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Elementos de Probabilidad y Estadística
Problema Semanal 9
Juego Desfavorable.
Problema:
Un juego consiste de una serie de partidas. En cada partida alguno de los dos jugadores
gana un punto (es decir, no hay empates), el primero con probabilidad p y el segundo con
probabilidad q = 1 – p, que son conocidas por los jugadores. El número de partidas es par y
para ganar es necesario lograr más de la mitad de los puntos. Si p < q y el primer jugador
puede escoger el número de partidas, ¿cuál es la mejor selección?
Solución:
Llamemos A al jugador con probabilidad de p de ganar y B al otro jugador. A primera vista
puede parecer que como el juego es desfavorable para A, a este le conviene seleccionar el
menor número de partidas posible, que es 2, pero esto no siempre es cierto. Veamos.
Sea N=2n el número de partidas, la probabilidad de que A gane es la probabilidad de que
gane más de n partidas, y sabemos que la probabilidad de ganar k partidas tiene distribución
binomial de parámetros N=2n y p. Por lo tanto, si llamamos P2n la probabilidad de que A
gane si se juegan 2n partidas,
2n
 2n 
P2 n     p k q 2 nk
k  n 1  k 
Si extendemos el juego a 2n+2 partidas, la probabilidad de ganar al menos n+2 puntos, y
por lo tanto el juego, es
2 n  2 2n  2

 k 2 n 2 k
p q
P2 n 2   
k 
k n 2 
Ahora bien, si el jugador A había ganado n+2 o más partidas en las n primeras, sigue siendo
el ganador aunque se jueguen las dos partidas adicionales. Si en cambio había ganado n-1 o
menos puntos, aun cuando ganase las dos partidas adicionales no podría ganar el juego. Por
lo tanto los resultados de jugar n partidas o n+2 sólo pueden diferir si A ganó n o n+1
puntos en las primeras n partidas. Por lo tanto P2n y P2n+2 coinciden excepto por estas dos
posibilidades:
 A gana n+1 partidas en las primeras 2n pero pierde las dos partidas adicionales, con
lo cual reduce su probabilidad de ganar en 2n + 2 juegos en
 2n  n1 n1
 p q
q 2 
 n  1

A gana n partidas en las primeras 2n y gana las dos siguientes, con lo cual aumenta
su probabilidad de ganar en
 2n 
p 2   p n q n
n
Si N = 2n es el valor óptimo entonces PN-2 ≤ PN y PN ≥ PN+2. Por los resultados anteriores
estas desigualdades son equivalentes a
 2n  2  n n  2
 2n  2  n1 n1
 p q  p 2 
 p q
q 2 
 n 
 n 1 
 2n  n1 n1
 2n 
 p q  p 2   p n q n
q 2 
 n  1
n
A partir de la primera de estas desigualdades tenemos
(2n  2)! n n
(2n  2)!
p q 
p n1q n1
n!(n  2)!
(n  1)!(n  1)!
y simplificando obtenemos que (n-1)q ≤ np que equivale a n ≤ q/(q-p). En cuanto a la
segunda desigualdad
(2n)!
(2n)! n 2 n
p n1q n1 
p q
(n  1)!(n  1)!
n!n!
y simplificando obtenemos nq ≥ (n+1)p que equivale a n ≥ p/(q-p). Combinando estas dos
desigualdades y multiplicando por 2 obtenemos
2p
2q
 2n 
q p
q p
que equivale a
1
1
 1  2n 
1
1 2 p
1 2 p
Por lo tanto, a menos que 1/(1-2p) sea un entero impar, N está determinado de manera única
como el entero más cercano a 1/(1-2p). Cuando 1/(1-2p) es impar, los dos enteros
adyacentes dan la misma probabilidad óptima.
A partir de esta fórmula es posible ver que si p < 1/3, el valor óptimo para el número de
juegos es 2.
Comentarios:
Este problema se puede encontrar en el libro de F. Mosteller Fifty challenging problems in
probability with solutions, Dover Pub., 1987.