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1. Sistemas de ecuaciones lineales 2. Álgebra de matrices 3. Determinantes 4. Geometría de los vectores 5. Espacios vectoriales 6. Valores propios y diagonalización 7. Transformaciones lineales 8. Espacios euclidianos Sistema de ecuaciones lineales a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ... a2 n xn b2 ... ai1 x1 ai 2 x2 ai 3 x3 ... ain xn bi ... am1 x1 am 2 x2 am 3 x3 ... amn xn bm n es el número de incognitas m es el número de ecuaciones En términos de matrices el sistema de ecuaciones se puede escribir a11 a 21 . . . am1 a12 a22 am 2 ... a1n x1 b1 ... a2 n x2 b2 . . . . . . ... amn xm bm Si a11 a 21 . A . . am1 a12 a22 am 2 a1n ... a2 n ... amn ... x1 x 2 . x . . xm y b1 b 2 . b . . bm El sistema de ecuaciones se escribe Ax b Ax b 1 1 A Ax A b 1 Ix A b 1 xA b 1.Suma, multiplicación por un escalar y transposición 2.Multiplicación de matrices 3.Matrices inversas 4.Matrices elementales Si A es una matriz cuadrada, una matriz B es llamada la inversa de A si y sólo si AB I y BA I Si A es una matriz cuadrada, una matriz B es llamada la inversa de A si y sólo si AB I y BA I Una matriz que tiene matriz inversa es llamada matriz invertible. Si A es una matriz cuadrada, una matriz B es llamada la inversa de A si y sólo si AB I y BA I. Hay matrices que no tienen inversa Si la inversa existe, es única Ax b 1 1 A Ax A b 1 Ix A b 1 xA b Si A es una matriz cuadrada invertible, existe una secuencia de operaciones elementales de los renglones que lleva la matriz A a la matriz identidad I del mismo tamaño, escribimos A I. Si A es una matriz cuadrada invertible, existe una secuencia de operaciones elementales de los renglones que lleva la matriz A a la matriz identidad I del mismo tamaño, escribimos A I. Esta misma serie de operaciones en los 1 renglones lleva la matriz I a A . 1 1 0 1 0 0 3 0 2 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 R2 3R1 3 0 2 0 1 0 0 3 2 3 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 R3 R1 R3 /3 0 3 2 3 1 0 0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 R3 R2 0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 0 0 1 / 3 0 1 / 3 1 1 0 0 1 1 0 3 R3 0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 0 0 1 0 1 3 1 0 0 1 1 0 0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 0 0 1 0 1 3 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 2 R2 3 R3 0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 0 1 0 1 1 2 0 0 0 0 1 0 1 3 1 0 1 3 2 R2 R3 3 1 0 0 0 1 2 R1 R2 0 1 0 1 1 2 0 0 1 0 1 3 Sea A una matriz n n. A es invertible o no singular si existe una matriz B de rango n n tal que AB = BA = I n Sea A una matriz n n. A es invertible o no singular si existe una matriz B de rango n n tal que AB = BA = I n La matriz B se llama inversa de A y se denota A Cuando existe la matriz inversa es única 1 1. Sistemas de ecuaciones lineales 2. Álgebra de matrices 3. Determinantes 4. Geometría de los vectores 5. Espacios vectoriales 6. Valores propios y diagonalización 7. Transformaciones lineales 8. Espacios euclidianos Toda matriz cuadrada n n tiene asociado un determinante, que es un número complejo. El determinante de la matriz A se escribe det A A a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n an 2 ... ann . . . an1 det A n sgn a S n i 1 i, i La suma se calcula sobre todas las permutaciones de los números 1, 2,3,..., n y sgn es 1 si la permutación es par ó 1 si es impar. det A n sgn a S n i 1 i, i La suma se calcula sobre todas las permutaciones de los números 1, 2,3,..., n y sgn es 1 si la permutación es par ó 1 si es impar. *Permutaciones del 1 y el 2: así que det A a11a22 a12 a21 1,2 , 2,1 En el caso de una matriz cuadrada 2 2 el determinante es el número complejo det A A a11 a12 a21 a22 a11a21 a21a12 1 3 2 1 3 det 1 4 4 2 4 3 2 10 det A n sgn a S n i 1 i, i La suma se calcula sobre todas las permutaciones de los números 1, 2,3,..., n y sgn es 1 si la permutación es par ó 1 si es impar. Permutaciones del 1, 2 y 3 1, 2,3 , 1,3, 2 , 2,1,3 , 2,3,1 , 3, 2,1 , 3,1, 2 así que a11a22 a33 a11a23a32 a12 a21a33 a12 a23a31 a13a22 a31 a13a21a32 En el caso de una matriz cuadrada 3 3 el determinante es el número complejo a11 a12 a13 det A A a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12 a21a33 a13a22 a31 5 3 3 1 4 2 3 5 0 det 3 4 3 3 1 2 3 0 3 Truco que solo sirve para matrices 3x3 1) Se duplican los renglones 1 y 2 5 3 3 3 1 0 4 2 3 5 3 3 3 1 0 2) Se multiplican diagonalmente hacía abajo con signo + y diagonalmente hacía arriba con signo 3 3 3 1 0 5 4 2 5 3 3 1 5 1 3 3 2 3 4 3 0 15 18 0 12 3 3 3 3 5 2 0 4 1 3 27 0 12 3 0 1 0 2 0 2 4 1 5 det 4 1 5 2 3 2 3 2 1 0 2 4 1 5 2 3 2 1 0 2 4 1 5 2 24 0 0 15 4 1 2 11 2 4 3 2 2 0 5 4 0 2 1 3 5 2 1 2 33 1.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz son cero, entonces su determinante es cero 2.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz se multiplican por el mismo número k , entonces su determinante se multiplica por k . 3.- Si una par de filas o de columnas de una matriz se intercambian, el determinante cambia de signo 4.- Si una fila o una columna de una matriz es proporcional a otra fila o a otra columna, el determinante es cero. 5.- Si todos los elementos de una fila o de una columna se pueden expresar como la suma de dos términos, entonces el determinante puede escribirse como la suma de dos determinantes, cada uno de los cuales contiene uno de los términos en la fila o columna correspondiente. 6.- Si a todos los elementos de una fila o de una columna se le añade k veces el elemento correspondiente de otra fila o columna, el valor del determinante no cambia. Si la matriz A es triangular, entonces det A a11a22 a33 ...ann es decir, el determinante es el producto de los elementos diagonales. Usando las propiedades 1 a 6 expuestas arriba, se lleva la matriz original a una forma triangular cuyo determinante es el producto de los elementos de la diagonal Sea una matriz A cuadrada n n. Eligimos una fila, la i, entonces n det A aij 1 j 1 i j M ij donde M ij es el determinante de la matriz que resulta de quitar la fila i y la columna j a11 a 21 . M ij . . am1 a12 ... a22 ... aij am 2 ... a1n a2 n amn Sea una matriz A cuadrada n n. Eligimos una columna, la j, entonces n det A aij 1 i 1 i j M ij donde M ij es el determinante de la matriz que resulta de quitar la fila i y la columna j 5 3 3 3 1 0 4 3 2 1) Se escoge un renglón. Elegimos el primero. 2) Se toman los elementos de ese renglón uno por uno. Empecemos por el elemento 5. 3) Se crea un nuevo determinante quitando el renglón y la colum na del elemento escogido, es decir -1 0 2 3 A este determinante se le llama menor 5 3 3 3 1 0 4 3 2 4) El determinante obtenido (el menor) se multiplica por el elemento y se pone como signo -1 Número de columna+Número de renglón En este caso -1 1 1 5 -1 0 2 3 5 3 3 3 1 0 4 3 2 5) Se hace lo mismo con todos los elementos del renglón escogido. 5 3 3 3 1 0 4 3 2 1 11 5 1 0 2 3 1 1 2 3 3 0 4 3 1 5 3 3 9 3 10 15 27 30 12 1 3 3 3 1 4 2 0 3 4 2 1 0 2 2 1 3 2 1 3 2 3 1 1 11 0 0 2 3 2 1 1 2 3 1 1 1 1 3 4 1 3 1 3 1 3 2 2 0 2 1 2 2 3 1 3 2 1 4 1 3 1 2 2 1 1 4 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 0 2 3 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 0 3 2 3 2 2 3 1 2 2 1 2 1 1 3 3 1 1 0 2 1 3 1 1 3 2 1 1 0 1 3 3 2 2 2 1 3 2 1 3 1 3 2 1 1 0 1 1 1 2 1 3 2 2 3 0 3 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 2 3 3 2 3 1 3 3 1 5 2 2 2 9 9 2 1 1 0 2 2 7 13 113 0 9 2 7 27 0 3 4 2 1 0 2 2 1 3 2 1 3 2 3 1 2 2 3 2 1 1 2 3 1 0 1 11 0 1 1 1 3 4 1 3 1 1 2 2 2 1 3 1 3 1 3 0 2 3 1 1 2 1 1 1 4 3 9 4 13 2 27 25 2 2 1 3 0 2 3 2 2 3 1. Sistemas de ecuaciones lineales 2. Álgebra de matrices 3. Determinantes 4. Geometría de los vectores 5. Espacios vectoriales 6. Valores propios y diagonalización 7. Transformaciones lineales 8. Espacios euclidianos Un espacio vectorial es un conjunto V en el que hay definidas dos operaciones: suma + y multiplicación por un escalar. * Es cerrado respecto a las dos operaciones * Existe el 0 respecto a la suma * Existe el inverso respecto a la suma * Las operaciones son asociativas y distributivas Sea V un conjunto no vacio de objetos, llamados elementos. El conjunto V es un espacio lineal, o espacio vectorial o espacio vectorial lineal si: Axioma de cerradura bajo la suma: Axioma 1. Para cualesquiera dos elementos x y y en V corresponde un único elemento en V llamado la suma y denotado como x y Sea V un conjunto no vacio de objetos, llamados elementos. El conjunto V es un espacio lineal, o espacio vectorial o espacio vectorial lineal si: Axioma de cerradura bajo la multiplicación por un real: Axioma 2. Para cualquier elementos x en V y para cualquier escalar a corresponde un único elemento en V llamado el producto de a por x y denotado como ax Axioma 3. Conmutatividad de la suma Para todos x y y en V se tiene x y yx Axioma 4. Asociatividad de la suma Para todos x, y y z en V se tiene x y z x y z Axioma 5. Existencia del elemento 0 Hay un elemento en V , denotado por 0, tal que x 0 x para todo x en V Axioma 6. Existencia del negativo Para todo elemento x en V , el elemento -1 x tiene la propiedad x -1 x 0 Axioma 7. Asociatividad en la multiplicación por un escalar Para todo x en V y para todos los escalares a y b, se tiene a bx ab x Axioma 8. Distributividad en la multiplicación por un escalar respecto a la suma en V Para todo x y y en V y para todo escalar a, se tiene a x y ax ay Axioma 9. Distributividad en la adición de escalares Para todo x en V y para todos los escalares a y b, se tiene a b x ax bx Axioma 10. Existencia de la identidad Para todo x en V , se tiene 1x x •Espacios vectoriales reales •Espacio vectoriales complejos A los números utilizados como multiplicadores se les denomina escalares. A los escalares los denotaremos por letras itálicas A los elementos del espacio vectorial les llamaremos genéricamente vectores. A los vectores los denotaremos por letras itálicas con flecha arriba Sea R n el conjunto de todas las n-adas de números reales. Para cualesquiera dos elementos x x1 , x2 ,..., xn y y y1 , y2 ,..., yn de R n definimos la suma x y como la n-ada x y x1 y1 , x2 y2 ,..., xn y3 . Para cualquier número real r y para cualquier n-ada x x1 , x2 ,..., xn de R n definimos el producto por un número real rx como la n-ada rx rx1 , rx2 ,..., rxn 1) x y R n 2) rx R n 3) x y y x 4) x y z x y z 5) x 0 x 6) x 1 x 0 7) r sx rs x 8) rx ry r x y 9) rx sx r s x 10) 1x x R n V f : a, b R f continua M m n Matrices m n Sea V el conjunto de funciones continuas definidas en el intervalo a, b . V f : a, b R f es continua en el intervalo La suma y la multiplicación por un escalar son las usuales, y ante bajo esas operaciones las funciones siguen siendo continuas, así que el conjunto es cerrado ante ambas operaciones. Las demás propiedades son triviales. El conjunto de matrices de un tamaño dado, con componentes en los complejos C , es un espacio vectorial Mat m n C El cero 0 es único El negativo, denotado como v , es único 0v 0 r0 0 r v rv r v Si rv 0 entonces r 0 ó v 0 Si rv ru y r 0, entonces v u Si rv sv y v 0, entonces r s v u v u v u v v 2v , v v v 3v , y en general n v nv i 1