdad idénticas.
A esto es lo que se le conoce como una
tautología.
Símbolos de la Lógica Matemática

“por lo tanto”

“para todo”
Cuantificadores

“existe”
Cuantificadores universales: todo, cada uno, todos, ninguno
Cuantificadores existenciales: hay, al menos uno
Uso de conectivos lógicos
Sean, p que representa: “Hoy estamos a 27°C”,
q que representa: “Hoy es martes”.
Transcriba cada proposición simbólica en palabras
1) p  q : Hoy estamos a 27°C o es martes.
2)p  q : Hoy no estamos a 27°Cy es martes.
3) p  q  : No es el caso que hoy estemos a
27°C o que sea martes.
Esta proposición se puede traducir como “ni p ni q” o p  q
Uso de conectivos lógicos
Sean, p que representa: “Hoy estamos a 27°C”,
q que representa: “Hoy es martes”.
Transcriba cada proposición simbólica en palabras
4) p  q  :
No es el caso que hoy estemos a
27°C y sea martes.
p  q
Uso de conectivos lógicos
Ejemplo:
Proporcione la negación de cada desigualdad
sin usar los símbolos  o  .
1) p  q p  q
2)7 x  11 y  77 7 x  11y  77
Orden de prioridad de los conectivos lógicos
Se usará generalmente paréntesis para
especificar el orden en que se aplicarán
los operadores lógicos.
 De no haber paréntesis, se adopta el
siguiente orden de prioridad.

Conectivo





Prioridad
1
2
3
4
5
Tablas de verdad
Una proposición lógica con n
componentes tendrá 2 n renglones en
su tabla de verdad.
p
p
V
F
F
V
Nota: p proposición (1 componente):
21  2
renglones.
22  4
renglones.
23  8
renglones.
Tablas de verdad
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
p
disyunción p y q: proposición compuesta que
es falsa cuando ambas p y q son falsas y
verdadera en otro caso.
2 2  4 renglones
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
p
conjunción p y q: proposición compuesta que
es verdadera cuando tanto como p y q son
verdadera y falsa en otro caso.
Tablas de verdad
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
p
p
“si p entonces q” : proposición compuesta
condicional la cual es falsa cuando p es
verdadera y q es falsa y verdadera en otro caso
“p si y sólo si q” : proposición compuesta
bicondicional la cual es verdadera cuando p y q
tienen los mismos valores de verdad y falsa en
caso contrario.
Tautología y Contradicción
Una proposición compuesta
P  P p1 , p 2 , p3 ,..., p n 
Proposiciones elementales
Se denomina tautología si es verdadera para
toda asignación de verdad de p1 , p 2 , p3 ,..., p n
y contradicción si es falsa.
p
V
F
p
p  p
p  p
Tautología y Contradicción
Una proposición compuesta
P  P p1 , p 2 , p3 ,..., p n 
Proposiciones elementales
Se denomina tautología si es verdadera para
toda asignación de verdad de p1 , p 2 , p3 ,..., p n
y contradicción si es falsa.
p
p
V
F
F
V
p  p
p  p
Tautología y Contradicción
Una proposición compuesta
P  P p1 , p 2 , p3 ,..., p n 
Proposiciones elementales
Se denomina tautología si es verdadera para
toda asignación de verdad de p1 , p 2 , p3 ,..., p n
y contradicción si es falsa.
p
p
p  p
V
F
V
F
V
V
p  p
Tautología y Contradicción
P  P p1 , p 2 , p3 ,..., p n 
Una proposición compuesta
Proposiciones elementales
Se denomina tautología si es verdadera para
toda asignación de verdad de p1 , p 2 , p3 ,..., p n
y contradicción si es falsa.
p

p
p  p
p  p
V
F
V
F
F
V
V
F
p  p
Es una tautología
p  p
Es una contradicción
Proposiciones equivalentes
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
pq
 p  q 
p
q
p  q
Proposiciones equivalentes
p
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
 p  q 
p
q
p  q
Proposiciones equivalentes
p
q
pq
 p  q 
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
p
q
p  q
Proposiciones equivalentes
p
q
pq
 p  q 
p
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
q
p  q
Proposiciones equivalentes
p
q
pq
 p  q 
p
q
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
p  q
Proposiciones equivalentes
p
q
pq
 p  q 
p
q
p  q
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
Proposiciones equivalentes
p
q
pq
 p  q 
p
q
p  q
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
entonces  p  q   p  q
Leyes del álgebra de proposiciones
1.
2.
Ley de idempotencia p  p  p, p  p  p
Ley de identidad p  F  p, p  V  p
Prueba: Suponga que p es verdadero, entonces
pF
V  F
V
 p
Suponga que p es falso, entonces
p F
FF
F
 p
Leyes del álgebra de proposiciones
3.
p V  V
Ley dominante
pF  F
Prueba:
p V
pF
 V V
 F V
V  F
 FF
V
V
F
F
p V
pF
Leyes del álgebra de proposiciones
1.
Ley de complemento
p  p  V
p  p  F
2.
Ley conmutativa
pq  q p
pq  q p
3.
Ley asociativa
 p  q   r  p  q  r 
 p  q   r  p  q  r 
Leyes del álgebra de proposiciones
4.
Ley distributiva
p  q  r    p  q    p  r 
p  q  r    p  q    p  r 
5.
Ley de absorción
p   p  q  p
p   p  q  p
6.
Ley de De Morgan
 p  q   q  p
 p  q   q  p