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EJERCICIOS DE GEOMETRÍA
MÉTRICA
Construcciones Elementales
Ejercicio Nº 1.Bisectriz de un ángulo cuyos lados no se cortan.
Sean dos rectas r y s concurrentes que se cortan fuera de los límites del dibujo.
r
s
1º.- Trazamos una recta t cualquiera t que corte a las dos anteriores, puntos A y B.
t
r
A
B
s
2º.- Hallamos las bisectrices de los ángulos que se forman en las intersecciones de las rectas
r y s con la recta t, con vértices en los puntos A y B, rectas a, b, c y d.
t
r
A
c
a
d
b
B
3º.- Las bisectrices anteriores se cortan en los puntos E y F, que son puntos de la bisectriz
del ángulo que forman las recta r y s.
t
r
A
a
F
E
c
d
b
B
s
4º.- Se unen los puntos E y F y obtenemos la bisectriz del ángulo que forman las rectas r y s.
t
r
A
a
E
Bisectriz
F
c
d
b
B
s
Ejercicio Nº 2.Trazar una recta que pasando por un punto P sea concurrente con otras dos rectas r y s que
se cortan fuera de los límites del dibujo.
Sean dos rectas r y s concurrentes que se cortan fuera de los límites del dibujo. Y un punto P.
r
P
s
1º.- Trazamos por P dos rectas PN y PM que corten a r y s respectivamente
N
r
P
s
M
.
2º.-Unimos M y N y se obtiene un triangulo PNM.
N
r
P
s
M
3º.- Por un punto cualquiera N' de r o M' de s dibujamos el triangulo P'N'M' semejante del
PNM
N
r
N'
P'
P
M'
s
M
4º.- El punto P' es un punto de la recta buscada t concurrente con r y s.
5º.- Unimos P y P' y obtenemos la recta solución t.
N
r
N'
t
P'
P
M'
s
M
Ejercicio Nº 3
En cada uno de los puntos A, B, C hay un faro. Determinar la posición de un barco P teniendo
en cuenta que las visuales desde dicho barco hacia los puntos A y B forman 45º y hacia B y C
60º
C
A
B
Unimos los puntos A-B y B-C y construimos los ángulos de 45º y 60º respectivamente
C
A
60°
45°
B
Trazamos por A y por B una perpendicular a los ángulos construidos, seguidamente trazamos
las mediatrices de A-B y B-C que se cortan con las perpendiculares anteriores en los centros
O1 y O2
C
O1
O2
A
60°
90°
90°
45°
B
Trazamos las circunferencias de centros O1 y O2 que pasen por A, B y por C, D
respectivamente que se cortan en el punto P que es el punto buscado.
En realidad es una aplicación del arco capaz
P
C
O1
O2
A
60°
90°
90°
45°
B
Ejercicio Nº 4
Construir un triángulo ABC conocidos dos lados a = 50 b = 25 m/m y el ángulo en A = 60º
opuesto al lado a
Trazamos el lado a = 50m/m
C
a
B
1º.- Trazamos la mediatriz del lado a :CB, en un extremo el C construimos un ángulo dado del
vértice opuesto de 60º
C
a
60°
B
2º.- Trazamos una perpendicular al ángulo de 60º antes trazado, que corta a la mediatriz del
lado CB en el punto O1, centro del arco capaz del segmento CB
O1
C
a
90°
60°
B
3º.- Con centro en el extremo C y radio b = 25 m/m, hallamos el punto A .
Aplicación del arco capaz el ángulo A tiene 60º
A
O1
b
c
C
a
90°
60°
B
Ejercicio Nº 5.Construir un triangulo ABC conocidos dos lados a= 50 , b= 25 y el ángulo en A=
60º opuesto al lado a.
1º.- Trazamos el lado a =CB=50 mm
C
B
2º.- Trazamos la mediatriz de este lado a =CB
a
C
B
3º.- Trazamos el arco capaz del segmento CB y para una ángulo de 60º
En C trazamos un ángulo de 60º, a continuación trazamos la perpendicular por C al lado del
ángulo que corta a la mediatriz en el punto O
O
60
C
°
a
B
4º.- Con centro en O y radio OC=OB trazamos el arco de circunferencia que pasa como es
lógico por C y B.
O
60
C
°
a
B
4º.- Con centro en el vértice C trazamos un arco de circunferencia que corta al arco capaz en
el punto A que es el otro vértice del triángulo buscado.
A
b
R=
O
c
b
C
60
°
a
B
Ejercicio Nº 6
Trazar la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo del que se conocen la
hipotenusa a = 86 m/m. y uno de los ángulos adyacentes B = 32º
Trazamos la hipotenusa BC = 86 m/m determinamos el punto medio y trazamos la
semicircunferencia que pasa por B y C (no hace falta trazar el arco capaz por ser el ángulo
de 90º, la perpendicular es el mismo lado BC
a
B
C
Construimos el ángulo de 32º en el vértice B que corta a la semicircunferencia en el punto A
que es el otro vértice del triangulo buscado
A
32°
B
a
C
Unimos el punto A con el vértice C y tenemos construido el triangulo rectángulo de ángulo
recto en el vértice A
A
32°
B
a
C
Trazamos las bisectrices de los ángulos B y C que se cortan en el punto O centro de la
circunferencia inscrita buscada
A
c
b
O
32°
B
a
C
Trazamos las perpendiculares a los lados que nos dan los puntos T de tangencia de la
circunferencia inscrita, que trazamos de centro en O y radio OT
A
T
T
c
b
O
32°
B
a
T
C
Ejercicio Nº 7
Dibujar un triángulo isósceles del que se conocen el lado desigual a = 45 m/m. y el
ángulo desigual A = 50º
Trazamos el lado a = 45 m/m
a
B
C
Construimos la mediatriz del lado BC y el ángulo de 50º en el extremo B después trazamos el
ángulo de 90º que corta a la mediatriz en el punto O, centro del arco capaz
O
a
B
90°
C
50°
Trazamos el arco de centro O y radio OB = OC que corta a la mediatriz en el punto A que es
el otro vértice del triángulo
A
O
a
B
90°
C
50°
Unimos el vértice A con los B y C y tenemos el triángulo buscado
A
O
a
B
90°
C
50°
Ejercicio Nº 8
Construcción de un triángulo conociendo un lado y sus ángulos adyacentes
Trazamos el lado AB dado
A
B
A
B
A
c
B
Se transportan los ángulos A y B dados sobre el segmento anterior
Se prolongan los lados de los ángulos, se cortan en el punto C y se completa el triángulo
A
B
B
A
C
b
A
c
a
B
Ejercicio Nº 9
Construir un triángulo ABC conocidos dos lados a = 50 b = 25 m/m y el ángulo
comprendido B = 60º
Se lleva el segmento BC dado
B
B
C
a
A
c
B
B
a
C
Se transporta el ángulo B dado sobre el segmento anterior
B
a
C
Traza un arco con centro en de radio 25mm. que corta en el punto A al lado del
ángulo
A
5
R2
B
a
C
Se completa el triángulo
A
b
5
R2
c
B
a
C
Ejercicio Nº 10
Construir un triángulo rectángulo en A ,conociendo la Hipotenusa y la diferencia de
los catetos b-c.
Se lleva el segmento b-c dado
B
a
C
b- c
b- c
Se construye un ángulo de 45º sobre el segmento anterior
45°
b- c
C
Se traza un arco con centro en C de radio la hipotenusa a que corta en el punto B al lado del
ángulo
R50
B
45°
b- c
C
Desde B se traza un perpendicular la lado b-c donde corta a la prolongación es el vértice A
y tenemos el triángulo que se nos pide
R50
B
45°
A
b- c
C
Ejercicio Nº 11
Construcción de un triángulo rectángulo en A, si se conoce un cateto c y la suma de la
hipotenusa y el otro cateto a + b
Se lleva el segmento a + b dado
a+b
c
a+b
Traza la mediatriz de la hipotenusa del triángulo anterior que corta al cateto (a + b) en el
punto C que es el vértice del triángulo que se busca
B
c
A
C
a+b
Unimos B con C y tenemos el triángulo rectángulo
B
c
A
a
b
C
a+b
Ejercicio Nº 12.
- Dibujar un triángulo del que se conocen el lado c= 50 mm, la altura hc=40 mm y la mediana
mc=45 mm.
1º.- Trazamos el lado c=50 mm.
c
A
B
Se construye un triángulo rectángulo de cateto mayor (a + b) y cateto menor c
B
c
A
a+b
hc=40
2º.- Trazamos la paralela al lado c a una distancia de hc=40 mm.
c
A
B
hc=40
3º.- Trazamos la mediatriz del lado c.
1
A
c
B
4º. Con centro en 1 y radio mc=45 mm trazamos el arco de circunferencia que corta a la
recta paralela al lado c en dos puntos C y C'.Que son el vértice que nos falta del triángulo.
C
hc=40
mc
=4
5
C'
1
A
c
B
5º.- Unimos C con A y B y tenemos una de las soluciones, la otra resulta de unir C' con a A y
B.
C
mc
=4
5
C'
hc
hc=40
mc
1
A
c
B
Ejercicio Nº 13
Construir un triángulo rectángulo con el ángulo recto en A; conociendo la hipotenusa a=50
mm y la suma de los catetos b+c= 65 mm.
Vemos en la fig como si tenemos un triángulo rectángulo si sobre un cateto le sumamos el otro se forma
un ángulo de 45º, por lo tanto para construir el triángulo operamos como sigue:
B
a
c
45°
c
b
C
A
b+c
1º.- Trazamos un segmento a+b=65 mm.
a+b=65 mm
2º.- En un extremo del segmento a+b trazamos un ángulo de 45º.
45°
a+b=65 mm
B'
B
45°
a+b=65 mm
a=5
0
3º.- Con centro en el otro extremo trazamos un arco de radio a=50 mm, que corta al lado del
ángulo en dos puntos B y B'.
B'
B
45°
c
A
A'
a+b=65 mm
a=5
0
4º.- Por el vértice B trazamos una perpendicular al segmento a+b y obtenemos el vértice A.
Por B' trazamos otra perpendicular al segmento a+b y obtenemos el otro vértice A'.
a=5
0
5º.- Unimos los vértices ABC y obtenemos una solución, uniendo los otros vértices A'B'C'
tenemos la otra.
B'
c'
a'
B
a
45°
c
b
A
A'
a+b=65 mm
b'
C-C'
Ejercicio Nº 14
Construcción de un cuadrado conociendo la suma de la diagonal mas el lado
Construimos un cuadrado cualquiera ABDE
D+L
E
A
D
B
Trazamos la diagonal de este cuadrado y la prolongamos, haciendo centro en D y radio DB
obtenemos el punto N que es la suma de la diagonal mas el lado de este cuadrado, unimos N
yB
D
'+
L'
N
E
A
D
B
Llevamos sobre esta diagonal la dada D + L , obteniendo el punto M por trazamos una
paralela a la recta NB y tenemos el punto C que es el lado del cuadrado buscado
N
D
'+
L'
M
+L
D
D
E
B
A
C
Por C trazamos el lado del cuadrado y tenemos el cuadrado que nos piden
N
D
'+
L'
M
+L
D
D
E
B
A
L
C
Ejercicio Nº 15
Construir un rectángulo áureo
Se construye un cuadrado de lado igual al menor del rectángulo que queremos construir.
D
C
A
B
Se determina la mitad del lado AB punto 1 se traza una circunferencia de centro en
1 y radio 1C hasta B'
C
D
1
A
B
B'
AB' es el lado del rectángulo buscado
D
C
C'
B
B'
1
A
Ejercicio Nº 16.
- Construir un trapecio del que se conocen las bases a=84 mm, b=38 mm y los lados no
paralelos c=45 mm y d=52 mm.
1º.- Trazamos el lado a=AB=84 mm.
B
A
a= 84
2º.- A partir de A llevamos la distancia A-1=b=38 mm. Quedando la distancia B-1=a-b=8438=46 mm.
1
A
a - b= 46
a= 84
B
3º.- Con centro en el vértice B trazamos un arco de radio c=45 mm y con centro en el punto 1
trazamos otro arco de radio d=52 mm que se cortan en el punto C que es otro vértice del
trapecio.
C
c=
45
2
5
d=
1
A
a - b= 46
a= 84
B
4º.- Unimos el vértice C con el B y con el punto 1 obteniendo un triángulo C1B.
C
c=
45
52
=
d
c
1
A
a - b= 46
a= 84
B
5º.- Por C trazamos una paralela a la base a y por el vértice A una paralela a C1 que se
cortan en D que es el otro vértice del trapecio.
D
C
b
c=
45
2
5
d=
d
c
1
A
a - b= 46
a= 84
B
Ejercicio Nº 17 .
Construir un Paralelogramo dadas las dos diagonales d=40 mm y d'=65 mm y el ángulo que
forman sus lados 50º.
1º.- Trazamos un segmento igual a la diagonal d=40 mm.
d
2º.- Trazamos el arco capaz. En un extremo del segmento d trazamos el ángulo dado de 50º.
50°
d
3º.- Trazamos una perpendicular al lado del ángulo. determinamos la mediatriz de la diagonal
d, que corta a la perpendicular al lado del ángulo en el punto O. Hallamos el simétrico de O
punto O1
O
50°
d
1
O1
4º.- Con centro en O y en O1 trazamos dos arcos de circunferencia que pasan los extremos
A y C de la diagonal d. Que son los arcos capaces de la diagonal d y el ángulo de 50º.
O
d
50°
A
1
O1
C
5º.- Con centro en el punto 1 trazamos una circunferencia de radio d'/2 (la mitad de la otra
diagonal) que corta a los arcos capaces en los puntos B, D y B', D' que son los vértices de
las dos soluciones del paralelogramo a construir.
D
D'
O
d'
50°
A
d
1
C
O1
B'
B
6º Unimos los vértices ABCD y AB'CD' y obtenemos las dos soluciones del paralelogramo.
D
D'
O
d'
50°
A
d
1
C
O1
B'
B
Ejercicio Nº 18.
Dibujar un cuadrilátero inscriptible con los datos siguientes: lado AB=50 mm, lado BC=35
mm, ángulo A=60º y ángulo B=80º.
1º.- Trazamos un segmento AB=50 mm.
A
B
2º.- Por el extremo del segmento B trazamos el ángulo dado de 80º. Y llevamos la distancia
BC=35 mm.
80
°
C
A
B
3º.- Trazamos las mediatrices de los lados AB y BC que nos determinan el punto O que es el
centro de la circunferencia circunscrita del cuadrilátero, trazamos con centro en O la
circunferencia que pasa por A, B y C.
80
O
°
C
A
B
4º.- Por el vértice A trazamos el ángulo A de 60º que corta a la circunferencia en el punto D
que es el vértice que falta del cuadrilátero.
D
80
°
60
A
O
°
C
B
Ejercicio Nº 19.
- Construir un rectángulo conocido el lado mayor a=75 mm y el ángulo α=130º que forman las
diagonales.
1º.- Trazamos un segmento AB=75 mm lado del rectángulo.
B
A
2º.- Hallamos la mediatriz del lado AB.
a
A
B
3º.- Trazamos el arco capaz del segmento AB y del ángulo de 130º.En el extremo B trazamos
un ángulo de 130º. Seguidamente trazamos una perpendicular al lado del ángulo, que corta a
la mediatriz en el punto O.
a
B
A
130
O
°
4º.- El punto O es el centro del arco capaz, trazamos con centro en O y radio OA=OB el arco
que corta a la mediatriz en el punto E que resulta el punto de corte de las diagonales del
rectángulo.
E
a
B
A
130
O
°
5º.- Unimos los extremos A y B con el punto E y prolongamos .Las rectas AE y BE son las
diagonales del rectángulo.
E
a
B
A
130
O
°
6º.- Por A y B trazamos las perpendiculares al lado AB que cortan a las diagonales en C y D
vértices de rectángulo unimos C y D y se obtiene el rectángulo ABCD.
C
D
E
a
B
A
130
°
O
Ejercicio Nº 20.
Dibujar un cuadrado cuya área sea la mitad de la suma de otros tres cuadrados datos: l1=40
mm, l2=35 mm t l3=20 mm.
1º.- Trazamos un segmento l1=40 mm.
l1=40
l2=35
2º.- Por un extremo del segmento l1 trazamos una perpendicular y llevamos la distancia l2=35
mm.
l1=40
3º.- Unimos los extremos A y B de los segmentos. El cuadrado de lado AB tendrá por área la
suma de los dos cuadrados.
l2=35
A
l1=40
B
4º.- Por el vértice B por ejemplo trazamos una perpendicular y llevamos la distancia l3=20
mm. El cuadrado de lado AC tendrá por área la suma de los tres cuadrados
A
B
l 3=
l1=40
20
2
C
5º.- Hallamos el punto medio de AC y trazamos una semicircunferencia y una perpendicular
el segmento AD es el lado del cuadrado cuya área es la mitad de los otros tres. Por ser AD
media proporcional de AC/2
L
D
l2=35
A
B
l 3=
l1=40
20
C
Ejercicio Nº 21
División de la circunferencia en nueve partes iguales
Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD
A
D
C
B
Con centro en A trazamos el arco O2 y con centro en B trazamos el arco O1
A
2
D
C
O
1
B
3º Con centro en A trazamos el arco 1-3 y con centro en B el arco 2-3
A
2
D
C
1
B
3
Desde 3 se traza el arco de radio 3-A que corta al diámetro CD en al punto P, el segmento CP
es la novena parte de la circunferencia
A
2
C
L9
P
D
O
1
B
3
Se lleva el segmento CP sobre la circunferencia y obtenemos la división de la circunferencia
en nueve partes o el eneágono
A
2
C
L9
P
D
O
1
B
3
Ejercicio Nº 22.
Construcción de un heptágono regular dado el lado l = 20
Trazamos la mediatriz del lado dado AB
A
B
Se construye un ángulo de 30º grados, levantamos una perpendicular al lado por B
1
30°
A
B
Con centro en A trazamos el arco 1-O siendo O el centro de la circunferencia circunscrita al
polígono
O
1
30°
A
B
Llevamos el lado AB sobre la circunferencia y tenemos la solución al problema
O
1
30°
A
B
Ejercicio Nº 23
Construcción de un octógono regular conociendo el lado l = 20
Trazamos la mediatriz del lado dado
A
B
2º Construimos un cuadrado auxiliar de lado dado l = 20
D
C
A
B
Se trazan las diagonales AC y BD que se cortan en el punto P se traza la circunferencia
circunscrita al cuadrado que corta a la mediatriz al lado en el punto O, que es el centro de la
circunferencia circunscrita del octógono .
O
D
C
P
A
B
Se traza la circunferencia de centro O y radio OA y llevamos el lado del octógono sobre ella
O
D
C
P
A
B
Ejercicio Nº 24
Construir el eneágono regular a partir del lado dado l = 20
Construimos un triángulo equilátero de lado igual al lado dado, trazamos la altura
M
A
B
Trazamos la bisectriz del ángulo A que corta a la altura en el punto N.
b
M
N
A
B
Se traza la circunferencia de centro M y radio MN que corta a las prolongaciones de los lados
del triángulo en P y Q, unimos P y Q y donde esta recta corte a la prolongación de la altura
punto O tenemos el centro de la circunferencia circunscrita al eneágono.
Q
P
O
b
M
N
A
B
Trazamos la circunferencia de centro O y radio OA = OB
Q
P
O
b
M
N
A
B
Llevamos el lado sobre la circunferencia y trazamos el polígono.
Q
P
O
b
M
N
A
B
Ejercicio Nº 25
Construcción del decágono regular a partir del lado l = 20
Construimos el pentágono regular dado el lado l =20. trazamos por B la perpendicular, la
mediatriz del lado AB, hacemos centro en B y con radio BA trazamos un arco que corta a la
perpendicular por B en 1, con centro en el punto medio del lado AB se traza el arco 1-2, la
distancia A-2 es el valor de la diagonal del pentágono, con centro en A y Radio A2 obtenemos
el vértice superior del pentágono, hallamos los otros vértices
1
2
A
B
El vértice superior O es el centro de la circunferencia circunscrita del decágono
O
1
2
B
Llevamos la medida del lado AB =20 m/m y construimos el decágono
O
1
2
A
B
Ejercicio Nº 26
Rectificación de la semicircunferencia
Se lleva el lado del cuadrado y del triángulo inscritos en la circunferencia y la suma es el valor
de la semicircunferencia
nr
L4
L3
Ejercicio Nº 27
Rectificación de la semicircunferencia
Se construye un ángulo de 30º grados, llevamos tres veces el radio de la circunferencia punto
B
Unimos el punto anterior B con el C y esa es la longitud de la semicircunferencia
C
nr
30°
A
3r
B
Ejercicio Nº 28.
- Construir un pentágono regular de lado AB=35 mm y transformarlo en un cuadrado
equivalente.
1º.- Trazamos un segmento AB=35 mm lado del pentágono.
A
B
2º.- Trazamos por el vértice B la perpendicular B1 al lado AB. Con centro en B trazamos el
arco de radio BA que corta a la perpendicular en el punto 1.
1
A
B
3º.- Hallamos la mediatriz del lado AB. Con centro en el punto O trazamos un arco de radio
O1 que corta a la prolongación del lado AB en el punto 2, la distancia A2 es longitud de la
diagonal del pentágono.
1
O
A
B
2
4º.- Con centro en A y radio A2 trazamos un arco que corta a la mediatriz en el punto D y al
arco A1 en el punto C que es un vértice del pentágono, si trazamos con el mismo radio otro
arco de centro en B se cortan en D. Con centro en D y en A y radio AB se trazan dos arcos
que se cortan en el punto E vértice del pentágono.
D
1
E
C
O
A
B
2
5º.- Unimos los vértices ABCDE y obtenemos el pentágono pedido.
1
E
C
O
A
B
2
6º.- Por el vértice C se traza una paralela a la recta BD que corta a la prolongación del lado
AB en el punto 2 con lo que tenemos un polígono con un lado menos, si repetimos el proceso
con el vértice E obtenemos un triangulo.
1
E
C
O
A
B
2
6º.- El área del triangulo es 1/2AB x h tiene que ser igual al área del cuadrado=l², por lo que
l²= 1/2AB x h con lo que l es media proporcional de 1/2AB y h.
7º.- Llevamos a continuación de la altura h la mitad de la base 1/2AB=O2 trazamos una
semicircunferencia de diámetro D4= 1/2AB + h y centro 3 que corta a la perpendicular
trazada por O en el punto 5 la distancia O5 es el lado del cuadrado equivalente.
1
C
h=OD
E
3
5
O
A
2
Lado cuadrado
base/2=O2
B
4
Ejercicio Nº 29.
- Dibujar un heptágono regular estrellado de paso 3 inscrito en una circunferencia de 38 mm
de radio.
1º.- Trazamos una circunferencia de centro O y radio = 38 mm.
O
2º.- Trazamos dos diámetros perpendiculares.
O
3º.- Con centro en el extremo 1 del diámetro trazamos un arco de circunferencia que pase
por O es decir de radio 38, que corta en 2 y 3 a la circunferencia. Unimos estos puntos y la
mitad de 2-3 es el lado del heptágono l7=2-4.
2
l7
O
1
4
3
4º.- A partir del vértice A llevamos la distancia l7=2-4 y obtenemos los vértices del heptágono
ABCDEFG.
A
2
G
B
l7
O
1
4
C
F
3
E
D
5º.- A partir de un vértice por ejemplo el A unimos este saltando dos es decir el A con el D, el
D con el G, hasta cerrar en el vértice A.
A
2
G
B
l7
O
1
4
C
F
3
E
D