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De Moivre
Las distribuciones binomial y
normal.
Bernouilli
Variables aleatorias :
• Se llama variable aleatoria a toda ley (función)
que asocia a cada elemento del espacio
muestral E un numero real.
Ej: a) La variable aleatoria X que representa el número de caras en el
lanzamiento de tres monedas toma los valores 0,1,2,3.
b) La variable X que representa la suma de las caras superiores de dos
dados toma los valores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
c) La variable X que representa la longitud de las judías verdes toma
valores, por ejemplo, en el intervalo (0-20) cm.
d) La variable X que representa la medida del perímetro craneal de una
serie de individuos toma valores, por ejemplo, en el intervalo (60-90) cm.
Variables aleatorias discretas:
• Serán las de los ejemplos a) y b) ya que sólo
pueden tomar ciertos valores enteros
Variables aleatorias continuas:
• Serán las de los ejemplos c) y d) ya que
pueden tomar, al menos teóricamente, todos
los valores posibles dentro de un cierto
intervalo real.
• Función de probabilidad.
Se llama Función de probabilidad de una
variable aleatoria X a la aplicación que asocia
a cada valor xi de la variable su probabilidad
pi.
0  pi 1
Se debe verificar:
n
p
i
p1  p2  p3  ... pn 1
i1
P(a  X  b)
 P(X  a)  P(X  a 1)  ... P(X  b)
P(X  b)  1  P(X  b)


Media y varianza:
Se llama media o esperanza de una variable aleatoria X, que toma los
valores x1, x2, …, xn, con probabilidades p1, p2, …,pn, respectivamente, al
valor de la siguiente expresión:
n
  x1 p1  x 2  p2  x 3  p3  ... x n  pn   x i  pi
i1

Se llama varianza de una variable aleatoria X, que toma los valores x1, x2,
…, xn, con probabilidades p1, p2, …,pn, respectivamente, al valor de la
siguiente expresión:
n
 2  x12  p1  x 2 2  p2  x 3 2  p3  ... x n 2  pn  2   x i 2  pi  2
i1
Se llama desviación típica de una variable aleatoria X, a la raíz cuadrada
positiva de la varianza, se representa por 
Función densidad:
Si representamos el histograma de frecuencias de una variable aleatoria
continua, a medida que los intervalos de la clase van siendo más pequeños y
el tamaño de las muestras mayor, el polígono de frecuencias se aproxima a
una curva continua, la función cuya gráfica es esta curva límite se llama
función de densidad, f(x)
Distribución binomial o de Bernouilli.
Si un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
1ª En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados, el
suceso A (éxito) y su contrario Ā (fracaso).
2ª El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los
resultados anteriores.
3ª La probabilidad del suceso A es constante y, por lo tanto,
no varía de una prueba a otra: p  probabilidad de A;
q =1-p  será la de Ā.
Para un experimento aleatorio que sigue un modelo
binomial con n pruebas, la representaremos por B(n,p):
n r n r
P(obtener r éxitos)  P(X  r)    p  q
r 
En este caso:
  np
Media o esperanza:
Varianza:

Desviación típica:

  npq
2
  npq
Ejemplos:
• El Ayuntamiento de una ciudad ha comprobado que el 23% de los
ciudadanos acude a las piscinas municipales. Si se escoge al azar una
muestra de 15 personas de esa ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que
ninguna de ellas haya acudido a las piscinas municipales?
La variable X, que cuenta el número de personas que han utilizado en
alguna ocasión los polideportivos municipales, sigue una distribución
binomial B(15, 0.23). Por tanto:
15
P(X  0)    0,230  0,77150  0,0198
0 

• En un concurso de tiro, la probabilidad de que un hombre acierte en el
blanco es de 1/3 . Si dispara 12 veces, ¿cuál es la probabilidad de que
acierte exactamente en cinco ocasiones? ¿Y de que acierte al menos una
vez?
La variable X cuenta el número de aciertos en el blanco, y sigue una
distribución binomial B(12,1/3). Por tanto:
12 1 5 2 7
P(X  5)          0,1908
5  3 3


12 1 0 2 12
P(X 1) 1  P(x  0) 1          0,9923
0  3 3
La distribución Normal
• Se trata de una distribución continua.
• Recibe ese nombre porque es la más aparece en diferentes
situaciones.
• Una variable aleatoria continua X sigue una distribución
normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por
N(μ, σ) si se cumple:
– 1.- La variable puede tomar cualquier valor real, es decir,
– 2.- La función de densidad será:
1 x   
 


2  
2
1
f (x) 
e
 2

x (,)
-El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).
-Es simétrica respecto a la media µ.
-Tiene un máximo en la media µ.
-Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
-El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
-En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
- El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la
unidad.
-Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la
izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
- La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %
p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %
p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %
La curva recibe el
nombre de campana
de Gauss
En todas el área bajo la curva es =1
Distribución normal estándar
• De las N(μ, σ) es de especial interés N(0, 1),
para la cual
x2
1 2
f (x) 
e
2
Será útil ya que según nos dice una propiedad:
Si X sigue una distribución normal N(μ, σ) , la
 Y=aX+b seguirá también una
variable
distribución normal N(μy, σy),con
μy= μX+b
σy=|a|σ
• Esto nos permitirá tipificar la variable X, y así
convertir N(μ, σ) en N(0, 1), la cual está
tabulada, transformando X en otra variable
Z

X 

• Teorema Central del Límite:La distribución
binomial B(n, p) se aproxima a una curva
normal de media μ = n · p y desviación típica
σ = npq , cuando n tiende a ∞, es decir,
cuando n se hace muy grande.

• Teorema de De Moivre:
• Una distribución binomial B(n, p) se puede
aproximar mediante una distribución normal
N np, npq  , de este modo, si tipificamos la
variable como Z  x  np , tendrá una
npq
distribución cercana a N(0,1).

Esto será admisible cuando:
n  30
np  5
n(1  p)  5
• El “precio” que hay que pagar por pasar de
una a otra se denomina “corrección por
continuidad” y consiste en hacer
determinados ajustes para que la
aproximación realizada sea lo más precisa
posible.
P(x  a)  P(a  0,5  X  a  0,5)
P(a  x  b)  P(a  0,5  X  b  0,5)
P(a  x  b)  P(a  0,5  X  b  0,5)
P(x  a)  P(X  a  0,5)


P(x  a)  P(X  a  0,5)



P(x  a)  P(X  a  0,5)
P(x  a)  P(X  a  0,5)
Ejemplos: