Download Trigonometría y ángulos

Trigonometría y ángulos
Razones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios

cos( )
sin(α)
P ( x, y)
Figura 1
Este es un círculo
unitario.
Para calcular el seno (o el coseno)
de un ángulo central agudo α en un
círculo unitario , colocamos un
triángulo recto como en la Figura 1.
El seno del ángulo α [sin(α)] es igual
a la coordenada de y de
, elP
punto de intersección de la
hipotenusa con el círculo. El
coseno del ángulo α [cos(α)] es
igual a la coordenada de x del
punto de intersección.
Razones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
P ( x, y)
y

Figura 2
Este es un círculo
unitario.
En la Figura 2, el lado terminal del
ángulo α está en el cuadrante II.
El ángulo α NO es agudo. Si
construimos un triángulo recto, el
segmento que va desde el centro
l
hasta el punto P es la hipotenusa.
Notamos que la coordenada de x
del punto P es negativa y la
l
coordenada en y es positiva. El
ángulo de la base del triángulo
recto, ya no es α, ahora es
(180 - α).
Razones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
P ( x, y)

sin(α)
y
cos(α)
Figura 3
Este es un círculo
unitario.
El ángulo (180 - α) se conoce
como un ángulo de
referencia, por que el cos(α)
es igual en magnitud al
cos(180 - α), pero hay que
l
adjudicarle el signo apropiado.
Es decir, para un ángulo en el
cuadrante II, como la
l
coordenada de x del punto
P
es negativa, el cos(α) es
negativo. Similarmente, sin(α)
es positivo.
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Para cada uno de los ángulos
mencionados, encontrar el
l
ángulo de referencia.
P ( x, y)

l
ángulo de referencia
1) 1200
2) 1350
3) 1500
Razones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios

y
P ( x, y)
Figura 4
Este es un círculo
unitario.
En la Figura 4, el lado terminal del
ángulo α está en el cuadrante III.
El ángulo α NO es agudo. Si
construimos un triángulo recto, el
segmento que va desde el centro
l
hasta el punto P es la hipotenusa.
Notamos que ambas coordenadas
del punto P son negativas. El
ángulo de la base del triángulol
recto, ya no es α, ahora es
(α-180).
Razones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios

cos α
sin α
y
P ( x, y)
Figura 5
Este es un círculo
unitario.
El cos(α) es igual en magnitud
al cos(α - 180), pero hay que
adjudicarle el signo
apropiado. Es decir, para
un ángulo en el cuadrante
III, como la coordenada de
x del punto
es negativa,P
el cos(α) es negativo.
Similarmente, sin(α) es
negativo.
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios

P ( x, y)
l
Para cada uno de los ángulos
l
mencionados, encontrar el
ángulo de referencia.
ángulo de referencia
1) 2100
2) 2250
3) 2400
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios

y
P ( x, y)
Figura 6
Este es un círculo
unitario.
En la Figura 6, el lado terminal
del ángulo α está en el cuadrante
IV. El ángulo α NO es agudo. Si
construimos un triángulo recto, el
segmento que va desde el centro
hasta el punto P es la
hipotenusa. Notamos que la
coordenada de x del punto P es
positiva y la coordenada de y es
negativa. El ángulo de la base del
triángulo recto, ya no es α, ahora
es (360-α).
Razones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios

cos α
sin x
P ( x, y)
Figura 7
Este es un círculo
unitario.
y
El cos(α) es igual en magnitud
al cos(360 - α), pero hay que
adjudicarle el signo
apropiado. Es decir, para un
ángulo en el cuadrante IV,
como la coordenada de x del
P
punto
es positiva, el
cos(α) es positivo.
Similarmente, sin(α) es
negativo.
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Para cada uno de los ángulos
mencionados, encontrar el
l
ángulo de referencia.

l
ángulo de referencia
P ( x, y)
1) 3050
2) 3150
3) 3300
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Para un ángulo arbitrario α (no necesariamente
agudo, no necesariamente en el cuadrante I, no
necesariamente en un círculo unitario), medido a
l
partir del eje de x , en contra de las manecillas del
reloj en un círculo unitario:
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Para un ángulo arbitrario α (no necesariamente
agudo, no necesariamente en el cuadrante I, no
necesariamente en un círculo unitario), medido a
partir del eje de x en contra de las manecillas dell
reloj en un círculo unitario:
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
P
2
II
P
1
I

l
P
4
P
3
III
VI
P
n
I
II
III
IV
sen 
+
+
-
-
cos 
+
-
-
+
tan 
+
-
+
-
¿Cómo completarías la tabla
¿Cómo obtuvimospara
la última
hilera de
de csc,
la tabla?
las razones
sec, y
cot?
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
II
P
2
P
1
I

P
3
III
l
P
4
VI
P
n
I
II
III
IV
sen 
+
+
-
-
cos 
+
-
-
+
tan 
+
-
+
-
csc 
+
+
-
-
sec 
+
-
+
-
cot 
+
-
-
+
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Para cada ángulo mostrado, calcule las 6
razones trigonométricas.
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Este es un círculo
unitario.
Si un ángulo arbitrario α, se
forma rotando un radio del
círculo unitario (en contra de
l
las manecillas del reloj) más
de una rotación completa,
entonces el ángulo medirá más
de 3600. Encontrar el ángulo
de referencia en estos casos
requiere dos pasos:
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Pasos:
1) eliminar las vueltas adicionales:
medida del ángulo – 360  n l
donde n es el número de vueltas
al círculo.
Este es un círculo
unitario.
[La nueva medida es la medida de
un ángulo coterminal con el
ángulo original. Angulos
coterminales tienen el mismo lado
terminal.)
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Pasos:
2) determinar el ángulo de
referencia dependiendo el
l
cuadrante en el cual cae la nueva
medida según mostramos
anteriormente.
Este es un círculo
unitario.
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Para cada uno de los ángulos
mencionados:
1) dibuje el ángulo
2)encuentre el ángulo
coterminal
3)encuentre el ángulo de
referencia.
1) 6150
2) 7200
3) 11000
l
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Para cada uno de los ángulos
mencionados:
1) encuentre dos ángulos
positivos que son coterminales con el ángulo
dado.
2)dibuje los tres ángulos
1) 300
2) 450
3) 600
l
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
P


l
P
El ángulo α se consigue
rotando un radio en
contra de las
manecillas del reloj.
El ángulo β se consigue
rotando un radio a
favor de las manecillas
l
del reloj.
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
P
y


-y
P
El punto
P y P
tienen la misma
coordenada de x. Las
l
coordenadas en y de
ambos puntos tienen
signos opuestos.
l
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
P
y


-y
P
l
El ángulo α tiene la misma
magnitud o tamaño que el
ángulo β, pero la medida
del ángulo β tiene signo
opuesto a la medida del
ángulo α.
Generalizando, si un ángulo
arbitrario, α, se forma
l
rotando un radio a favor
de las manecillas del reloj,
su medida es negativa.
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Para cada uno de los ángulos
dibujados, dé la medida del
ángulo faltante.
l
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Soluciones:
l