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VECTORES
Juan Daniel Fregoso Rubio.
16310124.
1-B.
Ingeniería Industrial.
Estatica.
Profesor: Cesar Octavio Martinez
Padilla
Vectores en el plano cartesiano
Un vector en el plano cartesiano está determinado por las coordenadas de
sus puntos inicial y final:
A (x1, y1) ; B (x2,
y2)
Ux= x2 - x1 ; Uy= y2 - y1
u = AB = (Ux, Uy)
El vector u se denomina vector posición o vector libre dado que su punto
inicial es (0,0).
Vectores en el plano cartesiano
La magnitud de un vector en el plano cartesiano está dada por:
La dirección de un vector en el plano cartesiano está dada por:
Vectores Unitarios
La idea de vector unitario refiere al vector cuyo módulo es igual a 1. Cabe recordar que
el módulo es la cifra coincidente con la longitud cuando el vector se representa en un
gráfico. El módulo, de este modo, es una norma de la matemática que se aplica al vector
que
aparece
en
un
espacio
euclídeo.
El vector unitario, también conocido como vector normalizado, es aquel cuyo módulo (y
su longitud en la representación gráfica) equivale a 1. Es posible obtener el producto
interno o producto escalar de dos vectores unitarios averiguando el coseno del ángulo
que se forma entre ellos. El producto de un vector unitario por un vector unitario, de
este modo, es la proyección escalar de uno de los vectores sobre la dirección
establecida por el otro vector.
Vectores Unitarios
Ángulos Directores
1) El ángulo (abertura) que forma el vector con los ejes positivos X y Y del
plano
cartesiano.
2)
Están
comprendidos
entre
0
y
180
grados
3) No existe convención para el giro de los ángulos directores.
4)
Los
ángulos
directores
en
el
plano
son:
α es el que forma el vector con el eje positivo de las X
β es el que forma el vector con el eje positivo de las Y
Ángulos Directores
La orientación de A es definida por los ángulos
coordenados de dirección α, β y γ medidos entre la
cola de A y los ejes x, y, z positivos localizados en la
cola
de
A,
en la figura.
Advierta
que
independientemente de hacia donde esté dirigido A,
cada uno de esos ángulos estará entre 0 y 180
grados.
Para determinar α, β y γ se considera la proyección
de A sobre los ejes x, y, z con referencia en los
triángulos rectos.
Ángulos Directores
Estos números se conocen como cosenos directores de A. Una vez obtenidos,
los ángulos directores coordenados α, β y γ, pueden ser determinados por los
cosenos entonces por los cosenos inversos.
Vector de posición
En mecánica clásica, debido
una partícula se representa
usualmente simbolizado con
geométrico del espacio
al carácter euclídeo del espacio, la posición de
mediante el vector de posición o radio vector,
la letra r o mediante las coordenadas del punto
en el que se encuentra la partícula.
La diferencia del vector posición entre dos posiciones distintas recibe el
nombre de vector desplazamiento y se le designa por ∆r (desplazamiento
finito) o por {\displaystyle d\mathbf dr (desplazamiento infinitesimal).
Vectores de posición
Podemos representar la posición de una partícula o de un punto del espacio, respecto de un
sistema de ejes, mediante las coordenadas cartesianas (x,y,z) del punto, o mediante el vector de
posición de dicho punto respecto al origen "O" del sistema de coordenadas (Figura 1). Dicho vector
de posición se define como el vector que tiene como origen el punto "O" y como extremo el punto
"P", es decir, el vector aplicado en el punto "O" que tiene como componentes las coordenadas
cartesianas x, y, z, del punto "P". Escribiremos
siendo i, j, k los versores asociados a los ejes coordenados
respectivos. En general, un sistema de referencia queda definido
por un origen y una base vectorial asociada. Si la base vectorial es
ortogonal (i.e., si los tres versores que la definen son
perpendiculares entre sí), el sistema de referencia también es
ortogonal.
Producto Escalar
En matemática, el producto escalar, también conocido como producto
interno, producto interior o producto punto, es una aplicación cuyo dominio
es V 2 y su codominio es K, donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de
los escalares respectivo.1 Esta aplicación amplía la oportunidad de emplear
los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos,
ortogonalidad en dos y tres dimensiones.
El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de
dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y
complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el
nombre de espacios prehilbertianos.
Producto escalar
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal,
hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una expresión:
en donde V es un espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido V. La función
<.,.> (que toma como argumentos dos elementos de V, y devuelve un elemento del cuerpo K.
Ley de senos
La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos
(oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un
triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos
en
un
triángulo
dado.
En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c, entonces
Ley de cosenos
La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo
oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo
incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En
cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos
establecer
una
proporción
que
pueda
resolverse.
La ley de los cosenos establece:
c2 = a2 + b2 – 2abcos C.