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AXIOMAS, TEOREMAS
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COMPETENCIAS Y OBJETIVOS
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UNIDAD III :DEFINICION,AXIOMAS Y TEOREMAS DE
PROBABILIDAD
Competencia:
-El estudiante debe utilizar correctamente las diferentes
definiciones sobre Probabilidad de acuerdo al tipo de
experimento y evento a tratarse, bajo los diferentes axiomas y
teoremas sobre probabilidad para su aplicación en la
Confiabilidad de un sistema
Objetivos.
-Aplicar adecuadamente las definiciones ,axiomas y teoremas
sobre la probabilidad para determinar las probabilidades de
cualquier tipo de evento y aplicar eficientemente en la
determinación de la confiabilidad de cualquier sistema.
Descripción general de la unidad:
-Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes
definiciones :De probabilidad Clásica, como frecuencia relativa y
subjetivas ; Las características comunes a las diferentes
definiciones traducidas en Axiomas y Teoremas.,La aplicación de
eventos independientes en la confiabilidad de un sistema
Lectura:Millar/Freund/Jonson “Probabilidad y
Estadística para Ingenieros”Edo.de México 1992 Pgs.54 al 73
Córdova Zamora “Estadística Descriptiva e
Inferencial” 2ª ed.Perú 1996 Pags,142 al 168
Bibliografía Básica: : Moya y Saravia (1988)
“Probabilidad e Inferencia Estadística((2ª ed) Perú .Pags 56 al 234
Referencia electrónica:
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%/A1/cálculo de probabilidades
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Unidad III DEFINICION ,AXIOMAS Y TEOREMAS DE
PROBABILIDAD
1.-Definición Clásica.- Sea un ε  cuyos elementos
son “equiprobables”,donde se define un evento A
entonces
la P(A) = Nº de casos favorables al evento A = n(A)
Nº total de casos posibles
=
n
Ej. Cuál es la probabilidad de sacar un as de una baraja
de 52 naipes
Sol.- Sea ε :” sacar una carta de una baraja” ;
Sea A:” sacar una as” n(A) = 4 ; n=52  P(A) = 4 / 52
=1/3
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2.-Definición como frecuencia relativa.
Sea - un ε  ,donde se define un evento A
la P(A)  es la proporción de veces q´el evento sucederá en una
serie prolongada de experimentos reiterativos n(A) / n.
Ej.Ciertas pruebas demuestran que 294 de 300 pc de cierta marca
probados podrían resistir un corte circuito¿cuál es la Probabilidad de
que cualquiera de tales pc pueda resistir un corte circuito?
Sol.- Sea el evento A:”pc resiste un corte circuito” n(A) = 294,
n= 300  P(A) = n(A) / n = 294 / 300= 0.9800
3.-Definición subjetiva.Dado un experimento “único” ,la probabilidad de que ocurra el evento
A,es el “grado de creencia “asignado a la ocurrencia de dicho
evento por una persona,basado en toda evidencia a su disposición
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-AXIOMAS Y TEOREMAS DE PROBABILIDAD.-Las tres definiciones
diferentes tienen en común los axiomas y teoremas:
Ax1  0 P(A) 1 ;
Ax2  P() = 1
Ax3 , P(A U B ) = P(A) + P(B) ,sii A y B son mutuamente excluyentes
T1.- P()= 0; P. evento imposibleT2.- P(A´) = 1 – P( A ) ;P. del complemento
T3.- P( A U B ) = P(A) + P(B)- P(A  B) para A,B cualesquiera
Ej.La probabilidad que una dama reciba a lo más 5 llamadas en un día es
0.20;y por lo menos 9 llamadas en un día es 0.50¿cuál es la probabilidad que
la dama reciba :6,7,8, llamadas en un día.
Sol.  = {0,1,2,............ } ; A:”reciba a lo más 5 llamadas”= {0,1,2,3,4,5 }
B:”Reciba por lo menos 9 llamadas” = {9,10,11,12,............ }
C:”Reciba 6,7,8 llamadas” = {6,7,8 } comoA,B,Cson mutuamente excl.y
colectivamente exhaustivos  = AUBUC  P()=P(A)+P(B)+P(C)
1= 0.20+0.50+P( C )  P ( C ) = 0.30
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
Se utiliza ,cuando se quiere determinar la probabilidad de q´ocurra un
evento ,sabiendo q´otro evento ha ocurrido,es decir,sean los eventos :
A y B sdefinidos en el P(A / B ) = P(AB) / P(B) ,ó
P(B / A ) = P(AB) / P(A )
REGLA GRAL DE LA MULTIPLICACIÓN
Despejando P(AB) = P(B) * P(A / B ) ; P(AB) = P(A) * P(A / B )
REGLA ESPECIAL DE LA MULTIPLICACIÓN
Si A y B son eventos independientes P(AB) =P(A)*P(B)=P(B)*P(A)
Ej.Cuál es la probabilidad de obtener 2 veces el mismo lado en dos
lanzamientos de una moneda? Solución:Sean los siguientes eventos:
: A:”1era vez un lado”=P(A) = 0.5 ;B:” 2ª vez el lado” =P(B)=0.5
A B :”Obtener el mismo lado 2 veces” P(AB) =0.5*0.5=0.25
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TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Sea una partición:B1,B2,...Bk ,def. en el espacio muestral “”,donde se define
un evento A que cumple  P(A) = P(Bi) P(A/Bi)
Probabilidad total  P(A)= P(B1)P(A / B1) +P(B2)P(A /B2)+....+P(BK)P(A /BK)
TEOREMA DE BAYES P(Br /A)=P(Br) P(A /Br) / P(A)
Ej.Una Cía ensambladora de CPUS ,utiliza partes de 3 proveedores:B1,B2,B3;
de 2000 partes recibidos,1000 provienen de B1;600 de B2 y 400 de B3.
Sabiendo que proveen:3%;4%,5% partes defectuosos respectivamente.Si se
elige al azar una CPU
a)Cuál es la probabilidad que tenga parte defectuosa,b)Si contiene parte
defectuosa,cuál la probabilidad que haya sido proveído por el B2?
SOL.Sean Bi:” Partes provistas por el i -ésimo proveedor” 
P(B1)=1000/2000=0.5; P(B2)=600/2000=0.3;P(B3)=400/2000=0.2
Sea A:”Parte defectuosa”  P(A)= 0.03*0.5+0.04*0.3+0.05*0.2=0.037
P(B2 /A)= P(B2) P(A /B2) / P(A) =0.3*0.04 /0.037 =0.3243
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EVENTOS INDEPENDIENTES
Surgen los eventos independientes cuando los mismos no
estan conectados y la ocurrencia de un de ellos no afecta
la probabilidad de la ocurrencia del otro y viceversa.
Definicion.-Sean dos eventos A y B tales que
1)
P(A/B) = P(A) si P(B) > 0 ;2) P(B/A) = P(B) si P(A) >0,
2)
3)P(AB) = P(A) P(B)
Consecuencias.Si A y B son eventos cualesquiera en el espacio muestral pero
independientes
entonces: P(A U B ) = P(A) + P(B) – P(A) P(B)
Generalizando P(A1 U A2U…..UAn ) =1-∏ P(Á)
Ej.Durante el primer año de uso un amplificador de radio puede
requerir 3 tipos de reparaciones cuyas probabilidades
son:0.05 : 0.04 ; y 0.02
Respectivamente.Cual es la probabilidad que un amplificador
requiera reparacion durante su primer año de uso,si dacad
reaparacion es independiente.
Sol sean los eventos :Ei:”I-esimo apmlificador require
reparacion” i=1,2,3
E:”Amplificador elegido requier reparacion”
P(UEi)= 1-[ 1-P(E1)] [ 1-P(E2)] [ 1-P(E3)]= 0.10624
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