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Inducción Matemática
Objetivos
•
•
Explicar con sus propias palabras los axiomas de
Peano.
Dada una propiedad de los números naturales,
demostrarla aplicando el Teorema de Inducción.
Subtemas
1. Proceso de deducción.
2.Proceso de inducción.
3. Axiomas de Peano.
4. Teorema de Inducción.
5. Demostraciones utilizando
el teorema de Inducción.
Proceso deductivo e inductivo
Caso
General
Caso
Particular
Caso
Particular
Caso
General
Proceso de
Deducción
Proceso de
Inducción
Ejemplo 1: Dada las siguientes proposiciones
analícelas e identifique su certeza o valor de
verdad
• A: «Todos los estudiantes del Liceo Naval son
guayaquileños»
• B: «La estudiante Murillo es guayaquileña»
• C: «Todos los estudiantes del Liceo Naval son
menores de 20 años»
• D: «El estudiante Macías tiene 17 años»
Ejemplo 2: Dada las siguientes
proposiciones, identifique su valor de
verdad.
• a: Todos los números enteros pares son
divisibles para 2
• b: 86 es divisible para 2
• c: d: 2 es divisible para 2
AXIOMAS DE PEANO
• A) 1 es natural
• B) Si n es un número natural, entonces n+1
también es un numero natural (llamado el sucesor
de n).
• C) 1 no es sucesor de número natural alguno, ya
que es el primer elemento del conjunto.
• D) Si los sucesores de dos números naturales n y m
son iguales, entonces n y m son números naturales
iguales.
• E) Si un conjunto de números contiene al 1 y a los
sucesores de cada uno de sus elementos, entonces
contiene a todos los números naturales.
Nomenclatura a usar para las proposiciones
en inducción matemática
• Caso base
𝑝 1 : 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙
• Caso general
𝑝 𝑛 : 𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙
Teorema de inducción
Si 𝑝(𝑛) es una propiedad sobre el conjunto de
los números naturales ℕ, tal que:
𝑝 1 ≡1
𝐶𝑎𝑠𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒
∀𝑛 𝑝 𝑛 → 𝑝 𝑛 + 1 (Caso inductivo o general)
Entonces, ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑝 𝑛 ≡ 1, es decir, 𝐴𝑝 𝑛 = ℕ
Actividad en clase N° 01
Demostraciones usando el teorema de
inducción
Demostrar que para todo número natural n se
cumple con las siguientes propiedades:
1. 𝑝 𝑛 : 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = 𝑛2
2. 𝑝 𝑛 : 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
3. 𝑝 𝑛 : 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + 𝑛 + 1 𝑛 + 2 =
𝑛 𝑛+1 𝑛+2
3
2
4. 𝑝 𝑛 : 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 𝑛 =
5. 𝑝 𝑛 : 𝑛2 + 𝑛 es divisible para 2
2
2
2
2
𝑛 𝑛+1 2𝑛+1
6
1. 𝑝 𝑛 : 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = 𝑛2
2. 𝑝 𝑛 : 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
3. 𝑝 𝑛 : 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ +
𝑛 𝑛+1 =
𝑛 𝑛+1 𝑛+2
3
4. 𝑝 𝑛 : 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 𝑛 =
2
𝑛 𝑛+1 2𝑛+1
6
2
2
2
2
5. 𝑝 𝑛 : 𝑛2 + 𝑛 es divisible para 2
6. 𝑝 𝑛 : 22𝑛 + 5 es divisible para 3
7. 𝑝 𝑛 : 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2𝑛 = 2𝑛+1 − 2
Deber N° ?
• Demuestre las siguientes propiedades usando
el teorema de inducción matemática
𝑛 3𝑛+1
1. 𝑝 𝑛 : 2 + 5 + 8 … + 3𝑛 − 1 = 2
2. 𝑝 𝑛 : 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
3. 𝑝 𝑛 : 12 + 32 + 52 + 72 + ⋯ 2𝑛 − 1 2 =
𝑛 2𝑛−1 2𝑛+1
3
4. 𝑝 𝑛 : 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 2𝑛 = 2𝑛 −2
5. 𝑝 𝑛 : 𝑛3 − 𝑛 + 6 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 6
3
3
3
3
6. 𝑝 𝑛 : 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
𝑛 𝑛+1 2
2
• 7. 𝑝 𝑛 : 1 + 3 + 9 + 27 +
1
2
1
4
• 8. 𝑝 𝑛 : 1 + + +
⋯ + 3𝑛
1
⋯+ 𝑛
2
=2−
=
3𝑛+1 −1
2
1
2𝑛
• 9. 𝑝 𝑛 : 𝑛3 + 2𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 3
• 10. 𝑝 𝑛 : 2 + 4 + 8 + ⋯ 2𝑛 = 2𝑛+1 −2
Binomio de Newton