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ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
Desplazamiento y polarización
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A. J. Barbero
Departamento de Física Aplicada UCLM
Ultima actualización: 25/03/2014
1
DIELÉCTRICOS. RESUMEN DE TEORÍA
Densidades de carga de polarización
Vector polarización
A partir de los momentos dipolares individuales
 N 
p   pi
MATERIA
POLARIZADA

p1

p2
Densidad volumétrica

 P  P
Densidad superficial
 
 P  P u n
i 1

pN

un

V r  

pi
Potencial debido
a la polarización
V


p
P  lim
V  0  V
Z
 Vector polarización
(carga/superficie  C/m2)
X

un
dV '




1   P dV '

  

4  0 
r  r'
V '

S'

S'

 P  dS ' 
  
r  r' 

 

P  un dS ' 
  
r  r' 

Término dependiente de la carga
volumétrica de polarización
dS '

r'


 
r  r'

r

  P  dV '
  

4  0  r  r '
V '
1
MATERIA
POLARIZADA
Término dependiente de la carga
superficial de polarización
Y
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Vector desplazamiento

 
D  0E  P

D   f
La divergencia del vector desplazamiento
depende exclusivamente de la carga libre

(Teorema de Gauss para el campo D )


D  dS 
S

 f  dV  Q f
V


 relaciona la polarización con el campo
Susceptibilidad eléctrica P   0  E





 
Permitividad    0 1   
D   0 E  P   0 E   0  E   0 1    E   E

ut

un
Relaciones entre las componentes de E , D, P

E2

E1


Et 2  Et1  0
 0

D2

D1
Et 2
Et 1
  
E2  E1  ut  0
f
En 2
DIELÉCTRICO 1

y
  
Condiciones de frontera
DIELÉCTRICO 2
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
En1


  
P2  P1 u n   P
Pn 2  Pn1   P


 
D2  D1  un   f
Dn 2  Dn1   f
3
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CARGA PUNTUAL RODEADA DE UNA ESFERA DIELÉCTRICA
Considere una esfera de material dieléctrico lineal e isótropo y homogéneo
de permitividad relativa r cuyo radio es R. Existe una carga puntual Q
situada en su centro. Calcular el campo eléctrico y el desplazamiento
dentro y fuera de la esfera, la polarización y las densidades de carga
volumétrica y superficial.
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Interior de la esfera
Consideremos una superficie gaussiana de
geometría esférica y radio r  R centrada en
la carga Q, a la cual aplicaremos el teorema
de Gauss para el desplazamiento eléctrico.

R
 
D  dS  Q

ur
r
Q
S
y
Por consideraciones de simetría

 
D dS  D


dS  D  S  D  4 r 2  D 

 D
Campo eléctrico E  
Q
4 r 2

D
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Q 
ur
2
4 r
S

Q
4  r  0 r 2

ur
Polarización
 
            1  
0
 D
P  D  0E  D  0 D  
 D   r




 r 
   r 1  Q 

P  
u
2 r

4

r
 r 
4
PROBLEMA (Continuación)
Vectores eléctricos dentro de la esfera

0E
R

ur
Q

r ur ur

P

D

D

4  r  0 r 2
R

ur

R
 
 P  P u n

u n es el vector unitario normal a
la superficie, sentido saliente.
El valor del vector polarización
a considerar aquí es
 
u n , u r son paralelos entre sí.

  1  Q 
PR    r 
u
2 r

4

R
 r 

   1  Q
 P  PR  un   r 
2
  r  4 R
Q 
ur
4 r 2
Q

un
Q

 
D  0E  P

 D
E 
Cálculo de la densidad superficial de carga
de polarización (carga ligada)

ur
   r 1  Q 

P  
u
2 r

4

r
 r 
La carga total ligada sobre la superficie de la esfera es
Es menor en un
  1 
QP   P  4 R 2   r  Q
 r 
  1 
factor  r  que la carga puntual situada
 r 
en el centro a causa del apantallamiento ejercido por el
dieléctrico.
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PROBLEMA (Continuación)

Cálculo de la densidad volumétrica de carga de polarización (carga ligada)  P  P
 

1  r2P
 P  P   2
r
r
 
1   2   r 1  Q 
1  r2P



P   2
r 
2
2 0
r r    r  4 r 
r
r
Calculamos la divergencia en coordenadas esféricas teniendo
en cuenta que por la simetría del problema la coordenada r es
la única relevante.
La densidad volumétrica de carga ligada es nula  P  0
   r 1  Q 

P  
u
2 r

4

r
 r 
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Comentario: el dieléctrico en su conjunto se mantiene neutro. Esta neutralidad se consigue debido y
a la aparición en la superficie interna de la cavidad que aloja la carga de una densidad de carga
superficial de polarización negativa.
M
a

Sea  el radio de la cavidad; u n es el vector unitario dirigido hacia adentro.
g




n
 'P  P u n  P  u r 
Q  e
  r 1  Q
'
un 

 P  

  r 1  Q 
 4  2 La carga total de t



P   
u
r


 4  2 r
polarización del
i

 r 
- 
dieléctrico es nula, s
- - pues ésta está
Cavidad que rodea
compensada por la m
Carga de polarización
  r 1 
'
'
2
a la carga Q
 Q carga de polarización o
en la superficie de la Q P   P  4   
en la superficie externa
 r 
cavidad
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de la esfera.
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Di
d
r a
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PROBLEMA (Continuación)
Exterior de la esfera (la polarización es cero)
Aplicamos el teorema de Gauss sobre una superficie gaussiana
concéntrica con la carga cuyo radio r sea mayor que el de ésta, r > R
Por simetría se obtiene para el desplazamiento
Campo eléctrico

 D
E 
0
Q
4  0 r 2

ur

D
Q 
ur
4 r 2
Comentario 2: En el interior de la esfera (r  R) los valores eran

Q 
D
ur
2
4 r

 D

Q
E 
u
r
 4  r  0 r 2
Véase que mientras que el desplazamiento
es continuo, el campo eléctrico presenta
una discontinuidad para r = R, puesto que
en el interior de la esfera las cargas de
polarización crean un campo opuesto al
creado por la carga central.

 
D  dS  Q
S
R

ur
y
Q
M
a
g
n
e
(Recuérdese que para el desplazamiento eléctrico la condición de frontera entre dos dieléctricos es que la
t
componente normal permanezca constante si no hay cargas libres en la superficie; para el campo eléctrico i
es la componente tangencial la que permanece constante, y en este ejemplo el campo es radial, así que
s
dicha componente tangencial es nula)
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PROBLEMA (Continuación)
Comentario 3: Visto desde fuera de la esfera (r  R) el campo eléctrico es el mismo que produciría
la carga Q desnuda, pues la carga de polarización positiva situada sobre la superficie r = R tiene el
mismo valor que la carga de polarización negativa de la cavidad y por lo tanto ambas
contribuciones se cancelan mutuamente. Sin embargo, dentro de la esfera (r < R) lo que se ve es la
carga Q apantallada por la carga de polarización negativa de la cavidad, y por tanto lo que vemos
es una carga efectiva menor, cuyo valor sería
  1 
Q
Qneta  Q   r  Q 
r
 r 


R



 

Q







y



r
 
 




E
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t
r
i
c
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d
a
d
Desde cualquier punto situado
a la distancia r < R del centro
se ve una carga efectiva menor
en un factor r que la carga Q.
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