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TEMA 1: NÚMEROS NATURALES
1. Números naturales.

LOS NÚMEROS NATURALES SON AQUELLOS QUE USAMOS PARA
CONTAR OBJETOS EN LA VIDA COTIDIANA:1, 2, 3, 4, …
Ejemplo resuelto 1: Podemos contar los árboles de una plaza y decir que hay “12
árboles”, o contar los dedos de las manos y decir que “hay 10 dedos”.

LOS NÚMEROS NATURALES NUNCA SE ACABAN. NO TIENEN FIN.
Detrás de cualquier número natural siempre hay otro número natural:
Detrás del 2 está el 3, detrás el 4, detrás el 5, detrás el 6,…
Ejemplo resuelto 2: Di el número natural que sigue a los siguientes números:
a) 254
b)3698
c)99999
Respuesta:
a) El número natural que sigue al 254, es el 255. Solo hemos sumado 1 a 254.
b) El número natural que sigue al 3698, es el 3699. Solo hemos sumado 1 a 3698.
c) El número natural que sigue al 99999, es el 100000. Solo hemos sumado 1 a
99999.
Ejercicios: Di el número natural que sigue a los siguientes números:
a) 367
b)6312
c)999

LOS NÚMEROS NATURALES SE PUEDEN REPRESENTAR ORDENADOS
EN UNA RECTA.

SI TENEMOS DOS NÚMEROS REALES, SIEMPRE HAY UNO MAYOR QUE
OTRO SALVO QUE LOS DOS SEAN EL MISMO NÚMERO.
Ejemplo resuelto 3: Di cuál es el mayor de las siguientes parejas de números:
a) 2 y 4
b)36 y 98
c)909 y 763
Respuesta:
a) El 4 es mayor que el 2  4>2
El 2 es menor que el 4  2<4
b) El 98 es mayor que el 36  98>36
El 36 es menor que el 98  36<98
c) El 909 es mayor que el 763  909>763
El 763 es menor que el 909  763<909
Ejercicios: Di cuál es el mayor de las siguientes parejas de números:
a) 9 y 3
b)67 y 56
c)345 y 186
2. Multiplicación de números naturales.

LA MULTIPLICACIÓN ES LA SUMA DE VARIOS SUMANDOS IGUALES
ESCRITA DE FORMA ABREVIADA.
Ejemplo resuelto 1: Convierte la siguiente suma en multiplicación: 4+4+4+4+4
Respuesta: Si queremos sumar cinco veces seguidas el número 4, podemos escribir 5x4
para escribirlo de forma abreviada.
4+4+4+4+4 = 5x4
Ejercicios: Convierte las siguientes sumas en multiplicaciones:
a) 3+3+3+3
b)6+6+6+6+6+6+6+6+6

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES:
-
Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.
6·9 = 9·6
-
Asociativa: El orden en que agrupamos los factores no altera el producto.
2·3·7 = (2·3) ·7 = 2·(3·7)
-
Distributiva: El producto de un número por una suma (o resta), el la suma (o
resta) de los productos del número por cada término.
5·(8+4) = (5·8 + 4·8)
3·(7-2) = (3·7 – 3·2)
-
Elemento unidad: Cualquier número que multipliquemos por 1, es igual al
mismo número.
1·8 = 8·1 = 8
Ejercicios: Aplica la propiedad que corresponda:
a) 3·6 (conmutativa)
b) 6·3·2 (asociativa)
c) 9· (6+1) (distributiva)
d) 1·9(Elemento neutro)
3. División de números naturales.

DIVIDIR ES REPARTIR EN PARTES IGUALES UNA CANTIDAD.

LOS TÉRMINOS DE LA DIVISIÓN SON:
Ejemplo resuelto 1: Un profesor quiere repartir 12 positivos entre sus 3 alumnos.
¿Cuántos positivos le corresponden a cada alumno?
Respuesta: Si queremos repartir 12 positivos entre 3, debemos dividir 12 entre 3:
Luego a cada alumno le corresponden 4 positivos.

CUANDO EL RESTO ES 0, SE DICE QUE LA DIVISIÓN ES EXACTA.
CUANDO EL RESTO ES DISTINTO DE 0, SE DICE QUE LA DIVISIÓN NO
ES EXACTA.
Ejemplo resuelto 2: Di si la siguiente división es exacta o no:
a) 12:3
Respuesta:
Como el resto es 0, la división es exacta.
Ejercicios: Di si las siguientes divisiones son exactas o no:
a) 16:4
b) 62:12
c) 93:18
4. Potencias de números naturales.

UNA POTENCIA ES LA MULTIPLICACIÓN DE VARIOS FACTORES
IGUALES ESCRITA DE FORMA ABREVIADA.
Ejemplo resuelto 1: Convierte la siguiente multiplicación en potencia: 4·4·4·4·4
Respuesta: Si queremos multiplicar cinco veces seguidas el número 4, podemos escribir
45 para escribirlo de forma abreviada.
4·4·4·4·4 = 45
Ejercicios: Convierte las siguientes multiplicaciones en potencias:
a) 5·5·5·5
b) 2·2·2·2·2·2

EL NÚMERO QUE SE MULTIPLICA (4 en el ejemplo resuelto 1) SE LLAMA
BASE DE LA POTENCIA. EL NÚMERO QUE INDÍCA CUÁNTAS VECES SE
MULTIPLICA LA BASE (5 en el ejemplo resuelto 1) SE LLAMA EXPONENTE
DE LA POTENCIA.
Ejemplo resuelto 2: Calcula el valor de las siguientes potencias:
a) 7 4
b) 83
Respuesta: Si queremos calcular el valor de las siguientes potencias, transformamos la
potencia en multiplicación y luego multiplicamos.
a) 7 4 = 7·7·7·7= 2401
b) 83 = 8·8·8= 512
Ejercicios: Calcula el valor de las siguientes potencias:
a) 54
b) 25
c) 122
5. Operaciones con potencias.

PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE: Para multiplicar dos o
más potencias con la misma base, se deja la misma base y se suman los
exponentes. a n ·a m  a n  m
Ejemplo resuelto 1: Escribe la siguiente multiplicación de potencias como una única
potencia: 45 ·43
Respuesta: Si queremos multiplicar las dos potencias, escribimos la misma base y
sumamos los exponentes.
45 ·43  453  48
Ejercicios: Escribe las siguientes multiplicaciones de potencias como una única
potencia:
a) 35 ·36
b) 127 ·124
c) 45 ·43·46

COCIENTE DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE: Para dividir dos
potencias con la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes.
a n : a m  a n m
Ejemplo resuelto 2: Escribe la siguiente división de potencias como una única
potencia: 7 5 : 7 3
Respuesta: Si queremos dividir las dos potencias, escribimos la misma base y restamos
los exponentes.
7 5 : 7 3  7 5 3  7 2
Ejercicios: Escribe las siguientes divisiones de potencias como una única potencia:
a) 39 : 36
b) 127 :124
c) 45 : 42


UNA POTENCIA DE EXPONENTE 1 ES IGUAL A LA BASE  a1  a
UNA POTENCIA DE EXPONENTE 0 ES IGUAL A 1  a 0  1
Ejemplo resuelto 3: Calcula cuanto valen las siguientes potencias:
a) 50
b) 7 0
c) 51
d) 71
Respuesta:
a) 50  1

b) 7 0  1
c) 51  5
d) 71  7
POTENCIA DE UNA POTENCIA: Se deja la misma base y se multiplican los
exponentes. (a n )m  a nm
Ejemplo resuelto 4: Escribe como una única potencia: (75 )3
Respuesta: Si queremos escribir (75 )3 como una única potencia, debemos escribimos la
misma base y multiplicar los exponentes.
(75 )3  75·3  715
Ejercicios: Escribe las siguientes divisiones de potencias como una única potencia:
a) (39 ) 6
b) (127 ) 4
c) (45 ) 2

POTENCIA DE UNA MULTIPLICACIÓN: Es igual al producto de cada base
elevada al exponente. (a·b)n  a n ·bn
Ejemplo resuelto 5: Calcula la siguiente potencia utilizando la propiedad que acabas de
aprender: (7·4) 2
Respuesta: Si aplicamos la propiedad aprendida en la potencia (7·4) 2 , debemos escribir
lo siguiente:
(7·4)2  72 ·42  49·16  784
Ejercicios: Calcula la siguiente potencia utilizando la propiedad que acabas de aprender:
a) (3·4) 2
b) (2·3) 4
c) (4·5)3

POTENCIA DE UNA DIVISIÓN: Es igual a la división entre cada base elevada
al exponente. (a : b)n  a n : bn
Ejemplo resuelto 6: Calcula la siguiente potencia utilizando la propiedad que acabas de
aprender: (8 : 4) 2
Respuesta: Si aplicamos la propiedad aprendida en la potencia (8 : 4) 2 , debemos
escribir lo siguiente:
(8 : 4)2  82 : 42  64 :16  4
Ejercicios: Calcula la siguiente potencia utilizando la propiedad que acabas de aprender:
a) (6 : 3) 2
b) (9 : 3) 4
c) (4 : 2)3
6. Raíces cuadradas.

LA RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO ES OTRO NÚMERO QUE, AL
ELEVARLO AL CUADRADO, DA EL PRIMER NÚMERO:
a  b,
cuando
b2  a
Ejemplo resuelto 1: Calcula la raíz cuadrada del siguiente número: 64
Respuesta: Si queremos calcular la raíz cuadrada de un número, debemos encontrar un
número que al elevarlo al cuadrado nos dé el primer número. Para eso, vamos probando
con todos los números hasta encontrar el que cumple la condición.
12  1
22  4
32  9
...
7 2  49
82  64
Luego el número que buscábamos era el 8.
64  8,
porque
82  64
Ejercicios: Calcula la raíz cuadrada del siguiente número:
a)81
b) 144
c) 25

LA RAÍZ CUADRADA ENTERA DE UN NÚMERO ES EL MAYOR NÚMERO
QUE AL ELEVARLO AL CUADRADO ES MENOR QUE EL PRIMER
NÚMERO. La raíz cuadrada entera de a es b, si b2  a
Ejemplo resuelto 2: Calcula la raíz cuadrada entera del número 52.
Respuesta: Si queremos calcular la raíz cuadrada entera de un número, debemos
encontrar el mayor número que al elevarlo al cuadrado nos dé un número menor que el
primer número. Para eso, vamos probando con todos los números hasta encontrar el que
cumple la condición.
12  1  52
22  4  52
32  9  52
...
7 2  49  52
82  64  52, no se cumple la condición
Luego el número que buscamos es el 7 ya que 7< 52
Ejercicios: Calcula la raíz cuadrada entera de los siguientes números:
a) 46
b) 73
c) 37
7. Jerarquía de las operaciones.

CUANDO HACEMOS OPERACIONES DONDE APARECEN AL MISMO
TIEMPO SUMAS, RESTAS, MULTIPLICACIONES Y OTRAS OPERACIONES
DE LAS QUE HEMOS ESTUDIADO, EL ORDEN QUE TENEMOS QUE
SEGUIR PARA REALIZARLAS ES EL SIGUIENTE:
1º Hacemos las operaciones que hay entre paréntesis.
2º Hacemos las potencias y las raíces.
3º Hacemos las multiplicaciones y las divisiones.
4º Hacemos las sumas y las restas.
Ejemplo resuelto 1: Calcula la siguiente expresión:
9  (5  2)·7  23 : (9  7)
Respuesta: Para resolverlos tendremos que ir por pasos:
1º Hacemos las operaciones que hay dentro de los paréntesis:
9  (5  2) ·7  23 : (9  7) 
 9  3 ·7  23 : 2 
2º Hacemos las potencias y las raíces:
 9  3 ·7  23 : 2 
 3  3 ·7  8 : 2 
3º Hacemos las multiplicaciones y las divisiones:
 3  3 ·7  8 : 2 
 3  21  4 
4º Hacemos las sumas y las restas:
 3  21  4 
 24
4

20
El resultado de todas nuestras operaciones es 20.
Ejercicios: Calcula las siguientes expresiones:
a) 16  (6  1)·5  32 : (9  6) b) 23 ·(5  3)  14 : (9  7)  25