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Editorial Matemática
Estrategias para enfrentar las clases
del eje “Datos y Azar”
Determinar cantidad de muestras
Don Pedro quiere diseñar un pack que contenga 2 productos distintos entre un
paquete de fideos, una salsa de tomate, un paquete de queso parmesano y una
bandeja de carne. Para ello, empieza a realizar las combinaciones posibles en un
papel.
Reflexiona
Fideos y salsa
Fideos y queso
Queso y carne
Salsa y queso
¿Qué piensas acerca de las combinaciones
listadas por don Pedro? ¿Son todas las posibles?
Reflexiona
¿Cómo podrías determinar la cantidad de packs
distintos que don Pedro podría formar sin la
necesidad de listarlos? ¿Hay alguna técnica que
te ayude a determinarlo?
Determinar cantidad de muestras
Reflexiona
Supongamos que don Pedro ahora cuenta con 12 productos diferentes
y quiere hacer packs con tres de ellos, sin que un producto se repita en
un mismo pack. ¿Cuántos packs diferentes podría formar?
¿Cuál de las siguientes alternativas representa una situación idéntica a la
anterior, pero contextualizada de manera diferente?
A) ¿Cuántas muestras de tamaño 3, con reposición, pueden formarse a partir de
una población de 12 elementos idénticos?
B) ¿Cuántas muestras de tamaño 3, sin reposición, pueden formarse a partir de
una población de 12 elementos idénticos?
C) ¿Cuántas muestras de tamaño 3, sin reposición, pueden formarse a partir de
una población de 12 elementos distintos?
Determinar cantidad de muestras
Conclusiones
- Se llama muestreo aleatorio simple cuando se extrae una muestra
de un población completamente al azar, y cada elemento de esta
tiene la misma probabilidad de ser escogidos.
- Para determinar el número total de muestras extraídas son muy
útiles las técnicas de combinatorias.
- Mediante el muestreo es posible
comportamiento de una población.
inferir
respecto
al
Determinar cantidad de muestras
¿Qué técnica combinatoria es
la más adecuada para resolver
problema?
Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2017
Relación promedio medias muestrales y media
poblacional
Gonzalo, Pedro, Juan y Mario son cuatro amigos lectores de historietas de súper héroes y
deciden realizar una colección entre todos. Cada uno aporta una cantidad diferente de
historietas a la colección, de manera que
1)
2)
3)
4)
la media entre los aportes de Gonzalo, Pedro y Juan es 7.
la media entre los aportes de Pedro, Juan y Mario es 11.
la media entre los aportes de Gonzalo, Pedro y Mario es 8.
la media entre los aportes de Gonzalo, Juan y Mario es 10.
Reflexiona
¿Cuál es el promedio
entre
las
medias
muestrales presentadas
anteriormente?
Reflexiona
¿A partir de qué se calcularon las medias presentadas anteriormente?
A) A partir de todas las muestras de tamaño 3, sin reposición, que pueden
extraerse a partir de los aportes de los cuatro amigos.
B) A partir de todas las muestras de tamaño 3, con reposición, que pueden
extraerse a partir de los aportes de los cuatro amigos.
C) A partir de algunas de las muestras de tamaño 3, sin reposición, que pueden
extraerse a partir de los aportes de los cuatro amigos.
Relación promedio medias muestrales y media
poblacional
1)
2)
3)
4)
la media entre los aportes de Gonzalo, Pedro y Juan es 7.
la media entre los aportes de Pedro, Juan y Mario es 11.
la media entre los aportes de Gonzalo, Pedro y Mario es 8.
la media entre los aportes de Gonzalo, Juan y Mario es 10.
Reflexiona
Si finalmente se averigua que Gonzalo aportó con 3 historietas, Pedro con 6,
Juan con 12 y Mario con 15, ¿cuál sería la media de los aportes?
¿En cuál de los siguientes casos se puede calcular en forma exacta el promedio de
una población?
A) Si se conocen las medias de algunas muestras de un determinado tamaño.
B) Si se conocen las medias de todas las muestras de un determinado tamaño.
C) Si se conocen las medias de algunas muestras de distintos tamaños.
Relación promedio medias muestrales y media
poblacional
Conclusiones
- Al extraer muestras aleatorias de una población, bajo ciertas
condiciones, se puede inferir acerca de la media poblacional
(promedio de la población) a partir de las medias muestrales.
- Si de una población se extraen todas las muestras posibles de igual
tamaño, el promedio entre todas estas medias muestrales es igual
a la media poblacional.
Relación promedio medias muestrales y media
poblacional
¿Por qué en este
caso sí es posible
determinar la media
poblacional a partir
de medias
muestrales?
Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2016
Función de Probabilidad
¿Cómo se pueden relacionar los conceptos de función y de probabilidad?
José lanza 4 monedas simultáneamente y define la variable aleatoria X como la
cantidad de sellos obtenidos.
Reflexiona
¿Qué entiendes por variable aleatoria?
A) Es una función que asigna un valor real a cada elemento del espacio muestral de un
experimento aleatorio.
B) Es un experimento aleatorio donde la suma de las probabilidades de todos los eventos
posibles es 1.
C) Es una variable que se asigna solo a experimentos dicotómicos, es decir, que tienen
dos casos posibles: éxito o fracaso.
¿Cuántos elementos tiene el
dominio de la variable aleatoria X?
A) 8
B) 16
C) 32
¿Cuál es el recorrido de la variable
aleatoria X?
A) {1, 2, 3, 4}
B) {0, 1, 2, 3, 4}
C) {1, 2, 3, 4,…,14, 15, 16}
Función de Probabilidad
Completando las siguientes probabilidades:
P(X = 0) =
1
16
P(X = 1) =
4
16
P(X = 2) =
6
16
P(X=x)
P(X = 3) =
4
16
P(X = 4) =
1
16
Reflexiona
0,375
¿Qué se entiende por P(X = 2)?
0,25
0,0625
0
1
2
3
4
X
A) La probabilidad de que la variable
aleatoria tome exactamente el valor
2.
B) La probabilidad de que la variable
aleatoria tome un valor mayor o
igual que 2.
C) La probabilidad de que la variable
aleatoria tome un valor menor o
igual que 2.
Función de Probabilidad
Mario tiene una baraja con 5 cartas, todas de igual forma y tamaño, y de ellas 3
corresponden a la pinta diamante. Un experimento consiste en extraer dos cartas
al azar de la baraja, una tras otra y con reposición, y se define la variable aleatoria
X como el número de diamantes extraídos. ¿Cuál es el gráfico de la función de
probabilidad de X?
Reflexiona
Indica el orden de los pasos a seguir para resolver el problema anterior.
Luego, desarrolla el problema.
a) Calcular la probabilidad asociada a cada valor de X. (3)
b) Definir los valores posibles de X. (2)
c) Realizar el gráfico de función de probabilidad de X. (4)
d) Determinar los casos posibles del experimento. (1)
Función de Probabilidad
Mario tiene una baraja con 5 cartas, todas de igual forma y tamaño, y de ellas 3
corresponden a la pinta diamante. Un experimento consiste en extraer dos cartas
al azar de la baraja, una tras otra y con reposición, y se define la variable aleatoria
X como el número de diamantes extraídos. ¿Cuál es el gráfico de la función de
probabilidad de X?
Reflexiona
Comprendiendo el problema: ¿Qué situaciones son posibles dentro del experimento?
1) ¿Es posible que en las dos extracciones no salga ningún diamante? (ND, ND)
2) ¿Es posible que en las dos extracciones salga solo un diamante? Si es así, ¿cómo
influye el orden en el que se extrae? (D, ND) (ND, D)
3) ¿Es posible que en las dos extracciones salgan dos diamantes? Si es así, ¿cómo
influye el orden en el que se extraen? (D, D)
4) Definido lo anterior, ¿cuál es el dominio y el recorrido de la variable aleatoria X?
Dom(X) = {(ND, ND), (D, ND), (ND, D), (D, D)} Rec(X) = {0, 1, 2}
Función de Probabilidad
Mario tiene una baraja con 5 cartas, todas de igual forma y tamaño, y de ellas 3
corresponden a la pinta diamante. Un experimento consiste en extraer dos cartas
al azar de la baraja, una tras otra y con reposición, y se define la variable aleatoria
X como el número de diamantes extraídos. ¿Cuál es el gráfico de la función de
probabilidad de X?
Reflexiona
Elaborando un plan:
○ ¿Qué se debe calcular para cada valor de X? ¿Qué tipo de probabilidad es la más
conveniente en este caso para determinar los valores de X? (Suma de probabilidades,
producto de probabilidades, probabilidad condicional…) Se debe calcular la probabilidad
asociada. En este caso corresponde el producto de probabilidades.
○ ¿Cómo construyo el gráfico? Asociando cada valor de X con su probabilidad.
Ejecutando el plan: Desarrollar los cálculos según la estrategia anterior.
Evaluando lo respondido: Si construyes un gráfico de probabilidad, ¿cuánto deben sumar
todos los valores del recorrido? Deben sumar 1, ya que todos los casos completan 100%.
Función de Probabilidad
Conclusiones
- Una variable aleatoria asigna valores a los elementos del espacio muestral de un
experimento aleatorio. El recorrido de la variable aleatoria es igual al dominio de la
función de probabilidad asociada a esta variable.
- La función de probabilidad asociada a una variable aleatoria relaciona a cada
valor que toma la variable con la probabilidad de que esta ocurra en un
determinado experimento aleatorio.
- La suma de todas las imágenes en una función de probabilidad siempre es igual a
uno.
- Cada función de probabilidad tiene asociada una función de distribución (función
de probabilidad acumulada). El valor que toma la función de distribución para un
determinado valor de la variable aleatoria es igual a la suma de todas las imágenes
de la función de probabilidad que toman los valores menores o iguales al evaluado
en la función de distribución.
Función de Probabilidad
Si k es una constante, ¿cómo
podemos determinar su valor?
Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2017
Función de densidad
En los casos anteriores, la función de probabilidad está asociada a una variable discreta. En
el caso de una variable continua, la función de probabilidad pasa a llamarse función
densidad de probabilidad, en donde se deben calcular áreas bajo curvas (igual que en la
distribución normal). En estos casos, no se determina la probabilidad de que la variable
aleatoria tome un cierto valor, sino la probabilidad de que se encuentre dentro de un
cierto intervalo.
f(x)
2k
Reflexiona
1
4
7
X
En el gráfico adjunto, X es una variable aleatoria continua definida en el intervalo [0, 7]
con función de densidad f. En base a ello:
(1) ¿Cuál debe ser el valor del área en el intervalo [0, 7] ? 1
(2) ¿Cómo se puede plantear el área en los intervalos [0, 1], [1, 4] y [4, 7]? k, 6k y 3k
(3) ¿Cómo se puede despejar el valor de k? 10k = 1  k = 0,1
(4) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor entre 1 y 7? 6k + 3k = 9k = 9·0,1 = 0,9
Función de densidad
Conclusiones
- Cuando una muestra estadística no agrupada es muy grande, y la
variable estadística es continua, es mucho más conveniente
representar la distribución de frecuencias relativas mediante una
función de densidad.
- Al representar gráficamente una función de densidad, el área bajo
la curva siempre debe ser igual a uno, ya que bajo esta se
encuentra el 100% de los datos.
- Si se quiere conocer el porcentaje de los datos que se encuentran
en un determinado intervalo de la población, basta con calcular el
área bajo la curva en dicho intervalo. Este porcentaje está asociado
a la probabilidad de obtener al azar un elemento de la población
que se encuentre en este intervalo. La probabilidad de tomar un
elemento puntual de la población es 0.
Función de densidad
¿Qué se obtiene al
graficar esta función en
el dominio
mencionado?
¿Cómo se obtiene el valor de k
utilizando la gráfica de esta función?
Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2017
Distribución Normal
Cuando una distribución es normal cumple con la condición de que la media, la mediana y
la moda son coincidentes, es decir, la distribución es simétrica respecto a la media. Una
distribución normal tipificada es aquella en que la media es 0 y la desviación estándar es 1.
Reflexiona
En base a lo estudiado, ¿cuáles de las siguientes variables piensas que
se comportan normalmente?
1)
2)
3)
4)
La estatura de las personas de sexo femenino de Chile.
El sueldo que ganan los empleados de una empresa de retail.
La cantidad de caras al lanzar una moneda 1.000 veces.
La masa de 2.000 lechugas producidas en un huerto.
Distribución Normal
Gracias a la distribución normal tipificada se pueden simplificar ciertos cálculos de
variables que se distribuyen normalmente de forma no tipificada (media distinta de cero y
varianza distinta de uno) mediante una transformación de variables y el uso de tablas.
Es mucho más sencillo resolver algunos de estos problemas mediante la realización de
gráficos, con objeto de mejorar su comprensión.
Si X es una variable aleatoria continua que se ajusta a una distribución normal tipificada,
¿cuál es el valor de P (– 1 ≤ X ≤ 2,17)?
③
②
①
–
=
-1
2,17
2,17
④
-1
⑤
=
-1
⑥
–
1
Distribución Normal
Si X es una variable aleatoria continua que se ajusta a una distribución normal tipificada,
¿cuál es el valor de P (– 1 ≤ X ≤ 2,17)?
③
②
①
–
=
-1
2,17
2,17
④
-1
⑤
=
-1
⑥
–
1
Reflexiona
¿Qué representa el gráfico ①?
A) La probabilidad de que X sea mayor o igual que 2, 17 o menor o igual que – 1.
B) La probabilidad de que X esté entre – 1 y 2,17, incluyendo ambos valores.
C) La probabilidad de que X sea mayor o igual que – 1.
Distribución Normal
Si X es una variable aleatoria continua que se ajusta a una distribución normal tipificada,
¿cuál es el valor de P (– 1 ≤ X ≤ 2,17)?
③
②
①
–
=
-1
2,17
2,17
④
-1
⑤
=
⑥
–
-1
Reflexiona
¿Qué representa el gráfico ②?
A) La probabilidad de que X sea mayor o igual que 2,17.
B) La probabilidad de que X sea menor o igual que 2,17.
C) La probabilidad de que X sea mayor o igual que – 1.
1
Distribución Normal
Si X es una variable aleatoria continua que se ajusta a una distribución normal tipificada,
¿cuál es el valor de P (– 1 ≤ X ≤ 2,17)?
③
②
①
–
=
-1
2,17
2,17
④
-1
⑤
=
-1
⑥
–
1
Reflexiona
El gráfico ③ puede descomponerse como se presenta en ④. ¿Por qué se puede
realizar esta descomposición?
A) Porque no existen valores para X ≤ 0.
B) Porque el valor de P(X ≤ – 1) es igual al valor de P(X ≤ 1) .
C) Por simetría de la distribución normal.
Distribución Normal
Si X es una variable aleatoria continua que se ajusta a una distribución normal tipificada,
¿cuál es el valor de P (– 1 ≤ X ≤ 2,17)?
③
②
①
–
=
-1
2,17
2,17
④
-1
⑤
=
-1
⑥
–
1
Reflexiona
¿Qué gráfico representa la segunda línea de la tabla de probabilidad acumulada
adjunta?
z
P(Z ≤ z)
A) ③
1,00
0,841
B) ⑤
C) ②
2,17
0,985
Distribución Normal
Si X es una variable aleatoria continua que se ajusta a una distribución normal tipificada,
¿cuál es el valor de P (– 1 ≤ X ≤ 2,17)?
③
②
①
–
=
-1
2,17
2,17
④
-1
⑤
=
⑥
–
-1
1
Reflexiona
¿Cuál es el valor para P (– 1 ≤ X ≤ 2,17)?
A) 0,144
B) 0,826
C) 0,856
z
P(Z ≤ z)
1,00
0,841
2,17
0,985
Distribución Normal
Conclusiones
- Una herramienta útil es expresar los problemas de cálculo de probabilidad de
distribución normal mediante gráficos con objeto de facilitar su comprensión.
- El área bajo la curva de una distribución normal es uno, ya que corresponde a una
función de densidad
- La distribución normal es simétrica respecto a la media de la población, y entre
mayor desviación estándar, mayor es el “ancho” de la curva (distancia entre dos
puntos simétricos). Si la distribución es normal tipificada, la media es cero y su
desviación estándar es uno, y se denota X ~ N(0, 1). En la PSU se dispone de una
tabla de datos para algunos valores de la distribución normal tipificada.
- Si una variable aleatoria X se distribuye de manera normal, con media µ y
desviación estándar σ, X ~ N(µ, σ), se puede tipificar usando una variable Z que de
X μ
distribuya de manera normal tipificada, mediante la expresión: Z 
σ
Distribución Normal
En este caso no se conoce la
media ni la varianza. ¿Cómo se
obtiene el valor solicitado?
Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2016
Distribución Normal
¿Cómo se puede identificar la
variable aleatoria que se distribuye
de manera normal tipificada?
Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2017
Intervalos de Confianza
Una fábrica diseña clavos de un cierto largo, una farmacéutica elabora un medicamento
con una determinada concentración de un principio activo y un agricultor cosecha tomates
en su predio, ¿qué tendrán en común estas tres situaciones con la estadística? Pues que en
las tres la población es muy grande, por lo cual solo se la puede estudiar en base a una
muestra de ella. Por ejemplo, con un cierto nivel de confianza, se puede estimar que la
media se va a encontrar dentro de un cierto intervalo de confianza.
Reflexiona
¿Qué es un intervalo de confianza?
A) Es el intervalo donde siempre se encuentra la media de la población.
B) Es el intervalo donde se encuentra la desviación estándar de la población.
C) Es el intervalo donde se encuentra algún parámetro de la población, con un cierto
porcentaje de seguridad.
Intervalos de Confianza
Para determinar el intervalo de confianza donde se encuentra la media de la población es:

σ
σ 
; x  z α  
x  z  α  

1

 1 


n
n 

 2
 2
Donde n es la cantidad de datos de la muestra, σ es la desviación estándar de la población,
x es la media muestral y z(1 – α/2) es el coeficiente asociado al nivel de confianza.
Reflexiona
Se estudia el mismo parámetro en dos poblaciones P1 y P2, cuyas desviaciones estándar
son σ1 y σ2, tal que σ1 < σ2 . Se desea determinar un intervalo de confianza para estimar la
media en cada una de ellas, con el mismo nivel de confianza, y para ello se extrae en cada
una de ellas una muestra de tamaño n cuya media muestral es x. En relación a lo anterior,
es cierto que
A) El rango del intervalo de confianza para P1 es mayor que para P2.
B) El rango del intervalo de confianza para P1 es menor que para P2.
C) Ambos intervalos de confianza tienen el mismo rango.
Intervalos de Confianza
Para determinar el intervalo de confianza donde se encuentra la población es:

σ
σ 
; x  z α  
x  z  α  

1

 1 


n
n 

 2
 2
Donde n es la cantidad de datos de la muestra, σ es la desviación estándar de la población,
x es la media muestral y z(1 – α/2) es el coeficiente asociado al nivel de confianza.
Reflexiona
Pedro y Alberto son dos investigadores que desean determinar un intervalo de confianza
para la media de la masa de los tomates producidos en un huerto. Para ello, Pedro escoge
una muestra de tamaño 100 y Alberto una muestra de tamaño 200, ambas con igual
media muestral. Si ambos trabajan con la misma desviación estándar poblacional y con
un mismo nivel de confianza, posible afirmar que
A) El intervalo de confianza de Alberto tendrá un mayor rango que el de Pedro.
B) El intervalo de confianza de Alberto tendrá un menor rango que el de Pedro.
C) Ambos intervalos de confianza tendrán el mismo rango.
Intervalos de Confianza
Para determinar el intervalo de confianza donde se encuentra la población es:

σ
σ 
; x  z α  
x  z  α  

1

 1 


n
n 

 2
 2
Donde n es la cantidad de datos de la muestra, σ es la desviación estándar de la población,
x es la media muestral y z(1 – α/2) es el coeficiente asociado al nivel de confianza.
Reflexiona
María y Camila deben analizar el largo de los clavos producidos por dos máquinas. María
trabaja con un nivel de confianza del 90%, en tanto que Camila trabaja con un nivel de
confianza del 95%. Ambas trabajan con la misma desviación poblacional, con el mismo
tamaño de muestra y por coincidencia obtuvieron la misma media muestral. En relación a
la situación anterior, es FALSO afirmar que
A) El error estándar es distinto en ambos casos.
B) El intervalo de confianza de Camila es más acotado que el de María.
C) El coeficiente asociado al nivel de confianza es distinto en ambos casos.
Intervalos de Confianza
Conclusiones
- Un intervalo de confianza determina un rango dentro del cual, con un
cierto nivel de confianza, se encuentra el valor de la media de la población.
- Si de una población, que bajo una cierta variable tiene un comportamiento
normal con media μ y desviación estándar σ, se extrae una muestra de n
elementos, donde el promedio de la muestra es x , entonces el intervalo
de confianza para μ, con un nivel de confianza (1 – α), es [x – E, x + E].
σ
- E es el error, y se determina con la fórmula E  z α 
1
n
2
Intervalos de Confianza
Si Z es una variable aleatoria con
distribución normal tipificada,
¿qué valor de Z está asociado a
este nivel de confianza?
Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2016
Distribución Binomial
“Si se lanza una moneda 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3
caras?”. Durante el curso, en más de una ocasión te has enfrentado a preguntas como esta.
Es común que en su desarrollo ocuparas técnicas como el triángulo de Pascal.
Reflexiona
Respecto a la situación anterior, utilizando el triángulo de Pascal, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es FALSA?
A) Hay 2 casos en los que los cuatros lanzamientos tienen el mismo resultado.
B) En 4 casos se obtienen exactamente 3 caras.
En algunas ocasiones presentadas de otra forma.
C) En 4 casos se obtienen tres o más sellos.
La situación anterior corresponde a un experimento dicotómico, es decir, que tiene dos
opciones: cara o sello. Este concepto es aplicable a otros casos donde un experimento
puede ser un éxito o un fracaso, una pregunta en una prueba puede ser correcta o
incorrecta, o una afirmación que puede ser verdadera o falsa.
Distribución Binomial
Para la situación anterior puede determinarse mediante una distribución binomial de la
forma:
 n  k nk
P(X  k)     p  q
k 
Donde X corresponde a la variable aleatoria, k a la cantidad de éxitos esperada, n el
número de ensayos, p la probabilidad de éxito y q la probabilidad de fracaso (q = 1 – p).
Reflexiona
¿Cuál de las siguientes afirmaciones corresponde a una condición que no es obligatoria en
una distribución binomial?
A) El experimento debe ser dicotómico.
B) Los experimentos deben ser independientes entre sí.
C) El número de experimentos debe ser mayor que 10.
Distribución Binomial
La distribución binomial es fácilmente comprensible si se conoce su procedencia.
Volviendo al caso del lanzamiento de una moneda cuatro veces seguidas, se define la
variable aleatoria X como el número de caras obtenido y se pedía calcular la probabilidad
de obtener exactamente 3 caras.
Reflexiona
Según los parámetros de la distribución binomial aplicados a la situación anterior, ¿cuál
de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A) n = 4
B) p ≠ q
C) k = 3
Distribución Binomial
La distribución binomial es fácilmente comprensible si se conoce su procedencia.
Volviendo al caso del lanzamiento de una moneda cuatro veces seguidas, se define la
variable aleatoria X como el número de caras obtenido y se pedía calcular la
probabilidad de obtener exactamente 3 caras.
De antemano, se sabe que son 4 casos favorables, {C, C, C, S}, {C, C, S, C}, {C, S, C, C} y
{S, C, C, C}, entre 16 casos posibles, por ende, la probabilidad de P(X = 3) = . Luego,
según la binomial:
 4
1 1 1
3
1
P(X  3)     0,5  1  0,5  4   
8 2 4
3 
Corresponde a la cantidad de
los distintos resultados que
incluyen 3 caras en un total de
cuatro lanzamientos
Corresponde al calculo de la
probabilidad de obtener 3 caras
en un solo caso, por principio
multiplicativo
Distribución Binomial
Con lo anterior, podemos comprender el cálculo como
1 1 1 1
1




Obtener 3 caras en 4 lanzamientos:
2
2
2 
2
16


éxitos
fracaso
Pero este resultado solo corresponde al evento {C, C, C, S}. Es por ello que se multiplica por
 4
3
la combinación   para considerar todos los casos en donde se tienen 3 caras dentro de
los 4 lanzamientos.
Reflexiona
Una variable aleatoria X se distribuye de forma binomial y se tiene que
10 
4
6
P(X  4)     0,75  0,25
 4
Es correcto afirmar que
A) El experimento se realiza 10 veces.
B) La probabilidad de éxito es un 25%
C) Hay 4 casos en que la variable aleatoria toma el valor 4.
Distribución Binomial
La aplicación más importante de la distribución binomial es que simplifica los cálculos para
valores de n muy grandes. Sin embargo, en algunas ocasiones este cálculo también puede
resultar demasiado largo, como en la situación:
“Para el lanzamiento de un dado común se define la variable aleatoria X como obtener un
número múltiplo de 3. ¿cuál es la probabilidad de que en 45.000 lanzamientos se
obtengan 15.164 o menos veces un número múltiplo de 3?”
El desarrollo de esta expresión sería:
P(X ≤ 15.164) = P (X = 1) + P (X = 2) + … + P(X =15.163) + P (X = 15.164)
El cálculo es muy extenso, como podrás ver, sin embargo, es posible determinarlo
mediante otro procedimiento…
Distribución Binomial
Es posible obtener una buena aproximación para determinar la probabilidad de una
distribución binomial a través de una normal, si se cumple que:
n · p > 5 ; n(1 – p) > 5, con ello B(n, p) ~ N(np, n·p·q )
Donde la media poblacional es µ = np y la desviación estándar es σ = n·p·q
Luego, para el caso estudio:
“Para el lanzamiento de un dado común se define la variable aleatoria X como obtener un
número múltiplo de 3. ¿cuál es la probabilidad de que en 45.000 lanzamientos se
obtengan 15.164 o menos veces un número múltiplo de 3?”
Reflexiona
Pasos a seguir:
(1) Identificar n y p.
(2) Determinar µ y σ.
X μ
(3) Determinar el valor de Z, según el cambio de variable Z 
.
σ
(4) Buscar la probabilidad asociada al valor de Z y responder la pregunta planteada.
Distribución Binomial
Conclusiones
- Si un experimento aleatorio tiene dos posibles resultados (éxito o fracaso), donde
la probabilidad que ocurra ambos eventos es constante, entonces la variable
aleatoria asociada al experimento se distribuye binomialmente. Si n es el número
de repeticiones y p es la probabilidad de éxito, entonces la notación de esta
distribución es X ~ B(n, p).
- Para determinar la probabilidad de que la variable aleatoria tome un determinado
valor en una distribución binomial, se utiliza la fórmula
n
P(X  k)     pk  qn-k
k 
Donde k es el número de éxitos deseados, n es el número de repeticiones, p es la
probabilidad de éxito y q es la probabilidad de fracaso.
- Entre más veces se repite un experimento de Bernoulli (dicotómico), más se
aproxima a una distribución normal, siendo la media de esta aproximación igual a
n·p y la desviación estándar es igual a n·p·q . Es decir, X ~ B(n, p) se aproxima a
X ~ N(n·p, n·p·q )
Distribución Binomial
Para este experimento, ¿cuál
es la probabilidad de éxito de
la variable aleatoria?
Si preguntan por P(X > 1), ¿por
qué es más conveniente
calcular P(X = 1)?
Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2017
Anexo
MAPA DE RELACIÓN
ENTRE CONTENIDOS DE
DATOS Y AZAR
Datos no
tabulados
Datos no
tabulados (Básico)
Análisis, tendencia
central y posición
en tablas y gráficos
Datos tabulados no
agrupados (Básico)
Datos agrupados en
intervalos (I Medio)
Media pob dada
media muestras
Inferir media de población
a partir de media de
muestras (II Medio)
Relación media
poblac/muestras
Muestreo aleatorio
simple (I Medio)
Medidas de
dispersión
(II Medio)
Manejo de datos
Cálculo dispersión no
tabulados y tabulados
Datos
Análisis de variable
estadística
Análisis de
variable
aleatoria
Azar
Técnicas
combinatorias y
regla de Laplace
(I Medio)
Regla de
Laplace
Cálculo de
probabilidades
Probabilidad
condicional
(III Medio)
Probabilidad
condicional
Distribuciones
estadísticas y
distribución
normal (IV Medio)
Análisis de variable
aleatoria continua
(IV Medio)
Variable aleatoria y
ley de los grandes
números (II Medio)
Ley de los
grandes números
Propiedades de la suma
y el producto de
probabilidades(II Medio)
Suma y producto
de probabilidades
Tipificación,
gráfico e intervalo
de confianza
Probabilidad
distrib normal
Determinar cantidad
de muestras
Combinatoria
Análisis medidas
de dispersión
Uso triángulo
de Pascal
Cálculo de
esperanza
Variable
aleatoria
Análisis de
variable aleatoria
discreta (III Medio)
Gráfico
asociado a
v.a.discreta
Función y gráfico
variable continua
Aproximación
binomial/normal
Distribución
binomial
Función de
probabilidad
y distribución
Nombre de la presentación
Tema de la Presentación