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Los números naturales y sus operaciones
Matemáticas
Preparado por:
Yuli Domínguez. Portal Educa
Panamá
Los números naturales y sus operaciones
 Los números naturales son el 1, 2, 3, 4, y los siguientes. Sirven,
sobre todo, para ordenar y enumerar los elementos de un
conjunto, como, por ejemplo los lápices que hay en un estuche, o
el número de libros que contienen una bolsa A cada elemento se
le asigna un número, empezando por el 1, y se prosigue con la
serie de los naturales hasta que se han enumerado todos los
objetivos. El último número asignado representa la cantidad de
objetos contados.
 El conjunto de números naturales se representan con la letra N y
está formado por infinitos elementos, lo que se representa de la
siguiente manera: {1, 2, 3, 4,5…}
Lectura y escritura de los números naturales
 Las unidades se representan con los dígitos o
cifras del 1 al 9. Para escribir un número de más
de una cifra, se sitúan en su extremo derecho las
unidades; a la izquierda de las unidades se
encuentran las decenas y, de nuevo a la
izquierda, las centenas. Después vienen las
unidades de millar, las decenas de millar, las
centenas de millar, las unidades de millón, etc.
Por ejemplo, el numero 45 782 está compuesto
por 4 decenas de millar, 5 unidades de millar, 7
centenas, 8 decenas y 2 unidades.
Cada posición representa una
magnitud diez veces mayor que la
anterior; así pues, una decena son 10
unidades; una centena son 100
unidades, una unidad de millar son 1
000 unidades y una decena de millar
son 10 000 unidades.
 El número diez es el primero compuesto por más de un dígitos: el 1, que ocupa la posición de
decenas, y el 0, que ocupa la posición de las unidades. En la escritura ortográfica, así como en la
lectura, los números del once al veintinueve se expresan mediante una sola palabra (<<once>>,
<<veintisiete>>). A partir del treinta, el resto de los números hasta la centena se expresan indicando
en primer lugar las decenas (treinta, cuarenta, cincuenta, etc.) y luego las unidades, separadas por
la conjunción <<y>>
 Por ejemplo, el 35 se lee <<treinta y cinco>>; 78 se lee << setenta y ocho>>, y 93 se lee <<noventa y
tres>>.
 Los números formados por 3 cifras, se leen indicando primero las centena, después las decenas y
por ultimo las unidades. Así, 100 se lee <<cien>>, 200 se lee <<doscientos>>; 300 se lee
<<trescientos>>, etc. El número 458, por ejemplo, se expresa como <<cuatrocientos cincuenta y
ocho>>.
En los números de 4 cifras, primero se indica el número de unidades de millar seguido
de la palabra <<mil>>. A continuación, centenas, decenas y unidades se expresan tal y
como se ha indicado: 1 000 se expresa como <<mil>> 2 000 se expresa como <<dos
mil>>, etc. El numero 8 743, por ejemplo, se expresa como ‘ocho mil setecientos cuarenta
y tres’’. Para más de 4 cifras, los números se nombran en grupos de hasta tres, como si
se tratara de centenas, decenas o unidades tras lo que se cita el orden de magnitud
(miles, millones, etc.) el número 14 000 se expresa como <<catorce mil; 100 000 <<como
cien mil>> y 6 000 000 seria ‘’ seis millones’’. Para el caso de los miles de millones,
también se emplea el término <<millardo>>. Así, la cifra 10 000 000 000 se expresa
como <<diez millardos >>
Tal y como se puede observar, la lectura de los números se efectúa empezando por la
izquierda, hasta llegar a las unidades.
Ubicación en la recta numérica
 Los números naturales se pueden representar
gráficamente mediante la denominada recta
numérica, una línea sobre la que se sitúan los
puntos correspondientes a los números
naturales. Para dibujar una recta numérica se
traza, en primer lugar, una línea recta y en ella
se marca un punto de origen, que representa el
cero. A la derecha del cero se hacen distintas
señales, siempre separadas de la misma
distancia. En la primera señal a la derecha del
cero se escribe <<1>>, en la segunda señal,
<<2>>, en la siguiente<<3>>, y así
sucesivamente hasta el valor que se quiera. El
resultado se muestra en el siguiente dibujo:
En la recta numérica es posible ubicar
cualquier número, aunque para los muy
grandes puede ser conveniente para cada
señal representante, Por ejemplo, 5
unidades. En tal caso, sobre las marcas se
escriben las series 5, 10, 15, 20, 25…De dos
números situados sobre la recta numérica, el
que quede a la derecha será el mayor y el
que quede a la izquierda, el menor.
Orden y comparación
 Los números naturales están
ordenados, es decir, si dos números
naturales son diferentes, uno de ellos
ha de der necesariamente mayor que
el otro. En matemáticas, la relación de
orden se expresa mediante los
símbolos, << > >>, que se lee << es
mayor que>>, y << < >>, << que
significa es menor>>.
 Comparar dos números naturales
consiste en determinar cuál de ellos
es el mayor y cual el menor.
 Una forma de comparar tres o más
números naturales consiste en situarlos
sobre la recta numérica: uno será mayor
que el otro si aparece más a la derecha.
 Según este procedimiento, si se quiere
comparar el 4, el 2 y el 9, primero se
dibuja una recta numérica, en la que se
ubican los tres números haciendo una
señal en ellos, del siguiente modo:
 A partir este dibujo se pueden
establecer varias comparaciones. En
primer lugar, 9 > 4, por la misma
razón, puede escribirse 4 < 9. Luego, se
tiene que 2 < 4, porque el numero 2 está
más a la izquierda que 4; esta
comparación equivale a decir que 4 >2.
Por último, se deduce que 2 <, o lo que
es lo mismo.
Operaciones con Naturales
Sumar significa unir, juntar o añadir. La
operación de las sumas se define como la
reunión de varias cantidades en una sola.
También reciben el nombre de adición, y se
representa mediante el símbolo <<+>>, que se
lee <<más>>
. Para indicar que se quiere sumar, por
ejemplo, 2 y 5 de escribe <<2 + 5>>
.
Los números que se suman se denominan
sumandos. Para sumar dos o más números se
escriben uno bajo el otro, teniendo en cuenta
que las unidades queden alineadas con las
unidades, Las decenas con las decenas, etc. Por
ejemplo:
Esta operación y su resultado también pueden
escribirse horizontalmente, del siguiente modo:
471 + 558 = 1 029
Centenas
4
decenas unidades
7
1
+
5
5
8___
1
0
2
9
sumandos
Propiedades de la suma
La suma de números naturales es una operación interna que cumple las propiedades conmutativas
y asociativas, y que tiene un elemento neutro.

Se dice que es una operación interna por que la suma de dos o más números naturales es
siempre otro natural. Siempre que se sumen varios números naturales, como 9 y 12, el
resultado será otro número natural, en este caso, 21.
 Según la propiedad conmutativa, no importa el orden en el que se sumen dos números
naturales, ya que el resultado será el mismo. Por ejemplo, si se suman 5 + 7= 12
El resultado es el mismo si se intercambia los valores y se suma: 7 + 5 = 12
Esta propiedad es válida para todos los números naturales, Generalizando, la propiedad
conmutativa se expresa con letras en letras en lugar de números, mediante la siguiente igualdad:
A + b = b+ a
En esta expresión, a y b representan cualquier número natural.
La propiedad asociativa

Se aplica al sumar tres o más números.
En estos casos, primero se sumandos de
ellos, y después, el tercero se suma al
resultado obtenido .Según esta
propiedad, es indiferente que números se
sumen en primer lugar, porque el
resultado será el mismo. Por ejemplo, si se
suman 2, 3 y 4, se puede proceder de dos
maneras distintas. En la primera, se suma
2 + 3, que es igual a 5, y a este resultado se
le añade 4, para obtener el resultado final,
9.
La otra posibilidad es sumar primero 3 4, que dan 7, para añadir por último el 2 a 7, y la solución
es otra vez 9.
De forma general, la propiedad asociativa se expresa mediante la siguiente igualdad:
A + (b + c) = (a +b) + c
La operación que se encuentra ente paréntesis se debe efectuar en primer lugar. Las letras a, b y c
representan cualquier numero natural.
 Que exista un elemento neutro quiere decir que hay un valor que sumando a cualquier
número, no lo modifica. En la suma de naturales, el elemento neutro es el cero, porque todo
número que se sume a cero permanece igual. Por ejemplo, si una suma 5 + 0 el resultado
sigue siendo 5.
Sustracción o resta
 Restar significa quitar una parte a todo. La
operación de resta se define como la
diferencia entre dos números, y es la
operación inversa a la suma. El signo que se
utiliza para restar es << - >> que se lee>>
 << Menos>> y se coloca entre dos
cantidades. La primera de ellas se denomina
minuendo y la segunda, sustraendo.
 Para restar hay que colocar los números
alineando las unidades, las decenas con las
decenas y las centenas con las centenas. En
cada columna se tiene que contar la
diferencia que existe entre los dos números y
escribirla debajo de las líneas horizontales.
Centenas
decenas
unidades
4
3
8
Minuendo
3
7
2__
sustraendo
0
6
6
 En el ejemplo, las decena del sustraendo
son mayores que las del minuendo; en tal
caso, se resta como si en el minuendo
hubiera una decena más, y a la siguiente
columna (la de las centenas) se le añade
una unidad al sustraendo a diferencia de
la suma, la resta no es una operación
interna, ni cumple las propiedades
conmutativa ni asociativa. En cambio, el
cero es también el elemento neutro de la
resta, porque restando de cualquier valor
lo deja igual.
Supresión de paréntesis, corchetes y llaves

Dada la expresión:
17 - {6 + 3 – (- 7 + 3 + (- 3 + 8 – 5) + 6 -1) + 6} + 3
U otras similares, denominadas sumas algebraicas,
pueden suprimirse paréntesis, corchetes ( [ ] )
Y las llaves ({ }), solo con tener en cuenta las reglas
siguientes:

Cuando el paréntesis, corchete o llave esta esta
precedido por el signo (+) puede suprimirse, los
términos que encerraba conservan sus signos
correspondientes.
Cuando el paréntesis, corchete o llave esta
precedido por el signo menos (-) puede
suprimirse, pero deben cambiar los signos de
los términos que continúan, los (+) por (-), y
viceversa.
 Las operaciones anteriores deben realizarse en
orden, empezando con paréntesis, luego
corchetes, las llaves. Dicho de otro modo, se
suprimen en primer lugar los agrupadores más
internos, y se sigue hacia lo más externos.
 En el caso se las suma algebraica inicial, el
paréntesis esta precedido el signo +, por lo que
cambian los signos de los términos que
encierra.
Se puede suprimir y resulta:
17 - {6 + 3 – (-7 + 3 – 3 + 8 – 5 + 6 – 1) + 6} +3
El corchete esta precedido del signo -, por lo que, al eliminarlo,
cambian los signos de todos los números que contiene, y queda:
17 – {6 + 3 + 7 – 3 + 3 – 8 + 5 – 6 + 1 + 6} + 3
La llave va precedida del signo -.por lo que de nuevo deben
cambiarse los signos al eliminarla.
17 – 6 – 3 – 7 + 3 – 3 + 8 – 5 +6 – 1 – 6 + 3
Ahora ya se puede operar. Se suman los números positivos por un
lado y los negativos por otro lado. La suma de los números positivo
es:
17 + 3 + 8 + 6 + 3 = 37
La suma de los números negativos es:
6 + 3 + 7+ 3 + 5 + 1 + 6 = 31
Por lo último, la suma de los negativos se resta de los positivos, y se
obtiene el resultado final:
37 - 31 = 6
La multiplicación
La operación de multiplicar se representa por el
signo <<x >>, que se lee <<por >>.
Con el doble propósito de simplificar, por un lado, y
el de evitar confusiones con expresiones algebraicas,
por el otro lado, el signo en forma de aspa se
sustituye a menudo por un punto << . >> En esta
obra se empleará por lo general este segundo
símbolo.
La multiplicaciones una suma de varios sumandos
iguales. Por ejemplo, si se suma 3 veces el número 4,
la solución es 4 + 4 + 4 = 12. El número repetido
recibe el nombre de multiplicando, mientras que las
veces que se encuentra repetido se le denomina
multiplicador. En forma de multiplicación, la
operación anterior se escribe 3 x 4 = 12. El
multiplicando y el multiplicador también se le
denomina factores, y el resultado de la operación,
producto. Por ejemplo, si se multiplica 459 por 34,
resulta:
 En la primera fila bajo los factores se escribe el
resultado de multiplicar el multiplicando por
las unidades del multiplicador, y en la
segunda, el de multiplicando por las decenas
del multiplicador, con la precaución de dejar
un espacio en blanco a la derecha. El resultado
final se obtiene al sumar los dos resultados
parciales, tal y como han quedado alineados.
 Para multiplicar un número por la unidad
seguida de ceros hay que añadir tantos ceros al
final del número como ceros acompañan a la
unidad. Por ejemplo si se multiplica 4 x 100, se
le añaden a la derecha del número 4 dos ceros,
de modo que la solución es 400. Si se multiplica
34 x 1 000, la solución es 34 000, porque se
añaden tres ceros a la derecha del 34.

Propiedades de la multiplicación
La multiplicación de números naturales es una operación
interna que cumple las propiedades conmutativa,
asociativa y distributiva respecto de la suma, y que tiene un
elemento neutro.

La multiplicación es una operación interna por que el
resultado de multiplicar dos números naturales
siempre es otro número natural. Si se multiplican,
por ejemplo, 6 y 12, el resultado, 72, también es un
numero natural.

Gracias a la propiedad conmutativa, de la misma
manera que ocurría en la suma, el orden en el que se
multiplican dos factores no altera el producto. Esto
significa que tanto si se multiplica, por ejemplo, 5 x 6
como 6 x 5, el resultado es 30. De forma general, esta
propiedad se escribe del siguiente modo:
axb=bxa
donde a y b representan cualquier numero natural.

La propiedad asociativa permite que, si quieren multiplicar tres o más
números naturales, no importe el orden en el que se efectué las operaciones,
pues no afecta el resultado. Si se multiplica , por ejemplo,
3x5x2
Se puede comenzar multiplicando dos números cuales quiera de los 3, por
ejemplo, 3 x 5 = 15. El resultado se multiplica, entonces, por 2 y la solución es, por
tanto:
15 x 2 = 30
Si se multiplica en primer lugar 5 x 2= 10, y luego se multiplica este resultado
por 3 tal y como sigue:
10 x 3 = 30
El resultado vuelve a ser el mismo. Esta propiedad se representa de forma
algebraica, es decir, se generaliza, del siguiente modo:
a+b=bxa
Donde las letras a y b representan cualquier número natural.
El elemento neutro

En la multiplicación es el 1, porque al
multiplicar cualquier número por 1, su
valor no cambia: por ejemplo, 7 x 1 = 7.
También se denomina elemento unidad.
Al multiplicar un valor por cero no se
mantiene el mismo valor, sino que el
resultado es siempre cero. Por este motivo,
el cero respecto de la multiplicación se
conoce como elemento adsorbente.
Por la propiedad distributiva de la multiplicación
respecto de la suma
Se puede convertir el producto de una suma en la suma de dos productos, y viceversa. La
generalización algebraica de esta propiedad, para tres números naturales cuales quiera a, b y c se
expresa de la siguiente forma:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
Por ejemplo, para hacer la operación:
5 x (2 + 4)
Se puede convertir en una suma, multiplicando, el 5 por
cada uno de los sumandos, es decir, se multiplica 5 x 2 y 5
x 4, según igualdad:
5 x (2 + 4) = (5 x 2) + (5 x 4)
Su solución es:
(5 x 2) + (5 + 4) = 10 + 20 = 30
Para comprobar que se ha resuelto correctamente el
ejemplo, se puede hacer la misma operación de otra
manera, efectuando primero la suma que hay entre
paréntesis: 2 + 4 = 6. Así pues:
5 x (2 +4) = 5 x 6 = 30
El resultado es el mismo que al aplicar la propiedad distributiva.
Una operación relacionada con la propiedad distributiva es la que
denomina sacar factor común, y supone convertir una suma en
una multiplicación. Para sacar factor común, en primer lugar
hay que averiguar los factores que están compuestos cada uno de
los términos de la suma. Por ejemplo, para convertir la suma 6 +
15 en una multiplicación, primero se convierte
Cada uno de los sumandos en los productos de una
multiplicación. En este caso, 6 es igual a 2 x 3, mientras que 15 es
igual a 3 x 5. Por tanto:
6 + 15 = (2 x 3) + (3 x 5)
En ambos productos aparece el número 3,
que se convertirá en el factor común (es
decir, en el número que multiplica a todo el
paréntesis)
Los otros dos números se escriben sumados
dentro del paréntesis. El resultado es, pues:
6 + 15 = (2 x 3) + (3 x 5) = 3 x (2+5)
La división
La división es la operación inversa a la multiplicación. Dividir significa repartir, si
por ejemplo, cuatro amigos se quieren repartir 8 caramelos, se tiene que efectuar
una división para saber cuántos tocaran a cada uno. Se utiliza, para ello, el signo
<< : >> o bien <<÷>>, Se leen como dividido por .A menudo las divisiones se
escriben también mediante una fracción como por ejemplo 8 para simplificar,
esta expresión
4
También se escribe como: 8/4.
En la división se distinguen las siguientes partes: dividiendo, divisor, cociente y
resto.
Dividiendo
Restos
8
0
2
4
divisor
cociente
Si se tiene en cuenta que el dividendo se representa con la
letra, el divisor con la d, el cociente con c y el resto con r, se
pueden establecer varias igualdades. En primer lugar:
D=dxc+r
El significado de esta expresión que el dividendo es
igual que el divisor por el cociente, más el resto. En
la división del ejemplo, el dividendo es 8; el divisor
es, 4; el cociente 2, y el resto, 0. Por lo tanto:
8=2x4+0
Otra igualdad importante, aunque solo se puede aplicar a aquellas divisiones que son
exactas
(Es decir, cuyo resto es igual a cero) es la siguiente:
d=D
c
En el ejemplo, se tiene que d = 4; D = 8 y c = 2, y en consecuencia:
4=8
2
Propiedades de la división
Las propiedades de la división son las siguientes:
Por la propiedad distributiva de la división respecto a la suma, una división de varios sumandos
entre un numero natural se puede transformar en una suma, en la que cada uno de los
sumandos es el cociente de una división. Por ejemplo, en la siguiente operación:
(4 + 6) ÷ 2
Se divide cada uno de los sumandos entre dos:
(4 ÷ 2) + (6 ÷ 2)
Como 4 ÷ 2 = 2 y 6 ÷ 2 = 3, ambos resultados se pueden sustituir, por lo que la suma queda:
2+3= 5
Escrita la forma algebraica, la propiedad distributiva dice
así:

(a + b) ÷ n = (a ÷n) + (b ÷n)
Si se divide un producto por un número, en este caso
solo será necesario dividir uno de ellos. Por ejemplo,
para dividir :
(5 x 4) ÷ 2
Se divide solo un número, del siguiente modo:
5 x (4 ÷ 2)
Como 4 ÷ 2 = 2, el resultado de la operación es:
5 x 2 = 10.