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Periodo Compensatorio: Diciembre 2016 – Febrero 2017
I) Operaciones con números enteros
Matemática III – Tercer Año – Turno Tarde – EPET N° 3
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II) Ecuaciones en Enteros:
I. Resuelve las siguientes ecuaciones; comprueba si el resultado al que arribás es correcto :
a) x + 3 -1 = 34
h) (x + 15 ) : 5= 45
b) 6 + 9 + x = 17 - 2 - 8
i) 9x = 72
c) 2x + 4 = 1x - 8
j) x – 4 = 34
d) 15 + 2x = 3
k) 10 + x = -4
e) -5x + 15 = 45
l) 4 + 5x = 24
f) 4x + 9 = 9
m) 5x + 13 = 17
g) -5 (x + 15 )= 45
n) 8x = 64
II. Encierra en un círculo la alternativa correcta, justifica la elección:
1. Para despejar la incógnita en 5x - 4 = 31 hay que :
a) restar y multiplicar
b) sumar y dividir
c) restar y dividir
2. Ana tiene dos años menos que su hermano Pedro y las edades de ambos suman 18 años,
la ecuación que soluciona el problema es :
a) x + x + 2 = 18
b) x + x - 2 = 18
c) x = 18 – 2
3. En 6x + 3 = 27 , el valor de la incógnita es :
a) 5
b) 6
c) 4
4. Un número disminuido en su quinta parte se expresa de la siguiente forma
a) x – 5x
b) x – x/5
c) 5x – x
5. En x – 16 = 18, el valor de la incógnita es :
a) 34
b) 2
c) – 34
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6. Un número aumento en 9 es igual a 27. ¿cuál ecuación es correcta?
a) x – 9 = 27
b) x + 9 = 27
c) 9x = 27
7. Las edades de dos hermanos mellizos suman 24 años. ¿cuál ecuación es la correcta para
calcular la edad de cada uno?
a) x + x + 2 = 24
b) x = 24 + 2
c) x + x = 24
8. En un curso de 40 alumnos hay 6 mujeres mas que varones ¿qué ecuación expresa el
problema?
a) x + 6 = 40
b) x + x + 6 = 40
c) x + 6x = 40
9. La suma de tres números consecutivos es 155. ¿cuál ecuación es correcta?
a) x + x + x = 155
b) x + x + 1+ x + 2 = 155
c) 3x = 155
III. Plantea la ecuación para encontrar la incógnita y luego resuelve.
a) Juan tiene 8 años más que su hermano. Si la suma de las dos edades es 30. ¿Cuál es la
edad de cada uno?
b) Si María tiene 14 años menos que Adriana y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad
tiene cada una?
c) Tres números consecutivos suman 204. ¿Cuáles son los números?
d) La suma de dos números es 210. El mayor es el doble del segundo. ¿Cuáles son los
números?
III)
Potenciación y Radicación en Enteros
Potenciación con números enteros (n > 1, n € N)
I)
utiliza para abreviar la multiplicación de un mismo número cuyo producto se realiza varias veces
El producto a·a·a·a·a·a tiene sus seis factores iguales. Este producto se indica en forma
abreviada como a6.
A a6 se llama potencia de base a y exponente 6.
II)
Potencia es una operación que consiste en multiplicar la base por si mismo tantas veces como
indique el exponente
Ejemplo 1: 53 es una potencia que tiene por base 5 y por exponente 3; por eso multiplicamos
la base 5 tres veces: 53 = 5·5·5 = 125
Ejemplo 2: (–3)2 es una potencia de base (–3) y exponente 2; multiplicamos la base (–
3) dos veces: (– 3)2 = (– 3)·(– 3) = 9
Propiedades:
Todo número elevado a 1, es el propio número. Ejemplo 3: 51 = 5; 41 = 4: (–11)1 = –11.
El exponente 1 no se escribe (no se pone); por lo tanto todo número que no tiene exponente, se
supone que es 1
Todo número (distinto de cero) elevado a 0 es 1. Ejemplo 4: 110 = 1; 3290 = 1; –70 = –1
Conclusiones:
– Si la base es positiva, el resultado de la operación siempre es positiva sea cual sea el
exponente. (en los números naturales la base siempre es positiva)
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– Si la base es negativa, el resultado de la operación depende del exponente:
Si el exponente es par el resultado es positivo (el producto de dos signos negativos da
resultado positivo: (–)·(–) = +
Si el exponente es impar el resultado es negativo (siempre queda un signo negativo sin
aparear).
Para que la base sea negativa tiene que estar entre paréntesis, en cuyo caso también hay
que elevar el signo “ – “
III) Ejemplos:
25 = 2·2·2·2·2 = 32
(– 5)3 = (– 5)·(– 5)·(– 5) = –125 (base negativa con exponente impar: por tanto el signo
también se multiplica tres veces).
(–7)4 = (–7)·(–7)·(–7)·(–7) = 2 401
(base negativa con exponente par: el signo se efectúa 4
veces).
– 34 = – 3·3·3·3 = – 81
(la base positiva: se eleva sólo la base y el signo se deja como
esta)
(–3)4 = (–3)·(–3)·(–3)·(–3) = 81
(la base negativa y el signo también se eleva).
IV)
V)
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VI)
VII)
VIII)
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IX)
16)
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IV) Proporcionalidad
PROPORCIONALIDAD DIRECTA.
Cuando el cociente entre dos magnitudes es constante decimos que las
magnitudes son directamente proporcionales.
EJEMPLO
Si un kilogramo de naranjas cuesta $12 ¿Cuánto cuestan 3 kilogramos?
1/3=1200/x
→ x=12×3/1
x= $36
Ejercitación:
1. El precio por litro de nafta super es de $16. Elaborar una tabla que indique el
precio de 5, 10, 20 y 0,5 litros.
2. Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el número de vueltas y el
tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla
N
4
Vueltas
Tiempo 12
minutos
8
20
23
35
30
50
3. Una familia de turista al llegar al hotel le han dado un mapa con los lugares de
interés de la ciudad. Les dijeron que 5 centímetros del mapa representaban 600
metros de la realidad. Quieren ir a un parque que se encuentra a 8 centímetros del
hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se encuentra este parque?
PROPORCIONALIDAD INVERSA.
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Si una magnitud crece mientras la otra decrece decimos que son dos magnitudes
inversamente proporcionales. El producto constante se llama constante de
proporcionalidad inversa.
Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es
constante, son inversamente proporcionales.
EJEMPLO.
En una camioneta se puede transportar 280 litros de agua. la tabla muestra
algunas posibilidades de transportar el agua, según el número de garrafas y la
capacidad de cada uno.
Nª DE GARRAFAS CAPACIDAD DE GARRAFA (L= PRODUCTO
10
28
280
20
14
280
40
7
280
70
4
280
140
2
280
Como el producto de ellas es constante (280), entonces las magnitudes número
de garrafas y su capacidad en litros son inversamente proporcionales.
EJERCICIOS.
4. La tabla describe la relación entre el número de obrero y el número de días que
tardan en hacer un trabajo.
OBREROS 6 12
40
DIAS
30
10
a) Completar la tabla
b) ¿Cuántos obreros se necesitan, para completar la obra en 4 días?
c) ¿Cuántos días tardaran 14 obreros en hacer la misma obra?
5. En la clase de Juan 15 estudiantes deciden hacer una excursión y compran
comida suficiente para 10 días.
a) Si solo pueden ir 10 estudiantes ¿Podrían quedarse más días? Justifica tu
respuesta.
Si solo van 8 estudiantes ¿Para cuantos días alcanzara la comida?
6.Una piscina portátil ha tardado en llenarse seis horas utilizando cuatro grifos
iguales. ¿Cuántos grifos, iguales a los anteriores, serían necesarios para llenarla
en 3 horas?
7. Para construir una casa en ocho meses han sido necesarios seis albañiles.
¿Cuántos habrían sido necesarios para construir la casa en tan sólo tres meses?
8. En una fábrica automovilística, una máquina pone, en total, 15.000 tornillos en
las 8 horas de jornada laboral, funcionando de forma ininterrumpida. ¿Cuántos
tornillos pondrá en 3 horas?
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V) GEOMETRIA-INTRODUCCIÓN:
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VI)Teorema de Pitágoras: Ejercitación
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VII)
Razones Trigonométricas:
Resuelve:
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2)
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