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Números complejos en forma trigonométrica
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales de la
forma a+bi= (a, b)
Esta definición, permite graficar cada núme ro complejo en un plano cartesiano.
El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + b i se
representa:
Ejemplos:
Los pares ordenados de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los
imaginarios sobre el eje imaginario, Y.
Norma de un número complejo
Ejercicios sobre la norma de números complejos:
1. Encuentre el valor de el número real x para que
25  xi2
se un número complejo
imaginario puro. Solución=
X=  25
2. Dado el número complejo z 
de z valga
x i
, Encuentre el valor de x para que el módulo
2i
2
X=  3
3. Encuentre el valor de x para que se cumpla la siguiente igualdad:
x i
 2i
2i
X=5-i
4. Dados los complejos
z  3  mi y z'  2 5  5 i ; Encuentre el valor de m para que
los módulos de z y z’ sean iguales.
m=  4
5. Encuentre a  IR para que:
a  2i
2
1i
a=  2
6. Encuentre el módulo del complejo z 
x i
x i
z 1
7. Determinar para que el módulo del complejo z 
x i
sea
1i
X=  3
8. Encontrar el valor de x para que la operación


a) Sólo parte real  x  
b) Sólo parte imaginaria
c)
2  xi
tenga:
1  3i
2

3
x  6
Pare su parte real y su parte imaginaria sean iguales.
x  1
5.
Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo:
Considere el siguiente triángulo rectángulo:
Una razón trigonométrica es una razón (división) entre las longitudes de dos
lados de un triángulo rectángulo. Las tres razones t rigonométricas básicas son el
seno, el coseno, y la tangente. Estas razones se mantienen invariantes en la medida
que no varía el ángulo, es decir, no dependen de la medida del lado sino del
ángulo.
Éstas se abrevian como sen, cos y tan (tg):
Seno
El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la
hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno
El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo o adyacente al
ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.
Tangente
La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el
cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B.
Ejercicio: Determine las razones trigonométricas básicas del ángulo en C.
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales de la
forma a+bi= (a, b)
De acuerdo a lo anterior, vamos a deducir la forma trigonométrica de un
número complejo:
Consideremos el siguiente gráfico de l número complejo a+bi:
Con el triángulo de la figura, podemos calcular
las razones seno y coseno del ángulo
Sen(  )=
Cos(  )=
 :
Si desde aquí, despejando a y b queda:
a=
y b=
recordemos que a y b son la parte real e imaginaria (respectivamente) del complejo
a+bi, que escrito en forma trigonométrica queda:
a+bi =
 debemos recurrir a la ecuación:
b
b
arctan     o, en la calculadora tan 1     , aunque este dato no es exacto, por
a
a
Para saber la medida del ángulo
lo que debemos recurrir a la interpretación geom étrica para lo cual vamos a recurrir a
los siguientes ejemplos:
a) z  1 
3i
b) z  1 
3i
c) z  1 
3i
d) z  1 
3i
Una forma reducida de la forma trigonométrica es la forma polar :
La forma polar de un número complejo z, es aquella en que se da el módulo
argumento
r  z y el
 , luego el complejo z=a+bi, quedará escrito en forma polar z  r .
A modo de ejemplo, escribamos en forma polar los complejos transformados en la parte
anterior:
Forma canónica
a) z  1 
Forma polar
3i
b) z  1 
3i
c) z  1 
3i
d) z  1 
Forma Trigonométrica
3i
Ángulos Notables:
Vamos a crear una tabla con las razones trigonométricas más usadas, para ello vamos a
utilizar los siguientes triángulos:
30º
Seno
Coseno
Tangente
45º
60º
Razones trigonométricas de un ángulo de 60º
Sen 60º :
Cos 60º :
Tan 60º :
Razones trigonométricas de un ángulo de 30º
Sen 30º :
Cos 30º :
Tan 30º :
Razones trigonométricas de un ángulo de 45º
Sen 45º :
Cos 45º :
Tan 45º :