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IV.- INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE
PROBABILIDAD.
4.1 Espacio muestral.
En el estudio de la estadística interesa esencialmente la presentación e interpretación
de resultados aleatorios que se obtienen en un estudio planeado o en una investigación.
Así, por ejemplo es posible registrar el número de personas que llegan aun centro
comercial con la intención de adquirir bienes de consumo; clasificar las solicitudes de
crédito en "otorgadas" o "denegadas"; clasificar a tarjetahabientes de acuerdo al banco
que les otorgó la tarjeta de crédito, medir el grado de contaminación de un río, el
número de artículos defectuosos en una fábrica, etc.
Cualquiera de estos proceso puede llamarse experimento pues genera un conjunto de
datos estadísticos. Como se menciono en el capítulo II, las observaciones registradas
de los resultados obtenidos de dichos experimentos pueden dar origen a datos
cualitativos o cuantitativos.
Algunos otros ejemplos de experimento estadísticos son:
a) El lanzamiento de una moneda al aire, cuyos resultados posibles serían obtener
águila o sol al caer la moneda.
b) Clasificar el tipo de carga que trae una embarcación y cuyos posibles resultados
son: carga general, granel mineral, granel agrícola, fluidos, etc.
Estos ejemplos dan lugar a introducir la siguiente definición:
Se le llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados de un experimento
estadístico y se le representa por el símbolo S.
A cada resultado en un espacio muestral se le llama elemento o miembro del espacio
muestral, o simplemente punto muestral.
4.2 Eventos y tipos de eventos.
Por lo general, en un experimento suele ser más importante referirise a ciertos
eventos específicamente a un solo experimento del espacio muestral.
Un evento es un subconjunto de un espacio muestral.
Entonces se puede hablar de que un espacio muestral está formado por eventos. Así
pues un evento simple es aquel que contiene un solo elemento y evento compuesto
es aquel que contiene dos o más elementos del espacio muestral.
Además también se dice los eventos son mutuamente excluyentes si uno y solo uno
de ellos puede ocurrir a un tiempo. Considérese de nuevo el ejemplo de la moneda.
Se tienen dos resultados posibles, águila o sello. Al tirar la moneda águila o sello pero
no ambos a la vez. Como resultado se dice que el evento es mutuamente excluyente
al tirar una vez la moneda. Simultáneamente, usted puede aprobará o reprobará este
curso o, antes de que el curso termine, usted puede darse de baja sin obtener
ninguna calificación. Sólo podrá ocurrir uno de estos tres eventos, se dice que son
mutuamente excluyentes. La pregunta clave para decidir cuándo los eventos son
mutuamente excluyentes es, "Pueden dos o más de estos eventos ocurrir a un
tiempo?" Si la respuesta es sí, los eventos no son mutuamente excluyentes.
4.3 Origen y definición de teoría de probabilidad.
Los orígenes de las matemáticas de la probabilidad se remontan al siglo XVII. Las
primeras aplicaciones se relacionaban básicamente con los juegos de azar. Cuando
los jugadores usaban el conocimiento de la teoría de la probabilidad para desarrollar
estrategias de apuestas. Sin embargo, en la actualidad el uso de la probabilidad se
ha extendido ha muchos campos profesionales en donde se adopta la teoría la
probabilidad en su cotidiano proceso de toma de decisiones.
Independientemente de su aplicación particular, el empleo de las probabilidades
indica que existe algún elemento aleatorio o de incertidumbre relativo a la ocurrencia
de algún evento futuro. Así, en muchos casos puede ser virtualmente imposible
predecir que pasará, pero es posible establecer lo que podría pasar. Por ejemplo, si
se tira una moneda por lo regular no se puede decir con seguridad si caerá águila o
sello. Sin embargo, combinando el raciocinio, la experiencia y los datos históricos,
con frecuencia es factible cuán probable es un evento futuro.
Así, pues las probabilidades se utilizan para expresar cuán probable es determinado
evento.
Una definición más formal de probabilidad se da a continuación:
Probabilidad: Es una medida de la certidumbre que se le asocia a la ocurrencia de
un resultado determinado (al realizar el experimento correspondiente).
Así pues puede añadirse a ello que:
La teoría de probabilidades es una rama de las matemáticas aplicadas, que trata lo
concerniente a la asignación y manejo de probabilidades.
4.3.1. Diversos enfoques para la asignación de probabilidades.
Richard I. Levin, señala que existen tres formas básicas de asignar probabilidades y
cada una de ellas obedece a un enfoque conceptual diferente respecto al estudio de
la teoría de probabilidades. Estás son:
• El enfoque clásico.
• El enfoque de frecuencia relativa.
• El enfoque subjetivo.
4.3.1.1 El enfoque clásico.
El enfoque clásico define la probabilidad de ocurrencia de un evento como:
P(A) = Número de resultados favorables a la ocurrencia del evento A.
Número total de resultados posibles
Para que esta ecuación sea válida, cada uno de los posibles resultados deben ser
igualmente posibles.
La probabilidad clásica se asigna a priori. Es decir, que no requiere realizar
previamente el experimento para asignar las probabilidades y su aplicación se reduce
por lo tanto solo a experimentos que tengan que ver con lanzar una moneda, dados no
cargados, juego de ruleta, extraes una carta, etc.
4.3.1.2 El enfoque de frecuencia relativa.
Suponga que usted quiere saber "¿Cuál es la probabilidad de que tarde menos de
10 minutos de ser atendido en cierto Banco?" o, "¿Cuál es la probabilidad de que
en los próximos cinco años azote un huracán en este puerto?" o, "¿Cuál es la
probabilidad de que ocurra una muerte por accidente vial en determinado crucero?".
Aquí puede observarse que no es posible darse una respuesta inmediata sin tener
antecedentes de cada uno de los experimentos citados. Es así como surge un
nuevo enfoque:
El enfoque de frecuencia relativa define la probabilidad de ocurrencia de un evento
como:
Probabilidad de un evento = La frecuencia relativa observada en un gran número de
pruebas.
Este enfoque asigna las probabilidades de ocurrencia de un evento en forma a
posteriori; es decir, utiliza las frecuencias relativas de ocurrencias pasadas como
probabilidades, determinando con que frecuencia ha sucedido un evento en el
pasado para "predecir" la posibilidad de que vuelva a ocurrir en el futuro dicho
evento.
4.3.1.3 El enfoque de probabilidades subjetivas.
Este enfoque esta basado en la confianza personal de quien esta haciendo la
evaluación de la probabilidad de ocurrencia de un evento. Según Richard I. Levin
puede definirse como la probabilidad asignada a un evento por un individuo basado en
cualquier tipo de evidencia que tenga disponible.
4.3.1.4 Leyes de conjuntos.
Algunas propiedades (o leyes) de los conjuntos y de sus operaciones básicas que
suelen ser útiles para este curso son:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
A  = 
A  = A
A A' = 
A  A'= S
S' = 
' = S
(A')' = A
(A  A)' = A‘ B'
(A  B) = A'  B'
4.4. Axiomas y teoremas de probabilidad.
4.4.1 Axiomas básicos de la teoría de probabilidades.
La teoría de probabilidades se basa principalmente en una serie de probabilidades (o
axiomas) como punto de partida para su desarrollo, mismos que a continuación se
enuncian.
Dado un experimento (E) cuyo espacio muestral esta dado por el conjunto S, y sea A un
evento perteneciente a dicho conjunto, entonces P(A) es un número real al que se
denomina probabilidad de un evento A o probabilidad de A, y la función P( ) tiene las
siguientes propiedades.
1) La probabilidad de ocurrencia del evento A varía entre 0 y 1.
0 < P(A) < 1
2) La probabilidad de ocurrencia de un espacio muestral S es igual a 1.
P(S) = 1
3) Para cualquier número finito k de eventos mutuamente excluyentes
perteneciente a S se tiene que
P(A1  A2  ....  Ak) = P(A1) + P(A2) + .......+ P(Ak)
Debe observarse que estas propiedades no indican a quien realiza un experimento el
cómo debe asignar las probabilidades; sin embargo le restringen la forma en la cual
pueden realizarse la asignación. Precisamente en la siguiente sección se explicará la
forma como se pueden asignar dichas probabilidades.
4.4.2 Teoremas de la teoría de probabilidades.
Una vez presentados los axiomas básicos y los diversos enfoques de como asignar
probabilidades, se presentaran en esta sección algunos teoremas referentes a la teoría
de probabilidades.
Teorema 4.4.2.1.
Si  es un conjunto vacío entonces la P() = 0
Demostración: Obsérvese que S = S , y P(S) = P(S) + P() de acuerdo a la
propiedad 3, de donde se puede concluir que P() = 0.
Teorema 4.4.2.2.
P(A') = 1 - P(A)
Demostración: Obsérvese que S = A  A', y P(S) = P(A) + P(A'), a partir de la
propiedad 3, pero en la propiedad 2 se establece que P(S) = 1; por lo tanto
1 = P(A) + P(A'), de donde:
P(A') = 1 - P(A)
Teorema 4.4.2.3.
Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes entonces:
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
A esta expresión se le conoce como la regla de la adición.
Teorema 4.4.2.4.
Sea A, B y C tres eventos no mutuamente excluyentes, entonces:
P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A  B) - P(A  C) - P(B  C) - P(A  B  C)
Teorema 4.4.2.5.
Si A es un subconjunto B (A  B), entonces P(A) < P(B).
Ejemplo 4.4.1
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, y si se sabe que P(A) = 0.25 mientras
P(B) = 0.35, se pide evaluar:
a) P(A')
b) P(B')
c) P(A È B)
d) P(A Ç B)
e) P(A'Ç B')
Solución:
a)
b)
c)
d)
e)
P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.25 = 0.75
P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.35 = 0.65
P(A  B) = P(A) + P(B) = 0.25 + 0.35 = 0.60
P(A  B) = 0 , pues son mutuamente excluyentes.
P(A' B') = P(A B)' (ver sección 4.3.1.4) de donde aplicando el
teorema 4.4.2.3:
P(A B)' = 1 - P(A  B) y dado que
P(A  B) = P(A) + P(B) entonces:
P(A' B') = 1 - [P(A) + P(B)] = 1 - [0.60] = 0.40
Ejemplo No. 4.4.2.
Supóngase que A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes. Además se sabe
que P(A) = 0.30, P(B) = 0.40 y P(A Ç B) = 0.10. Se pide evaluar las mismas
probabilidades que para el ejercicio anterior.
Solución:
a)
b)
c)
d)
e)
P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.30 = 0.70
P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.40 = 0.60
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) = 0.30 + 0.40 - 0.10 = 0.60
P(A  B) = 0.10
P(A'  B') = P(A  B)'
de donde la P(A  B)' = 1 - P(A  B)
y dado que P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
entonces P(A'  B') = 1 - [0.30 + 0.40 - 0.10] = 0.40
Ejemplo No. 4.4.3.
Para el diseño de un retorno a la izquierda en una intersección de alto tránsito, se
llevo acabo un muestreo, acerca de cuantos vehículos se encontraban esperando
antes de dar vuelta y se obtuvieron los siguientes resultados producto de 600
observaciones que se realizaron.
No. Carros
0
1
2
3
4
5
6
7
No. Observaciones
40
160
200
140
30
20
10
0
Frecuencia Relativa
40/600
160/600
200/600
140/600
30/600
20/600
10/600
0
Se desea conocer:
a) La probabilidad de que haya entre 0 y 2 vehículos o entre 5 y 8 vehículos
esperando.
P(X < 2 ó X > 5) = P(0 < X < 2) + P(5 < X < 8)
= (40/600 + 160/600) + (20/600 + 10/600 + 0)
= 230/600
b) La probabilidad de que haya entre 2 y 5 vehículos o entre 4 y 6 vehículos
esperando.
P(2 < X < 5 ó 4 < X < 6) = P(2 < X < 5) + P(4 < X < 6) - P(4 < X < 5)
= (2/6 + 7/30 + 1/30 + 1/30) + (1/30 + 1/30 + 1/60) - (1/20 + 1/30)
= 29/60
4.5 Análisis combinatorio.
En algunos casos, resulta necesario contabilizar el número de elementos que son
favorables (o pertenecen) a un determinado evento, así como también determinar el
número de posibles resultados (o elementos) del espacio muestral para poder asignar
probabilidades. En la presente sección se verán tres técnicas útiles para determinar el
número de elementos de un evento A, denotado por n(A), sin necesidad de enlistar
todos los elementos.
4.5.1 Regla de la multiplicación.
Regla de la multiplicación
Si dos eventos A y B pueden ocurrir de N(A) y N(B) maneras distintas, respectivamente,
entonces el total de maneras en que pueden ocurrir ambos es N(A) x N(B).
Ejemplo No. 4.5.1
Una empresa ofrece la construcción de casas, dándole a escoger a sus clientes las
siguientes variantes:
• Casas de una planta, dos pisos o a desnivel.
• Fachada tipo I, tipo II, tipo III y tipo IV.
Si todas las variantes se pueden combinar arquitectónicamente entre sí, calcular de
cuantas formas diferentes pueden los clientes escoger su casa.
Solución:
Dado que n(A) = 3 y n(B) = 4
entonces existen R = n(A) x n(B) = 3 x 4 = 12 formas distintas de combinar
estas variantes.
4.5.2 Permutaciones.
Una permutación es un arreglo de todo un conjunto de objetos o parte del mismo en
cierto orden.
Así, se tiene que:
• El número de permutaciones de n objetos distintos es n!.
• El número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a la vez
es
nPr =
n!
(n - r)!
Ec. 4.1.
Ejemplo No. 4.5.2.1.
a) Calcular el número de ordenaciones (permutaciones) diferentes de 3 letras cada
uno, a partir de las siete letras P, U, E, R, T, O, S.
7P3 =
7! = 7 x 6 x 5 = 210
4!
b) Tomando las siete a la vez
P = n! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
Ejemplo No. 4.5.2.2
En la Facultad de Ingeniería se desea invitar a cuatro profesionistas destacados para
dar conferencias sobre el desarrollo profesional de cierta carrera que se imparte en
ella. Para ello se han separado 6 fechas tentativas para que imparta cada uno su
conferencia.
Si los conferencistas tuvieran disponibilidad en cualquiera de dichas fechas, ¿En
cuántas formas distintas se podrían programar las conferencias?
Solución:
El número total de programas posibles:
6P4 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 = 360
2!
Existen además, casos particulares de permutaciones, como se observa a
continuación.
El número de permutaciones de n elementos distintos colocados en círculo es (n -1)!
Ejemplo No. 4.5.2.3.
En una mesa de trabajo, de un evento académico se colocarán 6 personas realizando
trabajos sobre un tema, ¿En cuántas formas distintas se pueden acomodar dichas
personas?
Solución:
(n - 1)! = (6 - 1)! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas distintas.
El número de permutaciones diferentes de n elementos de los cuales n1 son de un
tipo, n2 son de un segundo tipo, ...., nk de un k-ésimo tipo, es:
nPn1, n2, ...., nk =
n!
n1! n2! ....nk!
Ec. 4.2.
Ejemplo No. 4.5.2.4.
En una exhibición de autos nuevos, cierta distribuidora tiene dos camionetas
austeras, 4 equipadas y 3 de superlujo, ¿de cuántas formas podrían acomodarse
dichas unidades?
Solución:
9!
= 1260
2! 4! 3!
4.5.3 Combinaciones.
Combinación es un arreglo de datos (o elementos) en el cual el orden no es
importante.
El número de combinaciones de n objetos distintos tomando r a la vez es:
nCr =
n!
r! (n -r)!
Ec. 4.3.
Ejemplo No. 4.5.3.1.
Calcular el número de maneras en las cuales 3 ingenieros pueden escogerse de un
total de 8 solicitudes, para cubrir las tres vacantes existentes.
8C9 =
8!
3! 5!
= 8 x 7 x 6 x 5 = 56
3! 5!
Ejemplo No. 4.5.3.2.
Un embarque contiene 25 aparatos electrónicos de los cuales 4 son defectuosos. Si se
seleccionan 6 al azar, ¿cuántas combinaciones existen de extraer 3 defectuosos y 3
buenos?
Solución:
El número de formas de seleccionar 3 defectuosos de los 4 que contiene el embarque
es:
4C3 =
4! = 4 número de formas de seleccionar.
3! 5!
4.6 Probabilidad condicional e independencia estadística.
4.6.1 Probabilidad condicional.
En algunas ocasiones se desea obtener la probabilidad de que un evento B suceda
cuando se sabe que algún otro evento A se ha presentado. En este caso se esta
hablando de una probabilidad condicional y se le denota como P(B/A). Esta expresión
se lee como "la probabilidad de que B ocurra dado que ocurrió A", o simplemente "la
probabilidad de B, dado A" y esta dada por:
P(B/A) =
P(A Ç B)
P(B)
Ec. 4.4.
Ejemplo No. 4.6.1.
En la Facultad de Ingeniería imparte un curso propedéutico para ingresar a las cuatro
carreras que ofrece. De acuerdo a una encuesta hecha entre los aspirantes, la
distribución de los mismos por carrera y por sexo es el siguiente:
Sexo
Ingenieria
Civil
Ingenieria Industrial
y de Sistemas
Mujeres
Hombres
Total
40
10
50
50
40
90
Ingeniria en
Sistemas
Computacionales
90
60
150
Ingenieria en
Produccion y
Mercadotecnia
35
20
55
Total
215
130
345
Sea: V = Todos los aspirantes varones.
M = Todas las mujeres aspirantes.
C1 = Los alumnos aspirantes a ingresar a Ingeniería Civil.
C2 = Los alumnos aspirantes a ingresar a Ingeniería Industrial y de Sistemas.
C3 = Los alumnos aspirantes a ingresar a Ingeniería en Sistemas
Computacionales.
C4 = Los alumnos aspirantes a ingresar a Ingeniería de Producción y
Mercadotecnía.
Si se selecciona al azar a uno de los aspirantes a ingresar a la Facultad de Ingeniería.
Calcular:
a) La probabilidad de que sea varón, sabiendo que desea ingresar a Ingeniería
Civil.
Como se sabe que el aspirante desea ingresar a la carrera de Ingeniería Civil, el
espacio muestral se reduce a:
Sexo
Ingenieria
Civil
Mujeres
Hombres
Total
40
10
50
De donde P(V/C1) = 40/50 = 0.80
Lo cual puede comprobar utilizando la fórmula siguiente:
P(V/C1) = P(V  C1)
P(C1)
de donde
P(V  C1) = n(V  C1) = 40
n(S)
300
y
P(C1) = n(C1) = 50
n(S) 300
y luego
P(V/C1) = 40/300 = 0.80
50/300
b) La probabilidad de que sea mujer, sabiendo que desea ingresar a la carrera de
Ingeniería en Sistemas Computacionales.
Se pide
De donde
P(M/C3) = P(M  C3)
P(C3)
P(M  C3) = n(M  C3) = 60
n(S)
300
y
P(C3) = n(C3) = 150
n(S)
300
y luego
P(M/C3) =
60/300 = 0.40
150/300
c) Cuál es la probabilidad de que el aspirante desee entrar a la carrera de Ingeniería
Industrial y de Sistemas dado que es mujer.
Se pide
De donde
P(C2/M) = P(C2  M)
P(M)
P(C2  M) = n(C2  M) = 40
n(S)
300
y
P(M) = n(M) = 110
n(S)
300
P(C2/M) =
40/300 = 0.3636
110/300
Ejemplo No. 4.6.3.
Ha surgido duda acerca de la aceptabilidad de una alcantarilla de concreto que existe
para conducir un caudal previsto. De acuerdo a los registros, el ingeniero asigna tasa
de caudal máximo anual y sus probabilidades de ocurrencia (suponiendo que es
posible un máximo de 12 p3) de la siguiente forma:
Suceso A = (5 a 10 p3) , P(A) = 0.60
Suceso B = (8 a 12 p3) , P(B) = 0.80
Suceso C = A  B ,
P(C) = 0.90
Calcular
a) P(A/B)
Solución:
b) P(B/A)
a) P(A/B) = P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) = 0.60 + 0.80 - 0.90
P(B)
P(B)
0.80
= 0.50 = 0.625
0.80
b) P(B/A) = P(B  A) = P(B) + P(A) - P(B A)
P(A)
P(A)
= 0.80 + 0.60 - 0.90
0.60
= 0.50 = 0.833
0.60
4.6.2 Eventos independientes.
La probabilidad condicional vista en la sección anterior, además de permitir calcular la
nueva probabilidad de ocurrencia de un evento, sabiendo que ya ocurrió otro
previamente, resulta de gran utilidad para introducir el concepto de independencia
estadística o eventos independientes.
Se dice que dos eventos son estadísticamente independientes si y solo si, la
ocurrencia de uno, no altera la probabilidad de ocurrencia del otro y viceversa.
En concordancia con esta definición se tiene que dos eventos A y B son
independientes, si y solo si
P(B/A) = P(B)
y
P(A/B) = P(A)
De otra forma A y B serían independientes.
Es muy importante señalar que en la práctica para saber si dos eventos son
independientes o no, basta con observar la naturaleza de los mismos y observar si el
suceso de uno puede afectar el otro.
4.6.3 Regla multiplicativa.
Al combinar la fórmula de probabilidad condicional con las de independencia
estadística se tiene que:
P(A/B) = P(A  B)
(probabilidad condicional)
P(B)
pero como
P(A/B) = P(A) (si son eventos independientes)
entonces,
P(A) = P(A  B)
P(B)
de donde al despejar la P(A Ç B) se obtiene que:
P(A B) = P(A) * P(B)
Ec. 4.5.
donde A y b son independientes.
A esta importante fórmula se le conoce como la regla de la multiplicativa.
Ejemplo No. 4.6.3.1 Enfoque clásico.
Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado y una moneda se obtenga que caiga
par en el dado y que en la moneda caiga "sello".
Solución:
P(A  B) = P(A) P(B)
P(A  B) = (3/6)(1/2) = ¼ = 0.25
Ejemplo No. 4.6.3.2 Regla de la multiplicación
Si las ocurrencias de terremotos y vientos no están relacionadas, y si, en un lugar
particular , la probabilidad de que ocurra un terremoto "moderado" durante un minuto
cualquiera es de 10-8 y la probabilidad de que ocurra un viento "fuerte" en un minuto
cualquiera es de 10-5.
a) Hallar la probabilidad de la ocurrencia conjunta de los dos sucesos en cualquier
minuto. Los reglamentos de construcción no exigen que el ingeniero diseñe el edificio
teniendo en cuenta los efectos combinados de esta carga. ¿Es esto razonable?
A = Ocurra terremoto,
B = Ocurra viento fuerte.
P(A  B) = P(A) P(B) = (10-8)(10-5) = 10-13
b) Hallar la probabilidad de la ocurrencia de uno, de otro o de ambos fenómenos
durante cualquier minuto. Para sucesos raros, es decir, sucesos con probabilidades
de ocurrencias pequeñas, el ingeniero frecuentemente supone
P(A  B)  P(A) + P(B)
P(A  B)  10-8 + 10-5 = 1.001 x 10-4
4.7 Teorema de Bayes.
En su forma algebraica más simple, el teorema de Bayes se refiere al cálculo de la
probabilidad condicional del evento A, dado que ha ocurrido un evento B. La forma
general de l teorema de Bayes es
P(A/B) = P(A  B)
P(B)
Ec. 4.6
La fórmula anterior es simplemente es una forma específica de la fórmula general para
la probabilidad condicional que se presentó en la sección 4.6. Sin embargo, la
importancia especial del teorema de Bayes consiste en que se aplica en eventos
secuenciales y, además, en que la versión del cálculo de la fórmula proporciona la
base para determinar la probabilidad condicional de un evento que a ocurrido en la
primera posición secuencial, dado que se ha observado un evento específico en la
segunda posición secuencial, dado que se ha observado un evento específico en la
segunda posición secuencial. La fórmula para el cálculo para el teorema de Bayes es
P(A/B) =
P(A) P(B/A)
P(A) P(B/A) + P(A') P(B/A)'
Ec.4.7.