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Razones Trigonométricas
de ángulos agudos
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Razones Trigonométricas de ángulos agudos
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Un triángulo rectángulo es aquel en el que uno de sus ángulos es
recto (90°), los otros dos son agudos. Llamaremos catetos a los lados
que forman el ángulo recto, siendo la hipotenusa el lado opuesto a
ese ángulo.
β
En la figura mostrada:
c : hipotenusa
a ˆ b : catetos
α ˆ β : ángulos agudos
Además en el triángulo rectángulo se cumple
que:
a2 + b2 = c 2
c> aˆ b
α + β = 90°
a
α
b
2
Razones Trigonométricas de ángulos agudos
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo
rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las
medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo
con respecto del ángulo agudo.
β
a
α
b
Si en el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados
del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b)
cateto adyacente (a). Podemos definir las razones trigonométricas de
α del modo siguiente:
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RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
Cateto opuesto
α
Cateto adyacente
senα =
cosα =
tgα =
Cateto opuesto
Hipotenusa
Cateto adyacente
Hipotenusa
Cateto opuesto
Cateto adyacente
Hipotenusa
cscα =
secα =
Cateto opuesto
Hipotenusa
Cateto adyacente
ctgα =
Cateto adyacente
Cateto opuesto
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Ejempl0 1
Halla las razones trigonométricas del menor ángulo de un triángulo
rectángulo, si la hipotenusa mide 5m y uno de los catetos mide 3m.
Solución
Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar
la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de
Pitágoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a
encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas
definiciones.
3
5
senα 
csc α 
5
3
α
5
4
3
cos α 
4
5
sec α 
5
4
tan α 
3
4
cot α 
4
3
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Ejempl0 2
Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15m. Halla
las razones trigonométricas del mayor ángulo agudo.
Solución
Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de
Pitágoras; luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus
respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos:
17
15
α
8
senα 
15
17
csc α 
17
15
cos α 
8
17
sec α 
17
8
tan α 
15
8
co t α 
8
15
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOS NOTABLES
Considerando los
siguientes triángulos:
k
45°
Se obtiene:
k 2
45°
k
k
60°
2k
30°
k 3
3k
53°
5k
4k
R.T
30°
37°
45°
53°
60°
sen
1/2
3/5
2 /2
4/5
3 /2
cos
3/2
4/5
2 /2
3/5
1/2
tg
3 /3
3/4
1
4/3
3
ctg
3
4/3
1
3/4
3/3
sec 2 3 / 3
5/4
2
5/3
2
csc
5/3
2
5/4
2 3/3
2
37°
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EJERCICIOS PARA LA CLASE
01. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B); calcular:
E = 2tanA.tanC + 3cosA.cscC
02. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C); reducir:
2c.cosB + b.tanA
E=
a + c.senA
03. En un triángulo rectángulo, los lados de menor longitud miden 2 y 3cm.
Si el mayor de los ángulos agudos mide “”; calcular:
5
E = 2sen 2β 13
04. En un triángulo rectángulo ABC recto en A se sabe que: b + c = 14 y
senB.senC = 0,48. Calcular la longitud de la hipotenusa.
05. En un triángulo ABC (B = 90º), se sabe que: secA = 2,6. Si el perímetro
del triángulo es 60cm, ¿cuál es su área?
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Son recíprocas, aquellos pares de razones trigonométricas de un mismo
ángulo, que al multiplicarse entre si resultan la unidad. Se definen la
cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas (inversas)
al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
La cosecante es la razón recíproca del seno, o su inverso multiplicativo:
csc α 
1
s enα
s enα . csc α  1
La secante es la razón recíproca del coseno, o su inverso multiplicativo:
sec α 
1
cos α
cos α . s e c α  1
La cotangente es la razón recíproca del tangente, o su inverso multiplicativo:
ctgα 
1
tgα
tgα . c tgα  1
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EJERCICIOS PARA LA CLASE
06. Sabiendo que sen(2x + 15)° . csc65° = 1, halla el valor de x
07. Si cos(3x + 10)°. sec(x + 70)° = 1, calcula el valor de x
08. Halla el valor de x si tg(5x – 50)° . ctg(4x + 20)° = 1
09. Si se cumple que: cos(7x2 – 3)° . sec(2x + 9)° = 1
ìï sen(3x + 2y - 30)°. csc(x - y + 10)° = 1
10. Calcula x e y en: ïí
ïï tg(5 x + y + 20)°.ctg(x + 2y + 30)° = 1
î
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un
ángulo recto (90°).
β
a
α
b
En la figura se muestra:
α ˆ β : Son ángulos complementarios (α + β = 90º)
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto a como α y al ángulo
opuesto al cateto b como β en consecuencia:
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
senα =
β
cosα =
tgα =
c
a
ctα =
secα =
α
b
cscα =
a
c
b
c
a
b
b
a
c
b
c
a
senβ =
cosβ =
tgβ =
ctgβ =
secβ =
cscβ =
b
c
a
c
b
a
a
b
c
a
c
b
cosα = senβ
senα = cosβ
ctgα = tgβ
tcgα = tgβ
cscα = secβ
secα = cscβ
“Las razones trigonométricas de todo ángulo agudo son respectivamente
iguales a las co-razones trigonométricas de su ángulo complementario”
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Ejemplos:
sen 25° = cos 65°
tg 50° = ctg 40°
sec 12° = csc 78°
Ejercicio 1
Halla el valor de θ en:
Sen 2θ = Cos 84°
Solución
Dado que deben ser ángulos
complementarios:
 2θ + 84° = 90°
 2θ = 6°
 θ = 3°
porque
porque
porque
25° + 65° = 90°
50° + 40° = 90°
12° + 78° = 90°
Ejercicio 2
Halla el valor de θ en:
tg 5α = ctg α
Solución
Dado que deben ser ángulos
complementarios:
 5α + α = 90°
 6α = 90°
 α = 15°
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EJERCICIOS PARA LA CLASE
11. Si sen(3x + 10)° = cos(2x + 53)° , calcula el valor de x
12. Si sec(5x – 40)° = csc(2x – 10)°, halla el valor de x
13. Si tg(2x + 15)° . tg51° = 1, halla el valor de x
14. Siendo:
tg(x 2 + 5 x - 1)°
ctg(6x + 11)°
= 1 . Halla el valor de x (x є Z+)
ìï sen(2x + y + 8)° = cos(x + 2y + 16)°
15. Calcula x e y en: ïí
ïï sec(2x + 3y - 8)° = csc(x + y + 20)°
î
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