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Más que un polígono de tres lados...
Postulado de existencia de un triángulo,
llamado también desigualdad triangular
Un triángulo queda determinado
cuando ocurre que la suma de las
medidas de dos de sus lados es
siempre mayor que el tercer lado o la
diferencia de las medidas de dos de
sus lados es siempre menor que el
tercer lado.
Q
A
W
B
C
R
P
J
F
E
L
K
Figura geométrica formada por tres puntos no
alineados de manera que estos constituyen los
“vértices” de la figura y a su vez son los
extremos de tres segmentos.
Estos tres
segmentos se llaman los "lados" del triángulo
y, cada par de lados con el vértice en común
forman “tres ángulos” del triángulo.
Clasificación de los Triángulos
Los triángulos según la medida de sus lados pueden ser:
1) Equilátero.
2) Isósceles.
3) Escalenos.
Según sus ángulos internos los triángulos pueden ser:
1) Acutángulos (ángulos internos agudos).
2) Rectángulos (un ángulo recto).
3) Obtusángulos (un ángulo obtuso).
C

b
a
A
a
B
Isósceles: se
denomina al triángulo
que posee dos lados
iguales (AC y BC) y
uno desigual, este se
llama base (AB) y son
los ángulos que se
encuentran en sus
extremos los
idénticos. (ángulos a)

Equilátero: es el
único triángulo
regular; o sea tiene
sus tres lados
iguales y por ende
sus tres ángulos
miden lo mismo
(60° cada uno).
C
60°
60°
A
60°
B

C
c
a
A
b
B
Escaleno: se
denomina al
triángulo que posee
sus tres lados
diferentes y por
ende, sus ángulos
también lo son.


Según sus ángulos.
Pero para eso
debes saber que la
suma de los tres
ángulos interiores
de cualquier
triángulo es 180°.
57°
35°
88°

46°
105°
29°
Obtusángulo: se le
llama al triángulo
que tiene uno de sus
ángulos interiores
obtuso; o sea uno de
ellos mide más de
90°.

Acutángulo: se
denomina al
triángulo que posee
sus tres ángulos
interiores agudos o
sea, cada uno de
sus ángulos miden
menos de 90°.
47°
59°
74°


Rectángulo: se
denomina al triángulo
que posee uno de sus
ángulos interiores
recto o sea, mide
90°.
Los lados que forman
el triángulo recto
reciben el nombre de
catetos y, el tercer
lado, o sea, el
opuesto al ángulo
recto se le llama
hipotenusa.
A
c
b
C
a
B
Rectas y Puntos notables en el
triángulo
Las rectas secundarias en el triángulo son:
1. Altura
2. Bisectriz
3. Mediana
4. Simetral o mediatriz
ALTURA DE TRIANGULOS
BISECTRIZ DE UN TRIANGULO
El punto donde se cortan se llama incentro
C
bb
ba
ba  bb  bc = { I }
I = incentro
I
A
B
bc
MEDIANAS DEL TRIANGULO
Simetral O mediatriz
Es el segmento perpendicular levantado en el punto medio de
cada lado del triangulo. Se denota por la letras S y según el lado
al cual dimidian.
F
Se
Sa  Sb  Cc = { C }
Sd
C
C = circuncentro
D
Sf
E
Transversal de Gravedad
Corresponde a un trazo que está determinado por el vértice y el
punto medio del tercer lado.
C
S
T
 GT
A
R
B
La propiedad está dada por el punto G o baricentro que determina en
cada transversal dos segmentos menores que están en razón 2 : 1
Teoremas Relativos a Ángulos en el Triángulo
Teorema 1: Suma de ángulos interiores: Si , y  son ángulos
interiores de un triángulo, la suma de sus medidas es siempre 180º.
R
C
S
L1


A

B
Hipótesis:
Tesis:
, y  ,ángulos interiores del triángulo ABC
 + +  = 180º
Demostración:
Afirmación
Justificación
1)
L1 // AB
V postulado de Euclides.
2)
m RCA +  + m  SCB = 180º
son ángulos adyacentes que están a
un mismo lado de la recta.
3)
m  RCA = 
son ángulos alternos internos entre
paralelas.
4)
m  RCB = 
son ángulos alternos internos entre
paralelas.
5)
 +  +  = 180º
reemplazando 3 y 4 en 2.
Teorema 2 : La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es de 360º.
’
C


A
’

’
B
Teorema 3 : Ángulos exteriores de un triángulo: todo ángulo exterior de un
triángulo, es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no
adyacentes a él.
’
C


’
A

’
B
Relaciones Métricas en el Ángulo
•Dibuje un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 cm.
Determine la medida de la hipotenusa.
6 cm
(a)
x
8 cm (b)
Cateto a
Cateto b
3
4
6
8
9
12
12
16
15
20
18
24
Hipotenusa
Teorema de Pitágoras
Sea ABC triángulo rectángulo en C, se cumple que la
suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al
cuadrado construido sobre la hipotenusa.
a2 + b2 = c 2
Observación:
Los números 3, 4 y 5 son llamados números pitagóricos,
por cuanto son los únicos tres números naturales consecutivos,
que satisfacen la relación pitagórica
32
+
42
= 52
9 + 16
= 25
25
= 25
Aplicación del Teorema de Pitágoras en la clasificación de triángulos.
Postulado
En un triángulo cualesquiera se cumple siempre que un ángulo
menor se opone al lado menor, o bien a un ángulo mayor se opone
un lado mayor
Actividad 3: Considerando los lados obtenidos anteriormente
compare la suma de a2 + b2 con c2.
Conclusión: a través del teorema de Pitágoras es posible
reconocer el tipo de triángulo
En el triángulo rectángulo c2 = a2 + b2.
En el triángulo obtusángulo c2 > a2 + b2.
En el triángulo acutángulo c2 < a2 + b2.
Propiedades de la semejanza de triángulos
Entre las propiedades que se establecen para semejanza de
triángulos se encuentran:
Propiedad Reflexiva o Idéntica.
Todo triángulo se considera semejante a sí mismo, esto es ∆ ABC ~ ∆ ABC
Propiedad Simétrica o Recíproca.
Si un triángulo es semejante a otro, éste es semejante al primero.
Si ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’  ∆ A’B’C’ ~ ∆ ABC
Propiedad transitiva.
Si un triángulo es semejante a un segundo y éste es semejante a un tercero, entonces el tercero es
semejante al primero.
Si ∆ ABC ~∆ A’B’C’  ∆ A’B’C’ ~ ∆ RST  ∆ ABC ~ ∆RST


“Toda paralela a un
lado de un
triangulo forma
con los otros dos
lados un triangulo
semejante al
primero
1Posición

2Posición
3Posición




1° TEOREMA: En todo
triángulo isósceles, la
bisectriz correspondiente al
ángulo del vértice es la
altura, transversal de
gravedad y simetral
HIPOTESIS:
ABC Isosceles
CD = b



2° TEOREMA: En todo los
triángulos isósceles, los
ángulos básales son iguales
HIPOTESIS:
ABC ISOSCELES
__
CD =
tC
3° TEOREMA: En
todo triángulo, el
ángulo mayor se
opone al lado
mayor
 HIPOTESIS:
 ABC cualquiera
__ ___
CD> CB







4°TEOREMA:
TODO
LADO DE UN TRIANGULO
CUALESQUIERA ES MENOR
QUE LA SUMA DE LOS
OTYROS LADOS
HIPOTESIS:
ABC cualquiera
TESIS:
___ ___ ____
AB < AC + BC






5° TEOREMA: Todo
lado de un
triangulo
cualquiera es
mayor que la
diferencia de los
otros lados.
HIPOTESIS:
ABC cualquiera
TESIS:
___ ___ ___
AB> AC + BC

Triángulos cuyos lados y ángulos tienen la
misma medida.
X
A
Y
B
Z
C
ABC @
XYZ

Triángulos cuyos ángulos tienen la misma
medida.
P
D
F
R
E
Q
mEDF = 80
mRPQ = 80
mDEF = 60
mPQR = 60
mEFD = 40
mQRP = 40

Triángulo cuyos vértices están contenidos en una
circunferencia.
A
C
B
A
punto medio
punto medio
B
punto medio
C

Triángulo cuyos lados son tangentes a una
circunferencia.
X
Y
Z