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PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
RESUMEN FUNDAMENTOS
PROBLEMA 1. CABLE COAXIAL
PROBLEMA 2. TOROIDE MATERIAL FERROMAGNÉTICO
PROBLEMA 3. IMÁN PERMANENTE
PROBLEMA 4. CÁLCULO INDUCTANCIA
PROBLEMA 5. CIRCUITO MAGNÉTICO
Antonio J. Barbero
Dpto. Física Aplicada UCLM
C.A. UNED Albacete
1
RESUMEN FUNDAMENTOS
Potencial magnético vector debido a corrientes de imanación
Momento magnético (corriente I)

uN

m
  0
Ar  
4


m  I S uN
S
S.I.
 A·m2

  r  r
M r    3 dV 
r  r
S.I.  Wb·m-1
Z
 
Ar 
I
Imanación (magnetización)


1
M  lim   m 
V  0 V 


S.I.
 A·m-1

r
dV 
 
M r 

r
dV 
dV 

m

r  r
Y
Material imanado

M


B   A
X
  0
Br  
4



S.I.  T (= Wb·m-2)
     
 2  
3 M r 
· r  r  r  r   r  r  M r 
dV 
 3
r  r
2
RESUMEN FUNDAMENTOS / 2
Potencial magnético vector en función de densidades
de corrientes de imanación
Corrientes de imanación


Volumétrica J m    M

 
K

M
 uN
Superficial
m
Ecuaciones de la
magnetostática en
medios materiales
S.I.  A·m-2
Corrientes libres
Corrientes de
imanación


J
Condiciones en los límites
campo B: sus componentes
normales son continuas

B2

B1
B2 N
Medio 2
B1N  B2 N
B1N
Medio 1

 
J m r 
0
  dV  
r  r
4

S.I.  A·m-1



  B  0 J f  J m

·B  0
 

Ar   0
4

 
K m r 
  dS 
r  r
S.I.  Wb·m-1
Campo H

 B

H
M
0
S.I.  A·m-1



B


·H  ·  M 
·H  ·M  m
 0




 

 1
B
 B  M
 H  J f
  H      M  
 0
 0
Condiciones en los límites campo H:
Si no hay corrientes superficiales sus
componentes tangenciales son continuas

Medio 2
H2
H1t
H1t  H 2t
H 2t

H1
Medio 1
Densidad de
“carga
magnética”
Corrientes
libres
Si hay corrientes
superficiales K
H 2t  H1t  K


H2
H1t
K
H 2t

H1
Medio 1
3
Medio 2
RESUMEN FUNDAMENTOS / 3
MEDIOS MAGNÉTICOS LINEALES
La imanación M es proporcional al campo H


 
B  0 H  M
El campo B también:
0 1   m   



M  m H
Susceptibilidad
magnética
(adimensional)
m


B  0 1   m H
1   m   r
Permeabilidad magnética del medio
Permeabilidad relativa
MEDIOS DIAMAGNÉTICOS
m  0
Susceptibilidad negativa
En casi todos ellos
 m  1
   0
En muchos casos
 m  1
   0
MEDIOS PARAMAGNÉTICOS
m  0
Susceptibilidad positiva
INDUCTANCIA
El flujo magnético debido a la corriente que circula por
un circuito es proporcional al valor de dicha corriente


B
S
I
L

I
Coeficiente de proporcionalidad entre
flujo y corriente L  autoinducción
  LI
Unidades S.I.  H
Si se trata del flujo magnético inducido en un circuito (1) por la
corriente que circula por otro circuito (2)  inducción mutua
M 12 
1
I2
M 21 
2
I1
M12  M 21
Unidades S.I.  H
4
RESUMEN FUNDAMENTOS / 4
MATERIALES FERROMAGNÉTICOS. CICLO DE HISTÉRESIS
En el eje de ordenadas puede representarse
bien la imanación M o bien el campo B
Imanación
del material
Cuando el campo magnético aplicado cae
a cero, sigue existiendo magnetismo
remanente (esto tiene utilidad para
almacenamiento magnético de datos)
El campo magnético aplicado debe
invertirse y alcanzar un valor llamado
campo coercitivo para que la imanación
vuelva a ser nula
Saturación en
sentido opuesto
Material imanado hasta
saturación por alineación
de dominios
M
Curva de primera imanación cuando
el material ferromagnético se imana
desde campo cero
Campo magnético
aplicado
H
El ciclo de histéresis muestra que la imanación de
un material ferromagnético depende de su
historia previa. Una vez se ha llevado el material
a saturación el campo aplicado H puede ser
reducido a cero pero el material retiene buena
parte de su imanación (“recuerda su historia”).
5
RESUMEN FUNDAMENTOS / 5
CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Cuando la permeabilidad de los materiales que intervienen es alta, puede suponerse que las líneas de campo
magnético permanecen confinadas dentro del material, y que el flujo magnético no se dispersa. En esas
condiciones el flujo desempeña un papel análogo al de la intensidad de corriente y puede procederse por
analogía con un circuito eléctrico y resolver el problema considerando las equivalencias entre magnitudes
eléctricas y magnéticas que se indican a continuación.
Circuito magnético equivalente
Circuito
magnético
Circuito eléctrico
I0
I A
fmm A·v 
N0
I0
Fuerza electromotriz (fem)
I

R
La resistencia eléctrica de un
conductor depende de su
conductividad , su longitud L y
del área de su sección recta S.
R
1 L
 S
fmm  N 0  I 0
 V
R 
Ley de Ohm
 Wb
L = longitud media del
circuito (línea discontinua)
S = área de la sección
recta del circuito
r = permeabilidad relativa
del material del circuito
Equivalente ley de
Ohm para circuitos
magnéticos

fmm
R
R A·v/Wb 
Fuerza magnetomotriz (fmm)
Reluctancia
(A·v/Wb)
R
1
L
 R 0 S
La reluctancia magnética de un
medio depende de su permeabilidad
r0, su longitud L y del área de su
sección recta S.
Equivalencias
fmm  fem
flujo magnético   intensidad
6 I
reluctancia  resistencia
PROBLEMAS RESUELTOS
7
P1. CABLE COAXIAL
El modelo de cable coaxial consiste en un conductor cilíndrico no magnético infinitamente
largo, de radio a, rodeado por una funda exterior conductora de radio b > a y grosor
infinitesimal, la cual lleva la corriente de retorno. Entre ambos conductores hay un material
magnético no conductor, homogéneo y lineal de susceptibilidad m. Por el conductor interior
circula una densidad de corriente uniforme J0 A·m-2.
Explicar cómo está distribuida la corriente de retorno en el conductor exterior y calcular los
valores de los vectores magnéticos H, M y B en todos los puntos del espacio.
Z
Material magnético
no conductor  m


J  J 0 uZ
Conductor interior
no magnético
Densidad de corriente


J  J 0 uZ A·m2


Intensidad = flujo densidad de corriente
b
Y
I 0  J 0  a 2 (A)
a
La corriente de retorno transporta la
misma intensidad distribuida en una
película muy fina sobre la superficie
del conductor exterior: se trata de una
densidad superficial de corriente cuyo
sentido es contrario al del vector J del
conductor interno.
X


K  K0  uZ 
Conductor exterior (funda
de grosor infinitesimal)
J0 a2
K0 

2 b
2b
I0
A·m8 
1
P1. Cable coaxial / 2
Conductor interno r  r1  a
Campos H, M, B
Conductor interno
Vista desde arriba, eje Z saliente
Z


J  J 0 uZ


Densidad de corriente J  J 0 uZ
C1
C1
b

u
r1
a


u
Y
a
H1

r1
H1
X
X


K  K0  uZ 
C1 es la circunferencia centrada
en el origen y de radio r1 e I es
la corriente encerrada por C1.
 
H ·dl  I



H ·u ·dl·u  H dl  H ·2 r  I  I


Ley de Ampère:
C1
1
C1


Campo M

1
1
1
0


2
r12
2 r1
 J0  a
a2
a2
La corriente

libre I genera un
campo H  H1 que sólo tiene


componente u ya que J
sólo tiene componente Z.


J
H 1  0 r1 u
2
Válido en
r  r1  a
C1
La susceptibilidad del conductor interior es  m1  0 (material no magnético)


M


H

1
m1 1  0






J
B1
B1   0 0 r1 u
B1  0 H1
Campo B
 H1
0
2
9
Y
P1. Cable coaxial / 3
Material magnético a  r2  b
Campos H, M, B
Material magnético
Vista desde arriba, eje Z saliente
Z


J  J 0 uZ


Densidad de corriente J  J 0 uZ
C2
C2
radio a
b

u
Y
Y
a
r2

H2

b

u
r2
H2
X
X


K  K0  uZ 
C2 es la circunferencia centrada
en el origen y de radio r2 e I es
la corriente encerrada por C2.
 
H ·dl  I



H ·u ·dl·u  H dl  H ·2 r  I  I  J  a


Ley de Ampère:
C1
2


2
C2

Campo M

Campo B
2
2
0
C2
0
2
La corriente
 libre I genera un
campo H  H 2 que sólo tiene


componente u ya que J
sólo tiene componente Z.

J 0a 2 1 
H2 
u
2 r2
La susceptibilidad del material magnético es  m 2   m

B2
0




 H 2  M 2  1   m  H 2


B2  0 1   m  H 2
Válido en
a  r2  b
Material
magnético
lineal


J 0a 2 1 
M 2  m H 2  m
u
2 r2

J 0a 2 1 
B2  0 1   m 
10u
10
2 r2
P1. Cable coaxial / 4
r3  b
Zona exterior
Campos H, M, B
Material magnético
Vista desde arriba, eje Z saliente
Z


J  J 0 uZ


Densidad de corriente J  J 0 uZ
radio a
b
C2
Y
Y
a
C3

r3
H3

u

b
r3
X
X


K  K0  uZ 
Ley de Ampère:

C3
 
H ·dl  I
C3 es la circunferencia centrada
en el origen y de radio r3 e I es
la corriente encerrada por C3.
Como la línea C3 abraza la corriente I0 del conductor interno y la corriente –I0 del conductor
externo, la corriente neta que abarca es nula, y por tanto el campo H es igual a cero para r > rb.
Además, al estar fuera del material magnético, M también es igual a cero, y por tanto también
B es igual a cero. Fuera del cable coaxial todos los campos son nulos.
11
P1. Cable coaxial / 5
Gráficas campos H, M, B
H

H
J 0a 2 1
2 a
J0
r
2
J a2 1
 0
2 r
0
B
J0
r
2
ra
 0
ar b
J 0a 2 1

2 r
r b
0
El campo B sólo
tiene componentes
tangentes, aparecen
discontinuidades en
r = a y en r = b.
J 0a 2 1
2 b
B
J a2 1
 0
2 a
a
b


K  K0  uZ 
0
J 0a 2 1
2 a
r b
J 0a 2 1

2 b
r
0
r
No hay discontinuidad en
H porque en la superficie
del conductor interior r = a
no hay densidad superficial
de corriente libre.
La densidad de corriente
libre superficial K en r = b
es la causa de la
discontinuidad de H.
m
m
J 0a 2 1
2 a
ar b
  0 1   m 
M


J  J 0 uZ
ra
M
a
ra
b
J 0a 2 1
 m
ar b
2 r
0
r b
Las
densidades
de
corrientes superficiales de
imanación Km‘s son la
causa de la discontinuidad
de M en r = a y en r = b.
J 0a 2 1
2 b
r
a
b
Cálculo de corrientes de
imanación en
12
transparencia siguiente
P1. Cable coaxial / 6
CORRIENTES SUPERFICIALES DE IMANACIÓN

 
Corriente superficial de imanación K m  M  uN

u N dirigido desde dentro del material magnético hacia fuera
M
0
m
2
J 0a 1
2 a
M

M b  u
ra


 

u  u r  u Z
u N b  ur

J 0a 2 1 
J 0a 2 1  
 uZ 
K m b    m
u  ur   m
2 b
2 b
J 0a 2 1
ar b
2 r
0
r b
 m


u N a   ur
J 0a 2 1
m
2 b
Z

M a  u
a
b
Z
r
a



u   u r   u Z

J a

J a
K m a    m 0 u   ur    m 0 u Z
2
2
Densidades corriente superficial
Libre:


K  K0  uZ  en r  b


J  J 0 uZ
b
b
a
X
Y
De imanación:

J a2 1 
 uZ 
K m b    m 0
2 b

J a
K m a    m 0 u Z
2
13
P2. TOROIDE MATERIAL FERROMAGNÉTICO
Un toroide de material ferromagnético de espesor muy pequeño
comparado con su diámetro tiene un entrehierro d = 2 mm. Sobre él se
enrollan N = 517 espiras por las que se hace pasar una corriente I = 2 A.
La circunferencia completa de la sección central del toroide mide L =
942 mm (línea discontinua en la figura). La gráfica es la curva de
primera imanación del material ferromagnético. Determinar el campo
magnético en el entrehierro. ¿Cuál es la permeabilidad de este material
ferromagnético en las condiciones de operación indicadas?
B T 
0.8
N
d
Solución: Ley de Ampère aplicada a lo largo de la línea discontinua:
H f L  d   H 0 d  N I
B f  0.65  5.91·104 H f
0.7
I
P2
Subíndices: f, ferromag; 0, entrehierro
0.6
Continuidad componente normal de B:
B f  B0   0 H 0
Bf
H f L  d  
dNI
0
0.5
B0  0.38 T
0.4
0.3

Hf
0.1
H f  425 A·m 1

H A·m 1
P1
0
0
200
H0 
400
B0
0

600
800
1000
1200
Hf 
Bf

 

P1 :
H f  0  B f  0.65
P 2 : H f  1100  B f  0
0.38
 3.02 ·105 A·m 1
7
4 ·10
Permeabilidad del material
1400

Hf
 
B0 
B Bf
NI
 Ld 
B f  0
 0 
H f
d
 d 
0.2
d

H0
Bf
Hf

0.38
 8.94 ·10  4 H·m 1
425
r 

 711
0
14
P3. IMAN PERMANENTE
Determinar el campo magnético en el eje
 de un cilindro recto imanado de radio R y
altura L, cuya imanación constante es M  M 0uz Representar gráficamente.


 
El cilindro imanado se comporta como una lámina cilíndrica 
J s  M  ur  M 0uz  ur  M 0u
por la que circula una corriente superficial Js cuyo módulo es
M0 (A/m)
Z
Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz’ que transportan
la corriente superficial Js. Cada una de esas cintas se encuentra a
(0,0,z)
una altura z’ sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en
z’ se encuentra a una distancia ( z  z ' )2  R2 del punto donde hay
que determinar el campo magnético.



M  M 0uz
u

uz

Js
L
El campo magnético de una espira
circular (radio R) que transporta la
corriente I en un punto z de su eje es
dz '

ur
z'
R
Y

u

uz
X

B

ur
L
Análogamente el campo creado en
z por cada una de las cintas que
transportan la corriente M0dz’ es

 0 R 2 M 0 dz ' u z
  2( z  z')  R 

dB 
2
0
L
 ( z  z')  R 
dz '
2
0
2 3/ 2

1 
z

2 
R  z 2  R 2


 z  L 2  R 2 
2 3/ 2

0 M 0 
2

B

dB 

0 R 2 I
2 z 2  R2

u
3/ 2 z


0 R 2 M 0dz ' u z

2 ( z  z' )  R
2


 2
u z
2
2
2
( z  L)  R 
 z  R
z
zL
zL
15

2 3/ 2
P3. IMAN PERMANENTE / 2


z
z

1
  M 
0 M 0 
z
zL
L
L

B


 2
  0 0
2
2
2
2
2
2
2

2  z  R
2
( z  L)  R 
z   R
z   R 


    
  1    
  L   L 
 L   L  
Representación gráfica del módulo del campo B frente a z/L para distintos valores de R/L
0,8
0,7
B (unidades 0M0)
0,6
R
 0.5
L
0,5
0,4
0,3
R
1
L
R
2
L
0,2
R
 10
L
0,1
0,0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
z/L
16
P3bis. IMAN PERMANENTE / 3
Partiendo del resultado anterior, determinar el campo magnético H en el eje de un

cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es: M  M 0uz
Representar gráficamente para R/L = 0.25


z
z



 0 M 0 
1
z
zL

M


L
L
B


u z  0 0 

 uz
2
2
2
2
2
2
2
2
2  z R
2
(
z

L
)

R

z
R
z
R










    
  1    

 L
L
L


B
0
 
 H M
L 

B
Dentro del imán 0  z/L 1

H

B
0
 
 
z
z
 
 
1

 1 
 
L
L

 M  M 0 uz  
  1
2
2
2
2
2
   z  R
 z  R  
  1     
   L  L 




L  L  
 
0.5
0.4

H
unidades
R / L  0.25
M0 
0.3
0.2
Fuera del imán

H

B
0


z
z


1
M0 

L
L



 uz
2
2
2
2
2
z
R
z
R








    
  1    
  L   L 
L  L 
0.1
-0.50
0
0.00
-0.1
z/L
0.50
1.00
1.50
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
Fuera del imán H tiene el mismo sentido
que B; dentro tiene sentido contrario.
17
P4. CÁLCULO INDUCTANCIA
Calcular la inductancia por unidad de longitud de una línea bifilar de cables paralelos de
radio a cuyos centros están separados en el vacío una distancia d (d >> a).
Campo magnético creado por cada conductor a la
distancia x de su respectivo centro (ley de Ampère)
Y
B1 
0 I
2 x
B2 
Campo total: B  B1  B2 
I
S
I
Flujo:  
l
X
2a

 
B·dS 
xd a

xa
S
0 I
2 d  x 
0 I  1
1 
 

2  x d  x  
0 I  1
1 
 
 · l dx
2  x d  x  
Y
d
dx
x
Z
xd a
 I
 I 
x 
xd a
  0 · l ln x  ln d  x x  a  0 · l ln

2
2
 d  x  x  a
 I  d  a 
a  0 I · l d  a 
  0 · l ln
 ln
   ln a


2
a
d

a


B2
B1
1
LI 
LI
0 I · l d  a  0 I · l d
ln

ln

a

a
Coeficiente de autoinducción
por unidad de longitud:
X
dx
2a
Relación flujo / autoinducción
2
Zona donde hay que
calcular el flujo magnético
xa
x  d a
B2
d  a  d 
L 0
d

ln
l

a
2a
dS  l dx
B1
H/m 
I
Vista en
perspectiva
I
l
18
dx
P5. RESOLUCIÓN CIRCUITO MAGNÉTICO
El contorno exterior del doble cuadro de la figura está formado
por un material de permeabilidad relativa 5024 cuya longitud
media (línea discontinua abcdefa) es 40 cm. El material del
separador central tiene una permeabilidad relativa de 3024, y su
longitud es 5 cm. El arrollamiento de la parte izquierda está
formado por 100 espiras, por las que se hace circular una
corriente de 1.2 A. Determinar el flujo magnético , el campo B
y el campo H en las tres ramas del doble cuadro. (Pueden
despreciarse las pérdidas de flujo).
a
c
b
I  1.2 A
5 cm
I  1.2 A
e
f
d
Datos: Permeabilidad magnética del vacío: 0 = 4·10-7 H/m. El área de sección recta del doble cuadro es S = 10 cm2.
Refab  R1
Solución. Veamos el circuito magnético equivalente
a
I  1.2 A
Rama 1
I  1.2 A

f
Rama 2
 
N  100
e
b
c
b

Rama 3
2
1
Rbe  R2
fmm  N ·I

3
Rbcde  R3
d
e
Rama Longitud
1
2
3
Propiedades magnéticas
L  Lefab  Labcdefa / 2  0.20 m   50240  6.31·103 H/m
L  Lbe  0.05 m
   30240  3.80·103 H/m
L  Lbcde  Labcdefa / 2  0.20 m   50240  6.31·103 H/m
Reluctancias del circuito magnético
1 L / 2
R1  Refab 
 3.17 ·10 4 Av/Wb
 S
1 L
R2  Rbe 
 1.32 ·10 4 Av/Wb
  S
R3  Rbcde 
1 L / 2
 3.17 ·10 4 Av/Wb
 S
19
P5. RESOLUCIÓN CIRCUITO MAGNÉTICO /2
Refab  R1
Refab  R1
b
b
3
2
1
Rbcde  R3
Rbe  R2
fmm  N ·I

1
R2 // R3 
fmm  N ·I
R2 ·R3
 9.30 ·103 Av/Wb
R2  R3
e
e
Reluctancias del circuito magnético
1 L / 2
R1  Refab 
 3.17 ·10 4 Av/Wb

 S
1 L
R2  Rbe 
 1.32 ·10 4 Av/Wb
  S
R3  Rbcde 
1   2   3
1 L / 2
 3.17 ·10 4 Av/Wb
 S
Asociación de reluctancias en paralelo R2//R3
Reluctancia equivalente del circuito: serie + paralelo  R1 + (R2//R3)
Fuerza magnetomotriz: fmm  N·I  120 Av
Ecuación del circuito: fmm  1· R1  R2 // R3 
Flujo en el bobinado:
fmm
1 
 2.93 ·10 3 Wb
R1  R2 // R3 
Cálculos de flujo en ramas 2 y 3: hay un “divisor de flujo” similar al divisor de corriente en un circuito eléctrico.
1
1
2
3
1· R2 // R3    2· R2
2 
R2 // R3
1  2.07 ·10 3 Wb
R2
R2
R3
1· R2 // R3    3· R3
3 
R2 // R3
1  8.59 ·104 Wb
R3
20
P5. RESOLUCIÓN CIRCUITO MAGNÉTICO /3
 2  2.07 ·103 Wb
1  2.93 ·103 Wb
a
I  1.2 A
3
2
I  1.2 A

f
d
Cálculos de campos H  H 
H1 
B1
 463.87 A/m

H2 
B2
 544.51 A/m
 
H3 
B3
 136.13 A/m

B1 
1
 2.93 T
S
B2 
2
 2.07 T
S
a
I  1.2 A
Campos B en el interior
B2
B


S
B1

B3  3  0.86 T
S

e
S  10 3 m 2
Cálculos de campos B  B 
 
1
N  100
c
b
 3  8.59 ·10 4 Wb
c
b
H1
Comprobación de Ampère bucle izquierdo,
camino efabe
H1·L  H 2·L  120 A/m
H2
H 3·L  H 2·L  0
L  0.20 m
efab bcde
e
L  0.05 m
be
(hay fmm)
Comprobación de Ampère bucle derecho,
camino bcdeb
H3
I  1.2 A
f
B3
d
(no hay fmm)
Comprobación de Ampère bucle exterior,
camino efabcde
H1·L  H 3·L  120 A/m
(hay fmm)
21
BIBLIOGRAFÍA
LIBROS
1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3ª edición. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill
2. Wangsness R.K. Campos electromagnéticos. Cap. 20. Limusa.
3. Cheng D.K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Cap. 5. Addison-Wesley.
4. Ulaby F.T. et al. Fundamentals of Applied Electromagnetics. Chapter 5. 6th Ed. Prentice-Hall.
RECURSOS EN LA RED
http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/Electromagnetism.html
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Materiales_magn%C3%A9ticos
http://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/EMO2.htm
22