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TRIGONOMETRIA
CONTEMPORANEA
PROFESOR:
RUBÉN ALVA CABRERA
[email protected]
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
• EL ÁNGULO
TRIGONOMÉTRICO
SE OBTIENE
GIRANDO UN RAYO
ALREDEDOR DE SU
ORIGEN.
B
O
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
)
POSITIVO
SENTIDO DE GIRO HORARIO
)
A
OA : LADO INICIAL
OB : LADO FINAL
O: VÉRTICE
 ) NEGATIVO
SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)
1
GRADO :
o
MINUTO :
1
'
SEGUNDO :
1
"
EQUIVALENCIAS
1  60 1  60 1  3600
o
'
'
"
o
1vuelta= 360
o
"
En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden
expresar en grados ,minutos y segundos
A B ' C ''  A  B '  C ''
o
o
Los Para
números
C deben
ser menores
de 3600
60
convertirB
deygrados
a segundos
se multiplica por
Para convertir deDE
grados
a minutos se multiplica por 60
RELACIONES
CONVERSIÓN
Para convertir de minutos
a segundos se multiplica por 60
x 3600
x 60
x 60 a grados se divide entre 3600
Para convertir de segundos
GRADOS
SEGUNDOS
MINUTOS
: 60
: 60
Para convertir de minutos a grados se divide entre 60
Para convertir
de segundos a minutos se divide entre 60
: 3600
EJEMPLO :   20 36 ' 45 ''
o
EXPRESAR
o

EN GRADOS SEXAGESIMALES
'
''
  20  36  45
o
o
36
45
3
1
o
  20 

 20o 

60 3600
5 80
o
o
Al número 36 se le divide entre 60 y
o
1649
Al número 45 se le divide entre 3600

CONCLUSIÓN:
80
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y
SEGUNDOS
NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES
NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES
= S
( m ) = 60S
NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S
EJEMPLO
Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,
sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el
doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155.
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S
Dato :
60S  2S  155
62S  155
5
S
2
5º 4º 60 '

 2º 30 '
El ángulo mide :
2
2
155 5(31)
S

62 2(31)
ESTAN ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR FAVOR
SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)
GRADO :
1
g
MINUTO :
1
m
SEGUNDO :
1
s
EQUIVALENCIAS
1  100 1  100 1  10000
g
m
m
1vuelta=
s
400
g
g
s
En el sistema centesimal los ángulos se pueden
expresar en grados ,minutos y segundos
A B C  A B
g
m
s
g
m
C
s
Los números
C deben
ser menores
100
Para convertirBdeygrados
a segundos
se multiplica de
por 10000
Para
convertir
de DE
grados
a minutos
se multiplica
por 100
Para
convertir
de
minutos
a segundos
se multiplica
por 100
RELACIONES
CONVERSIÓN
x 10 000
Para convertir dex
segundos
100 a grados se divide entre 10000
x 100
GRADOS
SEGUNDOS
MINUTOS
: 100
: 100
Para convertir de minutos a grados se divide entre 100
Para convertir
segundos a minutos se divide entre 100
: 10 de
000
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS
y SEGUNDOS
SABES QUE : gSABES QUE :g
NÚMERO DE GRADOS
 200 g = C
SABEMOS
QUE 180º
9ºCENTESIMALES
 10
9º  10
g
g 100C
SIMPLIFICANDO
OBTIENE
NÚMERO
DE MINUTOS
n) =
9(1º ) CENTESIMALES
 SE
10(1
)9(1º )  (10(1
)
g
''
S
' 9º CENTESIMALES
m

10
NÚMERO DE SEGUNDOS
(
q
)
=
10
9(3600
)

10(10000
) 000C
9(60 )  10(100 )
''
s
81

250
27LOS
 50
RELACIÓN ENTRE
SISTEMAS SEXAGESIMAL Y
'
m
CENTESIMAL
9 O  10 g 27 '  50 m 81"  250 s
GRADOS
MINUTOS
SEGUNDOS
S
C

9 10
m
n

27 50
p
q

81 250
SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)
EN ESTE SISTEMA
LA UNIDAD DE
MEDIDA ES EL
RADIÁN.
UN RADIÁN ES LA
MEDIDA DEL
ÁNGULO CENTRAL
QUE SUBTIENDE
EN CUALQUIER
CIRCUNFERENCIA
UN ARCO DE
LONGITUD IGUAL
AL RADIO.
R
..
R
)1rad
R
1vuelta  2rad
1rad  57 17 45
o
'
''
RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS
180  200  rad
0
g
ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN
SISTEMA A OTRO.
EJEMPLOS
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES
A)  540
SABES QUE
ÁNGULO
DE
O  EL
rad
3 UNA

54
rad
 : 360º
VUELTA MIDE
o  
 400g  2rad
 180 
10
B)  125
SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :
g
rad 

125 
g 
 200 
g

5
rad
8
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA
SEXAGESIMAL
2
A)
rad
3
2(180 )
...........
3
o
 120
9

B)70 ................. 70 
g 
 10 
g
g
o
o
 63
o
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA
CENTESIMAL
g
3
3(200
)
g
A)
rad ...........
150

4
4
g

10

o
o
B)27 ................ 27  o   30g
 9 
FACTORES DE CONVERSIÓN
DE GRADOS SEXAGESIMALES
A RADIANES
rad
o
180
DE GRADOS SEXAGESIMALES
A CENTESIMALES
10g
o
9
DE GRADOS CENTESIMALES
A RADIANES
DE GRADOS CENTESIMALES
A SEXAGESIMALES
rad
200 g
o
9
10g
DE RADIANES A GRADOS
SEXAGESIMALES
rad  180
DE RADIANES A GRADOS
CENTESIMALES
rad  200
o
g
ESTAN ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR FAVOR
FÓRMULA DE CONVERSIÓN
R
S
C



180
200
S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES
C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES
R : NÚMERO DE RADIANES
EJEMPLO
CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:
8R
3S  2C 
 37

SOLUCIÓN
EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE
CONVERSIÓN
S
C
R


 K
180 200 
S  180k
R  k
C  200k
SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA
8(k)
3(180k)  2(200k) 
 37 ,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE

148k  37
1
k
4
 1 
FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R   

4 4
NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS
CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA
20R
S
C



9 10
S  9k
C  10k
k
R 
20
OTRAS RELACIONES IMPORTANTES

90  100  rad
2
O
g
180  200  rad
* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN :
* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN :
SISTEMA
o
g
COMPLEMENTO
SUPLEMENTO
SEXAGESIMAL
S
90 - S
180 - S
CENTESIMAL
C
200 - C
RADIAL
R
100 - C

R
2
R
* EQUIVALENCIAS USUALES:


o
rad  60
rad  45o
3
4

rad  30o
6
EJERCICIOS
1. CALCULAR :

45º 
rad
12
E
50g  33º
SOLUCIÓN
Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno
de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el
SISTEMA SEXAGESIMAL
9º
180º

g
 15º ; 50 ( g )  45º
rad 
10
12
12
Reemplazamos en E
60º
45º 15º
 5
E

12º
45º 33º
2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más
el triple de su número de grados centesimales es 78,
calcular su número de radianes
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
C = número de grados centesimales
Sabes que :
S
C

=K
9 10
Dato : S + 3C = 78
9K + 3( 10K ) = 78
El número de radianes es :
k
R
20

2
R

20 10
S = 9K y C = 10K
39K = 78
K=2
3. Determinar si es verdadero o falso
A ) rad  180
g
g
B ) El complemento de 30 es 70
C ) 24º
2º
 g
g
36
3
D ) Los ángulos interiores de un triángulo
suman rad
E)
  180º
F)
1º  1
g
G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es
igual al 90% de su número de grados centesimales
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