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1. Introducción
2. Casos simples de reducción del orden
3. Ecuaciones lineales homogéneas con
coeficientes constantes
4. Ecuaciones lineales no homogéneas con
coeficientes constantes
5. Ecuaciones lineales no homogéneas con
coeficientes variables
6. El método de las series de potencias
Una serie de potencias es una
serie infinita de la forma

a x  x 
n0
n
0
n
 a0  a1  x  x0   a2  x  x0  
donde a0 , a1 , a2 , ... son constantes y
x0 es un número fijo.
2
Una serie de potencias

a x  x 
n0
n
0
n
 a0  a1  x  x0   a2  x  x0  
2
es convergente en x si el límite
N
lim  an  x  x0 
N 
n0
existe y es finito.
n

Una serie de potencias
a x  x 
n0
n
n
0
 a0  a1  x  x0   a2  x  x0  
N
2
es convergente en x si el límite lim  an  x  x0  existe y es finito.
N 
n
n0
En cualquier otro caso se dice
que la serie de potencias es
divergente.

Una serie de potencias
a x  x 
n0
n
n
0
 a0  a1  x  x0   a2  x  x0  
N
2
es convergente en x si el límite lim  an  x  x0  existe y es finito.
N 
n
n0
En cualquier otro caso se dice que la serie de potencias es divergente.
Una serie puede converger para ciertos
valores de x y diverger para otros.
Si la serie de potencias

a x  x 
n0
n
0
n
 a0  a1  x  x0   a2  x  x0  
2
es convergente para toda x en el intervalo
x  x0  r
y es divergente siempre que x  x0  r ,
donde 0  r  , entonces r es llamado el radio
de convergencia de la serie de potencias.
La serie de potencias

a x  x 
n0
n
n
0
converge absolutamente en el punto x,
si la serie

 a x  x 
n0
n
converge.
0
n

  an
n0
 x  x0 
n

La serie de potencias
a x  x 
n0
n
0
n
converge
absolutamente en el punto x, si la serie


 an  x  x0    an
n0
n
n0
 x  x0 
n
converge.
Si la serie converge absolutamente, entonces
la serie también converge.
El inverso no es necesariamente cierto.
Una de las pruebas más útiles para la
convergencia absoluta de una serie de
potencias es la prueba de el cociente.
Si an  0, y si, para un valor fijo de x,
lim
n 
an 1  x  x0 
an  x  x0 
n 1
n
an 1
 x  x0 lim
 x  x0 L,
n  a
n
entonces la serie de potencias converge
absolutamente para aquellos valores de x tales
que x  x0 L  1 y diverge si x  x0 L  1.
Si x  x0 L  1, la prueba no nos da ninguna
conclusión.
Una función f  x  , definida en un intervalo I
que contiene a x0 , es analítica en el punto x0
si f  x  puede ser expresada como una serie
de potencias (su serie de Taylor)

f  x    an  x  x0 
n
n0
que tiene un radio de convergencia mayor
que cero.
•Los polinomios, el seno, el coseno y la
exponencial son analíticas en todos lados
•Sumas diferencias y productos de los
polinomios, el seno, el coseno y la
exponencial también son analíticas en todos
lados
•Cocientes de dos de estas funciones son
analíticas en todos los puntos en los cuales
el denominador no se hace cero
2
d y
dy

P
x

Q
x
y


x






2
dx
dx
d2y
dy
 P  x  Q  x y    x
2
dx
dx
Un punto x0 es llamado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coeficientes
P  x  y Q  x  , así como   x  son funciones
analíticas en x0 .
d2y
dy

P
x
   Q  x y    x
2
dx
dx
Un punto x0 es llamado un punto ordinario de la ecuación diferencial si los
coeficientes P  x  y Q  x  , así como   x  son funciones analíticas en x0 .
Es decir,

P  x    Pn  x  x0 
n
n0

Q  x    Qn  x  x0 
n
n0
y

  x    n  x  x0 
n
n0
son convergentes para x  x0  r con r  0.
d2y
dy

P
x
   Q  x y    x
2
dx
dx
Un punto x0 es llamado un punto ordinario de la ecuación diferencial si los
coeficientes P  x  y Q  x  , así como   x  son funciones analíticas en x0 .
Si un punto no es un punto ordinario,
se le llama punto singular.
y  P  x  y  Q  x  y  0
El punto x0 es un punto singular
de la ecuación diferencial si
P  x o Q  x
no son analíticas en x0 .
d2y
dy
 P  x  Q  x y    x
2
dx
dx
Un punto x0 es llamado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coeficientes
P  x  y Q  x  , así como   x  son funciones
analíticas en x0 .
Si x0 es un punto ordinario de la
ecuación diferencial lineal de segundo orden
d2y
dy
 P  x  Q  x y    x,
2
dx
dx
entonces todas las soluciones pueden ser desarrolladas
en una única forma como una serie de potencias

y  x    an  x  x0  ,
n0
n
x  x0  R
donde el radio de convergencia R  r.
Un cascarón esférico de radio R está a un
 
potencial V    V0 sin   .
2
Encontrar el campo eléctrico en el interior
2
del cascarón esférico.

E 
0
 E  0

E 
0
 E  0
 E  0
implica que existe  tal que
E  

E 
0
 E  0
  E  0 implica que existe  tal que E  


  E         
0
0

  
0
2
  0
2
más condiciones a la frontera
r̂
̂


ˆ
 x  r 
   
y


   
 z   
   
x  r sin  cos 
y  r sin  sin 
r0
0  
z  r cos
0    2
  0
2
más condiciones a la frontera
1   2  
1
 
 
1

0
r
 2
 sin 
 2 2
2
2
r r  r  r sin   
  r sin  
2
Un cascarón esférico de radio R está a un
 
potencial V    V0 sin   .
2
Encontrar el campo eléctrico en el interior
2
del cascarón esférico.
1   2  
1
 
 
1
 2
0
r
 2
 sin 
 2 2
2
2
r r  r  r sin   
  r sin  
1   2  
1
 
 
r
 2
 sin 
0
2
r r  r  r sin   
 
1   2  
1
 
 
r
 2
 sin 
0
2
r r  r  r sin   
 
  R
1   2  
1
 
 
r
 2
 sin 
0
2
r r  r  r sin   
 
  R
1   2 R  
1
 
R  
r
 2
 sin 
0
2
r r 
r  r sin   
 
 d  2 dR 
R
d 
d 
r
 2
 sin 
0
2
r dr  dr  r sin  d 
d 
1 d  2 dR 
1
d 
d 
r
 2
 sin 
0
2
r R dr  dr  r sin   d 
d 
1   2  
1
 
 
r
 2
 sin 
0
2
r r  r  r sin   
 
  R
1 d  2 dR 
1
d
r
 2
2
r R dr  dr  r sin   d
1 d  2 dR 
1
d
r

R dr  dr  sin   d
d 

 sin 
0
d 

d 

 sin 
0
d 

1   2  
1
 
 
r

sin


0




2
2
r r  r  r sin   
 
  R
1 d  2 dR 
1
d 
d 
r

 sin 
0
R dr  dr  sin   d 
d 
1   2  
1

r
 2
2
r r  r  r sin  
  R
 

 sin 
0
 

1 d  2 dR 
1
d 
d 
r

 sin 
0
R dr  dr  sin   d 
d 
1 d  2 dR 
r

R dr  dr 
1
d
sin   d
d 

 sin 
  
d 

1 d  2 dR 
r




R dr  dr 
1 d  2 dR 
r

R dr  dr 
d  2 dR 
r
  R  0
dr  dr 
2
d R
dR
r

2
r


R

0
2
dr
dr
2
1 d  2 dR 
r

R dr  dr 
d  2 dR 
r
  R  0
dr  dr 
2
d R
dR
r

2
r


R

0
2
dr
dr
2
¡¡¡Es una ecuación de Euler!!!
2
d
R
dR
2
r
 2r
 R  0
2
dr
dr
r  ez
z  ln r
dR dR dz 1 dR


dr dz dr r dz
d 2 R d  1 dR 
1 dR 1 d  dR 
1 dR 1 d  dR  dz
1 dR 1 d 2 R
 


 2 2
 2
  2
   2
2
dr
dr  r dz 
r dz r dr  dz 
r dz r dz  dz  dr
r dz r dz
dR d 2 R
dR

 2 2
 R  0
dz dz
dz
d 2 R dR

 R  0
2
dz
dz
d 2 R dR

 R  0
2
dz
dz
     0
R  c1e
R  c1e
1 1 4 
z
2
 c2e
1 1 4 
ln r
2
R  r   c1r
1  1  4

2

2
1 1 4 
z
2
 c2e
1 1 4 
ln r
2
1 1 4 
2
 c2 r
1 1 4 
2
1 d  2 dR 
r




R dr  dr 
R  r   c1r
1 1 4 
2
 c2 r
1 1 4 
2
1 d  2 dR 
r

R dr  dr 
R  r   c1r
1 1 4 
2
 c2 r
1
1
1.5
0.5
1.0
1.0
1.5
0.5
2.0
1
1
2
3
4
5
2.5
0.5
1 1 4 
2
2
3
4
5
Un cascarón esférico de radio R está a un
 
potencial V    V0 sin   .
2
Encontrar el campo eléctrico en el interior
2
del cascarón esférico.
  0
2
1   2  
1
 
 
r
 2
 sin 
0
2
r r  r  r sin   
 
1   2  
1

r
 2
2
r r  r  r sin  
  R
 

 sin 
0
 

1 d  2 dR 
1
d 
d 
r

 sin 
0
R dr  dr  sin   d 
d 
1 d  2 dR 
r

R dr  dr 
1
d
sin   d
d 

 sin 
  
d 

d 
1 1 d 
  0
 sin 
d 
 sin  d 
1 1 d 
d 
 sin 
  0
 sin  d 
d 
Esta ecuación puede ser llevada
a una forma conocida mediante
el cambio de variable
x  cos 
Por tanto, debemos de buscar
la validez de la solución para
1  x  1
1 1 d 
d 
 sin 
  0
 sin  d 
d 
x  cos 
d   x
d x
1  x  dx2  2 x dx    x   0
2
2
1 1 d 
d 
 sin 
  0
 sin  d 
d 
Haciendo el cambio de variable x  cos tenemos
d  d  dx

d dx d
como
dx
  sin 
d
entonces
d
d
  sin 
d
dx
1 1 d 
d 
 sin 
  0
 sin  d 
d 
d  d  dx
d
x  cos  

  sin 
d
dx d
dx
d
d
d
2
2
2 d
sin 
  sin 
  1  cos  
  1  x 
d
dx
dx
dx
1 1 d 
d 
 sin 
  0
 sin  d 
d 
d
d
x  cos  
  sin 
d
dx
d
2 d
sin 
  1  x 
d
dx
d 
d  d 
d   dx
d 
2 d 
 sin 
   sin 
   sin    1  x  
d 
d  dx 
d  d
dx 
dx 
1 1 d 
d 
 sin 
  0
 sin  d 
d 
d
d
x  cos  
  sin 
d
dx
d
2 d
sin 
  1  x 
d
dx
d
d
d 
d 

2 d 
 1  x 
 sin 
   sin 

d 
dx 
dx 

1
d 
d  1 d 
2 d 
1

x


 sin 



 sin  d 
d   dx 
dx 
1 1 d 
d 
 sin 
  0
 sin  d 
d 
d
d
x  cos  
  sin 
d
dx
d
2 d
sin 
  1  x 
d
dx
d 
d 
d 
2 d 
 1  x 
 sin 
   sin 

d 
d 
dx 
dx 
1
d 
d  1 d 
2 d 
1 x 

 sin 


 sin  d 
d   dx 
dx 
1
d 
d  1 d 
2 d 
1 x 

 sin 


 sin  d 
d   dx 
dx 
1
d 
d  1 d 
2 d 
1 x 

 sin 


 sin  d 
d   dx 
dx 
La ecuación queda ahora
1 d 
2 d 
1

x







 dx 
dx 
ó bien
d 
2 d 
1

x




0




dx 
dx 
d 
2 d 
1

x




0




dx 
dx 
d   x
d x
1  x  dx 2  2 x dx    x   0
2
2
1 1 d 
d 
 sin 
  0
 sin  d 
d 
x  cos 
d   x
d x
1  x  dx2  2 x dx    x   0
2
2
d   x
d x
1  x  dx 2  2 x dx    x   0
Esta ecuación es la ecuación de Legendre.
2
2
Differential Equations. Linear, Nonlinear, Ordinary, Partial.
A.C. King, J. Billingham and S.R. Otto
Sección 2.7 The Associated Legendre Equation
Página 52 (65).
Arfken
Mathematical methods in the physical sciences. Second edition. Mary L. Boas
2
d y
dy
1  x  dx2  2 x dx   y  0
2
2
d y
dy
1  x  dx 2  2 x dx   y  0
2
d y
2 x dy



y

0
2
2
2
dx 1  x dx 1  x
2
2
d y
dy
1  x  dx 2  2 x dx   y  0
2
d y
2 x dy



y0
2
2
2
dx 1  x dx 1  x
2


n
1
2
2 n 1
2 x
 2 x   x   2 x
para x  1
2
1 x
n 0
n 0


n

2
2n


x


x
para x  1




2
1 x
n 0
n 0
Por lo tanto, x  0 es un punto ordinario
d y
2 x dy



y

0
2
2
2
dx
dx
1 x
1 x
2
Los únicos puntos singulares son x  1.
Por lo tanto, podemos resolver
la ecuación con series alrededor
de x  0, ya que x  0 es un punto
ordinario.
2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx   y  0
Por tanto, existe una única solución que se puede escribir como

y ( x )   an x n .
n 0
Tenemos
2

dy 
d
y
n2
  nan x n 1
y

n
n

1
a
x
  n

2
dx n 0
dx
n 0
y sustituyendo en la ecuación diferencial,

1  x   n  n  1 a x
2
n 0
n
n2

 2 x  nan x
n 0
n 1

   an x  0
n
n 0
2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx   y  0
1  x

2
  n  n  1 an x
n 0
n2

 2 x  nan x
n 1
n 0

   an x n  0
n 0




n 0
n 0
n 0
n 0
n2
n
n
n
n
n

1
a
x

n
n

1
a
x

2
na
x


a
x
  n
  n  n
 n 0
2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx   y  0

1  x   n  n  1 a x
2
n
n 0

 n  n  1 an x
n 0
n2
n2

 2 x  nan x
n 0

n 1

   an x n  0
n 0


  n  n  1 an x  2 nan x    an x n  0
n
n 0
n
n 0


n 0
m0
n 0
n2m
n2
m
n
n

1
a
x

(
m

2)
m

1
a
x






n
m2
Regresando a la variable original


n 0
n 0
n2
n
n
n

1
a
x


(
n

2)
n

1
a
x
  n2
  n

y ahora




n 0
n 0
n 0
n 0
n
n
n
n
(
n

2)
n

1
a
x

n
n

1
a
x

2
na
x


a
x
  n2    n

 n
 n 0
d2y
dy
1  x  dx 2  2 x dx   y  0
2




n
(
n

2)
n

1
a
x

n
n

1
a
x

2
na
x


a
x






 n
 n 0
n2
n
n
n 0
n
n 0

  n  2  n  1 a
n 0
n
n 0
n0
 n  n  1 an  2nan   an  x  0
n
n2
Por lo tanto,
 n  2  n  1 an 2  n  n  1 an  2nan   an  0
ó bien
an  2
2
n  n  1  2n  
n n

an 
an
 n  2  n  1
 n  2  n  1
an  2
n2  n  

an ; n  0,1, 2,3,
 n  2  n  1
Los primeros coeficientes, a0 y a1 , son arbitrarios.
Los siguientes

a2   a0
2
2
a3 
a1
6
6
a4 
a2
12
...
an  2
n2  n  

an
 n  2  n  1
n  0,1, 2,3,

 a0
2
1 
(  ) a1
3 6
(


2
) a0
4 24
1 7  2
( 

) a1
5 60 120
 13 2  3
( 

) a0
6 360 720
1 37 11 2
3
( 


) a1
7 420 1260 5040
 101 2 17 3
4
( 


) a0
8 3360 10080 40320
1 533 727 2
5 3
4
( 



) a1
9 7560 90720 18144 362880
an  2
n2  n  

an ; n  0,1, 2,3,
 n  2  n  1

(

 a0
2

2
)a0
4 24
 13 2  3
( 

)a0
6 360 720
 101 2 17 3
4
( 


)a0
8 3360 10080 40320
 641 2 509 3
4
5
( 



)a0
10 25200 302400 25920 3628800
 7303 2 31841 3
5377 4
5 5
6
( 




)a0
12 332640 19958400 119750400 9580032 479001600
an  2
n2  n  

an ; n  0,1, 2,3,
 n  2  n  1
1 
(  )a1
3 6
1 7  2
(  
)a1
5 60 120
1 37 11 2  3
( 


)a1
7 420 1260 5040
1 533 727 2 5 3
4
( 



)a1
9 7560 90720 18144 362880
1 1627 11971 2 2977 3
19 4
5
( 




)a1
11 27720 1663200 9979200 3991680 39916800
1 18107 17477 2 15493 3
1321 4
23 5
6
( 





)a1
13 360360 2702700 51891840 222393600 444787200 6227020800
an  2
n2  n  

an ; n  0,1, 2,3,
 n  2  n  1
En general, para k  1, 2, 3,... tenemos
k

1



   (2k  2)(2k  1) a0

 2k ! j 1
k
a2 k
y
k
(1)

   2k (2k  1) a1

 2k  1! j 1
k
a2 k 1
2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx   y  0
Tenemos entonces dos soluciones
k

1


2k
u ( x)  1  
  (2 j  2)(2 j  1) x

k 1  2k  ! j 1

k
y
k
(1)
2 k 1
v( x)  x  
  2 j (2 j  1) x

k 1  2k  1 ! j 1

k
Si an  0, y si, para un valor fijo de x,
lim
n 
an 1  x  x0 
an  x  x0 
n 1
n
an 1
 x  x0 lim
 x  x0 L,
n  a
n
entonces la serie de potencias converge
absolutamente para aquellos valores de x tales
que x  x0 L  1 y diverge si x  x0 L  1.
Si x  x0 L  1, la prueba no nos da ninguna
conclusión.
an  2
n2  n  

an ; n  0,1, 2,3,
 n  2  n  1
4n  2n  

a2 n ; n  0,1, 2, 3,
 2n  2  2n  1
2
a2 n  2
T2 n  2
4n 2  2n   x 2 n  2
2

 x
2
2n
T2 n
4n  6n  2 x
Por lo tanto,
si x  1 la serie es absolutamente convergente,
si x  1 no podemos concluir nada.
an  2
n2  n  

an ; n  0,1, 2,3,
 n  2  n  1
2n  1   2n  1  

a2 n 3 
a2 n 1
  2n  1  2    2n  1  1
2
; n  0,1, 2,3,
T2 n 3
2  6n  4n 2   x 2 n  3
2

 x
2
2 n 1
T2 n 1
6  10n  4n x
Por lo tanto,
si x  1 la serie es absolutamente convergente,
si x  1 no podemos concluir nada.
2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx   y  0
Tenemos entonces dos soluciones
k

1


2k
u ( x)  1  
  (2 j  2)(2 j  1) x

k 1  2k  ! j 1

k
y
k
(1)
2 k 1
v( x)  x  
  2 j (2 j  1) x

k 1  2k  1 ! j 1

k
2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx  0
 0
Tenemos entonces dos soluciones
1 k

2k
u ( x)  1  

(2
j

2)(2
j

1)
x
1



k 1  2k  ! j 1

k
y

(1) k k
(1) k
k
2 k 1
2 k 1
v( x)  x  

2
j
(
2
j

1)
x

x


1
(2
k
)!
x






2
k

1
!
 j 1
k 1 
k 1  2 k  1 !


x 2 k 1
x 2 k 1
 x

 arctanh  x 
k 1 2k  1
k  0 2k  1

2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx   y  0 ;   0 arctanh  1  
u ( x)  1 ;
v  x   arctanh  x 
3
2
1
1.0
0.5
0.5
1
2
3
1.0
Si para n muy grande
un
h B n
 1  2
un 1
n
n
donde B  n  está acotada para
n suficientemente grande,
entonces
u
n
converge para
h  1 y diverge para h  1.
an  2
a2 n  2
n2  n  

an ; n  0,1, 2,3,
 n  2  n  1
4n 2  2n  

a2 n ; n  0,1, 2,3,
 2n  2  2n  1
x 1
T2 n  2 4n 2  2n   x 2 n  2

T2 n
4n 2  6n  2 x 2 n
T2 n
4n 2  6n  2
1 B n
n (1  n)
 2
 1  2 ; B n 
T2 n  2 4n  2n  
n
n
2n  4n 2  
lim B  n  
n 

4
Por lo tanto, si la serie no se corta, diverge en x  1.
an  2
n2  n  

an ; n  0,1, 2,3,
 n  2  n  1
2n  1   2n  1  

a2 n 3 
a2 n 1
  2n  1  2    2n  1  1
x 1
2
; n  0,1, 2,3,
T2 n 3 2  6n  4n 2   x 2 n 3

T2 n 1
6  10n  4n 2 x 2 n 1
T2 n 1
6  10n  4n 2
1 B n

 1  2 ;
2
T2 n 3 2  6n  4n  
n
n
n(1  n)(2   )
B n 
2  6n  4n 2  
 2
lim B  n  
n 
4
Por lo tanto, si la serie no se corta, diverge en x  1.
2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx   y  0
1

2
x 1 4
1 6
u ( x)  1 
 x (6   ) 
x (6   )(20   )
2
24
720
x8 (6   )(20   )(42   )

 ...
40320
2
y
1 3
1 5
v( x)  x  x (2   ) 
x (2   )(12   )
6
120
x 7 (2   )(12   )(30   )

 ...
5040
2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx   y  0
2
4
6
8
10
x
x
x
x
u ( x)  1  x 2    
3 5 7
9
12
14
16
18
20
22
x
x
x
x
x
x






 ...  1  x arctanh  x 
11 13 15 17 19 21
y
v( x)  x
n n

an ; n  0,1, 2,3,
 n  2  n  1
2
an  2
La constante  tiene que ser tal que n  n    0
2
La constante  tiene que ser   l  l  1
donde l es un entero positivo.
No se consideran los negativos, porque para  l  1
encontramos la misma  :  l  1 l  1  1  l  l  1
2
d y
dy
1  x  dx2  2 x dx  l  l  1 y  0 an2
2
n 2  n  l  l  1

an ; l  0,1, 2,3,
 n  2  n  1
Tenemos entonces dos soluciones
k

1


2k
u ( x)  1  
l  l  1  (2 j  2)(2 j  1)  x

k 1  2k  ! j 1

k
y
(1) k k
2 k 1
v( x)  x  
l  l  1  2 j (2 j  1)  x

k 1  2k  1 ! j 1

2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx  l  l  1 y  0
4
6
8
10
l 1
x
x
x x
u ( x)  1  x    
3 5 7
9
x12 x14 x16 x18 x 20 x 22






 ...  1  x arctanh  x 
11 13 15 17 19 21
2
y
v( x)  x
2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx  l  l  1 y  0
l2
u ( x)  1  3 x 2
y
2 x 3 x 5 4 x 7 5 x 9 2 x11
v( x)  x 
 


3
5 35 63
33
7 x13 8 x15 3 x17 10 x19




 ...
143 195 85
323
2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx  l  l  1 y  0
6
8
l 3
10
4 x 3x 2 x
u ( x)  1  6 x  3 x 


5
7
7
7 x12 24 x14 9 x16 2 x18 33 x 20





 ...
33
143
65
17
323
2
y
5 x3
v( x)  x 
3
4
2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx  l  l  1 y  0
l4
4
35
x
u ( x)  1  10 x 2 
3
y
5
7
9
11
13
6
x
2
x
x
x
28
x
v( x)  x  3x 3 

 

5
7
7 11 429
15
17
19
21
36 x
9x
11x
66 x




 ...
715 221 323 2261
2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx  l  l  1 y  0
l 1
Algo
l2
1  3x
l 3
l4
l 5
x
2
Algo
5x
x
3
Algo
35 x
1  10 x 
3
2
3
4
Algo
3
Algo
14 x 21x
x

3
5
5
2
d
y
dy
2
1

x

2
x
 l  l  1 y  0

 dx 2
dx
1 k

2k
u ( x)  1  
l
l

1

(2
j

2)(2
j

1)
x







2
k
!


k 1
j 1

k
k
(1) k
v( x)  x  
l  l  1  2 j (2 j  1)  x 2 k 1

k 1  2 k  1 ! j 1

1. Si l no es un entero positivo, tenemos dos
series infinitas que convergen para x  1.
2. Si l es un entero positivo, una de las dos series
infinitas termina para dar un simple polinómio.
2
d
y
dy
2
1

x

2
x
 l  l  1 y  0

 dx 2
dx
1 k

2k
u ( x)  1  
l
l

1

(2
j

2)(2
j

1)
x







2
k
!


k 1
j 1

k
k
(1) k
v( x)  x  
l  l  1  2 j (2 j  1)  x 2 k 1

k 1  2 k  1 ! j 1

El polinomio de Legendre Pn  x 
se define como la solución polinomial
de la ecuación de Legendre con l  n,
que también satisface la condición
Pn 1  1.
d2y
dy
1  x  dx 2  2 x dx  l  l  1 y  0
2
1 k

2k
u ( x)  1  
l
l

1

(2
j

2)(2
j

1)
x






k 1  2 k  ! j 1

k
k
( 1) k
v( x)  x  
l  l  1  2 j (2 j  1)  x 2 k 1

k 1  2 k  1 ! j 1

Escribiendo la solución y  x   APl  x   BQl  x 
ul  x 
se tiene que Pl  x  
para l par,
ul 1
vl  x 
y Pn  x  
para l impar.
vl 1
Ql  x  es una serie infinita que converge para x  1.
d2y
dy
1  x  dx 2  2 x dx  l  l  1 y  0
2
1 k

2k
u ( x)  1  
l
l

1

(2
j

2)(2
j

1)
x






k 1  2 k  ! j 1

k
k
(1) k
v( x)  x  
l  l  1  2 j (2 j  1)  x 2 k 1

k 1  2 k  1 ! j 1

P0  x   1
d2y
dy
1  x  dx 2  2 x dx  l  l  1 y  0
2
1 k

2k
u ( x)  1  
l
l

1

(2
j

2)(2
j

1)
x






k 1  2 k  ! j 1

k
k
(1) k
v( x)  x  
l  l  1  2 j (2 j  1)  x 2 k 1

k 1  2 k  1 ! j 1

P1  x   x
d2y
dy
1  x  dx 2  2 x dx  l  l  1 y  0
2
1 k

2k
u ( x)  1  
l
l

1

(2
j

2)(2
j

1)
x






k 1  2 k  ! j 1
k

k
(1) k
v( x)  x  
l  l  1  2 j (2 j  1)  x 2 k 1

k 1  2 k  1 ! j 1

l  1 l 2
2  1 2 2


2
u2  x   1   1
x  1
x  1  3x
2
 2 !
u2  x  1  2
1

1
P2  x    3 x 2  1
2
d2y
dy
1  x  dx 2  2 x dx  l  l  1 y  0
2
1 k

2k
u ( x)  1  
l
l

1

(2
j

2)(2
j

1)
x






k 1  2 k  ! j 1

k
k
(1) k
v( x)  x  
l  l  1  2 j (2 j  1)  x 2 k 1

k 1  2 k  1 ! j 1

v3  x   x   1
1
 l  2  l  1 x3  x   3  2  3  1 x3  x  5 x3
2
v3  x  1  
3

1
3
P3  x    5 x  3x 
2
3!
3!
3
Los polinomios Pn  x  son los
polinomios de Legendre
y puede ser escritos como
2n  2r  ! x

Pn  x     1 n
2 r ! n  r  ! n  2r  !
r 0
 n /2
n2 r
r
1
x
1
(1  3 x 2 )
2
1
(3 x  5 x 3 )
2
1
(3  30 x 2  35 x 4 )
8
1
(15 x  70 x 3  63 x 5 )
8
1
(5  105 x 2  315 x 4  231x 6 )
16
1
(35 x  315 x 3  693 x 5  429 x 7 )
16
1
(35  1260 x 2  6930 x 4  12012 x 6  6435 x8 )
128
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1.0
0.5
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5
1.0
0.5
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1.0
1.0
0.5
0.2
0.4
1.0
1.0
0.5
0.2
0.4
0.5
1.0
1
1
P0  x   1, Q0  x   ln( x  1)  ln(1  x)
2
2
2.0
2
1.5
1
1.0
, 1.0
0.5
0.5
1
0.5
2
1.0
0.5
0.5
1.0
3
1.0
1
1

P1  x   x, Q1  x   x  ln( x  1)  ln(1  x)   1
2
2

1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5
0.5
1.0
,
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
1.0
1
1
3x
2
2
P2  x    3 x  1 , Q2  x    3 x  1  ln( x  1)  ln(1  x)  
2
4
2
3
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1.0
0.5
0.2
0.4
2
1
,
0.5
1.0
1.0
0.5
1
2
3
0.5
1.0
2
1
5
x
1
2
P3  x    5 x 3  3 x  , Q3  x   
 x  3  5 x 2   ln( x  1)  ln(1  x)  
2
2
4
3
1.0
2.5
2.0
0.5
1.0
0.5
1.5
0.5
1.0
1.0
0.5
,
0.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
1
35 x 3 1
55 x
4
2
P4  x    35 x  30 x  3 , Q4  x   
  35 x 4  30 x 2  3  ln( x  1)  ln(1  x)  
8
8
16
24
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1.0
0.5
0.2
0.4
2
1
,
0.5
1.0
1.0
0.5
0.5
1
2
1.0
P3/2  x  , Q3/2  x 
3
1.5
2
1.0
,
0.5
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
1
1.0
0.5
0.5
1.0
P5/9  x  , Q5/9  x 
1.0
1.5
0.5
1.0
0.5
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0,
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5
1.0
¿Para l entero positivo, una vez que tenemos
el polinomio cómo encontramos la otra
solución?
1
1
P0  x   1, Q0  x   ln( x  1)  ln(1  x)
2
2
1
1

P1  x   x, Q1  x   x  ln( x  1)  ln(1  x)   1
2
2

1
1
3x
2
2
P2  x    3 x  1 , Q2  x    3 x  1  ln( x  1)  ln(1  x)  
2
4
2
Resolver la ecuación
2
d y
dy
 b  x  c  x y  0
2
dx
dx
cuando se conoce una solución
y1  x 
de la ecuación homogénea asociada.

 c1

 
y  x   y1  x    2
exp    b   d   d   c2 y1  x 
y


 
1
x0 
 

x
2
d
y
dy
2
1  x  dx 2  2 x dx  l  l  1 y  0
x
 1
 
 
y2  x   y1  x    2
exp    b   d   d 
 y1   

 
 1
1 
y2  x   y1  x    2
d 
2
 y1      1 
x
1
1
P0  x   1, Q0  x   ln( x  1)  ln(1  x)
2
2
x
P1  x   x, Q1  x    ln( x  1)  ln(1  x)   1
2
1
1
3x
2
2
P2  x    3 x  1 , Q2  x    3 x  1  ln( x  1)  ln(1  x)  
2
4
2
1 1 d 
d 
 sin 
  l  l  1  0
 sin  d 
d 
Pl  cos  
2l  2r  ! x

Pl  x     1 l
2 r ! l  r  ! l  2r  !
r 0
l /2
l 2r
r
Un cascarón esférico de radio R está a un
 
potencial V    V0 sin   .
2
Encontrar el campo eléctrico en el interior
2
del cascarón esférico.
  0
2
1   2  
1
 
 
r
 2
 sin 
0
2
r r  r  r sin   
 
1   2  
1

r
 2
2
r r  r  r sin  
  R
 

 sin 
0
 

1 d  2 dR 
1
d 
d 
r

 sin 
0
R dr  dr  sin   d 
d 
1 d  2 dR 
r

R dr  dr 
1
d
sin   d
d 

 sin 
  
d 

1 d  2 dR 
r

R dr  dr 
R  r   c1r
1 1 4 
2
  l  l  1
 c2 r
1 1 4 
2
l  0,1, 2,3,...
R  r   c1r  c2
1
l
r
l 1
 0
2
1   2  
1
 
 
r
 2
 sin 
0
2
r r  r  r sin   
 

Bl 

l
  r ,      Al r  l 1  Pl  cos  
r 
l 0 
 
Un cascarón esférico de radio R está a un potencial V    V0 sin   .
2
Encontrar el campo eléctrico en el interior del cascarón esférico.
2
1   2 
r
2
r r  r
1
 



sin

 2


 r sin   

  0 más condiciones a la frontera.


 l Bl 
  r ,     Al r  l 1  Pl  cos   más condiciones a la frontera.
r 
l 0 
Para que el potencial sea finito en r  0,
necesariamente Bl  0 para todo l  0,1, 2,...

  r ,     Al r Pl  cos  
l
l 0
 
Un cascarón esférico de radio R está a un potencial V    V0 sin   .
2
Encontrar el campo eléctrico en el interior del cascarón esférico.
2
1   2  
1
 
 
r

sin


 2

0
2
r r  r  r sin   
 

  r ,    Al r l Pl  cos  
l 0

  R,     Al R Pl  cos    V  
l
l 0

  R,     Al R l Pl  cos    V  
l 0

l
A
R
 l Pl  cos  Pl '  cos   sin   V   Pl '  cos   sin 
l 0
 

0 l 0
0
l
A
R
  l Pl  cos  Pl '  cos   sin  d   V   Pl '  cos   sin  d



l 0
0
0
l
A
R
 l  Pl  cos   Pl '  cos   sin  d   V   Pl '  cos   sin  d
1
2
P
x
P
x
dx






m
n
m,n
1
2n  1
l'l
 0

0 Pl  cos   Pl '  cos   sin  d   2 l '  l
 2l  1
2

 l ,l '
2l  1


  R,     Al R l Pl  cos    V  
l 0



l 0
0
0
l
A
R
 l  Pl  cos   Pl '  cos   sin  d   V   Pl '  cos   sin  d


2
l
Al R
 l ,l '   V   Pl '  cos   sin  d

2l  1
l 0
0

2
l'
Al ' R
  V   Pl '  cos   sin  d
2l ' 1 0

2l  1
Al 
V   Pl  cos   sin  d
l 
2R 0
 
Un cascarón esférico de radio R está a un potencial V    V0 sin 2   .
2
Encontrar el campo eléctrico en el interior del cascarón esférico.
1   2  
1
 
 
r
 2
 sin 
0
2
r r  r  r sin   
 

  r ,    Al r l Pl  cos  
l 0

2l  1
Al 
V   Pl  cos   sin  d
l 
2R 0

2l  1
2  
Al  V0
sin   Pl  cos   sin  d
l 
2R 0
2

2l  1
2  
Al  V0
sin   Pl  cos   sin  d
l 
2R 0
2
   1  cos  1
sin   
  P0  cos    P1  cos   
2
2
2
2

2l  1 1
 P cos    P1  cos    Pl  cos   sin  d
Al  V0
l   0
2R 0 2




2l  1
 V0
P cos   Pl  cos   sin  d   P1  cos   Pl  cos   sin  d 
l  0 
4R  0
0

1
2
P
x
P
x
dx






m
n
m,n
1
2n  1
l'l
 0

0 Pl  cos   Pl '  cos   sin  d   2 l '  l
 2l  1
2

 l ,l '
2l  1


2l  1
2  
Al  V0
sin   Pl  cos   sin  d
l 
2R 0
2

2l  1 1
 P0  cos    P1  cos    Pl  cos   sin  d
Al  V0
l 
2R 0 2



2l  1 
 V0
P cos   Pl  cos   sin  d   P1  cos   Pl  cos   sin  d 
l  0 
4R  0
0

2l  1 
2 
 V0
2 l 0   l1 
l 
4R 
3 
V0
A0 
2
V0
A1  
2R
 
Un cascarón esférico de radio R está a un potencial V    V0 sin   .
2
Encontrar el campo eléctrico en el interior del cascarón esférico.
2
1   2 
r
2
r r  r
1
 


 2
 sin 

 r sin   

0


  r ,    Al r l Pl  cos  
l 0
V0
A0 
2
V0
A1  
2R
V0 V0
  r ,   
r cos 
2 2R
 
Un cascarón esférico de radio R está a un potencial V    V0 sin   .
2
Encontrar el campo eléctrico en el interior del cascarón esférico.
2
1   2 
r
2
r r  r
1
 


 2
 sin 

 r sin   
V0
  r ,  
2

0

 r cos  
1 

R 


E 
0
 E  0
 E  0
implica que existe  tal que
E  
E  
V0
  r ,  
2
 r cos  
1 

R


f
1 f
1 f
f  r ,  ,   
eˆr 
eˆ 
eˆ
r
r 
r sin  
V0
E    r ,    
2
 cos 

R

V0
E
 cos  eˆr  sin  eˆ 
2R
V0 1  r sin 

 eˆr 

2 r R


 eˆ

E  
V0  r cos  
  r ,   1 

2
R 
V0
E
 cos  eˆr  sin  eˆ 
2R
eˆr  cos  sin  iˆ  sin  sin  ˆj  cos  kˆ
eˆ  cos  cos  iˆ  cos  sin  ˆj  sin  kˆ




E
V0 
cos  cos  sin  iˆ  sin  sin  ˆj  cos  kˆ  sin  cos  cos  iˆ  cos  sin  ˆj  sin  kˆ 

2R 
E
V0
cos  cos  sin  iˆ  cos  sin  sin  ˆj  cos 2  kˆ  sin  cos  cos  iˆ  sin  cos  sin  ˆj  sin 2  kˆ
2R
E
V0 ˆ
k
2R


V0 ˆ
E  r ,  
k
2R
5
0
5
5
0
5
0
5
5
 
Un cascarón esférico de radio R está a un potencial V    V0 sin   .
2
Encontrar el campo eléctrico en el interior del cascarón esférico.
2
V0 ˆ
E  r ,  
k
2R
5
0
5
5
0
5
0
5
5