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Universidad de Puerto Rico Prof. Juan L. Vélez Prof. José A. Toro Clarke Proposiciones y Cuantificadores Proposiciones Definición: Una oración declaratoria (o afirmación) que es falsa o verdadera, pero no ambas, se llama proposición. Oraciones exclamativas, interrogativas o imperativas por naturaleza no son proposiciones. Ejemplos: 1. Caracas es la capital de Venezuela Proposición 2. 2+2=3 Proposición 3. ¿Qué hora es? No es una Proposición; oración interrogativa 4. x+y=z No es una Proposición; desconocemos x, y, z Ejemplos: 5. Tome una taza de café No es una Proposición; oración imperativa Nota: “Tomé una taza de café”, si es una proposición 6. Miguel Cabrera es mejor jugador de béisbol que Dereck Jeter. No es una Proposición Proposiciones Compuestas Definición: Una proposición es compuesta cuando se forma por la combinación de dos o más proposiciones usando conectivos lógicos. Conectivos y sus respectivos símbolos tales como: y , o , negación , si...entonces , si y solo si Ejemplos de proposiciones compuestas Leo el Nacional y leo el Universal. Compuesta; conectivo y Si él lo dijo, entonces es cierto. Compuesta; conectivo si…entonces Mañana será Domingo. No es compuesta Nota: “Mañana no será Domingo”. Aunque no consta de dos proposiciones, para conveniencia se considera compuesta ya que su valor de verdad depende de una proposición diferente. “Mañana será Domingo”. Ejemplos de proposiciones compuestas La firma de abogados que atendió el caso se llama Antonetti y Córdova , Escritorio Jurídico. No es compuesta, y no es un conectivo en este caso por que y es parte del nombre de la firma de abogados Símbolos de la Lógica Matemática pq poq pq p yq disyunción p y q: proposición compuesta que es falsa cuando ambas p y q son falsas y verdadera en otro caso. p q pq F F F conjunción p y q: proposición compuesta que es verdadera cuando tanto como p y q son verdadera y falsa en otro caso. p q pq V V V Símbolos de la Lógica Matemática p pq no p negación de p : proposición formada al escribir “no es el caso que” o “es falso que” antes de p o al insertar la palabra “no” de manera adecuada en p. p p V F “si p entonces q” : proposición compuesta condicional la cual es falsa cuando p es verdadera y q es falsa y verdadera en otro caso p q V F pq F Símbolos de la Lógica Matemática pq PQ “p si y sólo si q” : proposición compuesta bicondicional la cual es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y falsa en caso contrario. pq p q V V V F F V P y Q son lógicamente equivalentes: proposiciones compuestas P p1 , p 2 , p3 ,..., p n y Qq1 , q 2 , q 3 ,..., q n son lógicamente equivalentes si tienen tablas de verdad idénticas. A esto es lo que se le conoce como una tautología. Símbolos de la Lógica Matemática “por lo tanto” “para todo” Cuantificadores “existe” Cuantificadores universales: todo, cada uno, todos, ninguno Cuantificadores existenciales: hay, al menos uno Uso de conectivos lógicos Sean, p que representa: “Hoy estamos a 27°C”, q que representa: “Hoy es martes”. Transcriba cada proposición simbólica en palabras 1) p q : Hoy estamos a 27°C o es martes. 2)p q : Hoy no estamos a 27°Cy es martes. 3) p q : No es el caso que hoy estemos a 27°C o que sea martes. Esta proposición se puede traducir como “ni p ni q” o p q Uso de conectivos lógicos Sean, p que representa: “Hoy estamos a 27°C”, q que representa: “Hoy es martes”. Transcriba cada proposición simbólica en palabras 4) p q : No es el caso que hoy estemos a 27°C y sea martes. p q Uso de conectivos lógicos Ejemplo: Proporcione la negación de cada desigualdad sin usar los símbolos o . 1) p q p q 2)7 x 11 y 77 7 x 11y 77 Orden de prioridad de los conectivos lógicos Se usará generalmente paréntesis para especificar el orden en que se aplicarán los operadores lógicos. De no haber paréntesis, se adopta el siguiente orden de prioridad. Conectivo Prioridad 1 2 3 4 5 Tablas de verdad Una proposición lógica con n componentes tendrá 2 n renglones en su tabla de verdad. p p V F F V Nota: p proposición (1 componente): 21 2 renglones. 22 4 renglones. 23 8 renglones. Tablas de verdad q pq V V V V F V F V V F F F p disyunción p y q: proposición compuesta que es falsa cuando ambas p y q son falsas y verdadera en otro caso. 2 2 4 renglones q pq V V V V F F F V F F F F p conjunción p y q: proposición compuesta que es verdadera cuando tanto como p y q son verdadera y falsa en otro caso. Tablas de verdad q pq V V V V F F F V V F F V q pq V V V V F F F V F F F V p p “si p entonces q” : proposición compuesta condicional la cual es falsa cuando p es verdadera y q es falsa y verdadera en otro caso “p si y sólo si q” : proposición compuesta bicondicional la cual es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y falsa en caso contrario. Tautología y Contradicción Una proposición compuesta P P p1 , p 2 , p3 ,..., p n Proposiciones elementales Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de p1 , p 2 , p3 ,..., p n y contradicción si es falsa. p V F p p p p p Tautología y Contradicción Una proposición compuesta P P p1 , p 2 , p3 ,..., p n Proposiciones elementales Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de p1 , p 2 , p3 ,..., p n y contradicción si es falsa. p p V F F V p p p p Tautología y Contradicción Una proposición compuesta P P p1 , p 2 , p3 ,..., p n Proposiciones elementales Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de p1 , p 2 , p3 ,..., p n y contradicción si es falsa. p p p p V F V F V V p p Tautología y Contradicción P P p1 , p 2 , p3 ,..., p n Una proposición compuesta Proposiciones elementales Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de p1 , p 2 , p3 ,..., p n y contradicción si es falsa. p p p p p p V F V F F V V F p p Es una tautología p p Es una contradicción Proposiciones equivalentes p q V V V F F V F F pq p q p q p q Proposiciones equivalentes p q pq V V V V F V F V V F F F p q p q p q Proposiciones equivalentes p q pq p q V V V F V F V F F V V F F F F V p q p q Proposiciones equivalentes p q pq p q p V V V F F V F V F F F V V F V F F F V V q p q Proposiciones equivalentes p q pq p q p q V V V F F F V F V F F V F V V F V F F F F V V V p q Proposiciones equivalentes p q pq p q p q p q V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V Proposiciones equivalentes p q pq p q p q p q V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V entonces p q p q Leyes del álgebra de proposiciones 1. 2. Ley de idempotencia p p p, p p p Ley de identidad p F p, p V p Prueba: Suponga que p es verdadero, entonces pF V F V p Suponga que p es falso, entonces p F FF F p Leyes del álgebra de proposiciones 3. p V V Ley dominante pF F Prueba: p V pF V V F V V F FF V V F F p V pF Leyes del álgebra de proposiciones 1. Ley de complemento p p V p p F 2. Ley conmutativa pq q p pq q p 3. Ley asociativa p q r p q r p q r p q r Leyes del álgebra de proposiciones 4. Ley distributiva p q r p q p r p q r p q p r 5. Ley de absorción p p q p p p q p 6. Ley de De Morgan p q q p p q q p