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Tema:
1
Los números naturales
1
Matemáticas
Valor de posición de una cifra en un número
Este número fue premiado con el
“gordo” en el sorteo de Navidad.
Ricardo tenía el número 5 4 4
Estuvo a punto de que le tocara.
Aunque las cifras de los dos números son las
mismas, cambia su valor de posición.
9 5.
Ejemplo:
5 4 9 5 vale 40 000
El 4 del número 5 4 4 9 5 vale 4 000
El valor de posición de las
cifras del número 52 873 es:
El valor de posición de una cifra en un
número depende del lugar que ocupa en la
escritura del número.
3
El 4 del número 4
IMAGEN FINAL
52873
70
800
2 000
50 000
Tema:
1
Los números naturales
2
Matemáticas
La suma y la resta. Propiedades (I)
32
78
Observa:
32 + 78 = 110
?
78
?
110 – 78 = 32
?
32
110
110 – 32 = 78
110
A cada resta se le asocia: una suma y otra resta.
Otro ejemplo:
864 – 346 = 518
346 + 518 = 864
864 – 518 = 346
IMAGEN FINAL
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Los números naturales
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Matemáticas 1º
La suma y la resta. Propiedades (II)
Fíjate:
(110 + 2) – 78 = 34 = 32 + 2
110 – 78 = 32
(110 – 2) – 78 = 30 = 32 – 2
Si en una resta se aumenta o disminuye el minuendo en el mismo número,
la diferencia aumenta o disminuye en ese número
Observa:
110 – (78 + 2) = 30 = 32 – 2
110 – 78 = 32
110 – (78 – 2) = 34 = 32 + 2
Si en una resta se aumenta o disminuye el sustraendo en el mismo número,
la diferencia disminuye o aumenta en ese número
Por último:
110 – 78 = 32
(110 + 2) – (78 + 2) = 32 = 32 + 2 – 2
Si en una resta se aumenta (o disminuye) el minuendo y el sustraendo en el
mismo número, la diferencia no varía.
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Los números naturales
4
Matemáticas 1º
La multiplicación y la división exacta
En un aula hay 24 pupitres dispuestos en 4 filas. ¿Cuántas filas completas hay?
¿Queda alguna fila incompleta?
24 : 4 = 6, resto 0
Número de filas
La división es exacta. Hay 6 filas completas y
ninguna incompleta.
4 x 6 = 24
Número de pupitres
en total
24 : 6 = 4
Número de pupitres
en cada fila
24 : 4 = 6
Fíjate. A cada división exacta se le asocia: un producto y otra división exacta.
Si en el aula hubiera doble número de pupitres y se colocaran el doble en cada
fila, ¿cuántas filas saldrían?
Habría 2 x 24 = 48 pupitres
48 : 8 = 6. 6 filas
En cada fila 2 x 4 = 8
En una división exacta, si se multiplican
el dividendo y el divisor por el mismo
número, el cociente no varía.
Hemos multiplicado por 2
el dividendo (24) y el divisor (4).
Y sale lo mismo: 6 filas
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Los números naturales
5
Matemáticas 1º
La división entera
Quique colecciona sellos. Tiene 108 y quiere colocarlos en un
álbum. En cada página va a colocar 8 sellos. ¿Cuántas páginas
completas llenará? ¿Cuántos le quedarán sin colocar?
108 : 8 = 13, resto 4
Observa:
Llena 13 páginas y quedan sin
colocar 4 sellos.
108 = 8 × 13 + 4
En una división entera, el dividendo (D) es igual al divisor (d) por el
cociente (c) más el resto (r).
D = d × c + r, r < d
Si el resto es 0, la división es exacta.
Ejemplo:
Divide 1098 : 36. Comprueba la relación D = d × c + r
D
r
1 0 9 8 36
018 30
18
d
36 × 30 + 18 =
1080 + 18 = 1098
c
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Matemáticas 1º
La división entera. Propiedad
Teníamos que 108 : 8 = 13, resto 4 (Quique tenía 108 sellos que coloca en páginas de 8).
¿Qué ocurriría si Quique tuviera doble número de sellos y pusiera doble en cada
página. O triple de sellos y triple en cada página, o mitad…?
Podemos verlo, haciendo la tabla:
Doble
Triple
Mitad
Número de sellos
en total
Número de sellos
por página
Número de
páginas
Número de sellos
sobrantes
2 x 108 = 216
3 x 108 = 324
108 : 2 = 54
...
2 x 8 = 16
3 x 8 = 24
8:2=4
...
Cociente: 13
Cociente: 13
Cociente: 13
...
Resto: 8 = 2 x 4
Resto: 12 = 3 x 4
Resto: 2 = 4 : 2
...
El cociente siempre es 13, y el resto se multiplica por 2 o por 3, o se divide
por 2 ...
En una división entera, el se multiplican (o dividen) por un mismo
número el dividendo y el divisor:
El cociente no varía.
El resto queda multiplicado (o dividido) por ese número.
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7
Matemáticas 1º
El redondeo
Nueva York es una de las ciudades más pobladas del
mundo. Eva ha consultado en una enciclopedia y dice
que en 1995 tenía 15 598 000 habitantes.
Para recordar ese número con más facilidad
redondeamos al millón más próximo.
Observa:
15 000 000
15 598 000
16 000 000
Decimos que Nueva York tiene aproximadamente 16 millones de habitantes.
Cuando un número es muy grande y complicado, es útil redondearlo.
Redondear un número es sustituirlo por otro próximo a él y más sencillo.
Se puede redondear al millón, al millar… más próximo, según convenga.
Ejemplos:
Redondeado al millar más próximo:
35 347
35 000
7 837
8 000
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Matemáticas 1º
Estimación de resultados
El país más poblado del mundo es la República
Popular China. Según un informe de 1998, tenía
1 236 915 000 habitantes.
La población china supone la quinta parte de la
población mundial.
¿Cuántos habitantes tiene la Tierra?
Hacemos un cálculo aproximado.
Redondeamos a las centenas de millón
Redondeamos al millón
1 236 915 000 ... 1 200 millones
1 236 915 000 ... 1 237 millones
1200 millones x 5 = 6 000 millones
1237 millones x 5 = 6 185 millones
Aproximadamente 6 000 millones de hab. Aproximadamente 6 185 millones de hab.
El resultado, partiendo del dato inicial sería: 1 236 915 000  5 = 6 184 575 000
La aproximación redondeando al millón ha sido mejor que la de la centena de millón.
Para estimar el resultado de una operación:
1º. Se redondean los términos. 2º. Se opera con los números redondeados.
La unidad que se elige para el redondeo depende del grado de la
aproximación que queramos conseguir.
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Los números naturales
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Matemáticas 1º
El orden de las operaciones
Se debe seguir este orden:
1º Resolver los paréntesis
2º Multiplicaciones y divisiones
3º Sumas y restas
Operamos así:
6 500 : 2 – (650 + 400) x 3 + 1 500
6 500 : 2 – 1 050 x 3 + 1 500
3 250 – 3 150 + 1 500
1 600
Otros ejemplos:
Resolvemos el paréntesis
Multiplicaciones y divisiones
Sumas y restas
3 x (5 + 7) – (8 + 6) : 2 = 3 x 12 – 14 : 2 = 36 – 7 = 29
24 + 8 x (12 – 9) + 32 : (12 – 16 : 4) = 24 + 8 x 3 + 32 : (12 – 4)
= 24 + 24 + 32 : 8 = 24 + 24 + 4 = 52
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10
Matemáticas 1º
Técnicas y estrategias
PROBLEMA
Hace unos dos mil años, el matemático chino Sun Tzu proponía este problema:
“Tenemos cosas de las que no sabemos el número; si las contamos por treses,
el resto es 2; si las contamos por cincos, el resto es 3; si las contamos por
sietes, el resto es 2. ¿Cuántas cosas hay al menos?
LEE EL ENUCIADO
Si dividimos un número entre 3, el resto es 2; si lo dividimos entre 5, el resto es 3,
y si lo dividimos entre 7, el resto es 2.
Pregunta cuál es el número.
TANTEA
¿Podría se r 18?
Al dividirlo entre 3, da de resto 2.
Al dividirlo entre 7, da de resto 4.
ELIGE UNA ESTRATEGIA
Como el número debe cumplir tres condiciones, ponemos
en cada fila de una tabla los que cumplan cada condición.
Al dividir entre 3 el resto es 2
Al dividir entre 5 el resto es 3
Al dividir entre 7 el resto es 2
RESUELVE EL PROBLEMA
Al dividirlo entre 5, da de resto 3.
Luego, no puede ser. Falla la división entre 7.
2
3
2
5
8
9
8
13
16
14
18
23
17
23
30
20
28
37
23
33
44
26
38
58
...
...
...
El número debe estar en las tres filas de la tabla. Luego es 23
(Comprueba que 23 cumple las tres condiciones.)
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