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Quantum Mechanics, Concepts and Applications
N. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second edition
V.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum Physics
F. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum Mechanics
Gary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum Mechanics
D. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second edition
R. Shankar 0306447908
Quantum physics
S. Gasiorowicz
I. Introducción
1.1 La ecuación de Schrödinger
1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre
1.2.2 Pozos
1.2.3 Barreras y tuneleo
1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
Hˆ n  En n
 0
 0  0
ˆ
H 0 n  En n
En  E
Hˆ  Hˆ 0  V
(0)
n
 
(1)
n
donde

(1)
n
 n
(0)
|V | n 
(0)
2
ˆ
p
Hˆ 
 V  rˆ  ; Lˆ  rˆ  pˆ
2m
 H , L   0
 H , Lz   0
2
 L , Lz   0
2
nlm  r , ,    Rnl  r  Yl m  ,  
n  1, 2,3...;
l  n  1;
m l
Lˆz nlm  m nlm
2
2
ˆ
L  nlm  l  l  1  nlm
Hˆ  nlm  Ennlm
 mR e4  Z 2
En    2  2
 2 n
n  1, 2,3...
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la
ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleo
Usando la masa reducida
2. Estructura fina
a) Correcciones relativistas
b) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita
3. Estructura hiperfina
Debida a la interacción magnética entre los momentos
dipolares del electrón y el protón
4. Corrimiento Lamb
Debido a la cuantización del campo coulombiano
Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno
Energía de Bohr
 mc
Estructura fina
 4 mc 2
Corrimiento Lamb
 5mc 2
Estructura hiperfina
m 4 2
 mc
mp
2
2
Constante de estructura fina:   e2 / c 1 / 137
2
Energía cinética clásica:
p
T
2m
Energía cinética relativista: T  p c  m c  mc
2 2
2 4
2
Energía cinética clásica:
p2
T
2m
Energía cinética relativista: T 
T
p 2c 2  m2c 4  mc 2
2


p


2 2
2 4
2
2
p c  m c  mc  mc  1  
  1 


 mc 


2
4


1 p  1 p 
2
 mc 1  
  
  ...  1 
 2  mc  8  mc 

p2
p4


 ...
3 2
2 m 8m c
Por tanto el hamiltoniano relativista será,
en primera aproximación,
2
4
2
p
p
Ze
ˆ
H


3 2
2m 8m c
r
Escrito de otra manera
Hˆ  Hˆ  V
0
donde
2
p
Ze
ˆ
H0 

2m
r
2
4
p
y V 
3 2
8m c
Usamos ahora teoría de perturbaciones
independientes del tiempo para resolver
el problema con el potencial de perturbación
1  pˆ 
V 
3 2
8 mR c
2 2
pˆ 

p
Ze
1
Hˆ 0 

; V 
3 2
2mR
r
8 mR c
2
2 2
2
Lo escribimos como
1  pˆ 
1
V 

3 2
2
8 mR c
2mR c
2 2
1

2mR c 2
 pˆ 


 2 mR 
2
2

Ze 2  
Ze 2 
 H0 
  H0 

r 
r 

1  pˆ 
V 
8 mR3 c 2
2 2

Ze 2 
Ze 2 
1
nlm  H 0 
nlm V nlm  
 nlm
 H 0 
2
r 
r 
2mR c


Ze 2 
Ze 2  
1
nlm  En 

 nlm
  En 
2
r 
r 
2mR c

2 4
2
e
Z
Ze
1
2
En  2 nlm
nlm En  2

2
r
r
2mR c
1
Ze 2
Z 2e4
2

nlm En  2
En  2 nlm
2
2mR c
r
r
1

2mR c 2
 2

1
1
2
2 4
 En  2 Ze nlm nlm En  Z e nlm 2 nlm 
r
r


Por tanto,
1
Enlm
1

2mR c 2
 2

1
1
2
2 4
 En  2 Ze nlm nlm En  Z e nlm 2 nlm 
r
r


Tenemos
1
1 1
nlm nlm 
2
r
an
y
1
1
1
nlm 2 nlm  2 3
r
a n  l  1/ 2 
donde
a
2
mR Ze
2
1
Enlm
1

2mR c 2
 2

1
1
2
2 4
 En  2 Ze nlm nlm En  Z e nlm 2 nlm 
r
r


1
1 1
nlm nlm 
r
a n2
1
Enlm
1

2mR c 2
y
1
1
1
nlm 2 nlm  2 3
r
a n  l  1/ 2 


1
 2

2 1 1
2 4 1
En  Z e 2 3
 En  2Ze

2
an
a n  l  1/ 2  



1
Enlm
1

2mR c 2


1
 2

2 1 1
2 4 1
En  Z e 2 3
 En  2Ze

2
an
a n  l  1/ 2  



 e2  Z
Como En     2
 2a  n
se tiene

Enlm
1
1

2mR c 2

1
2 2
 n
En
2
a
Ze
2
 2

E
2
2
1
 n

2
2
2 4
2
En  2  Z e   n
En  3
 En  2 Ze   n

2
2
Ze
n
Ze
n
l

1/
2

 





En2

2mR c 2
2


2
1
2
1




2
2
2 4
2
 Z e  n
1  2 Ze   n

2  2
2 
3
Ze
n
Ze
n
l

1/
2








En2

2mR c 2

En2
4n 
1  4 

2
l

1/
2
2
m
c



R

 4n

 3

  l  1/ 2  
1
Enlm

En 1  4n
  En
 3

2
mR c 2   l  1/ 2 

Tenemos que
En  13.6 eV ;
mR  5.11 10 eV / c
así que
En
13.6 eV
5

 10
2
6
mR c
5.1110 eV
6
2
Erel
2
n
E

2mR c 2


4n
 3

  l  1 / 2 

Destruye la degeneración accidental del caso coulombiano.
Erel  0 para todo n y l
Dado n, cuanto menor es el valor de l mayor es la corrección relativista
La corrección es más importante para los niveles 1s y 2s
1 v2
5
Erel 
E
10
E
2
4c
0.001%, pero detectable
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la
ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleo
Usando la masa reducida
2. Estructura fina
a) Correcciones relativistas
b) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita
3. Corrimiento Lamb
Debido a la cuantización del campo coulombiano
4. Estructura hiperfina
Debida a la interacción magnética entre los momentos
dipolares del electrón y el protón
Cuando se aplica un campo magnético
externo al átomo de hidrógeno (y a todos los
átomos), líneas espectrales bien definidas se
desdoblan en múltiples líneas cercanamente
espaciadas.
Se debe a la interacción del campo
magnético externo con el momento dipolar
magnético asociado con el momento angular
orbital.
Quantum Mechanics I. A. Galindo y P Pascual
Si tenemos una distribución de
corrientes J , se define el
momento magnético
1
   r  JdV
2c
Jackson. Classical electrodynamics. Primera edicion Wiley 1962, capítulo 5
1

r  JdV

2c
J   v   qi  r  ri  vi
i


1
1
r

q

r

r
v
dV

qi  r    r  ri  vi dV


i 
i i

2c
2c i
i
qi
qi
1
1
1
  qi ri  vi   ri  pi   Li
2c i
2c i mi
2c i mi
qi
1
   Li
2c i mi
En el caso del electrón
e
L

L   gl B
2mc
donde hemos introducido el magnetón de Bohr
e
B 
2mc
y
gl  1
  e 
 B 2m 


e
L
 
L   gl B
2mc
e
B 
2mc
  e 
 B 2m 


Dado que la energía de interacción
está dada como (Jackson)
U    B
tenemos
U
gl B
LB
y si B  Bz kˆ entonces
U
gl B
BLz
Hˆ n  En n
 0
 0  0
ˆ
H 0 n  En n
En  E
Hˆ  Hˆ 0  V
(0)
n
 
(1)
n
donde

(1)
n
 n
(0)
|V | n 
(0)
V
En  nlm

gl B

gl B
gl B
BLz
gl B
BLz nlm
B nlm Lz nlm
Bm  g l  B mB
En  mB B
V  gl BmB ; En  nlm
gl B
BLz nlm  mB B
Introduciendo la frecuencia de Larmor
eB
L 
2mR c
En  L m
  E  4
1 B
 E  
c t
4
1 E
 B 
J
c
c t
B  0
q
F  qE  v  B
c
E  
B   A
  E  4
 E  
1 B
c t
 B 
4
1 E
J
c
c t
B  0
q
F  qE  v  B
c
E  
B   A
q
U  q  r   A  r   v
c
y
1 2 q
L  T  U  mv  A  v  q
2
c
q
U  q  r   A  r   v
c
Fj 
d U U

dt q j q j
q dAx
 q 
Fx  
q

vA
c dt
x c x
dAx Ax dx Ax dy Ax dz Ax
A
A




vx  x v y  x vz
dt
x dt
y dt
z dt
x
y
z


Ax
Ax 
q  Ax
 q 
Fx   
vx 
vy 
vz   q

vA
c  x
y
z
x c x

q
q
F   v  A  q   v  A
c
c





 v  A  v  A  v    A
F  q    

q
v   A
c
q
F  qE  v  B
c




  E  4
 E  
1 B
c t
 B 
4
1 E
J
c
c t
B  0
q
F  qE  v  B
c
E  
B   A
1 2 q
L  T  U  mv  A  v  q
2
c
En el caso del campo electromagnético
el hamiltoniano que se obtiene haciendo
la transformación de Legendre
2
q 

 p  A
c 

H
 q
2m
d 2r
v


La fuerza de Lorentz: m 2  e  E  r , t    B  r , t 
dt
c


H
Las ecuaciones de Hamilton: qk 
pk
2
H
pk  
qk
1 ˆ e ˆ

H
p

A
r
,
t

e

r






2m 
c

pˆ 2
H0 
2m
e ˆ
pˆ  pˆ  A(r , t )
c
2
ˆp 2
1 ˆ e ˆ

H0 
H
p  A  r , t    e  r 

2m
2m 
c

1
H
2mR
1
2mR
2
ˆ e ˆ

 p  c A  r , t   e  r 


2
e ˆ 
e ˆ
ˆ e ˆ


p

A
r
,
t



i


A

i


A









c
c 
c 



2
 
2
ie ˆ
ie
e
ˆ
ˆ2


A  
 A  
A
2
2mR
mR c
2mR c
2 mR c
2
 
2
2
ie ˆ
ie
e
ˆ
ˆ2

 
A   
 A  
A
2
2mR
mR c
2mR c
2mR c
2
B   A
A´ A  
  A´   A   
2
  A´ 0       A
2
 
2
2
ie ˆ
ie
e
ˆ
ˆ2

 
A   
 A  
A
2
2mR
mR c
2mR c
2mR c
2
 A  0
2
2
ie ˆ
e
ˆ2
H 
 
A  
A
2
2mR
mR c
2mR c
2
Si tenemos un campo magnético
uniforme, entonces podemos poner

1
A  Br
2


1
A  Br
2

Como





 



  C  D  C   D  D   C  D  C  C  D
tenemos






1
  A    B  r  B    r   r   B   r   B  B  r
2

1
A  Br
2





  A  B    r   r   B   r   B  B  r
 r  3
 B  0
 r   B  0
 B   r  B
    
  r   , ,    x, y , z 
 x y z 
x y z



3
x y z

1
A  Br
2





  A  B    r   r   B   r   B  B  r
 r  3
 B  0
 r   B  0
 B   r  B
Ecuaciones de Maxwell.
No hay monopolos magnéticos.

1
A  Br
2





  A  B    r   r   B   r   B  B  r
 r  3
 B  0
 r   B  0
 B   r  B
El campo es uniforme

1
A  Br
2





  A  B    r   r   B   r   B  B  r
 r  3
 B  0
 r   B  0
 B   r  B


 

B   r   Bx
 By
 Bz
x, y , z 


x
y
z 



 

 Bx x  By y  Bz z  x  Bx





1
A  Br
2





  A  B    r   r   B   r   B  B  r
 r  3
 r   B  0
 B  0


 B   r  B
1
  A  3B  B  B
2
2
2
ie ˆ
e
ˆ2
H  

A   
A

2
2mR
mR c
2mR c
2

1
A  Br
2


ie ˆ
ie
ˆ

A  
r  B 
mR c
2mR c
Así que el segundo término del Hamiltoniano es
ie ˆ
ie
ˆ

A  
r  B 
mR c
2mR c
 A  B   C   B  C   A  C  A  B
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
i r  B     r  B  p  B  r  pˆ 
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
 r  pˆ  B  L  B  B  L
ie ˆ
ie
e ˆ ˆ
ˆ

A  
r  B  
B  L
mR c
2mR c
2mR c
2
2
ie
e
ˆ
ˆ2
2
H  

A  
A
2
2mR
mR c
2mR c
ie ˆ
e ˆ ˆ

A  
B  L
mR c
2mR c
2
2
e ˆ ˆ
e
ˆ2
H  

B  L 
A
2
2mR
2mR c
2mR c
2
2
2
e
e
ˆ2
ˆ ˆ
H  
 2 
B  L 
A

2
2mR
2mR c
2mR c
El tercer término del hamiltoniano
(B es a lo largo de Z ) se puede
poner como:
2
2
 
2
e
e
ˆ2
ˆ
A
r B 
2
2
2mR c
8mR c
 
ˆ
r B
2
ˆ
r  B  r  Bkˆ
iˆ
ˆj kˆ
x
y
z  yiˆ  xjˆ   y ,  x, 0 
0 0 1
   B x  y 
ˆ
r B
2
2
2
2
2
2
e
e
ˆ2
ˆ ˆ
2
H  

B  L 
A
2
2mR
2mR c
2mR c
El tercer término del hamiltoniano
(B es a lo largo de Z )
se puede poner como:
 
2 2
2
e2 ˆ 2
e2
e
B
ˆ
2
2
A
r B  
x  y 
2
2
2 
2mR c
8mR c
8mR c
2
2 2
e
e
B
ˆ
ˆ
2
2
H  
 2 
B  L 
x

y



2
2mR
2mR c
8mR c
e ˆ ˆ
e2 B 2
2
2
Comparemos los términos
BL y
x

y
:

2 
2mR c
8mR c
ˆ
Tenemos que L
e ˆ ˆ
BL
2mR c
y que x 2  y 2
 e / 2mR c 
e2 B 2
2
2
x

y

2 
8mR c
B
y
2
2
2 2
e
/
8
m
c
a

 0B
R
a02 , así que
2
2 2
e
e
B
ˆ
ˆ
2
2
H  
 2 
B  L 
x

y



2
2mR
2mR c
8mR c
Así que
T3
T2
e


2
/ 8mr c 2  a02 B 2
 e / 2mr c 
B
1 e2 B
1 B
B



2
2
4 c e / a0 548 e / a0 9 109 Gauss
Como normalmente B  104 Gauss,
T3
5
 10
T2
2
2 2
e
e
B
ˆ
ˆ
2
2
H  
 2 
B  L 
x

y



2
2mR
2mR c
8mR c
Así que
T3  e / 8mr c  a B
1 e2 B
1 B
B




2
2
9
T2
e
/
2
m
c
B
4
c
e
/
a
548
e
/
a
9

10
Gauss

r 
0
0
2
2
2
0
2
En las estrellas de neutrones, donde
B  10 Gauss
12
este término puede ser muy importante
2
e ˆ ˆ
H  
 
B  L
2mR
2mR c
2
Habiendo despreciado el tercer término, debemos ver
si el segundo puede ser tratado como una perturbación.
Tenemos
e / 2mr c  B

T2
B


2
Energia del potencial de Coulomb
e / a0
5 109 gauss
que en las condiciones normales es muy pequeño.
2
1 ˆ e ˆ

H
p

A
r
,
t

e

r






2m 
c

2
e ˆ ˆ
H 
  e  r  
BL
2mR
2mR c
2
e
Potencial perturbativo: V 
BLz
2mR c
eB
Introduciendo la frecuencia de Larmor L 
2mR c
Escribimos el potencial perturbativo como V  L Lˆz
Potencial perturbativo: V  L Lˆz
Tenemos que Vˆ nlm  r   L m nlm  r  ,
por tanto,
nlm Vˆ nlm  L m
y
 mR e  Z
m


 

L
2
2
 2 n
4
Enm
2
n2
2,1, 1
l 1
2,1, 0
m  1, 0,1
2,1, 1
Cuando se aplica un campo magnético
externo al átomo de hidrógeno (y a todos los
átomos), líneas espectrales bien definidas se
desdoblan en múltiples líneas cercanamente
espaciadas.
Se debe a la interacción del campo
magnético externo con el momento dipolar
magnético asociado con el momento angular
orbital.
l2
l 1
 E0
  E0

E    2  m2 L     2  m1 L 
 n2
  n1

1 1
E0 E0
E  2  2  L  m2  m1   E0  2  2   L m
n1 n2
 n1 n2 
¿Por qué hay solo 3 líneas y no 15?
Por las reglas de selección:
l  1
m  0, 1
l2
l  1
m  0, 1
l 1
 1 1 
E  E0  2  2   L m
 n1 n2 
6. (El principio de la medición) Si el estado
de un sistema es
  x, t    cn n  x, t 
n
entonces la probabilidad que una medición
encuentre al sistema en el estado  j es

j j
2
c c  cj .
Por lo tanto,
w j  c j   j ,    j 
2
2
2
Atomo con momento dipolar eléctrico: d   ei ri
Regla de selección para el átomo hidrogenoide:
nl m r nlm  0
si n  entero arbitrario, l  1, m  0, 1
Quantum Mechanics I. A. Galindo y P Pascual
2 p  1s
1  5890 A
2  5896 A
Nj  L  0

bar
 L   Nj
B
e
 e 
 N e  Ng 
Lg
L
jg
2mc
 2mc 
Energía de interacción: U     B
Torca:     B

Fuerza: F  U     B


U    B
F  U     B

  B
( A·B)  ( A·)B  (B·) A  A  (  B)  B  (  A)


F     B  ( ·) B  ( B·)     (  B)  B  (   )
y por tanto


F     B  ( ·) B    (  B)
Tenemos
kˆ
iˆ
ˆj
  B  x
y
 z    y Bz ,  x Bz , 0   0
0
0
Bz
y
( ·) B    x  x   y  y   z  z   0, 0, Bz  
  0, 0,  x  x Bz   y  y Bz   z  z Bz    z  z Bz kˆ

U    B
F  U     B

  B
Si el campo es homogéneo
y en la dirección Z ,
ˆ
F   Bk
z
z
z
l 1
m  1, 0, 1
Lˆz n,1,1 
n,1,1
Lˆz n,1, 0  0
Lˆz n,1, 1   n,1, 1