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BLOQUE 8: Aplica las leyes de senos y cosenos. No todos los triángulos poseen un ángulo recto (90º) Aquellos triángulos que no poseen un ángulo recto se les llama: . Por ejemplo estos triángulos: Si observas, ninguno de ellos tiene ángulos rectos. Calcular la medida de todos sus lados y ángulos. Anteriormente utilizamos FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS cuando eran triángulos rectángulos. Ahora utilizaremos las para resolver cualquier tipo de triángulos. En cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante. Así que, esta ley aplica mayormente cuando tenemos: “En cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante”. a b c sen A sen B sen C Esta ley también se puede utilizar de esta otra forma y ofrece el mismo resultado final: sen A sen B sen C a b c Resuelve el siguiente triángulo, dado que posee las medidas anotadas en el dibujo: 1. Primero buscamos el tercer ángulo (el que falta): A 180 (54 72) A 180 126 A 54 2. Luego los otros lados utilizando la ley de los senos. 2.- Ahora calculamos los otros lados utilizando la ley de los senos. a c sen A sen C =54º 15 x sen 54 sen 72 15( sen 72) x ( sen 54) 15( sen 72) x ( sen 54) 17.63 x 3.- Ahora calculamos el lado que falta utilizando la ley de los senos. a b Sen A Sen B 15 y Sen 54 Sen 54 15 ( Sen 54) y ( Sen 54) 15 ( Sen 54) y ( Sen 54) 15 y =54º Una vez tengas todas las medidas de los lados y ángulos el problema terminó. =54º y = 15 m Resuelve el siguiente triángulo: 1.- Primero buscamos el ángulo β con la ley de senos. 2.- Buscamos el tercer ángulo con suma de ángulos interiores de un triángulo. 3.- Finalmente, calculamos el lado que falta utilizando la ley de los senos. b 23 47 sen sen sen 123 23( sen 123) 47( sen ) 23( sen 123) sen 47 23( sen 123) sen 1 47 24 2.- Buscamos el tercer ángulo con suma de ángulos interiores de un triángulo. 180 180 (24 123) 180 147 33 3.- Por último, buscamos el lado que falta por la ley de senos. a c Sen Sen 47 c Sen 123 Sen 33 47 ( Sen 33) c ( Sen 123) 47 ( Sen 33) c Sen 123 31 Cm. c Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de 125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente. ¿Qué tan largo es el lago? Como nos dan la medida de un lado, deberíamos conocer el ángulo en C para luego utilizar la ley de senos y encontrar d. 1.- Primero encontramos el ángulo C con suma de ángulos interiores de un triángulo. C 180 (A B) C 180 (41.6 124.3) C 180 165.9 C 14.1 A continuación usaremos la ley de senos para encontrar el lado que nos piden d: 2.- Ahora usaremos la ley de senos para encontrar el lado d que nos piden. c a sen C sen A 125 d sen 14.1 sen 41.6 125( sen 41.6) d ( sen 14.1) 125( sen 41.6) d sen 14.1 340.66 d No se tiene entre los datos un par de elementos opuestos. Así que, esta ley aplica mayormente cuando tenemos: Estas tres ecuaciones plantean en esencia lo mismo. a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C 2 2 2 PASO ENCUENTRE MÉTODO 1 El lado opuesto al ángulo dado. 2 Segundo ángulo (Encuentre el ángulo opuesto al más corto de los dos lados Ley de senos. dados, siempre será agudo). 3 Tercer ángulo. Ley de cosenos. 180° menos la suma de los otros 2 ángulos. Resuelve derecha el triángulo de la Paso 1: Utiliza la ley de cosenos para despejar b. b 2 a 2 c 2 2 a c Cos B b a 2 c 2 2 a c Cos B b (10.3) 2 (6.45) 2 2(10.3)(6.45) Cos 32.4 b 5.96 cm Paso 2: Utiliza la ley de senos para encontrar . Puesto que el lado c es más corto que el lado a, debe ser agudo. c b Sen Sen b ( Sen ) c ( Sen ) c ( Sen ) b 6.45( Sen 32.4) Sen 1 5.96 Sen 35.44 Paso 3: Calcular el tercer ángulo. 180 ( ) 180 (32.4 35.44) 112.16 PASO ENCUENTRE MÉTODO 1 El ángulo opuesto al lado más largo (hay que tener cuidado si el Ley de cosenos. ángulo es obtuso). 2 De los ángulos restantes, cuál será agudo (¿Por qué?) Ley de senos. Tercer ángulo. 180° menos la suma de los otros 2 ángulos. 3 Resuelve el triángulo con a = 27.3 m, b = 17.8 m y c = 35.2 m Paso 1: Utiliza la ley de cosenos para encontrar el ángulo , que está opuesto al lado más largo. c 2 a 2 b 2 2ab cos c 2 a 2 b 2 2ab cos c2 a2 b2 cos 2ab 2 2 2 ( 35 . 2 ) ( 27 . 3 ) ( 17 . 8 ) cos 1 2(27.3)(17.8) 100.49 Paso 2: Utiliza la ley de senos para encontrar el ángulo α o β. Calculemos α. a c sen sen c ( sen ) a ( sen ) sen a ( sen ) c 27.3( sen 100.49) 35.2 sen 1 49.69 Paso 3: Calcular el tercer ángulo, β. 180 ( ) 180 (100.49 49.69) 29.82