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ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS APOL
QUINTA OLIMPIADA DE MATEMATICAS 2008
PRUEBA CLASIFICATORIA
SOLUCIÓN
1. Encontrar todos los pares de enteros positivos x, y que satisfacen la siguiente
ecuación:
2 x 2  5 y 2  11( xy  11)
Solución:
Ordenando adecuadamente:
2x2 – 11 xy + 5y2 = -121
(2x – y) (x – 5y) = -121
Como x, y son positivos podemos apreciar que (2x – y) > (x – 5y). Por tanto,
tenemos tres posibilidades:
CASO I : (2x – y) = 121; (x – 5y) = -1
CASO II : (2x – y) = 11; (x – 5y) = -11
CASO III : (2x – y) = 1; (x – 5y) = -121
Al resolver los tres sistemas de ecuaciones, solamente obtenemos soluciones
enteras en el caso III:
x = 14; y = 27
2. Hallar
Log 5 6 Si se sabe que Log100 3   y
Solución:
Log100 3  Log100 2    
Log100 6    
Log102 6    
1
Log10 6    
2
Log10 6  2   
Log100 2  
Log 610 
1
2   
1
2   
Log 6 5  Log 6 2 
Log 6 5 
Log 6 5 
Log100 2
1

Log100 6 2   

 

1
2   
Log 6 5 
1  2
2   
Log 5 6 
2   
1  2
3. Encontrar el menor número de 3 dígitos tal que su triplo esta formado
únicamente por dígitos pares.
Solución:
Denote los 3 dígitos del numero por
abc . Su triplo es igual a:
3  abc  (3a) 100  (3b) 10  3c
Obviamente, a tiene que ser por lo menos 1. Si a = 1 y nosotros queremos que el
digito
de
las
centenas
en
3  abc
sea
3b 10  3c  100 , lo que implica 10b  c 
par,
entonces
requerimos
que
100
1
 33  .
3
3
El menor número que satisface esta inecuación es 34. Entonces la solución es 134 y
su triplo es 402.
4. Calcular la suma de los cuadrados de los cien primeros términos de una
progresión aritmética, sabiendo que la suma de ellos vale -1, y que la suma de los
términos de lugar par vale +1.
Solución:
Sea la progresión a, a + d, a + 2d, ......, a + 99d, entonces tenemos que hallar:
S = a2 + (a + d)2 + (a + 2d)2 +.....+ (a + 99d)2 =100a2 + 2ad (1 + 2 + ...+ 99)
+d2 (12 + 22 +....+ 992).
  a  a  99d 50  1
Para calcular a y d resolvemos el sistema: 
 a  d  a  99d  25  1
3
149
que operado y resuelto sale: a  
; d 
50
50
El resto es fácil de calcular. Los paréntesis son progresiones de primer y segundo
orden.
1 + 2 + ...+ 99 = 4950;
El resultado final es S 
12 + 22 +....+ 992 = 328350.
14999
50
5. El ángulo A del triángulo isósceles ABC mide 2/5 de recto, siendo iguales sus
ángulos B y C. La bisectriz de su ángulo C corta al lado opuesto en el punto D.
Calcular las medidas de los ángulos del triángulo BCD. Expresar la medida a del
lado BC en función de la medida b del lado AC, sin que en la expresión aparezcan
razones trigonométricas.
Solución:
En el triángulo ABC
 BAC = 36º;  ABC =  ACB = 72º
En el triángulo CBD
 BCD = 36º;  CDB =  BDC = 72º
En el triángulo ADC
 DAC =  ACD = 72º;  ADC = 108º
A
a
Por tanto BCD y ADC son isósceles y además BCD es
semejante al ABC.
b-a
Para los lados se tiene: DC = AD = a; BD = b - a.
Expresando la proporcionalidad derivada de la semejanza
anterior:
ba a
a  a
  a 2  b 2  ab  a 2  ab  b 2  0      1  0
b b
a
b
2
y resolviendo queda
 5  1 b
a
5 1

a
b
2
2
b
D
B
a
C
Cos  Cos  a , Sen  Sen  b y a 2  b 2  0 .
Hallar el valor de Cos   
6. Si
Solución:
a 2  Cos 2  Cos 2   2CosCos
b 2  Sen 2  Sen 2   2SenSen
a 2  b 2  2  2CosCos  SenSen 
a 2  b 2  2  2Cos   
a2  b2
Cos     1 
0
2
(1)
a 2  b 2  Cos 2  Sen 2  Cos 2   Sen 2   2CosCos  SenSen 
a 2  b 2  Cos2  Cos2  2Cos   
a 2  b 2  2Cos   Cos     2Cos   
a 2  b 2  2Cos   Cos     1
a 2  b2
Cos    
1
2Cos   
(2)
Reemplazando (2) en (1):
a 2  b2
Cos     2
a  b2
7. Se considera el triángulo ABC y su circunferencia circunscrita. Si D y E son
puntos sobre el lado BC tales que AD y AE son, respectivamente, paralelas a las
tangentes en C y en B a la circunferencia circunscrita, demostrar que:
2
BE AB

2
CD AC
Solución:
A
Los triángulos ABC y ADC son semejantes pues tienen los tres
ángulos iguales ya que:
ADC = BCM = BAC (la primera igualdad por ser AC y CM
paralelas y la segunda por ser BCM ángulo semi-inscrito) y el
ángulo ACD es común.
B
Estableciendo la proporcionalidad entre sus lados, resulta:
CD AC
2

 CD  BC  AC
AC BC
D
E
1
De modo análogo los triángulos ABC y ABE son semejantes
pues:
AEB = EBM = BAC y el ángulo ABE es común.
M
Estableciendo la proporcionalidad entre sus lados, resulta:
BE AB
2

 BE  BC  AB
AB BC
 2
2
BE AB

Dividiendo las igualdades (1) y (2) se obtiene
2 .
CD AC
8. Encuentre todas las funciones f :    , tal que:
x  f xf  y   f  y   yf x
Para toda
x, y  
Solución:
Si
x  0,
 f (0)  f ( y )  yf (0)
Podemos decir que
real a.
f es una función lineal de la forma f ( x)  a  ax para algún
Insertando esto en la ecuación funcional tenemos que para toda
x, y  
C
x  a  ax(a  ay )  a  ay  y (a  ax)
x  a 2 x  a 2 xy  axy
Si
y  0,

xy  axy
x  a2 x
para toda x diferente de cero. Luego
o equivalentemente
(1  a) xy  0
a 2  1 , y por tanto:
Lo que implica que
a  1
Y podemos escribir f ( x)  x  1 .
Probando la expresión en el lado izquierdo de la ecuación funcional tenemos:
x  f xf  y   x  f xy  x  x  xy  x 1  xy 1
Probando la expresión en el lado derecho de la ecuación funcional tenemos:
f ( y)  yf x  y 1  y( x 1)  xy 1
Con lo que probamos que son iguales de ambos lados para toda x, y.
Y por tanto f ( x)  x  1 es la única solución de la ecuación funcional.