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RAZ. TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Nociones de Geometría analítica.
 Sistema
de
coordenadas
rectangulares
 Ejes Coordenadas Rectangulares
 Cuadrantes
 Radio Vector
Ángulos en Posición Normal
 Ángulo en Posición Normal
 R.T. de un ángulo en PN
 Signos de las R.T. de ángulos en
PN
 Angulo cuadrantal
 R.T. de ángulos Cuadrantales
 Angulo Coterminal 0 cofinal
 R.T. de ángulos coterminales




Definiciones Complementarias en
Geometría Analítica.
Distancia entre dos puntos.
Punto que divide un segmento en
una razón dada.
Punto Medio
Área de una Región Triangular.
Nociones de Geometría analítica.

Sistema
de
coordenadas
rectangulares, es un sistema de
referencia, que se obtiene de
intersectar
dos
rectas
reales
perpendicularmente.
Y
2

P ( x, y )
O
Academia Antonio Raimondi
X
“Todo punto en el plano queda
identificado biunívocamente por un
par de ordenado de números reales”.

Ejes Coordenadas Rectangulares
Los ejes rectangulares se definen
como el conjunto de puntos que
cumplen:

El eje Y   ( x, y) 
El eje X  ( x, y) 
2
2

/ x  0
/ y0
 Cuadrantes
Los cuadrantes conjunto de puntos que
están definidos como sigue:

IIQ   ( x, y) 
IIIQ   ( x, y) 
IVQ   ( x, y ) 
IQ  ( x, y) 
Gráficamente:
2

/ x  0  y  0
/ x  0  y  0
/ x  0  y  0
/ x 0 y  0
2
2
2
Y
IIQ
IQ
IIIQ
IVQ

X
Siempre los primeros, dejando huella
–2–
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI

Radio Vector
Dado un punto cualquiera del plano
P , el radio vector es el rayo que
tiene por origen el origen de
coordenadas y el extremo final el
punto P, es decir OP
Enseñanza de calidad

R.T. de un ángulo en PN
Sea un ángulo  un ángulo en posición
normal, y un punto P( x0 , y0 ) un punto
cualquiera de lado final.
Y
P( x0 , y0 )
Y

P ( x, y )
X
O
X
El modulo del radio vector OP :
2
R0 
2
x0  y 0
Se define:
Se dice módulo del radio vector, a la
longitud del rayo, que por Pitágoras, se
define como:
OP 
x2  y2
y0 O

R0 R
C sc() 
R0 R

y0 O
Cos() 
x0 A

R0 R
Se c() 
R0 R

x0 A
Tan() 
y0 O

x0 A
C t g () 
x0 A

y0 O
Donde:
Ángulos en Posición Normal

Sen() 
Ángulo en Posición Normal
Es aquel ángulo trigonométrico
que su vértice coincide con el origen
de coordenadas y su lado inicial
coincide con el semieje positivo de
las abscisas.
O : Ordenada
A: Abscisa
R: Radio vector

Signos de las R.T. de ángulos en PN
Regla: Según el gráfico
Y
Y


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Seno
cos ecante
Positiva
todas
T angente
cotangente
Coseno X
Secante
X
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Las
razones
trigonométricas
nombradas en el gráfico son positivos,
las otras son negativas.
Variación de las R.T. de ángulos en
PN.
1  sen( x)  1
1  cos( x)  1
sec( x)  1  sec( x)  1
cs c( x)   1  cs c( x)  1
tan( x) 
cot( x) 
 Angulo cuadrantal
Un ángulo es cuadrantal es aquel
ángulo en posición normal cuyo lado
final coincide con alguno de los
semiejes del sistema de coordenadas
cartesianas.
NOTA:
El ángulo cuadrantal no pertenece a
ningún cuadrante.
–3–
Enseñanza de calidad
La medida de un ángulo cuadrantal es
generalizado como:
90 k
g
,k 
100 k
k
rad
2
Ángulos cuadrantales notables o

(4  1)
90
2
0
180
360
(2n  1)
o
270

(4  1)
(1)
(1)
COSECANTE
SENO
(0)
(0)
Y
( ND )
( ND )
(1)
(0)
( ND )
SECANTE
COSENO
(1)
(1)
(1)
(1)
(0)
( ND )
( ND )
(0)
TANGENTE
COTANGENTE
(0)
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
2
R.T. de ángulos Cuadrantales
(1)
X
(2n)
(0)
( ND )
( ND )
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(0)
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( ND )

Angulo Coterminal o Cofinales
Dos o más ángulos se denominan
coterminales, cuando tienen el
mismo lado inicial y el mismo lado
final.
–4–
Enseñanza de calidad
encuentra comprendido entre 90 y
180 .
a) 90
b) 160
c) 150
d) 130
e) 100
Solución:
Sean  y  dos ángulos coterminales,

Datos:
 2
y 90    180

 11
Como:
11
 2
  

2
 11
Como son coterminales:
    360 n , n 
Reemplazando:
2
    360 n  9  720n
11
   80n
Dos o más ángulos en posición
normal son coterminales a aquellos
que, en posición normal, tienen
lados terminales coincidentes.
Como 90    180
 1.125  n  2.25
 90  80n  180

n2
En consecuencia:   160 Rpta.
La diferencia entre dos o más
ángulos coterminales es el número
de vueltas sobre el lado inicial.
Es decir:
Los ángulos  y  son coterminales,
sí y solo sí
    360k , k 
Donde  y  están dados en grados
sexagesimales.
Ejercicio:
Dos ángulos coterminales son entre sí
como 2 es a 11. Hallar la medida del
mayor de dichos ángulos, si el menor se
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
R.T. de ángulos coterminales
Las razones trigonométricas de
ángulos coterminales son iguales.
NOTA:
Funciones pares e impares
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–5–
Enseñanza de calidad
Diremos que f es una función par, si
cumple: f ( x)  f ( x)
Y diremos que la función f es impar,
si se verifica que: f ( x)   f ( x) .
Razones trigonométricas
pares e impares
Las únicas razones trigonométricas
pares son el coseno y su reciproca la
secante,
las
demás
razones
trigonométricas son impares.
Ejemplo:
Cos( )  Cos()
Cos (  )  Cos (  )
tan( )   tan()
tan(  )   tan(  )
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