Download Lógica Proposicional - matemática


Gonzales Caicedo Walter Orlando

www.goncaiwo.wordpress.com


Pimentel, Febrero de 2010
Contenido
1. Lógica Proposicional
2. Simbolización y valoración de proposiciones
3. Ejercicios aplicativos
Objetivo
• Presentar los conceptos básicos de la lógica
proposicional.
Capacidad
• Analiza
y
resuelve
problemas
matemáticos de su entorno aplicando
reglas,
principios
e
inferencias
relacionados a la Lógica Proposicional .
Lógica Proposicional
 La lógica es la rama del conocimiento que trata los
modelos de razonamiento, mediante reglas y técnicas,
con el fin de determinar si un argumento dado es válido.
El tema que nos ocupa es el de la lógica usada en
matemáticas. Aquí trabajamos con elementos básicos
llamados Proposiciones.
 Enunciado: Es toda expresión lingüística, que
constituye una frase u oración.
 Proposición: Enunciado que puede ser falso o
verdadero pero no ambas a la vez. La proposición es un
elemento fundamental de la lógica matemática. La
verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama
su valor de verdad.
Ejemplos
 Son proposiciones lógicas:
 Orlando y Ana van a estudiar en la USS.
 Orlando llamó a Ana para salir.
 El autobús pasa a las siete.
 Mañana lloverá.
 Chimbote está entre Trujillo y Casma.
 El IFB forma profesionales para desempeñarse en las entidades
bancarias.





No son proposiciones lógicas:
¡Siéntate!
¿Cuándo sale el autobús?
¿Fueron a pescar Orlando y Ana finalmente?
Las creencias, mitos o leyendas. Así como:“Dios es un ser
misericordioso” “Manco Cápac y Mama Ocllo fueron enviados por el
sol”
 Las metáforas o refranes. Así como: “El Perú es un mendigo sentado en
un banco de oro”. “Has el bien, sin mirar a quién”
 Las supersticiones. Así como: “Hoy día me irá muy mal por ser Martes
13” “Pase por debajo de una escalera”
SIMBOLIZACIÓN Y VALORACIÓN DE PROPOSICIONES
SIMBOLIZACIÓN
 Según los datos históricos, Aristóteles introdujo las letras como:
p, q, r, etc., con la finalidad de representar a cada proposición
declarativa.
 Las variables proposicionales sólo pueden asumir los
valores de verdad (V) o falsedad (F).
Así tenemos:
Para dos proposiciones: p, q se tiene la siguiente tabla de verdad:
p
q ..
p
q
V
V
1
1
V
F
1
0
F
V
0
1
F
F
0
0
ó
..
 Conectivos Lógicos: Se denominan conectivos lógicos
a aquellas palabras o términos funcionales que ligan,
juntan, unen o enlazan las proposiciones simples
formando proposiciones compuestas. Los operadores o
conectores básicos son:
CONECTIVO
SÍMBOLO NOMBRE DE LA PROPOSICIÓN
No
~
Negación
Y
^
Conjunción
o

Disyuntiva inclusiva
o. . . o. . .

Disyuntiva exclusiva
Si… entonces...

Condicional
…si y sólo si …

Bicondicional
Negación (~): Es un conectivo singular. Se denomina proposición
negativa aquella que cambia el valor de la proposición original. Se
denota por: ~p, -p, p y se lee: “no p”. La negación, puede
traducirse como: Es falso que... No es el caso que ... Jamás ...
Ejemplo:
p = La luna es un satélite.
~p = No es cierto que la luna es un satélite.
Conjunción:
Dadas las proposiciones “p”, “q”. La conjunción es el resultado
de unir estas proposiciones con el conectivo lógico “y”. Se
denota con el símbolo: “”, “”, se escribe “p  q”, “p  q” y se
lee: “p y q”. La proposición conjuntiva es verdadera. Cuando
las dos proposiciones son verdaderas. En nuestro lenguaje
podemos emplear: Sin embargo… Aún cuando… No
obstante… Pero, etc.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes proposiciones:
p: “La camioneta enciende cuando tiene gasolina en el
tanque”
q: “Tiene corriente la batería”
Entonces:
p  q: “La camioneta enciende cuando tiene gasolina en el
tanque y tiene corriente la batería”
Disyunción:
Es una proposición compuesta formada por “p” y por “q”
relacionadas por el conectivo lógico “o”. Según el sentido del
conectivo “o”, se puede interpretar de dos maneras: inclusiva o
exclusiva.
Disyunción Inclusiva o Débil: Se denota por “p  q”, “p + q”
y se lee: “p o q”. La disyunción inclusiva es falsa sólo en el caso
que ambas proporciones sean falsas. Se conoce como la suma
lógica. Otras formas de conexión que nos indican una
disyunción inclusiva son:
A menos que, Excepto que, O en todo caso, A no ser que, etc.
Ejemplo: Consideremos:
p : “La USS es privada”
q : “La USS es estatal”
Entonces:
p  q: “La USS es privada o en todo caso la USS es estatal”
Disyunción Exclusiva o Fuerte:
Se denota por: “p  q”, “p V q”, “p  q”, “p q”, “p q” y se lee: “p
o q” pero no ambos. La disyunción exclusiva es verdadera sólo
cuando una de las proposiciones es verdadera. Alguna formas
de conectivos a emplear son:
O ... o ...
O bien ... o bien ...
... no equivale a ...
No es cierto que...equivale a...
O solo .... o solo ....
Ejemplo: Consideremos:
p : “viajo a España”
q : “viajo a Brasil”
Entonces:
p  q : “O viajo a España o viajo a Brasil”
Condicional:
Proposición compuesta que resulta de la combinación de dos
proposiciones simples, a través del conectivo: “Si ..., entonces
...” y su símbolo es : “”, “”. La notación “p  q”, “p  q” se
lee “Si p , entonces q” ; proposición “p” se llama antecedente o
hipótesis y la proposición “q” se llama consecuente o
conclusión.
La manera de expresar la condicional en el orden
antecedente-consecuente (“p  q” Implicación directa),
son las siguientes:
Si p, entonces q
p implica q
p por ende q
Puede también expresarse en el orden consecuenteantecedente (“q  p” Implicación inversa), son:
q siempre que p
Sólo cuando p, q
q cada vez que p
Ejemplo: consideremos:
p : “Llueva”
q : “Mejorarán las cosechas”
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando
simbología lógica queda indicado por:
p  q : “Siempre que llueva entonces mejoraran las cosechas”
q  p : “Mejoraran las cosechas siempre que llueva”
Bicondicional:
Cuando dos proposiciones están unidas por el conectivo lógico “...
si y sólo si ...”, cuyo símbolo es: “”, “”, “”. La proposición
compuesta se denota por: “p  q”, “p  q”, “p  q” y se lee: “p si y
sólo si q”. La proposición bicondicional solamente es verdadera si
tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas.
También se suele emplear expresiones como:
…siempre y cuando…
Si y sólo si p, q
…por lo cual y según lo cual…
…es lo mismo que…
Ejemplo: Consideremos:
p : “Los bancos dan crédito”
q : “Mirta labora en el IFB”
De tal manera que la representación del enunciado anterior
usando simbología lógica queda indicado por:
p  q : “Los bancos dan crédito siempre y cuando Mirta
labora en el IFB”.
RESUMEN DE TABLAS DE VERDAD
p
q
~p
pq
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
pq
p q
p q
pq
F
V
F
V
F
F
VALORACIÓN DE PROPOSICIONES
Hasta el momento hemos conocido la simbolización de las
proposiciones tanto atómicas como las proposiciones
moleculares. Para determinar los valores de verdad a las
segundas, es necesario tener en cuenta las tablas de verdad
de las proposiciones atómicas ya que, sólo ellas pueden
recibir directamente los valores de verdad. Considere los
siguientes ejemplos:
 Si los alumnos aprueban todos los cursos, entonces
obtienen su bachillerato o su titulo.
Tenemos las proposiciones:
p : “Los alumnos aprueban todos los cursos”
q : “Obtienen su bachillerato”
r : “Su titulo”
Se simboliza:
p  (q  r)
La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:
p
q
r
p

(q  r)
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
Contingencia: Aquella expresión, que en su conectivo
principal resulten valores verdaderos y falsos a la vez, para
todas las posibles asignaciones de la tabla de verdad.
 Siempre
que salga el sol entonces iremos a la playa, sin
embargo sale el sol. Por tanto iremos a la playa.
Tenemos las proposiciones:
p : “Sale el sol”
q : “Iremos a la playa”
Se simboliza:
(p  q)  p  q
La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:
(p  q)  p
q
p
q
V
V
V
VV VV
V
F
F
FV VF
F
V
V
FF VV
F
F
V
FF VF
Tautología: Una expresión es
tautológica, cuando los valores de
su conectivo principal resultan
ser verdaderos, para todas las
asignaciones posibles de la tabla
de verdad.
La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos
económicos pero los analistas en economía buscan
soluciones, a pesar de que la crisis mundial no afecta a los
países de bajos recursos.
Tenemos las proposiciones:
p : “La crisis mundial afecta a los países de bajos
recursos económicos”
q : “Los analistas en economía buscan soluciones”
 p : “La crisis mundial no afecta a los países de
bajos recursos económicos”
Se simboliza:
(p  q)   p
La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:
(p  q)  p
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
F
F V
F
F
F
F V
Contradicción: La expresión resulta ser una contradicción,
cuando los valores de su conectivo principal resultan ser
falsos, para todas las asignaciones posibles de la tabla de
verdad.
Ejercicios Aplicativos
 Formaliza las siguientes proposiciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
No es cierto que no me guste estudiar
Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción.
Si los gatos de mi hermana no soltaran pelo, me gustaría
acariciarlos.
Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que
hay vida extraterrestre.
Cajamarca es una ciudad minera por excelencia de modo que
invertir en minería es la mejor opción.
Cuando la producción de una empresa aumenta, en consecuencia
aumenta la productividad y en algunos casos la demanda.
Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo
para ello y no tengo que ir a trabajar al banco.
Solución
Solución (1):
Se simboliza:
Solución (2):
Se simboliza:
p = Me gusta estudiar
¬(¬p)
q = Me gusta bailar
r = Me gusta leer libros de ciencia ficciónse
Solución (3):
Se simboliza:
Solución (4):
q∧r
u = Los gatos de mi hermana sueltan pelo
t = Me gusta acariciar los gatos
¬ut
p = Ver un marciano con mis propios ojos
q = Creer en los extraterrestres
Se simboliza:
p⇔q
Solución (5):
q = Cajamarca es una ciudad minera por excelencia
p = Invertir en minería es la mejor opción
Se simboliza:
qp
Solución (6):
p = Cuando la producción de una empresa aumenta
q = Aumenta la productividad
r = En algunos casos la demanda
Se simboliza:
p (q ∧ r)
Solución (7):
s = Prefiero ir de vacaciones
t = Sin hacer nada
p = Tener tiempo para ello
q = Ir a trabajar al banco
Se simboliza:
(p ∧ ¬ q )  (s v t )