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Variable aleatoria discreta
1
Variable Aleatoria (v.a.)
Variable Aleatoria: Una regla que asocia un número a
cada resultado del espacio muestra.
2
Variable Aleatoria

Ejemplo.
Se lanzan dos monedas,
S = { SS, CC, CS,SC }
Si X = Número de caras obtenidas
3
x= 0 1 2
Notación: X = Variable Aleatoria. x = Sus valores.
Variable aleatoria
Ejercicio.
Una caja contiene 7 discos, 4 rojos y 3 negros.
Se sacan dos discos sin reemplazo.
a. Listar los elementos del espacio muestra y
calcular sus probabilidades.
b.
4
Sea X = Número de discos rojos
obtenidos en el experimento. ¿Cuáles son
los valores x que puede tomar la variable
aleatoria X?
R: b)
x
0
1
2
f(x)
1/7
4/7
2/7
Variable aleatoria
Discretas “Contar”
•Conjunto finito de valores
•Conjunto infinito numerable
Variables
Aleatorias
Continuas “Mediciones”
•Toman valores en un intervalo
5
Variable aleatoria
Ejercicio.
¿Cuáles de los siguientes conjuntos pueden
corresponder a los valores de una variable aleatoria
discreta?
x  {2,1,0,1,2}
x  [0,)
{x   | x  10}
6
x  (2, 2)
{x   | 7  x  20}
x  {0,1,2,3,4}
Distribución de Probabilidad
La función de distribución de probabilidad o
función masa de probabilidad (fdp o fmp) para una
v.a. discreta se define por
f(x) = P(X = x)
la probabilidad de que X sea igual a x.
Ejemplo:
7
x
0
1
2
2/7
f(x) = P(X = x) 1/7 4/7
donde X = Número de discos rojos.
,
Distribución de Probabilidad
Puesto que f(x) representa una probabilidad, debe ser
congruente con los axiomas de probabilidad:
1.- 0  f(x)  1 ; No hay probabilidades negativas.
2.-
8
 f ( x)  1 ; La suma de todas las probabilidades es 1.
x
Distribución de Probabilidad
Ejercicio. Dada la siguiente fdp (función de distribución
de probabilidad)
x
-1
0
1
4
5
f(x)
0.1
0.2 0.15 0.5 0.05
Calcula las siguientes probabilidades:
a)
P(X = 1)
d)
9
b)
P(0.5 < X < 5)
P(X > 1)
e)
c)
P(X  4)
P(0.5 < X  5)
Distribución de Probabilidad
Ejercicio
Considere el experimento de lanzar una moneda hasta obtener una cara.

a. Define el espacio muestra:
S = {C, SC, SSC, SSSC, ….}
b. Sea X=Número de intentos para obtener una cara. Determina los valores
que puede tomar X.
x = {1, 2, 3, 4, ….}
c. Determina la fdp (función de probabilidad) de X.
–
–
–
10
Tabular
Gráfica
Función
d. Obtén la probabilidad de obtener cara a lo más
en el 3er intento. R: 7/8
Distribución de Probabilidad
Ejercicio
Experimento: En un juego de póker, se reparten 5 cartas a un participante
y se observa el número de ases que obtiene.

a. Enumera parte del espacio muestra.
b. Sea Y = Número de ases obtenidos. Determina los valores que puede
tomar Y.
c. Determina la fdp (función de probabilidad) de Y.
–
–
–
11
Tabular
Gráfica
Función
d. Obtén la probabilidad de obtener al menos
dos ases.
R: 0.0417
 4  48 
 

y  5  y 

R : f ( y) 
 52 
 
5
para y  0,1,2,3,4
Función de Distribución Acumulada
En ocasiones nos interesa sumar
probabilidades, ¿no existirá una función
alternativa para calcular directamente la
suma de probabilidades?
Sí. Se llama FUNCIÓN DE
DISTRIBUCIÓN ACUMULADA
(fda o cda)
12
Función de Distribución Acumulada
La función de distribución acumulada (fda) F(x) de
una v. a. discreta, cuya distribución de probabilidad es
f(x), se define como,
F ( x)  P( X  x) 
 f (t ),
tx
13
para    x  
Función de Distribución Acumulada
Ejemplo. Hallar la distribución acumulada F(x) para
x
f(x)
1
2
0
3/28 15/28 10/28
,
Solución.
Debemos subdividir los números reales en intervalos,
los cuales tienen como extremos los valores que toma
la variable aleatoria: (-,0), [0,1), [1,2), [2, )
?
14
Función de Distribución Acumulada
x
f(x)
0
1
2
3/28 15/28 10/28
F ( x)  P( X  x) 
15

0
x0
3
28
0  x 1
3 15 18


28 28 28
1 x  2
18 10


28 28
1
x2
Función de Distribución Acumulada
F(x)
Su gráfica es
x
0
16
1
2
Función de Distribución Acumulada
Ejercicio
En un lote de mercancía hay 10 artículos, 3 son
defectuosos y 7 son buenos. Se extrae una muestra
de 4.
Sea X = Número de artículos defectuosos en la
muestra.
a. Hallar f(x) y graficar.
x0
b)  0
b. Hallar F(x).
Solución:
17
a)
x
0
1
2
3
f(x)
0.17
0.5
0.3
0.03
0.17 0  x  1

F ( x)  0.67 1  x  2
0.97 2  x  3

 1
x3
Función de Distribución Acumulada
Ejercicio
Por una promoción sale una
cantidad “sorpresa” de
estampitas en un paquete de
galletas.
Sea X = número de estampitas
en un paquete de galletas
seleccionado al azar.
1.
2.
18
Hallar f(x) en forma tabular
Hallar:
f(2)
P(X ≤ 4)
P(X < 3)
P(X > 4)
x0
 0
0.06 0  x  1

0.19 1  x  2

0.39 2  x  4
F ( x)  
0.67 4  x  6
0.92 6  x  8

0.97 8  x  10
 1
x  10

R = b) 0.2; P(X ≤ 4) = 0.67; 0.39; 0.33
Valor esperado
Consideremos que X = número de discos que compra un
cliente al azar.
x
0
f(x) = P(X = x) 1/7
1
2
3
3/7
2/7
1/7
Supongamos que observamos muchos clientes.
• ¿qué porcentaje esperamos que resultarían con X = 0?
• ¿qué porcentaje esperamos que resultarían con X = 1?
• Queremos saber el promedio de discos vendidos por cliente.
19
Valor esperado
x
0
f(x) = P(X = x) 1/7
1
2
3
3/7
2/7
1/7
Supongamos que observamos 70 clientes,
¿Cuántos clientes se espera que no compren discos? ¿Qué compren 1, 2 o
3 discos?
0   0 1 1 2   2  3   3
70
0(10)  1(30)  2(20)  3(10)

70
 0(1 / 7)  1(3 / 7)  2(2 / 7)  3(1 / 7)
3
  xf ( x)
x 0
20
Valor esperado
Valor esperado de una v. a. discreta
Sea X una v. a. con distribución de probabilidad f(x).
La media o valor esperado de X es,
 X  E ( X )   xf ( x),
x
21
Valor esperado
Ejercicio:
Se lanza un dado y sea X = el número obtenido, ¿cuál
es el valor esperado de X?
R: 3.5
22
Valor esperado
Sea X una v. a. con distribución de probabilidad f(x). La
media o valor esperado de la v.a. g(x) es,
  E ( g ( X ))   g ( x) f ( x) ,
x
23
Valor esperado

Ejercicio:
Supongamos que la probabilidad de que la Serie
Mundial termine en 4, 5, 6 o 7 juegos es
1 1 5
5
, , y
8 4 16 16
respectivamente.
–
–
24
¿Cuál es el valor esperado del número de
juegos en que termina la Serie Mundial?
Si la entrada a cada partido es de $40, ¿cuál es
el valor esperado del gasto que hará una
persona que asistirá a todos los juegos?
R = a) 5.8125; b) $232.50
Valor esperado
Propiedad del valor esperado
E (aX  b)  a  E ( X )  b
 a b
25
Valor esperado
En un juego donde se lanzan dos dados, el participante recibe una
cantidad de dinero, según sea la suma que cayeron los dados (si la
suma es par) o el doble de la suma que cayeron los dados (si la suma
es impar).
Primer dado
¿Cuánto debe pagar el participante para que sea un juego justo?
26
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
(5, 1)
(6, 1)
Segundo dado
2
3
4
5
(1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5)
(2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5)
(3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5)
(4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5)
(5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5)
(6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5)
6
(1, 6)
(2, 6)
(3, 6)
(4, 6)
(5, 6)
(6, 6)
R = $10.50
Varianza
Sea X una v.a con distribución de probabilidad f(x) y
media   E(X). La varianza de X es
V ( X )   2  E (( X   ) 2 )   ( x   ) 2 f ( x) ,
x
27
Varianza
Ejercicio:
La fdp del número X de cilindros del siguiente
automóvil que vaya a afinarse en cierto taller es:
x
4
6
8
f(x)
0.5
0.3
0.2
Calcule E(X) y V(X).
28
R = 5.4, 2.44
Varianza
Fórmula abreviada.
V ( X )    E (( X   ) )
2
2
 E( X )  E ( X )
2
29
2
Ejercicio:
Calcular V(X) del ejercicio anterior con la fórmula
abreviada.
Varianza
Propiedad de la varianza
V (aX  b)  a V ( X )  a 
2
30
2
2
Varianza
Ejercicio
Una compañía proveedora de productos químicos tiene
actualmente en existencia 100 libras de cierto producto, que
vende a clientes en lotes de 5 libras. Sea X el número de lotes
ordenados por un cliente seleccionado al azar, y suponga que
X tiene una fdp:
31
x
1
2
3
4
f(x)
0.2
0.4
0.3
0.1
a) Calcule E(X) y V(X).
b) Calcule el número esperado de libras sobrantes después de
embarcar el pedido y la varianza del número de libras
restantes.
R = a) 2.3, 0.81; b) 88.5, 20.25
Experimento BINOMIAL
Hay muchos experimentos que cumplen con los siguientes
requisitos.
El experimento consiste en una secuencia de n intentos. n es
fijo.
2. Los intentos son idénticos y cada uno puede resultar en éxito
(S) o fracaso (F).
3. Los intentos son independientes, es decir, el resultado de un
intento en particular no influye en el resultado de otro intento.
4. La probabilidad p de éxito es constante de un intento a otro.
1.
32
Un experimento así se llama experimento binomial.
La variable aleatoria X que sea igual al número de éxitos se llama
variable aleatoria binomial. x = { 0, 1, 2, …, n}.
Distribución BINOMIAL
Derivación de la distribución binomial
Suponga un experimento binomial con:
n = 4 intentos.
p = probabilidad de éxito en cada intento
X = variable aleatoria que representa el número de
éxitos en los 4 intentos.
Encuentre la distribución de probabilidad de X.
33
Distribución BINOMIAL
x
f(x)
0 f(0) = P(X = 0) = P(FFFF) = (1-p)(1-p)(1-p)(1-p)
= (1-p)4
1 f(1) = P(X = 1) = P(SFFF  FSFF  FFSF  FFFS)
= p (1-p)(1-p)(1-p) + (1-p) p (1-p)(1-p)
+ (1-p) (1-p) p (1-p) + (1-p) (1-p)(1-p) p
= 4p(1-p)3
2 f(2) = P(X = 2) = P(SSFF  SFSF  …  FFSS)
=  2  p2(1-p)3
=
 4
 
 2
p p (1-p)(1-p)
3 f(3) = P(X = 3) = P(SSSF  …  FSSS)
=
34
 4
 
 3
p p p (1-p)
4 f(4) = P(X = 4) = P(SSSS) = p p p p
 4
 
= 6 p2(1-p)3
=  4  p3(1-p)
 3
= 4 p3(1-p)
= p4
Distribución BINOMIAL
Sea X una v. a. binomial.
X ~ Bin(n, p)
Su función de probabilidad está dada por:
n x
f ( x)    p (1  p) n  x
 x
35
x  0, 1, 2,..., n
Distribución BINOMIAL
Ejercicio:
Un estudiante presenta un examen de falso/verdadero y dado que
no conoce el tema decide contestarlo totalmente al azar. El examen
consta de 10 preguntas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste todas las preguntas
correctamente?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen con al
menos un 7?

36
R = a) 1/1024; b) 0.1719; c) 0.6563
Distribución BINOMIAL
Sólo el 20% de los automovilistas se detienen por
completo cuando no hay otros automóviles visibles
en un crucero donde hay un semáforo con luz roja en
todas direcciones. ¿Cuál es la probabilidad de que,
de 4 automovilistas seleccionados al azar…
a) a lo más 2 se detengan por completo?
b) exactamente 2 se detengan por completo?
c) por lo menos 3 se detengan por completo?
d) ¿Cuántos automovilistas, de entre los 4
seleccionados, se espera que se detengan
por completo?
R: 0.9728, 0.1536, 0.0272, 0.8 autos en promedio
37