Download LEY DEL SENO Y COSENO

La Ley del Seno relaciona 3 igualdades que siempre se cumplen entre los lados y
ángulos de un triángulo cualquiera.
C
1.- Se escoge el triángulo
φ
formado por los puntos: A, M y C
b
a
obteniendo:
y
Sen  
y
 y  b  Sen 
b
A
α
M
x
c
2.- Se escoge el triángulo formado
por los puntos: M, B y C obteniendo:
Sen  
y
 y  a  Sen 
a
β
c-x
3.- Igualando las 2 ecuaciones se
tiene:
a  Sen β  b  Sen α
a
b

Sen α Sen β
B
LEY DEL SENO
C
φ
b
A
a
y
α
M
x
c
β
c-x
B
Obteniendo entonces las siguientes ecuaciones, tenemos:
a
b
c


Sen α Sen β Sen 
Dado el siguiente triángulo suponga que conoce el valor de los lados a, b y c.
C
φ
1.- Se escoge el triángulo rectángulo
formado por los puntos: B, M y C. Y
usamos el teorema de Pitágoras:
b
a
y
a² = y² + (c - x)²
a² = y² + c² - 2cx + x²
A
α
a² = x² + y² + c² - 2 c x  Ec. 1
2.- Ahora tomamos el triángulo formado por los
puntos: A, M y C. Y también usamos el teorema de
Pitágoras:
M
x
c
β
c-x
B
3.- Sustituyendo las
ecuaciones 2 y 3 en la
ecuación 1, se tiene :
b² = x² + y²  Ec. 2
x
b
Asimismo: Cos   , de donde : x  b  Cos   Ec. 3
a 2  b 2  c 2  2bc  Cos α
Mediante las siguientes ecuaciones:
a² = b² + c² - 2b·c·cos α
b² = a² + c² - 2a·c·cos β
c² = a² + b² - 2a·b·cos 
La Ley del Coseno permite encontrar el valor de uno de los lados de un
triángulo conociendo de antemano el ángulo opuesto a dicho lado y los
valores de los otros dos lados.