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LOGARITMO
DEFINICIÓN
Función exponencial con base “a”
Sea a > 0 y a  1 , se define la función exponencial con base a , de R en R + , donde f
(x) = ax.
Ejemplos:
f(x) = 2
x
18
16
y
14
12
10
8
6
4
2
x
0
-16 -14 -12 -10 -8
-6
-4
-2
-2
0
2
f ( x ) = 0,5
4
6
8
10 12 14 16
x
18
16
y
14
12
10
8
6
4
2
x
0
-16 -14 -12 -10 -8
-6
-4
-2
-2
0
2
4
6
8
10 12 14 16
1
Esta función es biyectiva, por lo tanto su inversa es también una función y se denomina función
logarítmica con base “a”.
Función logarítmica con base “a”
Sea a > 0 y a  1, se define la función logarítmica con base a , de R + en R , donde f
( x ) = log a ( x ) .
Ejemplos:
f (x) = log 2 ( x )
12
y
10
8
6
4
2
x
0
-2
-2
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
-4
-6
-8
f ( x ) = log 0,5 ( x )
12
y
10
8
6
4
2
x
0
-2
-2
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
-4
-6
-8
Por lo tanto, si a x = u, entonces log a (u) = x. En consecuencia:
2

log a ( u ) = x
ax = u
; u > 0 , a > 0 y a  1
PROPIEDADES
Sean a y b números positivos distintos de 1, u y v números positivos, p número real , n
número entero distinto de cero y m número natural mayor que 1, entonces:
1) a log a ( u ) = u
4 log 4 ( 16 ) = 16
Ejemplo:
2) log a ( u ) = log a ( v )
Ejemplo:

u = v
log 7 ( 2 x + 3 ) = log 7 ( 19 )
; x > –
3
2
2 x + 3 = 19
x = 8
3) log a ( 1 ) = 0
4) log a ( a ) = 1
5) log a ( a n ) = n
log 5 ( 625 ) = log 5  5 4
Ejemplo:

= 4
6) log a ( u v ) = log a ( u ) + log a ( v )
log 2 ( 8  4 ) = log 2 ( 8 ) + log 2 ( 4 ) = 3 + 2 = 5
Ejemplo:
7) log a ( u p ) = p log a ( u )
 
log 2 4 3
Ejemplo:
= 3 log 2 ( 4 ) = 3 × 2 = 6
 u 
8 ) log a 
 = log a ( u ) – log a ( v )
 v 
 9 
 = log 3 ( 9 ) – log 3 ( 27 ) = 2 – 3 = – 1
log 3 
 27 
Ejemplo:
9) log a

m
u
Ejemplo:

=
log a ( u )
m
log 2

3
64

=
log 2 ( 64 )
3
=
6
3
= 2
3
10 ) log a ( b ) =
Ejemplo:
11) log a ( u ) =
Ejemplo:
12) log a n ( u ) =
Ejemplo:
1
log b ( a )
1
log 2 ( 32 )
log 32 ( 2 ) =
=
1
5
log b ( u )
log b ( a )
log 3 ( 81 )
log 27 ( 81 ) =
4
3
=
log 3 ( 27 )
log a ( u )
n
log 2 ( 8 )
log 2 4 ( 8 ) =
4
=
3
4
LOGARITMOS COMUNES
A los logaritmos de base 10 , se les denomina logaritmos comunes ( decimales o de
Briggs ). Se simbolizan así:
log ( u ) ( = log 10 ( u ) )
LOGARITMOS NATURALES
A los logaritmos de base “e” , se les denomina logaritmos naturales ( o neperianos , en
honor a Napier ). Se simbolizan así:
ln ( u )
= (log e ( u ) )
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4