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Distribución Discreta de
Probabilidad
Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC
Distribución Discreta de Probabilidad
El conjunto de pares ordenados (x, f (x)) es una función de
probabilidad, una función de masa de probabilidad o una
distribución de probabilidad de la variable aleatoria
discreta X si, para cada resultado x posible,
1.
f (x ) ≥ 0,
2.
𝑥 f (x ) = 1,
3.
P (X = x ) = f (x ).
Ejemplo 1
Un embarque de 20 computadoras portátiles
similares para una tienda minorista contiene 3
que están defectuosas. Si una escuela compra al
azar 2 de estas computadoras, calcule la
distribución de probabilidad para el número de
computadoras defectuosas.
Ejemplo 1
Solución: Sea X una variable aleatoria cuyos
valores x son los números posibles de
computadoras defectuosas compradas por la
escuela. Entonces x sólo puede asumir los
números 0, 1 y 2. Así,
Ejemplo 1
3
𝑓 0 =𝑃 𝑋=0 = 0
17
2 = 68
20
95
2
3 17
51
1
1
𝑓 1 =𝑃 𝑋=1 =
=
20
190
2
3 17
3
0
2
𝑓 2 =𝑃 𝑋=2 =
=
20
190
2
Ejemplo 1
68/95
𝑓 𝑥 = 51/190
3/190
𝑥=0
𝑥=1
𝑥=2
Ejemplo 2
Si una agencia automotriz vende 50% de su
inventario de cierto vehículo extranjero
equipado con bolsas de aire laterales, calcule
una fórmula para la distribución de probabilidad
del número de automóviles con bolsas de aire
laterales entre los siguientes 4 vehículos que
venda la agencia.
Ejemplo 2
Solución: Como la probabilidad de vender un
automóvil con bolsas de aire laterales es 0.5, los 24
= 16 puntos del espacio muestral tienen la misma
probabilidad de ocurrencia. Por lo tanto, el
denominador para todas las probabilidades, y
también para nuestra función, es 16. Para obtener
el número de formas de vender tres automóviles
con bolsas de aire laterales necesitamos considerar
el número de formas de dividir 4 resultados en 2
celdas, con 3 automóviles con bolsas de aire
laterales asignados a una celda,
Ejemplo 2
y el modelo sin bolsas de aire laterales asignado
4
a la otra. Esto se puede hacer de
= 4 formas.
0
En general, el evento de vender x modelos con
bolsas de aire laterales y 4 - x modelos sin bolsas
4
de aire laterales puede ocurrir de
formas,
𝑥
donde x puede ser 0, 1, 2, 3 o 4. Por
consiguiente, la distribución de probabilidad
f (x) = P(X = x) es:
Ejemplo 2
1 4
𝑓 𝑥 =
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0,1,2,3,4
16 𝑥
Función de la distribución acumulativa
Definición: La función de la distribución
acumulativa F(x) de una variable aleatoria discreta
X con distribución de probabilidad f (x) es:
𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋≤𝑥 =
𝑓 𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 − ∞ < 𝑥 < ∞
𝑡≤𝑥
Ejemplo 3
Determinar la función de la distribución
acumulativa de:
2/6 𝑥 = 0
𝑓 𝑥 = 3/6 𝑥 = 1
1/6 𝑥 = 3
Ejemplo 3
0
𝑥<0
1/3 0 ≤ 𝑥 < 1
𝐹 𝑥 =
5/6 1 ≤ 𝑥 < 3
𝑥≥3
1
Ejemplo 4
Calcule la función de la distribución acumulativa
de la variable aleatoria X de:
1 4
𝑓 𝑥 =
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0,1,2,3,4
16 𝑥
Ejemplo 4
Solución:
1 4
𝑓 𝑥 =
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0,1,2,3,4
16 𝑥
1 4
1
1 4
1
𝑓 0 =
=
; 𝑓 1 =
=
16 0
16
16 1
4
1 4
3
1 4
1
𝑓 2 =
=
;𝑓 3 =
=
16 2
8
16 3
4
1 4
1
𝑓 4 =
=
16 4
16
Ejemplo 4
𝐹 0 =𝑓 0 =
1
16
;
𝐹 1 = 𝑓 0 + 𝑓(1) =
5
16
;
𝐹 2 = 𝑓 0 + 𝑓 1 + 𝑓(2) =
11
16
;
𝐹 3 = 𝑓 0 + 𝑓 1 + 𝑓 2 + 𝑓(3) =
15
16
;
𝐹 4 = 𝑓 0 + 𝑓 1 + 𝑓 2 + 𝑓 3 + 𝑓(4) = 1
Ejemplo 4
Por lo tanto:
0,
1/16
5/16
𝐹 𝑥 =
11/16
15/16
1
𝑥<0
0≤𝑥<1
1≤𝑥<2
2≤𝑥<3
3≤𝑥<4
𝑥≥4
Ejemplo 4
Entonces
𝑓 2 = 𝐹 2 − 𝐹(1)
11 5
3
𝑓 2 =
−
=
16 16 8
Gráfica de masa de probabilidad
Graficar:
1 4
𝑓 𝑥 =
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0,1,2,3,4
16 𝑥
Gráfica de masa de probabilidad
Solución:
1 4
𝑓 𝑥 =
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0,1,2,3,4
16 𝑥
1/16
4/16
𝑓 𝑥 = 6/16
4/16
1/16
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
=0
=1
=2
=3
=4
Gráfica de masa de probabilidad
6/16
4/16
1/16
0
1
2
3
4
Gráfica de masa de probabilidad
6/16
4/16
1/16
0
1
2
3
4
Gráfica de función de la distribución
acumulativa
1
3/4
1/2
1/4
0
1
2
3
4
Gracias