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NÚMEROS REALES
Conjunto de los números reales:
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número
real.
Los números reales pueden ser representados
en la recta con tanta aproximación como queramos,
pero hay casos en los que podemos representarlos
de forma Exacta.
Definición de intervalo:
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b
que se llaman extremos del intervalo.
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y
menores que b.
(a, b) = {x  ℝ / a < x < b}
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que
a y menores o iguales que b.
[a, b] = { x  ℝ / a ≤ x ≤ b}
Los intervalos son semiabiertos por uno de los extremos cuando no incluyen ese extremo pero
si el otro extremo.
[a, b) = { x  ℝ / a ≤ x < b}
Las semirrectas son aquellos intervalos que abarcan todos los números mayores (o menores)
que un determinado número.
• x > a: (a, +∞) = { x  ℝ / a < x < +∞}
• x ≤ a: (-∞, a] = { x  ℝ / -∞ < x ≤ a}
Ejemplos:
• [-2, 7): [-2, 7) = { x  ℝ / -2 ≤ x < 7}
•x
 6: [6, +∞) = { x  ℝ / 6  x > +∞}
También podemos representar los intervalos en la Recta Real:
Valor absoluto de un número real a (también: módulo de a): se escribe |a| y es el mismo
número a cuando es positivo o cero, y el opuesto de a, cuando a es negativo. Es decir:
 a si  0
a 
 a si a  0
Ejemplos:
 |3| = 3;
|-4 |= 4;
 |x| = 2
hay dos valores de x que cumplen la condición: x=2 y x = −2
 |x| < 3
|-3| = 3
hay infinitos valores de x que cumplen la condición:
{ x  ℝ / -3 < x < 3}
 |x| > 3
|0| = 0;
es decir: x  (−3, 3 )
hay infinitos valores de x que cumplen la condición:
{ x  ℝ / -3 > x >3}
es decir: (−∞ , −3)  (3, +∞)
Distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor
absoluto de la diferencia de ambos números:

d(a, b) = |b − a|
La distancia entre −5 y 4 es: d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9|
Operaciones con números reales: RAÍCES

Llamamos :
m
a  b  bm  a
Propiedades:
1
1º)
2º)
3º)
a  an
n
4º)
 a
m
n
n
a n b  n a b
5º)
n m
n
a n a

b
b
6º)
n
n
 n am
a  nm a
am 
n p
a m p
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
e)
EJERCICIOS
1º) Di cual de las siguientes afirmaciones son falsas y cuales son verdaderas:
a)
b)
c)
d)
el
el
el
el
número
número
número
número
2 es un número irracional (F)
-0,3 es un número racional (V)
0,3 es un número natural (F)
-2 es un número racional (V)
e)
el número
3 es un número irracional (V)
2º) Sitúa los siguientes números en la recta real e indica el conjunto más pequeño al que
pertenecen:
2
;
3
15
;
5
-2; 1,35; - 12 ; 1,16 ;
-0,5
Sol: Z, Q, I, Q, N, I, Q
3º) Expresa de todas las formas posibles los números que verifican:
a) l x l ≤ 2
c) A={x/ 2<x<8}
b) l x l=7
d) x  (-5,-
e) x  R-(2,1]
2
]
3
f) x 
 ,1 1, 
Sol:
a) x 
 2,2;
b)
A={-7,7}
c) x  (2,8);
d)
A={x/ -2≤x≤2}
;
A={x/ 2<x<8}
A={x/ -5<x≤-
e)
;
2
}
3
 ,2  1, 
x 
A={x/ -2>x≥1};
4º) Calcula y simplifica
a) 25
Sol: a) 5
1
2
b)
125
c)
27
b) 25
2
c) 81
3
3
4
d) 243
1
5
d) 3
5º) Calcula las siguientes raíces
a)
4
16
Sol: a) 2
b)
3
 27
1
c)
b) -3
c)

d)
7
0
d) 0
e)
4
e)

e)
8
 81
f)
5
 243
f) -3
6º) Simplifica:
a)
f)
8
a4
12
3
b)
10
b8
 5 24 

g) 
 5 23 


c)
12
h)
3
x3  y 6
d)
5
a15
2 4  32
52
10
3 3 2

4
9
i)
4
5 4 20

12
3
j) h)
3
4
2
8
Sol: a)
a b)
5
b 4 c)
4
x  y2
12
5
d) a
3
c)
18  50  2  8
f)
3
e)
4
f) 2
g) 4
3
2
h)
i)
1
2
j) 3
4
7º) opera y simplifica
a)
e)
3
12  12  12 b)
23 625 
Sol:a)
5
4
8a 4
27a
13
40  3 135
3
1212 12 ; b)
10
d)
3
32  4 33
g)
4
26  a 3
; c) 7 2 ; d)
315
12
2 7 ; e)
3
24 8
2
h)
3
1
8
23 3
5 ; f) 312 3 ; g)
3
24
16  3 250  6 4
211 ; h) 83 2
8º) Opera y simplifica:

a)
52 

c)
1
12  3 75  2 27
3
52

 1
b)
2
53 2
 29

3  d)

 3

3
4
Repaso de potencias:
 m n
an
n
n m
 a  a  a ;
 a nm ; a n  b n  a  b ;
m
a

a 
n m

2
4
3
 38  12 10 
4

  24 2

33

 a nm ; a n 





1
; a 0  1a 
n
a

9º)
Sol:
10º) Utilizando las propiedades de las potencias, simplifica las siguientes expresiones:
Sol: