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NÚMEROS REALES Conjunto de los números reales: A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real. Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma Exacta. Definición de intervalo: Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo. Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. (a, b) = {x ℝ / a < x < b} Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. [a, b] = { x ℝ / a ≤ x ≤ b} Los intervalos son semiabiertos por uno de los extremos cuando no incluyen ese extremo pero si el otro extremo. [a, b) = { x ℝ / a ≤ x < b} Las semirrectas son aquellos intervalos que abarcan todos los números mayores (o menores) que un determinado número. • x > a: (a, +∞) = { x ℝ / a < x < +∞} • x ≤ a: (-∞, a] = { x ℝ / -∞ < x ≤ a} Ejemplos: • [-2, 7): [-2, 7) = { x ℝ / -2 ≤ x < 7} •x 6: [6, +∞) = { x ℝ / 6 x > +∞} También podemos representar los intervalos en la Recta Real: Valor absoluto de un número real a (también: módulo de a): se escribe |a| y es el mismo número a cuando es positivo o cero, y el opuesto de a, cuando a es negativo. Es decir: a si 0 a a si a 0 Ejemplos: |3| = 3; |-4 |= 4; |x| = 2 hay dos valores de x que cumplen la condición: x=2 y x = −2 |x| < 3 |-3| = 3 hay infinitos valores de x que cumplen la condición: { x ℝ / -3 < x < 3} |x| > 3 |0| = 0; es decir: x (−3, 3 ) hay infinitos valores de x que cumplen la condición: { x ℝ / -3 > x >3} es decir: (−∞ , −3) (3, +∞) Distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números: d(a, b) = |b − a| La distancia entre −5 y 4 es: d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9| Operaciones con números reales: RAÍCES Llamamos : m a b bm a Propiedades: 1 1º) 2º) 3º) a an n 4º) a m n n a n b n a b 5º) n m n a n a b b 6º) n n n am a nm a am n p a m p Ejemplos: a) b) c) d) e) EJERCICIOS 1º) Di cual de las siguientes afirmaciones son falsas y cuales son verdaderas: a) b) c) d) el el el el número número número número 2 es un número irracional (F) -0,3 es un número racional (V) 0,3 es un número natural (F) -2 es un número racional (V) e) el número 3 es un número irracional (V) 2º) Sitúa los siguientes números en la recta real e indica el conjunto más pequeño al que pertenecen: 2 ; 3 15 ; 5 -2; 1,35; - 12 ; 1,16 ; -0,5 Sol: Z, Q, I, Q, N, I, Q 3º) Expresa de todas las formas posibles los números que verifican: a) l x l ≤ 2 c) A={x/ 2<x<8} b) l x l=7 d) x (-5,- e) x R-(2,1] 2 ] 3 f) x ,1 1, Sol: a) x 2,2; b) A={-7,7} c) x (2,8); d) A={x/ -2≤x≤2} ; A={x/ 2<x<8} A={x/ -5<x≤- e) ; 2 } 3 ,2 1, x A={x/ -2>x≥1}; 4º) Calcula y simplifica a) 25 Sol: a) 5 1 2 b) 125 c) 27 b) 25 2 c) 81 3 3 4 d) 243 1 5 d) 3 5º) Calcula las siguientes raíces a) 4 16 Sol: a) 2 b) 3 27 1 c) b) -3 c) d) 7 0 d) 0 e) 4 e) e) 8 81 f) 5 243 f) -3 6º) Simplifica: a) f) 8 a4 12 3 b) 10 b8 5 24 g) 5 23 c) 12 h) 3 x3 y 6 d) 5 a15 2 4 32 52 10 3 3 2 4 9 i) 4 5 4 20 12 3 j) h) 3 4 2 8 Sol: a) a b) 5 b 4 c) 4 x y2 12 5 d) a 3 c) 18 50 2 8 f) 3 e) 4 f) 2 g) 4 3 2 h) i) 1 2 j) 3 4 7º) opera y simplifica a) e) 3 12 12 12 b) 23 625 Sol:a) 5 4 8a 4 27a 13 40 3 135 3 1212 12 ; b) 10 d) 3 32 4 33 g) 4 26 a 3 ; c) 7 2 ; d) 315 12 2 7 ; e) 3 24 8 2 h) 3 1 8 23 3 5 ; f) 312 3 ; g) 3 24 16 3 250 6 4 211 ; h) 83 2 8º) Opera y simplifica: a) 52 c) 1 12 3 75 2 27 3 52 1 b) 2 53 2 29 3 d) 3 3 4 Repaso de potencias: m n an n n m a a a ; a nm ; a n b n a b ; m a a n m 2 4 3 38 12 10 4 24 2 33 a nm ; a n 1 ; a 0 1a n a 9º) Sol: 10º) Utilizando las propiedades de las potencias, simplifica las siguientes expresiones: Sol: