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FÍSICA I
ALUMNO
PROFESOR
: CARLOS MANUEL PINTADO ALMÉSTAR
: ING. EDWARD HERRERA FARFÁN
CINEMÁTICA (MRU)
CONCEPTO DE CINEMÁTICA
Estudia las propiedades geométricas de las
trayectorias que describen los cuerpos en
movimiento mecánico, independientemente de
la masa del cuerpo y de las fuerzas aplicadas.
1 . SISTEMA DE REFERENCIA
Para describir y analizar el movimiento mecánico, es necesario
asociar al observador un sistema de coordenadas cartesianas
y un reloj (tiempo). A este conjunto se le denomina sistema
de referencia.
2. MOVIMIENTO MECÁNICO
Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto
de un sistema de referencia en el tiempo. Es decir, el
movimiento mecánico es relativo.
3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO
a) Móvil
Es el cuerpo que cambia de posición respecto de un sistema
de referencia. Si el cuerpo no cambia de posición, se dice
que está en reposo relativo.
b) Trayectoria
Es aquella línea continua que describe un móvil respecto de
un sistema de referencia. Es decir la trayectoria es relativa.
Si la trayectoria es una línea curva, el movimiento se llama
curvilíneo y si es una recta, rectilíneo.
c) Recorrido (e)
Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B).
d) Desplazamiento (d)
Es aquella magnitud vectorial que se define como el cambio
de posición que experimenta un cuerpo. Se consigue
uniendo la posición inicial con la posición final. Es
independiente de la trayectoria que sigue el móvil.
e) Distancia (d)
Es aquella magnitud escalar que se define como el módulo
del vector desplazamiento. Se cumple que:
4. MEDIDA DEL MOVIMIENTO
a) Velocidad media (Vm)
Es aquella magnitud física vectorial, que mide la rapidez del
cambio de posición que experimenta el móvil respecto de un
sistema de referencia. Se define como la relación entre el
vector desplazamiento y el intervalo de tiempo
correspondiente.
EJEMPLO:
Una mosca se traslada de la posición A (2;2) a la posición
B(5; 6) en 0,02 segundo, siguiendo la trayectoria mostrada.
Determinar la velocidad media entre A y B.
b) Rapidez Lineal (RL)
Es aquella magnitud física escalar que mide la rapidez del
cambio de posición en función del recorrido. Se define como
la relación entre el recorrido (e) y el intervalo de tiempo
correspondiente.
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
El móvil describe una trayectoria rectilínea respecto de un
sistema de referencia.
En esta forma de movimiento, la distancia y el recorrido
tienen el mismo módulo, en consecuencia el módulo de la
velocidad media y la rapidez lineal tienen el mismo valor.
6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
Es aquel tipo de movimiento que tiene como trayectoria una
línea recta, sobre el cual el móvil recorre distancias iguales en
tiempos iguales. Se caracteriza por mantener su velocidad
media constante en módulo, dirección y sentido, durante su
movimiento.
a) Velocidad (V)
Es aquella magnitud física vectorial que mide la
rapidez del cambio de posición respecto de un
sistema de referencia. En consecuencia la velocidad
tiene tres elementos: módulo, dirección y sentido. Al
módulo de la velocidad también se le llama
RAPIDEZ.
b) Desplazamiento (d)
El desplazamiento que experimenta el móvil es directamente
proporcional al tiempo transcurrido.
c) Tiempo de encuentro (Te)
Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en
sentidos opuestos, el tiempo de encuentro es:
d) Tiempo de alcance (Ta)
Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en
el mismo sentido, el tiempo de alcance es:
CINEMÁTICA (MRUV)
¿QUÉ
ES
EL
MOVIMIENTO
RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE VARIADO?
Es un movimiento mecánico que experimenta un móvil donde
la trayectoria es rectilínea y la aceleración es constante.
¿QUÉ ES LA ACELERACIÓN?
Es una magnitud vectorial que nos permite
determinar la rapidez con la que un móvil
cambia de velocidad.
EJEMPLO:
Un móvil comienza a moverse sobre una trayectoria
horizontal variando el módulo de su velocidad a razón de 4
m/s en cada 2 segundos. Hallar la aceleración.
RESOLUCIÓN:
POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA PARA EL M.R.U.V.
La posición de una partícula, que se mueve en el eje “x” en el
instante “t” es.
ECUACIONES DEL M.R.U.V.
TIPOS DE MOVIMIENTO
I. ACELERADO
– El signo (+) es para un movimiento acelerado (aumento de
velocidad).
II. DESACELERADO
– EL signo (–) es para un movimiento desacelerado
(disminución de velocidad).
OBSERVACIÓN:
Números de Galileo
EJEMPLO:
Un móvil que parte del reposo con MRUV recorre en el primer
segundo una distancia de 5m. ¿Qué distancia recorre en el cuarto
segundo?
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
Hemos expresado la posición x de un objeto como una función
del tiempo t indicando la función matemática que relacionaba
a x y a t. Luego se obtuvo su velocidad calculando la derivada
de x con respecto a t. Finalmente, se calculó la aceleración a
de un objeto derivando la velocidad con respecto al tiempo t.
Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél en el cual la
velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero (la
derivada de una constante es cero).
La función desplazamiento es la integral de la función
velocidad que en este caso es constante v ( t ) = C, por tanto
el desplazamiento será x ( t ) = xo + v . t , donde x0 será la
posición inicial del móvil
MOVIMIENTO
RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE
ACELERADO
Si un objeto se mueve con aceleración constante en una sola
dimensión ¿Existe alguna forma de ir de a a v y luego a x ?
Sí, por un proceso llamado integración. Dada la aceleración
podemos obtener la función velocidad integrando la
aceleración y dada la velocidad podemos obtener la función
desplazamiento integrando la velocidad.
La función velocidad es la integral de la aceleración a ( t ) = C
, por tanto la velocidad será v ( t ) = v0 + a . t . La función
desplazamiento es la integral de la velocidad, por tanto:
Esta es la expresión general de la posición de un objeto en
el caso del movimiento en una dimensión con aceleración
constante, donde x0 es la posición inicial del objeto.
CAÍDA LIBRE
Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo que
la resistencia del aire no afecte su movimiento,
encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos
independientemente de su tamaño, forma o composición,
caen con la misma aceleración en la misma región vecina
a la superficie de la Tierra. Esta aceleración, denotada por
el símbolo g , se llama aceleración en caída libre
Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con
movimiento hacia arriba experimentan la misma
aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de la
aceleración en caída libre varía con la latitud y con la
altitud. Hay también variaciones significativas causadas
por diferencias en la densidad local de la corteza
terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar en
esta sección.
Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un
movimiento rectilíneo con aceleración constante pueden
ser aplicadas a la caída libre, con las siguientes
variaciones:
Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y y
tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+
Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento
uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que
nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia
arriba, significa que la aceleración es negativa.
Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento
uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que
nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia
arriba, significa que la aceleración es negativa.
En la gráfica podemos observar la dirección de los vectores aceleración
y velocidad, de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba con una
velocidad inicial; en el primer instante (bola a la izquierda) notamos que
el vector velocidad apunta hacia arriba, en el sentido positivo del eje Y,
mientras el vector aceleración ( g ) tiene una dirección hacia abajo, en
el sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objeto
cae (bola a la derecha) la dirección de la velocidad es hacia abajo en el
mismo sentido del desplazamiento y el vector aceleración ( g ) mantiene
su misma dirección, en el sentido negativo del eje Y.
Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser:
a(t)=-g
v ( t ) = v0 - g
MOVIMIENTO PARABÓLICO
Llamamos movimiento parabólico a la trayectoria de un objeto
que describe un vuelo en el aire después de haber sido
lanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Si el objeto
tiene una densidad de masa suficientemente grande, los
experimentos muestran que, a menudo, podemos despreciar
la resistencia del aire y suponer que la aceleración del objeto
es debida sólo a la gravedad. Como de costumbre, vamos a
definir el eje x como horizontal y el +y en la dirección vertical
hacia arriba. En este caso la aceleración es a = -g . j ,
entonces:
Supongamos que un proyectil se lanza de forma que su
velocidad inicial v0 forme un ángulo q con el eje de las x ,
como se muestra en la figura:
Descomponiendo la velocidad inicial,
componentes iniciales de la velocidad:
obtenemos
las
Para deducir las ecuaciones del movimiento parabólico,
debemos partir del hecho de que el proyectil experimenta un
movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje x , y
uniformemente acelerado a lo largo del eje y . De esta forma
tenemos que:
Si derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleración y si
integramos obtenemos el desplazamiento:
Eliminamos el tiempo de las ecuaciones del desplazamiento x
e y , obtenemos la ecuación de la trayectoria :
y = ax2 +bx +c
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Examinaremos ahora el caso especial en que una partícula se
mueve a velocidad constante en una trayectoria circular.
Como veremos, tanto la velocidad como la aceleración son de
magnitud constante, pero ambas cambian de dirección
continuamente. Esta situación es la que se define como
movimiento circular uniforme. Para el movimiento en círculo,
la coordenada radial es fija ( r ) y el movimiento queda
descrito por una sola variable, el ángulo , que puede ser
dependiente del tiempo  (t). Supongamos que durante un
intervalo de tiempo dt, el cambio de ángulo es d.
La longitud de arco recorrida durante ese intervalo está dada
por ds = r d. Al dividir entre el intervalo de tiempo dt,
obtenemos una ecuación para la rapidez del movimiento:
De donde d/dt es la rapidez de cambio del ángulo  y se
define como la velocidad angular, se denota por  y sus
dimensiones se expresan en radianes por segundo (rad/s) en
el SI. En terminos de w, tenemos que:
v=rw
Una cantidad importante que caracteriza el movimiento
circular uniforme es el período y se define como el tiempo en
que tarda el cuerpo en dar una revolución completa, como la
distancia recorrida en una revolución es 2r, el período T es:
2r=vT
La frecuencia es el número de revoluciones que efectúa la
partícula por unidad de tiempo, por lo general es 1 segundo.
La unidad en el SI es el hertz (Hz), que se define como un
ciclo por segundo. La frecuencia es el inverso del período,
esto es:
ACELERACIÓN CENTRÍPETA
Aunque la rapidez es constante en el caso del movimiento circular
uniforme, la dirección de la velocidad cambia, por lo tanto, la
aceleración no es cero.
Sea P1 la posición de la partícula en el tiempo t1 y P2 su posición
en el tiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector tangente a la
curva en P1. La velocidad en P2 es V2, un vector tangente a la
curva en P2. Los vectores V1 y V2 tienen la misma magnitud V , ya
que la velocidad es constante, pero sus direcciones diferentes. La
longitud de la trayectoria descrita durante t es la longitud del arco
del punto P1 a P2, que es igual a r.  ( donde q esta medida en
radianes ), la velocidad es la derivada del desplazamiento con
respecto al tiempo, de esta forma: r .  = V . t
Podemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal forma que
se originen en un punto en común:
Esta figura nos permite ver claramente el cambio en la
velocidad al moverse la partícula desde P1 hasta P2 . Este
cambio es: V1 - V2 = V
Ya que la dirección de la aceleración promedio es la misma
que la de V, la dirección de a está siempre dirigida hacia el
centro del círculo o del arco circular en el que se mueve la
partícula. Para un movimiento circular uniforme, la aceleración
centrípeta es:
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO
Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe una
aceleración angular, y se define como la razón instantánea de
cambio de la velocidad angular:
Las unidades de la aceleración angular son radianes por
segundo al cuadrado. Si la aceleración angular es constante,
entonces la velocidad angular cambia linelmente con el
tiempo; es decir,
 = 0 + a t
donde w0 es la velocidad angular en t = 0. Entonces, el
ángulo está expresado por
 (t) = 0 + 0 t + ½ a t ²
EJERCICIOS
1. (15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de “A” con dirección a
“B” y el otro de “B” con dirección a “A”, cuando se encontraron había
recorrido el primer coche 36 km más que el segundo. A partir del momento
en que se encontraron. El primero tardó 1 hora en llegar a “B” y el
segundo 4 horas en llegar a “A”. Hallar la distancia entre “A” y “B”.
A 1
Durante
2 B
e1
X + 36
2
Final
(I)
e2 = V2 x T2 = X
e2
1 2
etotal = 2x + 36
e1 = V1 x T1 = X + 36
x
1
(II)
e2 = V1 x T2 = (V1) (1h)
e1 = V2 x T1 = (V2) (4h)
De la ecuación I
e 2 = X = V2 T
e1 = X + 36 = V1T
Cuando se encuentran T2 = T1 = T
V2 = X
T
V1 = X + 36
T
Reemplazando en las ecuaciones II
e2 = X = (V1) (1h) = (X + 36) (1)  X + 36 = X T  T= X + 36
T
X
e1 = X + 36 = (V2) (4h) = X (4)
T
Reemplazo III
X + 36 = ( X2 ) (4)  4 X 2 = (X + 36)2  (raíz) X = 36
X + 36
etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36 = 108 m
2. (17)
Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de
10/ms2, luego de transcurrir cierto tiempo, el móvil empieza a desacelerar
en forma constante con a = 5 m/s2 hasta detenerse, si el tiempo total
empleado es de 30 segundos. ¿Cuál es el espacio recorrido?.
V0
T1
T2
e1
Ttotal = 30 Seg
Vf
e2
T1 + T2 = 30 Seg
Para el segundo
tramo
Como T1 + T2 = 30 ….. (a)
X = e1 + e2
X
Para el primer
tramo
Vf1 = V0 ± a T1
Vf = Vi ± aT
Vf1 = 0 + (10) T1
Vf = Vf1 ± aT
Vf1= 10 T1
(I)
e1 = (V0) (T1) + 1 (10) (T1)2
2
e1 = 1 (10) (T1)2
2
3T1 = 30  T1=10
0 = 10 T1 – (5) (T2) ….
Reemplazo (I)
T2 = 2T1
T1 + (2T1) = 30 … reemplazo II en a
(II)
T2 = 20
Se cumple:
e2 = (Vf1) (T2) – 1 (5) (T2)
2
2
e2 = (10 T1) (T2) – 1 (5) (T2)2
2
reemplazo (I)
Sumando e2 y e2
e1 + e2 = 10 T1 T2 – ( 1 ) (5) T22 + 5T12
2
X = 10 (10) (20) – ( 1 ) (5) (20)2 + (5) (10)2
2
X = 1500 m
3. Una piedra lanzada en un planeta hacia arriba alcanza 100 m de altura,
mientras que lanzada en la Tierra con la misma velocidad alcanza 20 m.
¿Qué distancia recorrerá en dicho planeta una piedra soltada de 400 m
de altura en el último segundo de su caída?
Planeta X
Planeta Tierra
Vf = 0
Gravedad
Vf = 0
h
+
-
hmax = 100 m
Hmax = 20 m
V1
V1
Para la tierra:
Vf2 = V02 ± 2ge
02 = (V1) 2 - 2(g) (100) -- raiz
V1 = 20 m/s
h
(I)
Vf = V1 – gt
0 = 20 – 10 T
T = 2 Seg
---- Vi = V1
Para el planeta X:
Vf2 = V02 ± 2 ge
02 = (V1)2 - 2 (g) (100)
202 = 2(g) (100)
g = 2m/s2
1er Tramo
e = V0t + 1 gt2
2
400 – X = 0 +1 (2) (T-1)2
2
400 – X = (T-1) … (I)
Vf = V0 + gt
V1’= 0+(2) (T-1)
V1’ = 2 (T-1)
V1’ = 2 (20 – 1) = 38 m/s
Tomando el movimiento total:
e = V1 T ± 1 gt2 400=1 (2) (t)2  T = 20
2
2
(II)
V0=0
<-- 1er tramo
400-x
V 1’
X
T=1 Seg
2do Tramo
2do Tramo
e = V0 T ± 1 g t 2
2
e = V1’ (1) + 1 (2) (1)2
2
e = V1’ + 1  e=38+1= 39 m
Reemplazo V1 en h
4. (19) Un móvil recorre la trayectoria mostrada en la figura con
una rapidez constante en el tramo AB y una aceleración de
6m/s2. Con otra rapidez constante en el tramo BC y aceleración
de 5 m/s2. Hallar el tiempo que demora en el recorrido total
ABC.
Para AB
V = Cte
a = 6m/s2
r=6m
Para BC
Sabemos:
ar = v2 , donde V = velocidad lineal
r
V = Cte
a= 5m/s2
Para AB:
V2 = ar * r
VAB2 = (6) (6)
VAB = 6 m/s
Sabemos que
S=
.r
Para AB:
1)
SAB = (∏) ( 6 ) = 6 ∏
2)
SAB = e = vt  6 ∏ = VT1
6 ∏=(6)T1  T1 = ∏ Seg
Para BC:
V2 = ar * r
VBC2 = 5 * 5
VBC = 5 m/s
Para BC:
1)
SBC = (∏) (5) = 5 ∏
2)
egvT  5 ∏ = 51T1  T2 = ∏Seg
Ttotal = T1 + T2
= 2 ∏ Seg
5. (16) Hallar las velocidades “V1”, y “V2”. Si lanzadas las partículas
simultáneamente chocan como muestra la figura.
Para 1
M. Horizontal
e=VT
Para 2
10 = V1 T (I)
30 = V2 T
M. Horizontal
e=VT
(II)
En y:
Vx
H = V1T + 1 (10) T2
VY = 0
2
180 = 1 (10) T2
2
T=6
(III)
III en I y II
V1 = 10 = 5 m/s
6
3
V2 = 30 = 5 m/s
6
Vy
Vx
Vy
Vx
Vy