Download Sin título de diapositiva - Biblioteca Digital Tamaulipas

Tema:
3
La divisibilidad
1
Matemáticas 1º
Recuerda. Multiplicación y división
Una multiplicación proporciona dos divisiones exactas.
54 : 6 = 9
54 = 6 × 9
54 : 9 = 6
Una división exacta proporciona:
Un producto.
Otra división exacta.
18 = 3 × 6
18 : 3 = 6
18 : 6 = 3
IMAGEN FINAL
Tema:
3
La divisibilidad
2
Matemáticas 1º
Recuerda. Múltiplos y divisores
Observa:
Esta división es exacta
35 7
0 5
Decimos que 7 es divisor de 35. También decimos que 35 es múltiplo de 7.
Esta división no es exacta
47 9
2 5
Así que 9 no es divisor de 47. También decimos que 47 no es múltiplo de 9.
Podemos saber si un número es divisor de otro de dos maneras:
· Dividiendo el mayor entre el
· Escribiendo el segundo número
menor:
como producto del primero por
otro número.
7 es divisor de 56
7 es divisor de 56
porque la división
porque
56 : 7 es exacta
56 = 7 × 8
IMAGEN FINAL
Tema:
3
La divisibilidad
3
Matemáticas 1º
Cálculo de los divisores de un número (I)
Vamos a calcular todos los divisores de 66.
Dividimos 66 por todos los número menores que él. Cuando la división es
exacta, obtenemos también otra división y, por tanto dos divisores.
66 1
06 6 6
0
Divisiones exactas:
66 : 1 = 66
66 : 66 = 1
Divisores: 1 y 66
66 5
16 1 3
1
No es exacta:
5 no es divisor
66 2
06 3 3
0
Divisiones exactas:
66 : 2 = 33
66 : 33 = 2
Divisores: 2 y 33
66 6
06 11
0
Divisiones exactas:
66 : 6 = 11
66 : 11 = 6
Divisores: 6 y 11
66 3
06 2 2
0
Divisiones exactas:
66 : 3 = 22
66 : 22 = 3
Divisores: 3 y 22
66 7
3 9
No es exacta:
7 no es divisor
66 4
26 1 6
2
No es exacta:
4 no es divisor
66 8
2 8
No es exacta:
8 no es divisor
FIN
Nos detenemos cuando el cociente es menor o igual que el divisor. IMAGEN FINAL
Los divisores o factores de 66 son: D (66) = {1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66}
Tema:
3
La divisibilidad
4
Matemáticas 1º
Cálculo de los divisores de un número (II)
Para calcular todos los divisores de un número:
Se divide el número por todos los número menores que él, ordenadamente,
de menor a mayor.
Cuando la división es exacta, se obtienen dos divisores.
El proceso se termina cuando el cociente es menor o igual que el divisor.
Para practicar hallemos todos los divisores de 45.
45 1
05 4 5
0
Divisores: 1 y 45
45 5
0 9
Divisores: 5 y 9
45 2
05 2 2
1
45 3
15 1 5
0
45 4
05 11
1
2 no es divisor
Divisores: 3 y 15
4 no es divisor
45 6
3 7
45 7
3 6
6 no es divisor
7 no es divisor
Terminamos porque
el cociente (6) es menor
que el divisor (7)
FIN
Los divisores de 45 son: D (45) = { 1, 3, 5, 9, 15, 45}
IMAGEN FINAL
Tema:
3
La divisibilidad
5
Matemáticas 1º
Números primos y compuestos
¿De cuántas maneras se pueden colocar 17 canicas en bolsas, de modo que en
cada bolsa haya el mismo número de canicas?
Hallamos todos los divisores de 17:
17 1
17 2
17 3
17 4
0 17
1 8
2 5
1 4
Sólo tiene dos divisores: 1 y 17.
Colocamos las 17 canicas en 1 bolsa o en 17 bolsas con 1 canica en cada una.
Se dice que 17 es un número primo.
Un número es primo cuando tiene solamente dos divisores.
2, 7, 11 … son números primos.
Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores.
4, 6, 24 … son números compuestos.
¿Cuántos divisores tiene 1?
Sólo uno, así que ni es primo ni compuesto.
Es un caso especial.
IMAGEN FINAL
Tema:
3
La divisibilidad
6
Matemáticas 1º
Escribir un número como producto de primos (I)
En forma de árbol
Vamos a escribir el número 45 como producto de sus divisores o factores primos.
3
9
3
45
45  32  5
5
Fíjate, se descompone el número 45 en producto de dos factores: 45 = 9 × 5
A su vez el 9, que es un número compuesto, se descompone en producto: 9 = 3 × 3
Otro ejemplo: Escribir 60 como producto de factores primos.
2
6
60
10
3
2
5
60  2 2  3  5
IMAGEN FINAL
Tema:
3
La divisibilidad
7
Matemáticas 1º
Escribir un número como producto de primos (II)
Por divisiones sucesivas
Vamos a escribir el número 45 como producto de sus divisores o factores primos.
Se divide 45 por el menor número primo que
haga la división exacta: 45 : 3 = 15.
Se divide 15 por el menor número primo que
haga la división exacta: 15 : 3 = 5.
Se divide 5 por el menor número primo que
haga la división exacta: 5 : 5 = 1.
Se acaba cuando el cociente da 1.
Otro ejemplo:
Escribir 60 como
producto de factores
primos.
Luego:
60  2 2  3  5
60
30
15
5
1
2
2
3
5
45 3
15 3
5 5
1
45  32  5
A la derecha de la raya vertical
quedan todos los factores
primos.
IMAGEN FINAL
Tema:
3
La divisibilidad
8
Matemáticas 1º
Divisores comunes a varios números
Consideremos los números 24 y 60.
Vamos a calcular los divisores de ambos:
Divisores de 24:
Divisores de 60:
D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Los divisores comunes a 24 y 60 son: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Para hallar los divisores comunes a dos o más números:
Se hallan los divisores de cada número.
Se toman los comunes.
Observa: El número 1 es divisor de todos los números.
Se dice que dos números son primos entre sí cuando su único
divisor común es el 1. 3 y 19 son primos entre sí.
IMAGEN FINAL
Tema:
3
La divisibilidad
9
Matemáticas 1º
El máximo común divisor de varios números
Calculamos los divisores comunes a 36 y 24
Divisores de 36:
Divisores de 24:
D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Divisores comunes (36, 24) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
El mayor de estos divisores comunes es 12. Por eso a 12 se le llama
máximo común divisor de 36 y 24.
Se escribe así: m.c.d. (36, 24 ) = 12
El máximo común divisor de varios números es el mayor de
los divisores comunes.
Suele designarse abreviadamente por m.c.d.
Otro ejemplo:
Calculemos el m.c.d. (45, 60)
D (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
m.c.d. (45, 60) = 15
IMAGEN FINAL
Tema:
3
La divisibilidad
10
Matemáticas 1º
Cálculo del máximo común divisor de varios números
Calculemos los divisores comunes a 36 y 24 a partir de la expresión de cada
número como producto de primos.
36  2  2  3  3  22  32
24  2  2  2  3  23  3
22 y 3 son divisores comunes a 36 y 24.
2
Luego 2  3 también es factor común a 36 y 24.
2 2  3 es el mayor de los divisores comunes a 36 y 24.
2
m.c.d. (36, 24 ) = 2  3  12
Para calcular el máximo común divisor de varios números:
Se escribe cada número como producto de sus factores primos.
El máximo común divisor es igual al producto de los factores
primos comunes elevados al menor exponente.
Otro ejemplo:
IMAGEN FINAL
Calculemos el m.c.d. (20, 90, 600)
Factores comunes: 2 y 5
20  2  2  5  2 2  5
Menor exponente: 1
90  2  3  3  5  2  32  5
m.c.d. (20, 90, 600) = 2 x 5 = 10
600  2  2  2  3  5  5  23  3  52
Tema:
3
La divisibilidad
11
Matemáticas 1º
Técnicas y estrategias (I)
PROBLEMA
Juan camina en línea recta desde su casa al parque. Luego vuelve por el mismo camino
desde el parque hasta su casa y continúa también en línea recta hasta al colegio. En
total ha caminado 3400 metros. La distancia desde la casa de Juan al colegio es de 600
metros. ¿Cuál es la distancia desde la casa de Juan hasta el parque?
LEE EL ENUCIADO
Juan hace dos caminos en sentido opuesto:
de casa al parque; del parque al colegio.
En total recorre 3400 m.
El camino desde su casa al colegio es 600 m.
Nos preguntan cuántos metros
hay desde la casa al parque.
TANTEA
Si la distancia desde la casa al parque fuera de 1000 metros, el camino de
vuelta hasta el colegio sería: 3400 – 1000 = 2400 metros
Entonces la distancia desde la casa al colegio, sería:
2400 – 1000 = 1400 metros.
No puede ser, debía ser igual a 600 metros.
La distancia desde la casa al parque debe ser mayor que 1000 metros.
¿Y si fueran 1200 metros?
IMAGEN FINAL
Tema:
3
La divisibilidad
12
Matemáticas 1º
Técnicas y estrategias (II)
PROBLEMA
Juan camina en línea recta desde su casa al parque. Luego vuelve por el mismo camino
desde el parque hasta su casa y continúa también en línea recta hasta al colegio. En
total ha caminado 3400 metros. La distancia desde la casa de Juan al colegio es de 600
metros. ¿Cuál es la distancia desde la casa de Juan hasta el parque?
ELIGE UNA ESTRATEGIA
Hacemos un dibujo para representar el paseo de Juan.
Casa
Colegio
600 m
Parque
Los 3400 m son la suma del doble de la distancia de casa al parque y de 600 m.
RESUELVE EL PROBLEMA
3400 – 600 = 2800 metros, es el doble de la distancia de la casa al parque.
2800 : 2 = 1400 metros, es la distancia desde la casa de Juan al parque.
COMPRUEBA
1400 +1400 + 600 = 3400. En total ha caminado 3400 metros.
3400 – 1400 = 2000. La distancia del parque al colegio es de 2000 metros,
2000 – 1400 = 600. Hay 600 metros desde la casa al colegio.
IMAGEN FINAL