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AMPLIACIÓN
DE
MATEMÁTICAS
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
TEMA 1
NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES
1. De los siguientes números:
3
-7
6
0
, 4, 0'23, - 7, 1'54777... , 5 - 3, 257, , 2'375892..., - 3'565656...., - 8, , - 37,
5
5
0
3
Escribe los que son racionales:
Escribe los que son irracionales:
Escribe los no reales:
Escribe los reales:
2. Escribe 5 números irracionales, 5 racionales, 5 reales y 5 no reales
3. Realizar las siguientes operaciones:
(+2) + (-5) + (-2) + (+6) + (-4) + (-2) =
(-8) + (+5) + (-7) + (+2) + (-10) + (+2) =
(+4) – (-6) =
(-7) – (-6) =
(-4) – (+6) =
(+4) · (-6) =
(-7) · (-6) =
(+4) – (+6) =
(+2) · (+6) =
(-8) : (-2) =
(+4) : (+2) =
(-15) : (-3) =
(+12) : (-3) =
(-6) : (+2) =
(+3) · (-5) · (-2) ·(-3) · (+10)=
(-1) · (+6) · (+4) ·(-5) ·(-3) · (-1)=
(2)·(3)·(5)·(4)

(3)·(2)·(2)
4. Efectuar:
a ) (3)  (5)  (4)  (3)  (2)  (1)  (6 
b) 4  (5  3  7  2)  (3  2  1) 
c) 2  3(4  3  5)  (5  7) 
1
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d ) (3  4)  (5.2  12) : 3·(1) 
e) 4·2  6  (9  6  14 : 2)·3 
f ) 1  2  3  4·5  ( 6)  ( 7)  9 
g ) ( 5)  ( 3)·4  ( 2) : 6  ( 8)·2  ( 3)·(4) 
 [(14  3  4)  (3)]  (5) 
  (11  13):(11  10) 
h) 
 (3)  [(7  2  9)  (10)] 
i)
 (5)  [(12)  (3)  14  (9)] 
 [3  (11)  4  (1)]  (2)   [(12  10)  (7  8)] 
j)
 [(4  5  8)  (10)]  (4) 
 (2)  [(10  4  3)  (8)]    (12  16)  (7  9) 
5. Calcula
2
de 750
5
6. Decir si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:
a)
8
3
y
16
6
b)
3
6
y
5
15
c)
6
9
y
8
12
d)
4
10
y
9
15
6
que tenga a 4 por numerador
15
2
8. Escribe una fracción equivalente a
que tenga por denominador 18
3
7. Escribe una fracción equivalente a
9. Busca el término desconocido en cada par de fracciones equivalentes:
a)
3 18

5 x
b)
20
x

30 21
10. Calcula y simplifica el resultado:
a)
7
3 2  
  1   2   
5
4 5  
1 13 1

 1 
11 22 4


1
5
b) 
1 7 6 1
3 1 
7 
2 
1 3  
    5    ·     d)
 · 2 
·  2   
2 3  5 3
11 3  11 
7 
 2 10  
c) 1   : 
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11. Efectuar las siguientes operaciones con fracciones:
9 5
1
1
a)   3   2 
2 4
10
2
 4 8 1 3
b)    :

 5 9 3  12
2
 1
e)  2  
 3
2  1 
d ) ·3    : 2  
4  2 
7 5 5 1  2 1
g)    :  ·    
9 8 6 3  6 8
i)
k)
1  4 2  3 
·   : 
3  5 6  8 
 2 4   3

f)    ·   3  

 3 3   2
2
2 3 1  1 1 3
h)    :   2   · 
5 2 5  2 2 2
 3 2  
3    1

 2 4  25  :  2'25  8  : 1 :  2  0'75  
 
  



j)
c)



5
 
 4'3  2  : 0'1  0'16

6

· 19'4 
 1
 1 3

 2  0'45  :    0'6 
 5
 2 4

2  1 2 3 2 2
·    :    
3 4 7 6 5 3
 4  1 3 6  2
l)  :     · 
 3  3 8 9  3
 1 1   3  5   7 
n)    ·  -    ·  -  
 3 2   4  2   2 
 2 3 1 1 3 8 
m)  · :    · :  
8 8 9 5 7 9
 1  3 4   1
1 2
o)  ·     1  1   
2 5
 2  9 10   3
12. He recorrido los 2/7 de un camino y aún me faltan 3 km. para llegar a su mitad.
¿Cuánto mide el camino?
13. Los 2/5 de mi dinero me permiten comprar 8 lapiceros a 15 céntimos. cada uno.
¿Cuánto tengo?
14. Hemos vendido los 2/5 de una parcela de terreno por 108.000 céntimos ganando en
la operación 36.000 céntimos. ¿Cuánto nos costó la parcela?
15. Hemos vaciado los 4/5 de un estanque y aún nos quedan por sacar 1.080 litros.
¿Cuál es la capacidad del estanque?
16. Las páginas de un libro de Sociales se distribuyen así: 3/5 Geografía, 2/3 del resto
Historia, 7/8 del nuevo resto Ética y las 8 páginas finales Vocabulario. ¿Cuántas
páginas tiene el libro y cuántas cada apartado?
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17. Una mezcla de cereales está compuesta por 7/15 de trigo, 9/25 de avena y el resto
de arroz. a) ¿Qué parte de arroz tiene la mezcla? b) ¿Qué cantidad de cada cereal
habrá en 600 g de mezcla?
18. Los 5/12 de las entradas de un teatro son butacas, 1/4 son entresuelo, y el resto,
anfiteatro. De las 720 entradas que tiene el teatro, ¿cuántas son de anfiteatro?
¿Qué parte del total representan?
19. Julia gastó 1/3 del dinero que tenía en libros y 2/5 en discos. Si le han sobrado 36
€, ¿cuánto tenía?
20. De los 300 libros de una biblioteca, 1/6 son de poesía; 180, de novela, y el resto,
de historia. ¿Qué fracción representan los libros de historia?
21. De un depósito de aceite, se vacía la mitad; de lo que queda, se vacía otra vez la
mitad y, luego, los 11/15 del resto. Si al final quedan 36 l, ¿cuántos había al
principio?
22. Compro a plazos una bicicleta que vale 540 €. Pago el primer mes los 2/9; el
segundo, los 7/15 de lo que me queda por pagar, y luego, 124 €. a) ¿Cuánto he
pagado cada vez? b) ¿Qué parte del precio me queda por pagar?
23. Gasto 1/10 de lo que tengo ahorrado en mi hucha; después, ingreso 1/15 de lo que
me queda y aún me faltan 36 € para volver a tener la cantidad inicial. ¿Cuál era esa
cantidad?
24. Entre tres amigos, Elena, Alejandro y Raquel se repartes 1800 eruos de modo que
a Elena le corresponde 1/3, a Alejandro 2/5 y a Raquel el resto de dicha cantidad.
a) ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?
b) ¿Qué fracción del total le corresponde a Raquel?
25. Un padre deja los 3/5 de su herencia a su hija y 1/3 para su hijo. Además deja
40000eruos a una asociación benéfica. ¿A cuánto asciende el total de la herencia?
26. Un poste de luz tiene enterrado 3/5 de metro y sobresale 2,25 metros. ¿Qué
longitud tiene el poste?
27. Un jardinero siega por la mañana los 3/5 de una pradera de un parque. Por la tarde
siega el resto, que equivale a 4000 metros cuadrados.
¿Cuántos metros cuadrados tiene la pradera?
28. Un vendedor tiene un puesto de golosinas. Por la mañana vende la mitad de los
caramelos que tiene en una cesta. Por la tarde vende la mitad de los que quedaron
por la mañana y ve que le quedan aún 50 caramelos sin vender. ¿Cuántos
caramelos tenía la cesta?
29. Una persona realiza 3/5 partes de un viaje en ferrocarril; los 7/8 del resto en coche
y los 26 kilómetros restantes en motos. Calcular cuántos kilómetros recorre.
30. Mario toma ¼ de litro de leche en el desayuno, 1/5 de litro en la comida, 2/10 para
merendar y 3/8 en la cena. ¿cuánta leche toma cada día?
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31. ¿Qué fracción representan dos meses y medio respecto a un año.
32. Efectúa utilizando las propiedades de las potencias:
a) (2 .2 )  (3 : 3 )  (2 ) 
2
3
4
2
2 3
3
c) 4  3    
2
3
5
(5) ·(2) ·(7) 3 (2) 3
e)

(52 ) 3 ·(7) 2 ·(4) 2
d) (10 : 5) 2  32  (5) 2  (4  3  2  1) 
(5) 3 ·(2) 5 ·(14) 3

(25)·(7) 2 ·(4) 2
g)
2
0
2 
3 2
35 : 3 7 
(2) 3 ·(2) 4 (2) 
f)
2
( 3) 4 4 3
b)
. 
( 3) 2 4 2
4 3 

4 5 · 4 -2

42
(-2) · (-2) · (-2)  7 
2
3
50 
0
5 -3 
33. Efectúa utilizando las propiedades de las potencias:
4
 1
0,2  3   
 10 
1) -2
=
10  0,5-1  8 -1
2)
3
2
4
3
 1
 
 2
 1
6  
 4
3
 1  1
10      
 4 2
5)
0,02  0,25 - 4
=
0
4)
5
6

6)
2
9
 1
 
 6
2
 0,02
2
 36

0,6
2
-1
 18 -2
=
8)
3
1

2
2
 1
 
 3
-3
3
3
 1
 
 3
 1
 
 3
2
2

3
 0,25
=
3
 18
 1
10  3   
 5

 1
0,16 2  36 1  13,4 
3=
10)
2
1
2
 
   0,27  3-2
 9
5
=
2
2
 3
  
 2
2
=
 2
  
 3
 1
2 3  
 2
3
 1
0,08  2  2 4     0,1 6
 5
 1
 
 5
2
 64
 1
 1
   3 3   
 9
 6
2
2
7)
 3
 
 4
1
2
 1
3     8 2  64  2
 2
2
3)
 1
 
 16 
-1
4
 1
  
 4
 1
  
 8
2
 8
3
=
0
1
0
1
6 1
  · 2 · 
 16 
5 
11)
2
2
3 3
  · 
4 2
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34. Halla el valor de las siguientes expresiones
a) -32=

c)  3

2 3
 
e)  3
3 2
b) (-3)2=


3

d)  3 2

f) (-3)6: (-3)6=
 1  3
g)    ·
 3 

4

6
  . ( 5) 
5

2
 ( 2)·(3)3 
h) 
 
9


2
3
2
 1  3 5
     
 2  2 3
i)  
3
3
2
15 
3

  3  3   3   4
j)    ·     :        ·
 5   5    5    3 



4
3
  
2
2
2
2

1 
3    1   5   5
 2  


k)   1 ·   1   :  2        ·    ·   10  
4 
2    5   3   4
3  





4
 3
  8  1  2   2 
l)   4  : 1      1   · 1   
  3  2  3   5 
 2
2
3
 1 5  2 1 3   2 
m)  :     ·    
2 5   9 
 6 3 
4
 3 

1 3 
n) -  -  : (-3) ·12    1 
2 5 
 5 

1
2 2
0) 0'25  3  ·
3 
13
4
2
6
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35. Extrae las siguientes raíces:
4

225
64 
3
1

729
144 
- 25 
3
 16 
3
81 
3
 27

64
8

125
64 
36. Escribe como potencias los siguientes radicales:
3
3z 
a3 
5
y y 
3
3a b 3
3
2 b
2
x 4a8 

3
2x 2 5 y 2 
c-2

c2
4 3 (x  y) 2 
37. Realiza las siguientes operaciones y pon el resultado en forma de radical:
1
1
3
1
2
1
3
1
4
5 ·5 ·5 
1
2
 13  2
 27  




1
4
2 :2 :2 
3
2
3
2
35 : 7 
38. Extraer los factores posibles:
216b 4 
1
b
32
1024b 5 
1 3
b 
4
36b 3 x 12 
18b 6

75b 3
3
8b 6 c 5 
3
125b 4 x 7 
39. Introduce los factores en el radical y simplifica:
2x x
33 3
3mx 2
1
mx
3
23
9
3
4x 9
xy
3 4
2a 3 9a
3 16
7
3 2
x
8 27
x - y 2 3 5 
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40. Transforma los siguientes radicales en otros equivalentes (tres de cada uno)
3
54 
3
2ab 2 
4
3x 3 y 5 
6
23 x 6 y 3 
41. Reduce a índice común los siguientes radicales:
3
b2
2
4
3x
3
a)
b
c)
e)
,
6
b5
8
3
16
9x 2
4
5x 3
,
b3
b)
6
32
d)
10
6x 9
f)
10
,
3
5
3
2 xy
m3 x 2
5
mx
81
3
3
3xy 2
4
6
m5 x
4
27
4x 3 y 3
x4 y 2
3
6
6x 5 y 3
42. Efectuar las siguientes sumas:
a) 3 2  5 2  7 2  4 2 
b) 2 3  3 3  5 3  4 3 
1
1
d)
128  6 512 
32  3 98 
4
2
4
1
f)
27 
243  75  2 48 
3
3
4
16
h) 7
 5 3  2
 27 
3
3
c) 2 20  4 80  5 180  3 125 
2
3
1
20 
80 
180  6 45 
5
5
2
9
25
1
g) 5
 3 8  4
 2

2
2
2
e)
i) 3
1
4
 7
 2 5 
5
5
k) 7
32
1
 2 10 
40 
5
4
20 
j) 3 6  4
25
27
 3

6
2
32

3
l) 2 3 - 3 27  4 48 - 5 300  9 972 
43. Efectúa las siguientes operaciones:
1) 9 2  3 8 
4) 5 3  2 75 
2) 4
1
 7 3
3
5) 9 6  3
25

6
3) 3
1
 5 32 
2
6) 4
1
 2 18 
72
44. Con 39 litros de gasolina el marcador de un coche señala 3/4 de depósito. ¿Cuál es
la capacidad total del depósito del coche?
45. Calcula el valor de A y B, dando el resultado de la forma más sencilla posible:
A 83
1
1
1
2
 2

B  

 2 
8
4
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3º ESO
2013-2014
46. Resuelve estos ejercicios de tiempos.
a) Expresa el tiempo 3,2 h en horas y minutos.
b) Ordena los siguientes tiempos de menor a mayor: 3,2 h; 182 min; 3 h y 10 min.
47. Pon los exponentes que faltan para que las igualdades sean verdaderas:

a) 3 ·3  3
5
1
2
b) 4,2 x1015  4200x10 
48. Pedro tiene dos números. Uno de ellos es el 630 y del otro solo sabemos que es
una potencia de 2.
b) Escribe la descomposición factorial de 630 en números primos.
c) ¿Cuál es su máximo común divisor de esos dos números? Justifica la respuesta.
49. Dos ciclistas A y B, se cruzan en una rotonda de la que salen al mismo tiempo por
dos carreteras perpendiculares entre sí. Ruedan los dos a velocidad constante: A
va a 8m/s y B va a 6m/s.
a) Expresa la velocidad del ciclista B en km/h.
b) Expresa en km la distancia recorrida por el ciclista A, a partir de la rotonda, al
cabo de 5 minutos
50. Juan ha conducido durante 30 minutos a una velocidad de 64 km/h y durante 45
minutos a 96 km/h ¿Cuántos kilómetros ha recorrido Juan en total?
51. Calcula el valor de A, dando el resultado en la forma más sencilla posible:
2

 2
A  3
1
1
2
52. Ordena de menor a mayor los siguientes números: 
3
7
; 2;  5 ;
2
2
53. Realiza las siguientes operaciones y da el resultado de la forma más sencilla
posible:
2
 1  1
a )  1   : 1  
 2  2
3
b) 10 7 x10 -3 x0,02
54. a) Halla los divisores comunes de los números 120 y 165.
b) Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 120 y 165.
55. Calcula
5 2
a) 
N 3
el
valor
de
N
en
1 2
b) 1 - 
N 3
9
las
ecuaciones
siguientes:
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3º ESO
2013-2014
56. Ordena de menor a mayor los siguientes números:
a) 3/5; -7/3; 0,65; -2,65
b)
; -1; 2;
57. Realiza las siguientes operaciones. Expresa el resultado en forma de fracción:
a)
b)
58. ¿Cuál ha de ser el valor de (a) para que sean correctas las siguientes igualdades?
a) 0,0034 = 34 x 10a
b) 20.000.000 = 2 x 10a
59.
a) Expresa en horas y minutos 6,8 horas.
b) Expresa en minutos 1800 segundos.
60. Indica en cada caso cuál de los dos números es el mayor.
a)
3,27587 y 3,27578
c)
b)
d)
y 0,999
4y
61. Calcula:
b)
a)
62.
a) Halla los divisores comunes de 54 y 60.
b) De la siguiente lista de números, señala los que son números primos. 23; 39;
27; 91; 87.
63.
a) Calcula cuántos minutos son 0,25 horas.
b) Expresa en horas y minutos 6,3 horas.
10
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
64. El triatlón es un deporte individual que agrupa tres disciplinas deportivas: natación,
ciclismo y carrera a pie. Hay diferentes modalidades de triatlón según las distancias
de las diferentes partes de la prueba.
En la modalidad olímpica el triatleta comienza nadando 1500 m. Al salir del agua
debe subir a la bicicleta para recorrer 40 km, y finalmente, tiene que cubrir corriendo
una distancia de 10 km. El tiempo total de un triatleta se cuenta desde el momento
en que se da la salida a la natación hasta que finaliza la carrera a pie. Quedan
registrados también los tiempos empleados en cada transición, es decir, el tiempo
empleado en pasa de una a otra modalidad.
El triatlón fue deporte olímpico por primera vez en los Juegos de Sydney del año
2000. En los Juegos Olímpicos de Londres, un español, Javier Gómez Noya, fue
medalla de plata con un tiempo total de 1 hora, 46 minutos y 36 segundos.
Supongamos que se ha celebrado en Madrid una competición de triatlón olímpico y
Juan, uno de los triatletas participantes, ha conseguido los siguientes resultados
parciales:
Natación: 22 min 30 s
1ª transición: 45 s
Bicicleta: 60 min
2ª transición: 15 s
Carrera a pie: 35 min
Se pide:
a) Tiempo total de Juan en horas, minutos y segundos.
b) Diferencia del tiempo de Juan con el conseguido por Javier Gómez Noya en los
JJ.OO. de Londres.
c) Calcular la velocidad media, en km por hora, de Juan en la carrera a pie.
11
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2013-2014
TEMA 2
PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA
PROBLEMAS DE PORCENTAJES
1. Un mueble me ha costado 6000 euros. ¿Qué precio debo marcarle para que
haciendo una rebaja del 10% gane todavía el 20% sobre el precio de compra?
2. Vendí géneros por 7500 euros. Vendiéndolos en 500 euros más hubiera ganado
2000 euros ¿Cuánto gané en % sobre el precio de la compra?
3. ¿Cuánto pesaba una mercancía que después de perder el 20% de su peso pesa 8’8
Kg.?
4. Un viajante cobra 600 euros de dietas y el 2’5 % sobre el importe de sus ventas. Tras
una gira de 18 días le entregan 34.800 euros por dietas y comisiones ¿Cuál fue el
importe de las ventas que realizó?
5. Un comerciante compra 5 piezas de paño de 40m a 450 euros el metro. Las revende
ganando el 12% sobre la compra ¿En cuánto las vendió?
6. Se pagaron 5290 euros por cierta cantidad de azúcar cuyo precio acababa de subir
el 15% ¿Cuánto se hubiera pagado antes de la subida?
7. Un labrador revende en 109.600 euros una cosechadora, ganando el 15% sobre el
precio de la venta. ¿Cuánto le costó la máquina?
8. De los 524 alumnos de bachillerato de un colegio, el 12% repite curso y el 13% ha
pasado con alguna materia pendiente. ¿Cuántos alumnos han pasado con todas las
materias aprobadas?
9. Entre julio y agosto de 2006, el número de infracciones graves que denunció la
Dirección General de Tráfico fueron 81 835 de las que 72 533 correspondieron a
hombres. ¿Qué porcentaje de denuncias correspondieron a mujeres?
10. La información nutricional de una marca de leche dice que, en un litro, hay 160 mg
de calcio, que es el 20% de la cantidad diaria recomendada. Calcula la cantidad
diaria que debe tomar una persona.
11. El número de plazas de un centro escolar es 450. Si el número de plazas
solicitadas fue 540, ¿qué tanto por ciento representan las solicitudes?
12. Los organizadores de un concierto han decidido suspenderlo porque solo se han
vendido el 0,8% de las entradas disponibles. ¿Cuántas entradas se han puesto a la
venta si solo se han vendido 20? He pagado 870 € por un artículo que costaba 750
€ sin IVA. ¿Qué porcentaje de IVA me han aplicado?
13. Si el precio del abono-transporte de una ciudad subió el 12%, ¿cuál era el precio
anterior si ahora cuesta 35,84 €?
12
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
14. He pagado 187,2 € por un billete de avión que costaba 240 €. ¿Qué porcentaje de
descuento me hicieron?
15. El precio del kilo de tomates subió un 20% y después bajó un 25%. Si antes
costaba 1,80 €, ¿cuál es el precio actual?
16. El número de espectadores de un concurso de televisión que comenzó en octubre
aumentó un 23% en noviembre y disminuyó un 18% en diciembre. Si al terminar
diciembre tuvo 2 202 000 espectadores, ¿cuántos tenía en el mes de octubre?
17. Si un comerciante aumenta el precio de sus productos un 25% y, después, los
rebaja un 25%, ¿cuál ha sido la variación porcentual que experimentan los artículos
respecto al precio inicial? ¿Y si hiciera lo mismo aplicando el 50%?
INTERÉS
18. Una persona coloca 1/3 de su capital al 4 % y el resto, es decir, 600.000 euros al 3
%. Halla el interés que obtiene en 8 meses.
19. Debo los intereses de 5000 euros durante 6 meses al 5 %. ¿Cuánto tiempo debo
colocar 4500 euros al 4 % para compensar aquellos intereses?
20. Un granjero vende una tierra y coloca su importe al 5 % que le produce 7200 euros
anuales. ¿Qué extensión tenía la tierra si el comprador pagó 2400 euros por área?
21. He metido en el banco 6500 euros y 8 meses después se han convertido en 6630
euros ¿A qué % las coloqué?
22. ¿Qué es más ventajoso, colocar 480.000 euros al 4’5 % o comprar con ellas un piso
que se puede alquilar en 2000 euros mensuales?
23. 6000 euros han dado 45 euros de interés desde el 23 de marzo al 21 de junio del
mismo año. ¿A qué 5 % se colocaron?
24. Un viajero presta, en el momento de su partida, 34.000 euros al 4%. A su regreso
recibe 40.800 euros por capital e intereses. ¿Cuánto duró su ausencia?
25. Meto cada mes 120 euros en una hucha. Después de la sexta vez retiro la cantidad
ahorrada y la pongo a interés. Después de 8 meses retiro en total 732 euros. ¿ A
qué % las coloqué?
26. Un tendero realiza en 3 meses un beneficio neto de 15.000 euros ¿ Cuánto tendría
que colocar al 4 % los 250.000 euros que comprometió en el negocio para tener un
interés igual a ese beneficio?
27. ¿Qué cantidad hay que colocar al 5% durante 10 meses para pagar con sus
intereses los 1420 euros gastados en un arreglo de una casa?
28. ¿A qué % se han colocado 15.000 euros si al cabo de 3 meses y 9 días se han
convertido en 15.165 euros?
13
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
29. UN señor dispone de 34.830 euros. Coloca los 8/15 al 15 % y el resto al 4’75 %.
Halla su renta anual.
30. Debía pagar una deuda el 20 de enero; la pago el 8 de agosto, por lo que aumenta
la deuda en 90 euros. El interés es del 3% ; halla la deuda.
31. Se han colocado 15.000 euros al 5 % y 5.000 al 3’75 %. ¿A qué % hay que colocar
20.000 euros, para obtener anualmente los 4/5 de interés que se obtenía en el
primer caso?
32. Tomé prestados 6.000 euros al 5 % el 1 de junio. ¿ En qué fecha los devolví si
entregué 6.225 euros por capital e intereses?
REPARTOS PROPORCIONALES
33. Descomponer 11.400 en 3 sumandos que sean inversamente proporcionales a 4, 9
y al medio proporcional de esos dos números.
34. En una carrera intervienen 3 corredores entre los que se reparten 11.840 euros. Los
tiempos que han intervenido han sido 4, 5 y 6 minutos, respectivamente. ¿Cuánto
toca a cada uno?
35. Una herencia de 600.000 euros se reparte entre 3 hermanos proporcionalmente a
sus edades. La de los menores es de 2 y 5 años; el 1º cobra 80.000 euros. ¿Qué
edad tiene el mayor y cuánto cobró cada uno?
36. Un billete de lotería costó 300 euros y resultó premiado con 225.000 euros. Lo
compraron 3 individuos a quienes correspondió 60.000, 75.000, y 90.000 euros
respectivamente. ¿Cuánto aportó cada uno a la compra?
37. Cuatro socios reúnen 5.418.000 euros para un negocio, en el que obtienen 1.
548.000 euros de ganancia. Repartida ésta, corresponden: al 1º, 350.000 euros; al
2º, 420.000 euros; al 3º,180.000 euros y al 4º, el resto. Halla el capital de cada
socio.
38. Una industria paga de impuestos el 20 % de sus ganancias brutas. Si por tal motivo
pagó 145.000 euros y los capitales de sus 3 socios son 1.750.000, 3.000.000 y
2.500.000 euros ¿Cuál es la ganancia neta de cada uno?
39. Se quiere repartir unos beneficios de 40.000ptas. entre tres trabajadores
proporcionalmente a los años que llevan en la empresa, que son 10, 12 y 18 años.
¿Cuánto recibirá cada uno?.
40. Tres agricultores alquilan una segadora por 139.500 ptas. Si tienen 2ha., 3ha, y 4
ha. Respectivamente, ¿cuánto ha de pagar cada uno?.
41. Cuatro obreros han cobrado 65.000 €. por su trabajo. Sabiendo que el primero ha
realizado los 2/8 del trabajo, el segundo 1/3, el tercero 2/7 y el cuarto el resto.
¿Cuánto le corresponde a cada uno?.
14
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
42. Reparte una herencia de 5.780.000 ptas. entre tres hermanos de forma
inversamente proporcional a sus edades que son: 4, 6 y 18 años.
43. Reparte 1560 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 4
44. Descompón 4371 en tres sumandos inversamente proporcionales a 3, 4 y 5
45. Tres municipios, A, B y C, deciden construir en común un canal de riego cuyo
importe es de 91 millones de €. y deciden que cada uno pague en razón directa al
número hectáreas de regadío que se crean. Si las hectáreas de regadío previstas
son 3, 4 y 6, respectivamente. ¿Cuánto debe pagar cada municipio?.
46. Una herencia de 600.000 € se reparte entre tres hermanos proporcionalmente a sus
edades. La edad de los menores es de 2 y 5 años, y el primero cobra 80.000ptas.
¿Cuál es la edad del hermano mayor y cuánto le correspondió a cada uno?.
Comprueba el resultado efectuando el reparto.
47. Repartir 18.000 € entre dos personas de forma que la primera reciba 4/5 de la
segunda.
48. Un billete de lotería resulta premiado con un cuarto de millón y es cobrado por dos
personas, correspondiendo 150.000€ a una y 100.000 a la otra. ¿Si el billete costó
500. €. ¿cuánto aportó cada una?
VARIOS
49. Según una encuesta reciente, de cada 15 españoles 9 no han leído El Quijote.
¿Qué porcentaje de españoles ha leído El Quijote?
50. Para hacer una tarta de 750 gramos, Pedro ha utilizado 300 gramos de harina.
Ahora quiere hacer otra tarta que pese 1 kilogramo. ¿Cuántos gramos de harina
necesitará?
51. Un euro equivale aproximadamente a 1.5 dólares. ¿Cuántos euros recibirá un
turista americano que cambie 600 dólares?
52. Antonio da todos los años dinero a sus sobrinos Andrés, Teresa y pedro, que este
año cumplen 16, 14 y 10 años respectivamente, para que se lo repartan
proporcionalmente a sus edades.
a) Este año les ha dado 936 euros. ¿Cuántos euros recibirá Pedro?
b)
Como los precios suben, este año les ha dado un 4% más que el año pasado.
¿Cuántos euros dio en total Antonio a sus sobrinos el año pasado?
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3º ESO
2013-2014
53. Rellena la siguiente tabla. En cada columna, el porcentaje, la fracción y el decimal
deben ser equivalentes.
54. Juan y Pedro se entrenan lanzando tiros a una canasta de baloncesto desde el
mismo punto. De 40 tiros, Juan ha fallado 18, y Pedro, de 50 tiros, ha encestado 28.
a) ¿Qué porcentaje de aciertos ha obtenido Juan?
b) ¿Cuál de los dos es mejor encestador?
55. Dos ciclistas A y B, se cruzan en una rotonda de la que salen al mismo tiempo por
dos carreteras perpendiculares entre sí. Ruedan los dos a velocidad constante: A
va a 8m/s y B va a 6m/s.
a) Expresa la velocidad del ciclista B en km/h.
b) Expresa en km la distancia recorrida por el ciclista A, a partir de la rotonda, al
cabo de 5 minutos.
56. En la clase de Pablo, el 40% de los alumnos ha escogido alemán como segunda
lengua y los 18 restantes ha preferido francés. ¿Cuántos alumnos hay en la clase
de Pablo?
57. Completa la tabla:
Porcentaje
Fracción
Decimal
70%
2/5
0.6
58. ¿Cuánto tiempo necesitarías para escribir a ordenador un millón de letras si eres
capaz de escribir 100 letras por minuto? (Debes dar la solución den días, horas y
minutos)
59. La velocidad de la luz es de 300.000km/segundo.
a) ¿Cuántos kilómetros recorre la luz en cinco minutos?
b) La distancia media del Sol a la Tierra es, aproximadamente, 150 millones de
kilómetros. ¿Cuánto tarda
en llegar hasta nosotros la luz del Sol? Expresa el
resultado en minutos y segundos
60. a) El 25% de cierto número es 2. ¿Cuál es ese número?
b) En la clase de Ana se han celebrado las elecciones a delegado. El 20% de la
clase se ha abstenido en la votación. De los votos emitidos, el 70% han sido a
favor de Ana. En realidad, ¿qué porcentaje de alumnos de la clase ha votado a
Ana como delegada?
16
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3º ESO
2013-2014
61. El curso pasado en la comunidad de Madrid 45.000 alumnos obtuvieron el título de
graduado en E.S.O. El 20% de ellos se matriculo en un Ciclo de Grado Medio, dos
terceras partes lo hizo en 1º de Bachillerato, el resto no quiso seguir estudiando.
Calcula y completa todos los datos que faltan en la tabla siguiente.
Matriculados en 1º
bachillerato
Nº alumnos
graduados
Porcentaje sobre el total
de alumnos
graduados
Fracción del total de
alumnos graduados
Matriculados en 1º
ciclo grado medio
No sigue
estudiand
o
20%
2/3
62. Completa la siguiente tabla:
63.
a) Expresa en horas y minutos 6,8 horas.
b) Expresa en minutos 1800 segundos.
64. Un euro equivale aproximadamente a 1,3 dólares. Con este cambio:
a) ¿Cuántos euros recibirá en Madrid un turista americano por 260 dólares?
b) ¿Cuántos dólares recibirá un turista español en Nueva York por 500 euros?
65. Completa la tabla siguiente según el modelo indicado en la primera línea.
66.
a) La escala de un mapa es 1:40000. En el mapa, la distancia entre dos puntos es
de 3cm. ¿Cuál es la distancia real entre esos dos puntos?
(Expresar el resultado en km o m).
b) ¿Cuál es la escala de un mapa si 3 km reales corresponden a 3cm en el mapa?
17
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3º ESO
2013-2014
67. Cinco millas terrestres equivalen a 8 km.
a) ¿A cuántos metros equivale una milla? Razona la respuesta.
b) ¿Cuántos kilómetros son 25 millas? Razona la respuesta.
68.
a) Calcula cuántos minutos son 0,25 horas.
b) Expresa en horas y minutos 6,3 horas.
69. Un comerciante ofrece durante el mes de enero todas sus prendas con un 30% de
descuento. En febrero añade un nuevo descuento del 20% sobre el precio ya
rebajado.
a) Calcula el precio que tendrá un abrigo en el mes de enero si costaba 120€ en
diciembre.
b) Calcula cuánto costará ese mismo abrigo en el mes de febrero.
c) Halla el porcentaje de descuento sobre el precio de diciembre con el que el
comerciante está vendiendo en febrero.
18
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3º ESO
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TEMA 3
SUCESIONES. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS.
1) Escribe los tres primeros términos y el término 20 de las siguientes sucesiones:
a) a n   2n  3
b) a n  
c) a n   (n - 1) 2
3n
n4
2) Escribe el término general de las siguientes sucesiones:
a) 6, 12, 18, 24,...... b) 7, 10, 13, 16,...... c)
1 2 3 4
1 3 5 7
, , , ,...... d) , , , ,......
2 3 4 5
5 7 9 11
3) Forma una progresión aritmética de 5 términos con los datos de cada apartado:
a) a1=5, d = - 3 b) a1=
2
3
2
1
, d = c) a1= , d = -2 d) a1= - 12, d = e) a1= 3 2 ,d = 2 2
3
2
5
5
4) Los datos de cada uno de los apartados corresponden a una progresión aritmética.
Calcula la diferencia de la progresión en cada caso:
a) a5= -10 y a13= -8 b) a6= 3 y a14= -1 c) a19= -14 y a24= 16 d) a11= 6 y a35= 65
5) Interpola cinco medios diferenciales entre los dos datos de cada apartado:
a) 1 y 19 b) - 51 y - 27 c)
3
23
y
5
5
d) -7 y 29 e)
3 y 27
6) Resuelve los problemas siguientes cuyos datos e incógnitas corresponden a
progresiones aritméticas:
a) Dados a1= 20, d = 2 y S = 780, determina an y n
b) Dados a1= 1, d = 2 y S = 7 744, determina an y n
c) Dados an= 56, d = 3 y S = 516, determina a1 y n
7) Dada la progresión aritmética 0’4, 0’6, 0’8, ..... de 50 términos, determina an y S
8)
Dada la progresión aritmética 9,......, 162, de 52 términos calcula d y S.
9)
Dada la progresión aritmética 2, 4, 6, 8, ..... de 100 términos, determina an y S
10) En una progresión aritmética, la suma de los términos primero y noveno es seis. El
término undécimo excede al octavo en dos unidades. Halla la diferencia de la
progresión y el primer término.
11) En una progresión aritmética, la suma de los términos primero y segundo es –51 y
la del tercero y cuarto, nueve. Forma la progresión sabiendo que tiene cinco términos.
12) El menor de los ángulos de un triángulo mide 20º. Averigua los otros dos ángulos
sabiendo que las amplitudes de los tres forman una progresión aritmética.
13) El ángulo mayor de un cuadrilátero mide 120º. Calcula los otros tres ángulos
sabiendo que las amplitudes de los cuatro forman una progresión aritmética.
14) Calcula la suma de:
a) Los múltiplos de seis comprendidos entre 100 y 1000
b) Los veinticinco primeros múltiplos de nueve.
c) Los múltiplos de once menores que 300
19
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2013-2014
d) Los quince primeros términos de la progresión aritmética 3, 7,11,15,.....
e) Los múltiplos de siete comprendidos entre 1000 y 10 000
f) Los múltiplos de seis menores que 200
15) La suma de los términos segundo y noveno de una progresión aritmética es – 8 y
la suma de los términos quinto y décimo, -
8
. Halla el primer término.
3
16) La suma de tres números en progresión aritmética es 12 y su producto, 63.
Averigua esos números.
17) La suma de tres números en progresión aritmética es 18 y su producto, 162.
Averigua esos números.
18) La suma de los términos tercero y quinto de una progresión aritmética es 20 y la
suma de los términos sexto y séptimo, 35. Halla el vigésimo término.
19) Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas,
expresadas en metros, son tres números que forman una progresión aritmética cuya
diferencia es siete.
20) Calcula en las siguientes progresiones geométricas el término que se indica:
a)
1 1 1 1
, , , ,..... a15
2 4 8 16
b) 1,3,9,27,81,......a15
21) En una progresión geométrica limitada, el primer término es 7, el último 448 y la
suma 889. Calcula la razón y el número de términos de la progresión.
22) Calcula la suma se los:
a) Seis primeros términos de la progresión geométrica 6, 12, 24,.....
81 27 9
, , ,.......
10 10 10
1 1 1
, , ,.......
c) 0cho primeros términos de la progresión geométrica
72 24 8
9 3 1
d) Nueve primeros términos de la progresión geométrica , , ,......
2 2 2
b) Siete primeros términos de la progresión geométrica
23) ¿Cuál es el sexto término de una progresión geométrica cuyo primer término es
0’73 y su razón, 0’01?
24) ¿Cuál es el séptimo término de una progresión geométrica cuyo primer término es
1
y su razón, 6?
46 656
25) Calcula la razón de las siguientes progresiones geométricas conociendo los
términos que se indican en cada apartado:
a) a1 =
2
3
1
1
729
y a6 = 54 b) a1 = y a7 =
c) a1 = 3 y a4 =
d) a1 = 2 y a7 =
9
4
972
243
32
26) La suma de tres primeros términos de una progresión geométrica es 105 y su
producto, 8 000. Averigua esos números.
20
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
27) La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica ilimitada y
decreciente es dos y el primer término, 0’5. Calcula la razón de la progresión.
28) La suma de tres números en progresión geométrica es 26 y su producto, 216.
Averigua esos números.
29) La suma de tres números en progresión aritmética es 65 y su producto, 3 375.
Averigua esos números.
30) Interpola entre los dos números de cada apartado el número de medios
geométricos que se indica:
a) Siete medios entre 3 y 48
b) Cinco medios entre 2 y
729
c) Tres medios entre 486
32
y6
d) Cuatro medios entre
3 y4 6y
e) Cuatro medios entre
1
y 81 f) Seis medios
3
entre 2 187 y 1
31) Averigua el producto de los seis primeros términos de cada una de las siguientes
progresiones:
a) 1, 3, 9, 27,...... b) 4, 8,16, 32, ....... c) 5, 20, 80, 320,......
32) Los datos de cada uno de los apartados corresponden a una progresión
geométrica. Calcula lo que se indica en cada uno de ellos:
a) Determina a1 y an si r = 2, n = 7 y S = 635 a) Determina n y an si a1 = 3, r =
2 y S = 765
33) Halla la suma de los términos de cada una de las siguientes progresiones
geométricas ilimitadas:
a) 3, 1,
1 1
3 3
1 1
1
2
, ,...... b) 6, 3, , ,...... c) 1,
,
,
,....... d) 18, 6, 2, ,....
3 9
2 4
10 100 1000
3
34) Las amplitudes de los tres ángulos de un triángulo están en progresión geométrica,
siendo la amplitud del menor 25º y
5
de grado. Halla las amplitudes de los otos dos
7
ángulos del triángulo.
37) En una progresión geométrica la diferencia entre los términos cuarto y segundo es
120 y se sabe que el valor del tercer término es 32. Averigua la razón y los cuatro
primeros términos.
38) En una progresión geométrica, la suma de los términos primero y segundo es 12 y
la de los términos tercero y cuarto,108. Halla la razón y la suma de los siete primeros
términos.
21
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TEMA 4
POLINOMIOS
1. Dados los siguientes polinomios:
A = 2x5 - 4x3 + 6x2 - 7x
C = 3x4 - 5x3 - 6x2 - 9x + 3
Calcula:
a) A + B + C + D
b) A – B – C + D
c) (2A - 3B) - (2C + D)
B = 4x4 - 6x3 - 2x2 + 5x - 4
D = 6x5 - 4x3 + 2x2 - 7x + 6
2. Efectúa los siguientes productos:
a) (2x4 - 6x3 + 5x2 - 4x + 3) . (2x2 - 9x + 6)
b) (2x3 - 4x2 + 5x - 4) . (3x2 - 5x + 6)
3. Calcula:
a)  2x2 - 5x + 3 .  4x2 + 2x - 5 . 2x3
b)  2x2 - 4x + 5 .  3x2 - 4x + 7 -  5x2 - 4x + 32
4. Efectúa las siguientes divisiones

(18x6 - 33x5 + 7x4 - 11x3 + 31x2 - 21x + 9) : (2x2 - 5x + 3)

(10x7 - 26x5 + 33x4 + 6x3 - 31x2 + 32x - 15) : (2x3 - 4x + 5)

(6x6 + 22x5 + 23x4 - 5x3 - 34x2 + 45x - 18) : (2x2 + 4x - 3)

(18x7 - 6x6 + 27x5 - 41x4 + 6x3 + 6x2 - 17x + 12) : (2x3 + 3x - 4)

(8x6 - 20x5 + 22x4 - 32x3 + 30x2 - 20x + 12) : (2x3 - 2x2 - 4)
5. Calcula el cociente y el resto empleando las Reglas de Ruffini

6x4 - 4x3 + 2x - 6 : x - 3

5x5 - 3x4 + 4x3 - 2x2 + 5 : x + 1

3x6 + 3 : x + 1

x4 - 4x2 + 8 : x -
1

2
 x4 - 6x2 + 12 : x -
1

3
6. Calcula los ceros (raíces enteras) y factoriza

x5 + 3x4 - 5x3 - 15x2 + 4x + 12  x4 + 9x3 + 19x2 - 9x - 20

x4 + 8x3 + 11x2 - 32x - 60
 x4 + 2x3 - 19x2 - 8x + 60
22
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7. Calcula el valor numérico de los polinomios


x4 - 5x2 + 2x - 3
x5 - 3x2 + 2x - 8
para x = 2
para x = ½
8. Calcula el verdadero valor de las siguientes fracciones
x 4 - 16
para x  2
x3 - x2 - 4
x5  1
 3
para x  - 1
x  2x 2 - 5x - 6


x 3 - 5x 2  x  15
para x  3
x 3 - 27
3x 3 - 3x  72

para x  - 3
2x 2 - 18
9. Dada la siguiente fracción

a)
b)
x 4  3x 3  3x 2  7x  6
x 4  5x 3  5x 2  5x  6
Factoriza sus dos términos.
Una vez factorizados, simplifícala.
10. La expresión x4 – 7x3 + 11x2 + 7x – 12 = 0 es un polinomio ecuacional que admite
como soluciones enteras x = 3; x = 4 y x = -1. ¿Cuál es la cuarta solución?
11. Sin necesidad de hacer las divisiones, explica cuál de ellas son exactas y cuáles
no:
 (x5 – 32) : (x + 2)
 (x5 + 32) : (x - 2)
 (x5 – 32) : (x - 2)
 (x5 + 32) : (x + 2)
12. Determina el resto de las siguientes divisiones sin necesidad de efectuarlas.
a)
(x4 – 16) : (x – 2) =
b)
(x5 + x – 2x3) : (x – 1) =
c) (–x2 + x + 1) : ( (x + 3) =
d) (x3 + 2x2 – x + 1) : (x – 2) =
13. Dados los polinomios P(x) = x2 + 3x + 5; Q(x) = x2 – 4x + 4 y R(x) = x3 – 20, indica,
sin hacer la división, cuales son divisibles por x – 2.
14. Hallar el valor de m para que el polinomio P(x) = 8x3 – 4x2 + 2x + m sea divisible por
(x – ½).
15. Hallar el valor de m para que el polinomio P(x) = x3 – 9x2 + mx – 32 sea divisible por
(x – 4).
23
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16. Dada la fracción:

x 4  4x 3  5x 2  36x  36
x 4  13x 2  36
a)
Factoriza sus dos términos.
b)
Una vez factorizada, simplifícala.
17. ¿Para qué valor de “m” el polinomio x4 + 8x3 + 11x2 - mx - 60
dividirlo por x + 3 vale 4?
el resto de
18. Simplifica las siguientes fracciones:
a)
12ax 3

8ax 2
e)
a2  b2

(a  b) 2
b)
f)
3(x - 2) 2

4(x 2  4)
a2  b2

a3  b3
(x 2  4)(x  2y)
i)

(y  2x)(x 4  16)
j)
g)
c)
3ax  3a 2

12ax
ax  ay

ax 2  ay 2
x 2  4x  3

x 2  2x  3
h)
d)
15mn 2  12m 2 n

21m 2 n 2
4xy  4x

2xy  2x - 4xy - 4x
x3  x2  x  1
k) 3

x  3x 2  3x  1
19. Opera:
1)
3ab 2 4xy
·

9ab 2x 2
y 2  x 2 3x
·

x 2  xy x - y
4x 2 3ax 3
6)
:

5y
5ay 2
4)
2)
4x 2  y 2
2a  a 2
·

2x 2  xy 4  4a  a 2
5)
3)
x2  y2
xy
· 2

x  y x  2xy  y 2
x  y x 2  xy
·

x
2y 2
7)
3x 2
x2  x
: 2

x  y x  y2
24
8)
(a - 1) 2 a 2  1
:

x 2  1 (x  1) 2
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TEMA 5
ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Problemas de números
1.
El doble de un número es igual a 38. ¿De qué número se trata?
2.
Al sumar seis unidades al triple de un número, se obtiene 33, ¿Qué número
es?
La suma de dos números consecutivos es 121 ¿Qué números son?
3.
4.
Calcula un número cuya tercera parte, sumada con el doble de ese número, es
igual a 14.
5.
Si a un número se le suma su tercera parte, se obtiene 148. ¿Cuál es ese número?
6.
Dos números suman 100, y el mayor supera al menor en 10 unidades. Calcula los
dos números.
7.
Calcula un número cuya tercera parte, sumada con el triple de ese número dé como
resultado 40.
8.
Halla dos números impares consecutivos cuya suma sea 80.
9.
Una fracción (razón de dos números) es equivalente a 3/4, Si se suman 10
unidades al numerador y 10 al denominador, la fracción que resulta es equivalente
a 11/14. Halla la fracción.
10. Si sumamos 5 unidades al doble de un número el resultado es el mismo que si le
sumamos 7 unidades. ¿Cuál es el número?
11. La suma de tres números naturales consecutivos es 84. Halla dichos números.
12. La suma de dos números es 24, y el doble del primero menos el segundo es 6,
¿Cuáles son estos números?
13. Descompón el número 1000 en dos números de manera que al dividir el mayor
entre el menor el cociente sea 2 y el resto 220.
14. Una fracción es equivalente a 3/5, y, si aumentamos el denominador una unidad y
disminuimos el numerador en dos unidades, la nueva fracción es equivalente a
4/11. ¿De qué fracción se trata?
15. Dividir el número 77 en dos partes de modo que una de ellas dividida por la otra dé
un cociente de 2 y un resto de 2.
16. ¿Qué número hay que sumar a la fracción 11/5 para obtener las 3/5 partes del
número que se ha sumado?
25
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17. La suma de dos números impares consecutivos es 104 ¿Cuáles son los dos
números?
18. Los cuadrados de dos números consecutivos se diferencian en 23 unidades.
¿Cuáles son los dos números?
19. Si aumentamos en ocho unidades el quíntuplo de un número, obtenemos 7 veces
ese número. ¿Cuál es?
20. Si sumamos los números anterior y posterior a uno dado, y lo dividimos todo entre
dos, obtenemos el mismo número.¿ Qué número es?
21. La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es 9 ¿Cuales son los
dos números?
22. Los dos tercios de un número exceden en dos unidades a la mitad de ese número,
¿Cuál es?
23. Lucia le dice a Gema: “Piensa un número, ¿ya lo tienes? Vale, ahora multiplícalo
por 4 y súmale después 6. ¿De acuerdo? Calcula sus tres medios y dime lo que te
sale”. Gema le responde que el número obtenido es el 33 ¿En qué número pensó
Gema?
24. Las dos cifras de un número suman 12. Si se suman 48 unidades al cuadrado de
dicho número se obtiene un tercio del cuadrado del cuadrado del número que
resulta de invertir el orden de las cifras del primero ¿Cuál es ese número?
25. Las dos cifras de un número suman 11 y el producto de dicho número por el que se
obtiene de invertir el orden de las cifras es 3154 ¿Cuál es ese número?
26. Halla dos números cuya suma es 175, y 5 veces el menor es igual al mayor
aumentado en 11.
27. Divide 65 en dos partes, de modo que la mayor tenga dos unidades más que el
duplo de la menor.
28. Halla la fracción que vale
1
1
cuando se añade uno al numerador, y que vale
si
3
4
se añade uno al denominador.
29. El triple de un número más el cuádruple de otro es 10 y el cuádruple del primero
más el segundo es nueve ¿Qué números son?
30. Encuentra dos números cuya suma sea igual a 100 y su diferencia 46
31. Divide el número 38 en dos partes, de modo que la suma del duplo del mayor con 8
veces el menor sea igual a 100.
32. La suma de dos números es 50. Calcula dichos números si siete veces el menor es
igual al duplo del mayor disminuido en uno
33. Un número excede en tres unidades al duplo de otro. La diferencia entre cinco
veces el menor y el duplo del mayor es igual al cuarto. Calcula ambos números.
26
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34. Halla un número cuyas dos cifras suman 11 y sabiendo que si se escribe invirtiendo
el orden de sus cifras, el número disminuye en 63 unidades.
35. Un número de dos cifras es igual al triple de la suma de dichas cifras más tres. Si
se invierte el orden de sus cifras, el número que resulta vale el séptuplo de la suma
de sus cifras más nueve ¿Cuál es el número dado?
36. Halla dos números, sabiendo que están en la proporción de cinco a tres y que si se
restan 10 del primero y se aumentan 10 al segundo la proporción en que se hallan
es inversa de la anterior.
37. Halla dos números tales que si se divide el primero por cinco y el segundo por
cuatro, la suma de los cocientes es 6; y si se multiplica el primero por tres y el
segundo por dos la suma de los productos es 69.
38. La suma de dos números es 21. si de ocho veces el primero más el segundo se
resta ocho veces el segundo más el primero, la diferencia es 63. ¿Cuáles son esos
números?
39. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de
colocación de las cifras, resulta otro número que es igual a cuatro veces el primero
más 9 ¿De qué número se trata?
40. La suma de un número más su inverso es
37
Halla el número
6
Problemas de edades
41. La suma de las edades de cuatro hermanos es 34 años. Averigua la edad de cada
uno sabiendo que se llevan, consecutivamente, tres años cada uno.
42. Un hijo tiene 25 años menos que su padre. Dentro de 10 años la edad del padre
será doble de la edad del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?
43. Un padre tiene 38 años y su hijo 10. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre
será tres veces la de su hijo?
44. Un hijo tiene 30 años menos que su padre y éste tiene cuatro veces la edad de su
hijo, ¿Qué edad tiene cada uno?
45. Las tres cuartas partes de la edad de Luis, más sus seis quintas partes nos da
como resultado un año menos que el doble de su edad. ¿Qué edad tiene?
46. Hace 10 años la edad de Alicia era la mitad de la de Santiago, pero hoy en día, la
edad de Santiago es los 16/9 de la de Alicia. ¿Cuáles son las dos edades?
47. La edad de un alumno es el triple de la que tenía hace 8 años. ¿Cuál es esa edad?
48. La edad de una madre es triple de la de su hijo, Dentro de 10 años su edad será del
doble. ¿Qué edad tiene cada uno?
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49. La suma de las edades de dos hermanos es 18 años. Si uno de ellos tiene doble
edad que el otro ¿Cuántos años tiene cada uno?
50. Un padre tiene el triple de edad que su hijo. Si entre los dos suman 48 años
¿Cuántos años tiene cada uno?
51. Dentro de tres años, la edad de Juan será el triple de la de Cristina, y hace dos
años la edad de Cristina era la octava parte de la de Juan ¿Cuántos años tiene
cada uno?
52. Un padre tenía 25 años cuando nació su hijo La media geométrica de las edades de
ambos supera en 10 al número de años del hijo. Halla las edades actuales de los
dos.
53. La suma de las edades de un padre y de su hijo es de 42 años. Dentro de nueve
años la edad del padre será tres veces la del hijo. ¿Qué edad tienen ahora el padre
y el hijo?
Problemas de geometría
54. La proyección de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa mide 54 cm y la suma
de la altura con la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa mide 60 cm
¿Calcula dicha proyección?
55. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 90 m y el cateto mayor, 3 m menos
que la hipotenusa. Halla los tres lados del triángulo.
56. Determina las dimensiones de un rectángulo cuya superficie mide 8 m2, sabiendo
que una diagonal mide 2 5 m.
57. La razón entre los lados de dos cuadrados es tres y la suma de los cuadrados de
sus diagonales es 100 cm2. Averigua dichos lados.
58. Tres segmentos miden, respectivamente, 8, 22 y 24 cm. Si se añade a los tres una
misma longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Halla dicha longitud.
59. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13cm. Averigua las longitudes de los
catetos sabiendo que su diferencia es 7 cm.
60. Si se aumenta la longitud de un cuadrado en cuatro metros, y la anchura en 1’5 m,
resulta un rectángulo cuya área es igual a la del cuadrado aumentada en 28 m 2,
Calcula el lado del cuadrado.
61. Calcula la medida de los lados de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5
m y se disminuye la altura en 5 m, el área no varía, pero si se aumenta la base en 5
m y se disminuye la altura en 4 m, el área aumenta en 4 m2.
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Problemas varios:
62. Queremos repartir un dinero entre varios chicos. Si damos 10€ a cada uno sobran
1’5 €., mientras que si les damos 12’5 € faltan 3’5€. ¿Cuántos chicos hay? ¿Cuánto
dinero tenemos?
63. Beatriz se ha gastado 345 € al comprar una cazadora para Juan y otra para Laura.
La de Juan costó 35 € más que la de Laura. ¿Cuánto costó cada una?
64. Calcula el número de ovejas de un redil sabiendo que se han contado 348 patas.
65. EL tronco de un gato mide de largo
1
de su longitud total y la cabeza mide igual
2
que la cola, 6 cm. ¿Cuánto mide el gato?
66. Un poste de teléfono tiene bajo tierra 2/7 de su longitud y la parte exterior mide 8 m.
¿Cuánto mide en total el poste?
67. Un grupo de amigos prepara un fondo común de 1000€ para organizar la acampada
de las vacaciones. A última hora, algunos amigos no pueden ir al campamento, por
lo que los 10 amigos que van a asistir deben pagar 37’5 € más. ¿Cuántos amigos
pensaban irse de vacaciones al principio?
68. Una empresa de alimentación ofrece a sus clientes dos tipos de cesta de Navidad,
la especial y la extra. La extra cuesta el doble que la especial, pero, si no tenemos
en cuenta el coste de la cesta (25 €), la especial costaría tres veces menos que la
extra. ¿Cuánto vale cada cesta?
69. Julia e Iván van de compra. A Julia le gustan los yogures de frutas que se venden
en paquetes de 2 unidades, mientras que Iván prefiere los desnatados que se
venden en paquetes de 4 unidades. Si entre los dos han comprado 15 paquetes de
yogures, que son 44 unidades, ¿cuántos yogures ha comprado cada uno?
70. Diez vecinos de un barrio, dueños de coches y motos, encuentran todas las ruedas
pinchadas, En el taller les dicen que hay que cambiar en total 34 neumáticos.
¿Cuántas motos y cuántos coches había?
71. La caja de un despacho de aceite arroja al día el siguiente resultado: 820 botellas
vendidas, 2730 € ingresados. Si en ese despacho se vende la botella de aceite de
1º a 3’1 € y la de 0’4º a 3’6 €, ¿Cuál es el número de botellas que se han vendido
de cada clase?
72. Tres amigos tienen en total de 1260 € El primero tiene doble cantidad que el
segundo, y éste el triple que el tercero ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
73. Escribe una ecuación de segundo grado, suponiendo que la media aritmética de
sus raíces es -5 y su media proporcional 4.
74. En un recorrido de 150 Km, un ciclista llegaría dos horas y media antes si llevase
una media de 5 km más por hora. Averigua el tiempo que tarda en el recorrido.
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75. Un barquero sube por un río 1800 m. Para bajar emplea 9 minutos menos que para
subir, pues la corriente aumenta la velocidad en 100 metros por minuto respecto ala
velocidad que llevaba al subir ¿Cuál es el tiempo que emplea en subir? ¿Y en
bajar?
76. Dos grifos vierten a la vez en un depósito y tardan dos horas en llenarlo. ¿Cuánto
tiempo empleará cada grifo en llenar dicho depósito sise sabe que el segundo tarda
tres horas más que el primero en llenarlo?
77. Al mezclar dos líquidos, se obtiene un volumen de 5 litros cuya densidad es de 0’85
kg por litro. Averigua el volumen de cada uno de los líquidos que se han mezclado,
sabiendo que sus densidades son 0’7 y 1’2 kg por litro, respectivamente.
78. Si mezclamos un tipo de café de 5’76 € por kg con otro de 7’44 € por kg,
conseguimos 24 kg fe café que se vende a 6’46 € por kg ¿Qué cantidad de cada
clase de café se ha mezclado?
79. Tenemos dos capitales de 30 000 y 70 000 de €, depositados a distintos réditos,
que juntos producen 4 300 € cada año. Si los réditos se invierten, los intereses de
un año suman 4 700 € Halla los dos réditos
80. Un buque navega a razón de 20 km por hora en un río cuando lleva la dirección de
la corriente. Si va en dirección contraria a la corriente, recorre 12 km por hora. Halla
la velocidad del agua del río y la del buque en agua tranquila.
81. Disponemos de dos clases de billetes. Cinco billetes de la primera clase y veinte de
la segunda suman 300€; cuatro billetes de la primera y cuatro de la segunda
suman120€. ¿Cuál es el valor de un billete de cada clase?
82. Dos personas han hecho una apuesta de 20 €. Si gana la primera, tendrá, después
de cobrar los 20€, el triple dinero que la segunda. En el caso contrario, las dos
tendrán igual.¿Cuántos euros tenía cada una antes de hacer la apuesta?
83. Marca con una cruz el círculo correspondiente a V o F, a la derecha de cada
igualdad:
V
F
25  x  25  x
4x a  2 xa
(a  5) 20  a 20  5 20
84. Resuelve el siguiente sistema de dos ecuaciones:
85. Calcular el valor numérico del polinomio x 4  2 x 3  4 x 2 para x=-1
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86. Pedro tiene al lado de casa dos cibercafés, H y K, para conectarse a Internet. En el
cibercafé H cobran 0,5 € por el enganche a Internet y 0,02 € por minuto de
conexión. En el K no cobran por el enganche, pero cobran 0,03 € por minuto de
conexión.
a. Pedro piensa estar 100 minutos utilizando Internet. ¿Dónde irá para que le salga
más barato? Justifica con cálculos tu respuesta
b. Pedro se da cuenta de que H sale, a la larga, más barato. ¿A partir de qué
tiempo de utilización conviene entrar en H?
87. Los jueves, Andrés distribuye las 24 horas del día de la siguiente forma: estudia la
mitad de lo que duerme y todavía le sobran 10 horas para el resto de sus
actividades.
a. Plantea una ecuación o un sistema de ecuaciones que expresen el enunciado,
indicando claramente lo que significan la o las incógnitas.
b. ¿Cuánto tiempo estudia Andrés los jueves? Exprésalo en horas y minutos.
88. Di si son verdaderas o falsas:
a)
5  10 x
 10 x
5
b) 4  8z  4(1  2z)
c) (a - b) 2  a 2 - b 2
d) a 2  9  a  3
89. La madre de Laura y José ha pagado 122 € por un vestido y una sudadera, que ha
regalado a sus hijos. José protesta porque con lo que cuesta el vestido podrían
haber comprado dos sudaderas y habrían sobrado 17 €.
a) Traduce la situación al lenguaje algebraico mediante un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas, indicando el significado de las letras que empleas.
b) Calcula el precio del vestido y la sudadera.
90. Andrea abre un libro y observa que la suma de los números de las dos páginas que
tiene delante es 99. ¿Cuáles son esos números?
91. El mástil de una bandera mide 9.2 m. Una fuerte ráfaga de viento ha hecho que se
partiera en dos trozos. Uno de ellos tiene 80 cm. Menos que el otro. Halla la
longitud de cada trozo.
92. Comprueba que x=-1 es solución de la ecuación:
31
x3
 1  2x  2
2
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3º ESO
2013-2014
93. Pedro vendrá el próximo curso a estudiar a Madrid y se alojará en casa de su amigo
Juan. Quiere apuntarse a un gimnasio y ha preguntado los precios en los dos que
hay cerca de la casa de Juan. En uno de ellos, al que acude Juan todas las
mañanas, le han dicho que cobran 70 € de matrícula y 35 € el mes. En el otro no
cobran matrícula pero cuesta, 40€ al mes.A Pedro le gustaría ir al mismo gimnasio
que Juan pero cree que, como solo podrá ir ocho meses, le saldrá más barato ir al
otro.
a. ¿Está Pedro en lo cierto? Razona tu respuesta calculando el precio que,
por ocho meses, cobra cada uno de los dos gimnasios.
b. ¿A partir de cuantos meses resulta más barato el gimnasio de Juan?
Justifica tu respuesta.
94.
a) Comprueba que x=-1 es solución de la ecuación:
2  x 2 x  3 x  12


5
4
20
b) ¿Cuál es el número que sumado con su quinta parte da 24?
95.
a) Si al triple de un número se le resta 6, el resultado es 18. Halla razonadamente
ese número.
b) La suma de tres números enteros consecutivos es 36. Halla el primero de ellos.
c) Halla el número que sumado con su tercera parte da 44.
d) Verifica si es cierto que x = -1 es solución de la ecuación
96.
Apoyamos una escalera de 13 m de longitud sobre una pared, de forma que su
base quede separada 5 m de la pared al nivel del suelo. ¿A qué altura llega la
escalera? Hallar el ángulo A
32
Ampliación de Matemáticas
97.
98.
99.
3º ESO
2013-2014
El depósito de gasoil de la casa de Irene es un cilindro de 1 m de altura y 2 m de
diámetro. Irene ha llamado al suministrador de gasoil porque en el depósito
solamente quedan 140 litros.
a. ¿Cuál es, en dm3, el volumen del depósito? Utiliza 3.14 como valor de п.
b. El precio del gasoil es de 0.80 euros el litro. ¿Cuánto tiene que pagar la
madre de Irene al suministrador para que le llene el depósito?
Una rampa tiene una longitud de 13 m y salva un desnivel de 5 m. ¿Qué longitud
tiene la base de la rampa?
Dibuja la altura del triángulo ABC desde el vértice B, toma medidas con la regla y
calcula su área, dando el resultado en cm2.
B
100.
El patio del colegio de Ana tiene forma rectangular. Mide 40 metros de largo y 30
metros de ancho. ¿Cuánto mide la diagonal del patio?
101. a) Han instalado en casa de Juan un depósito de agua de forma cilíndrica. El
diámetro de la base mide 2 metros y la altura es de 3 metros. Calcula el volumen
del depósito en m3. (Tomad π=3,14)
b) ¿Cuántos litros de agua caben en el depósito?
102. En las figuras adjuntas el lado del cuadrado es de 12 cm. ¿Cuánto mide el área de
las parte sombreada? (Tomad π=3,14)
a)
b)
33
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
103. El esquema muestra una pista de atletismo con cuatro calles. Las rectas miden
100 m y las curvas son semicircunferencias, siendo 60 m el diámetro de la más
pequeña. El ancho de las calles es de un metro. Se va a celebrar una
competición. A cada atleta se le asigna una de las calles y no podrá salirse de ella
durante la carrera.
a) Calcula la longitud de una vuelta completa por la parte interior de la calle uno
b) Calcula la longitud de una vuelta completa por la parte interior de la calle dos
c) En una carrera de una sola vuelta, las salidas de las diferentes calles están
escalonadas para que al llegar a la meta todos los atletas hayan corrido la
misma distancia. ¿A qué distancia de la línea de salida de la calle uno ha de
estar la línea de salida de la calle dos?
104.
En un triángulo rectángulo:
a) Uno de los catetos mide 3 m y la hipotenusa mide 5 m. Halla en metros la
longitud del otro cateto.
b) Los dos catetos son iguales y la hipotenusa mide
cm. Halla en
centímetros la longitud del cateto.
105.
Un envase de un litro de leche tiene forma de prisma, la base es un cuadrado
que tiene 10 cm de lado.
a) ¿Cuál es, en cm3, el volumen del envase?
b) Calcula la altura del envase en centímetros.
106.
Una finca rectangular mide 1 km de largo y 500 metros de ancho.
a) Calcula el área de la finca en metros cuadrados.
b) Calcula el área de la finca en hectáreas.
107.
Pedro quiere compara un terreno en el que se pueden poner cuatro campos de
fútbol de 100 m de largo y 60 m de ancho.
a) Calcula cuántos metros cuadrados ha de tener el terreno como mínimo.
b) Expresa la medida de uno de estos campos de fútbol en hectáreas.
34
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
TEMA 10
FUNCIONES
1.
Se define una función como una relación entre dos variables (x, y) de modo que
a cada valor que le demos a x, le corresponde uno y solo un valor de y. Según
esto, ¿cuáles de estas gráficas sí representan una función y cuáles no?
2.
Esta gráfica muestra la temperatura a la que sale el agua de un grifo mientras
está abierto.
a) ¿Cuáles son las variables
dependiente e independiente?
¿Qué escalas se utilizan?
b) ¿Durante cuánto tiempo se hizo la
observación?
c) Di la temperatura del agua cuando
se abre el grifo y al cabo de 1 minuto.
d) Indica cuál es la temperatura
máxima y mínima que alcanza el
agua y en qué momentos se
alcanzan.
35
Ampliación de Matemáticas
3.
3º ESO
2013-2014
Esta es la gráfica de la función que nos indica la cantidad de agua que hay en un
depósito que se llena y se vacía automáticamente.
a)¿Cuál es la capacidad del
depósito?
b) ¿Cuánto tiempo tarda en
llenarse? ¿Cuánto
tarda en vaciarse?
c) Indica cuándo está lleno y
cuándo está vacío.
d) Explica por qué es una función
periódica.
4.
Construye una gráfica que corresponda a los ingresos anuales que obtienen
unos grandes almacenes, sabiendo que: Durante los dos primeros meses del
año, aumentan paulatinamente debido a las ofertas; desde marzo hasta junio los
ingresos van disminuyendo alcanzando, en ese momento, el mínimo anual. En
julio y agosto vuelven a crecer los ingresos, alcanzando el máximo del año en
agosto. A partir de entonces se produce un decrecimiento que llega a coincidir,
en diciembre, con los ingresos realizados al comienzo del año.
5.
a) ¿Cuál es el dominio de definición de esta función?
b) Escribe los intervalos de crecimiento y decrecimiento de esta función
c) Máximos y mínimos de la función
36
Ampliación de Matemáticas
6.
7.
3º ESO
2013-2014
a) ¿Cuál es el dominio de definición de esta función?
b) Escribe los intervalos de crecimiento y decrecimiento de esta función
c) Máximos y mínimos de la función
Carmen tarda media hora en ir en bicicleta a casa de su amiga Maite, que está a
6 km. Se queda allí dos horas y regresa andando. El camino de vuelta lo hace en
una hora y cuarto.
a) Representa la función tiempo-distancia a su casa en el camino de Carmen.
b) Calcula la velocidad de ida y la velocidad de vuelta en km/h.
8.
a)
b)
c)
d)
La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un
grupo de estudiantes, reflejando el tiempo ( en horas ) y la
distancia al instituto ( en km ):
¿ A cuántos km estaba el lugar que visitaron?
¿ Cuánto tiempo duró la visita al lugar?
¿ Hubo alguna parada a la ida? ¿ Y a la vuelta?
¿ Cuánto duró la excursión completa?
37
Ampliación de Matemáticas
9.
3º ESO
La siguiente gráfica representa la variación de la velocidad de un
coche:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
¿ Cuánto tiempo ha durado su viaje?
¿ Qué velocidad llevaba el coche a las dos horas de viaje?
¿ Cuándo ha llevado el coche una velocidad de 60 km/h
¿ En qué tramos aumentó la velocidad? ¿ Cuándo la disminuyó?
¿ Qué significado das a los tramos horizontales?
¿ Cuál es la velocidad máxima alcanzada? ¿ Cuándo ha
descansado?¿ Cuánto tiempo?
38
2013-2014
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
TEMA 11
FUNCIONES ELEMENTALES
1. Estudia y representa las siguientes funciones los siguientes apartados:,
contestando en cada una las propiedades y características que se indican:
a) y =f(x) = - 5
¿Qué nombre recibe?
¿Cuál es su dominio?
Haz la gráfica
¿Cuál es su recorrido?
con el eje OX 
con el eje OY 
Cortes con los ejes 
¿Crece o decrece?
b) x = 6
Signo de f(x)
Haz la gráfica
c) y = f(x) = - 5x + 1
¿Qué nombre recibe?
¿Cuál es su dominio?
Cortes con los ejes
con el eje OX 

con el eje OY 
¿Crece o decrece?
¿Cuánto vale la pendiente?
d) y = f(x) = 2x
¿Qué nombre recibe?
¿Cuál es su dominio?
Cortes con los ejes
Haz la gráfica
¿Cuál es su recorrido?
Signo de f(x)
¿Cuánto vale la ordenada en el origen?
Haz la gráfica
¿Cuál es su recorrido?
con el eje OX 

con el eje OY 
¿Crece o decrece?
¿Cuánto vale la pendiente?
Signo de f(x)
¿Cuánto vale la ordenada en el origen?
e) y  f(x)  - x 2  3x
¿Qué nombre recibe?
¿Qué vértice tiene?
Cortes con los ejes
¿Qué concavidad tiene?
con el eje OX 

con el eje OY 
Haz la gráfica
¿Cuál es su dominio?
Signo de f(x) =
¿Cuál es su recorrido?
¿Para qué valores crece?
¿Tiene máximo o mínimo?
¿Para qué valores decrece?
¿Cuál es?
39
Ampliación de Matemáticas
f) y  f(x)  5x 2
¿Qué nombre recibe?
¿Qué vértice tiene?
Cortes con los ejes
3º ESO
¿Qué concavidad tiene?
con el eje OX 

con el eje OY 
Da dos valores a la x y obtienes la y
Haz la gráfica
¿Cuál es su dominio?
Signo de f(x) =
¿Cuál es su recorrido?
¿Para qué valores crece?
¿Tiene máximo o mínimo?
¿Para qué valores decrece?
¿Cuál es?
g) y  f(x)  x 2  5 x  4
¿Qué nombre recibe?
¿Qué vértice tiene?
Cortes con los ejes
¿Qué concavidad tiene?
con el eje OX 

con el eje OY 
Haz la gráfica
¿Cuál es su dominio?
Signo de f(x) =
¿Cuál es su recorrido?
¿Para qué valores crece?
¿Tiene máximo o mínimo?
2.
2013-2014
¿Para qué valores decrece?
¿Cuál es?
Representa gráficamente la relación y (€) con x(kg)
x(kg)
y (€)
2
1
3
1,5
4
2
5
2,5
a) ¿Cuál es la expresión algebraica de esta relación?
b) ¿Cuál es la pendiente de la función?
3. Representa gráficamente las siguientes funciones lineales:
a) y  3x  2
b) y  2 x  1
d) y  5 x  2
e) y  
g) y 
1
x
4
h) y 
c) y  3 x
2
x3
3
f) y  x 
1
3
x
2
4
i) y  5
40
1
2
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
4. Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el
punto P5 , 3)
5. Escribe la ecuación de la recta de la que conocemos un punto y la pendiente en
cada caso:
a) P 2 , 5 , m  3
c) P 0 , 0  , m 
3
2
b) P0 ,  5) , m  2
d) P 2 ,  4 , m 
2
3
6. Halla la pendiente de la recta que pasa por A y B, y escribe su ecuación en cada
caso.
a) A2 ,  1 , B3 , 4
3

 2
,  2  , B 1 , 
2

 3
c) A
b) A 5 , 2 , B 3 , 1
 1 3 
1 
,  , B , 1
 2 4
3 
d) A
7. Observa estas gráficas, encuentra la pendiente y la ordenada en el origen y
escribe la ecuación de cada recta
41
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
8. Observa estas gráficas, encuentra la pendiente y la ordenada en el origen y
escribe la ecuación de cada recta
9. ¿Cuál es la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas?.
Represéntalas.
a) 5 x  2 y  10  0
b)  5 x  8 y  3
c) 6 x  2 y  3  0
d) 3 y  12
10. Una receta de cocina dice que para hacer un bizcocho necesitamos 600 g de
harina y 150 g de mantequilla.
a) ¿Cuánta mantequilla tendremos que poner si queremos hacer el bizcocho con
800 g de harina?
b) Escribe la ecuación peso de harina-peso de mantequilla para ese tipo de
bizcocho y represéntala.
11. La tarifa de alquiler de bicicletas en un parque es 1,5 € fijos más 0,5 € por hora.
a) Escribe la ecuación de la función tiempo-coste y represéntala.
b) Di cuál es la pendiente y qué significa.
12. En la autoescuela Semáforo las tarifas son las siguientes:
Precio matrícula carné
150€
Precio de cada clase
15€
a) Hemos utilizado los servicios de la autoescuela, y con 12 clases hemos
obtenido el carné. ¿Cuánto hemos pagado?
b) ¿Cuánto hubiese pagado por 15 clases? ¿Y por 17 clases?
c) Haz la gráfica que relaciona lo que cuesta el carné según el número de
clases recibidas.
13. Un taller de lavado de coches ofrece dos tipos de tarifa:
I) 12 euros por hacerse socio y 6 euros por cada lavado durante un año.
II) Sin hacerse socio, 8 euros por cada lavado.
a) Escribe la ecuación de la función número de lavados-precio para cada tipo de
tarifa.
b) Representa ambas funciones en los mismos ejes cartesianos.
c) ¿Cuál de los dos tipos de tarifas es mejor según el número de lavados que
hagamos al año?
42
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
14. Representa la gráfica de las funciones cuya expresión analítica es:
a)
y
e) y 
3
x
, b) y 
1
x 8
8
3
x
f) y 
, c) y
1
x6

4
x3
, d) y
g) y  f x  

2x  2
x3
2
3
x
15. Representa las siguientes funciones:
a) y  f x   x  2  3
2
d) y = -x2 + 3x
b) y = -3x2 – 6x + 12
e) y = - x2 + 1
c) y = x2 – 4x + 4
f) y = x2 + x
16. La compañía telefónica Movilcom tiene establecida la siguiente tarifa de
llamadas al extranjero:
- Por el establecimiento de la llamada: 60 céntimos.
- Por cada minuto: 80 céntimos.
Otra compañía, Telesmart, hace la siguiente oferta: establecimiento de la
llamada sin coste y un euro por minuto.
Ambas compañías facturan el tiempo real hablado. Es decir, los minutos y los
segundos.
a) Completa la tabla siguiente. El coste es el precio en euros que se
facturará al cliente. El tiempo es la duración en minutos de la llamada una
vez establecida.
b) Calcula el coste de una llamada que ha durado 3 minutos y 30 segundos
en ambas compañías.
c) Explica razonadamente a partir de cuántos minutos empezará a ser más
barata la compañía Movilcom.
43
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
17. Representa en un sistema de coordenadas los siguientes puntos:
3
1
A : ( ,0'4) B : ( ,1'7)
2
2,
1
C : ( ,-1)
3
44
5
D : (- ,-2)
2
2013-2014
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
TEMA 12
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
PROBLEMAS
1. Un equipo ciclista quiere estudiar el estado de las bicicletas a lo largo de cuatro
años. Toma una muestra de 20 bicicletas y mira los Kilómetros que han
recorrido:
Kilómetros recorridos: xi
Número de bicicletas: fi
1 000
2
1 500
3
1 600
7
2 000
3
2 100
5
a) Representa en un polígono de frecuencias este resultado. b) Calcula la media,
la mediana y la moda. c) Halla los cuartíles. d) Determina la varianza, la
desviación típica y el rango o recorrido.
2. Los siguientes datos corresponden al número de billetes vendidos en una
atracción de feria en un mes: 10, 20, 7, 15, 25, 7, 5, 10, 10, 20, 25, 6, 3, 15, 16,
20, 25, 30, 45, 30, 10, 7, 15, 25, 10, 20, 25, 7,15,10
a) Realiza una tabla y un polígono de frecuencias. b) Calcula los cuartíles.
c) Encuentra la desviación típica.
3. Una casa de neumáticos para coches quiere probar 20 de los que ha fabricado.
Para ello los somete a una prueba que consiste en ver cuántos Kilómetros
aguantan a alta velocidad durante 2 horas. EL resultado es el siguiente
Kilómetros recorridos: xi
Número de neumáticos: fi
100
5
200
12
300
3
a) Representa en forma de pictograma este resultado. b) Calcula la media, la
mediana y la moda. c) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o
recorrido.
4. En un laboratorio de Física se quiere estudiar la resistencia de un material. Para
ello se someten 20 bloques de este material a cinco pesos diferentes. Los
resultados son los siguientes:
Peso (Kilopondios): xi
Número de trozos que resisten : fi
100
5
200
7
300
3
400
3
500
2
a) Representa en un polígono de frecuencias este resultado. b) Calcula la media,
la mediana y la moda. c) Halla los cuartíles. d) Determina la varianza, la
desviación típica y el rango o recorrido.
45
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
5. Cáritas ha hecho un estudio sobre el número de niños abandonados en un año
en veinte capitales de provincia, obteniendo los siguientes datos:
Número de niños: xi
Número de capitales: fi
a)
b)
c)
10
2
12
6
15
3
25
5
30
4
Calcula el número medio de niños abandonados
Averigua la desviación típica
Halla los cuartiles
6. Una ONG que se dedica a la preservación del medio ambiente realiza un estudio
sobre el número de truchas que se han pescado en un río durante treintas días.
El resultado es el siguiente
Número de truchas: xi
Número de días: fi
10
2
20
10
25
9
29
5
30
4
a) Representa gráficamente este resultado. b) Calcula la media, la mediana y la
moda. c) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.
7. Una compañía aérea quiere saber el número medio de viajeros al cabo de un
mes. Realiza un estudio y obtiene los siguientes resultados:
Número de viajeros xi
[0-300)
[300-600)
[600-900)
[900-1 200)
Número de días: fi
5
10
12
3
a) Representa gráficamente este resultado. b) Calcula la media c) Determina la
varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.
8. Una cadena de comidas a domicilio quiere saber el tiempo medio que tardan en
repartir a una determinada zona de la ciudad. Para ello manda a sus repartidores
que apunten el tiempo que invierten. Preguntando a 25 repartidores, se
obtuvieron los siguientes resultados:
Tiempo: xi
Número de repartidores: fi
[10, 12)
8
[12, 14)
12
[14, 16)
4
[16, 18)
1
a) Representa la información en un histograma b) Calcula el tiempo medio y la
desviación típica.
46
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
9. La Inspección Técnica de Vehículos de la Comunidad de Castilla y León quiere
saber cuántos vehículos pasan al año que no superan el test de gases
contaminantes. Preguntados treinta centros de inspección se consiguieron los
siguientes resultados:
Número de vehículos: xi
Número de ITV: fi
[ 0, 3 )
5
[ 3, 6 )
2
[ 6, 9 )
10
[ 9, 12 )
13
a) Representa la información en un histograma b) Calcula el número medio de
vehículos que no superan el test y halla la desviación típica.
10. Una compañía discográfica quiere estudiar el número de discos vendidos por un
grupo de música independiente. Para ello realiza un seguimiento de las ventas
durante un mes y llega a los siguientes resultados:
Número de discos xi
[100-200)
[200-300)
[300-400)
[400-500)
Número de días: fi
10
15
3
2
a) Representa la información en un histograma b) Calcula el número medio de
discos vendidos y halla la desviación típica.
11. La protectora de animales quiere investigar el número de perros abandonados
durante los meses de verano en una ciudad. Encarga, durante 70 días, un
estudio estadístico del número de perros abandonados en la calle. Los
resultados del estudio han sido:
Número de perros: xi
Número de días: fi
[10, 15)
20
[15, 20)
10
[20, 25)
15
[25, 30)
17
[30, 35)
8
a) Representa en un polígono de frecuencias este resultado. b) Halla el número
medio de perros abandonados. c) Determina la varianza y la desviación típica.
12. Las cifras siguientes corresponden al número de pólizas que una compañía de
seguros realiza durante los meses de un año y al número de accidentes que
ocurren al mes:
Pólizas 30
Accidentes 10
35
52
15
60
25
83
42
47
12
20
25
15
30
18
82
33
100
53
47
26
10
35
13. La media de las edades de cuatro hermanos es 12,5 años y las edades de tres
de ellos son 10, 12 y 17 años. ¿Cuál es la edad del cuarto hermano?
14. Las notas de Rosa en las dos primeras evaluaciones de matemáticas han sido
de 3.5 y 4.6. Quiere tener como media del as tres evaluaciones al menos un 5.
¿Cuánto tendrá que sacar, por lo menos, en la tercera evaluación?
47
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
15. Las notas de Irene en las tres primeras evaluaciones de inglés han sido: 5,5; 7;
4,5. ¿Qué nota tendrá que sacar Irene en la 4º evaluación para tener como
media de las cuatro evaluaciones?
16. En el siguiente cuadro se dan las notas que los alumnos 3º B han tenido en el
examen de matemáticas:
Nota
2
3
4
5
6
7
8
9
Nº alumnos
1
2
4
5
4
4
5
3
a) ¿Cuántos alumnos hay en la clase?
b) Calcula la nota media del examen.
c) ¿Qué porcentaje de la clase representa en número de alumnos que ha
suspendido el examen?
48
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3º ESO
2013-2014
TEMA 13
PROBABILIDAD
1. Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y una moneda. Si A
es el suceso que la moneda salga cruz y B es el suceso de obtener 1 ó 2 con el
dado, indicar el significado de los siguientes sucesos:
a) A b) B
c) A  B d) A  B
2. El espacio muestral relativo a un experimento aleatorio es E = {1,2,3,4} y se
consideran los sucesos A = {1,2} B = {2,4} C = {14}
Calcular los siguientes sucesos
a) A b) B c) A  B d) A  B e) C  B f) A  B g) C  B h) A  C
3. Sean A, B y C tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresar mediante
operaciones con sucesos los siguientes:
a) se verifica A y C pero no B.
b) Se verifica al menos uno de los tres sucesos.
c) Se verifican al menos dos sucesos.
d) No se verifica ninguno de los tres.
e) Se verifica uno solo de los tres sucesos.
4. se considera el experimento aleatorio de lanzar al aire dos dados y anotar los
resultados. Se pide:
a) El espacio muestral.
b) Elementos del suceso "obtener siete puntos".
c) Elementos del suceso "obtener ocho puntos".
d) Elementos del suceso "obtener al menos ocho puntos".
5. Se lanzan dos dados de distintos colores sobre una mesa y se anotan los
números obtenidos. Determinar por extensión los sucesos A y B siguientes:
- A: "sacar al menos un seis".
- B: "sacar sólo un seis"
6. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja,
otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:
a) La primera bola se devuelve a la urna antes de cacar la segunda.
b) La primera bola no se devuelve.
c) La aparición de al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda.
7. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras,
¿cuál es la probabilidad de que sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de
que no sea blanca?.
8. ¿Cuál es la probabilidad de sacar de una sola vez dos bolas blancas o dos bolas
rojas de una urna que contiene 5 bolas blancas y 7 bolas rojas?.
49
Ampliación de Matemáticas
3º ESO
2013-2014
9. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se
pide:
a) La probabilidad de que salga el siete.
b) La probabilidad de que el número obtenido sea par.
c) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 3.
10. La probabilidad de que un hombre viva 20 años es 1/4 y la que su mujer viva 20
años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:
a) de que ambos vivan 20 años.
b) de que el hombre viva 20 años y su mujer no.
c) de que ambos mueran antes de los 20 años.
11. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado tres veces aparezca siempre el
mismo número?
12. En un cierto conjunto de números naturales la probabilidad de que uno de ellos
sea divisible para 2 es 1/6, la probabilidad de que sea divisible para 5 es 1/3 y la
probabilidad de que sea divisible para 10 es 1/12. ¿Cuál es la probabilidad de
que un número de ese conjunto sea divisible para 2 ó para 5?.
13. Determinar la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
a) La obtención de 6 puntos en una sola tirada de dos dados.
b) La aparición de un rey al extraer una carta de una baraja de 40 cartas.
c) La aparición de al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda.
14. De una caja que contiene 5 bolas blancas, 5 rojas y 4 azules, se extrae una al
azar. Hallar la probabilidad de que la bola extraída sea:
a) blanca; b) roja; c) azul; d) no blanca; e) roja o azul
15. Hallar la probabilidad de obtener al menos un 3 en dos lanzamientos de un dado.
16. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Obtener 8 puntos en una sola tirada de dos dados.
b) Obtener en una sola tirada con dos dados una suma de 7 u 11.
c) Obtener al menos una cara en tres lanzamientos con una moneda.
17. Se sacan al azar dos cartas de una baraja de 40 cartas. Hallar la posibilidad de
que las dos sean oros. Hallar la posibilidad de que una sea oros y la otra
espadas.
18. En una caja hay 15 lámparas, de las que 5 son defectuosas. Se eligen 3 al azar.
Hallar la probabilidad de que:
a) ninguna sea defectuosa.
b) una exactamente sea defectuosa.
19. En una urna hay seis bolas blancas, cinco amarillas, siete azules, cinco rojas y
nueve verdes. Se extrae una bola al azar. Hallar la probabilidad de que sea azul,
roja o amarilla.
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20. Calcular la probabilidad de que al extraer dos cartas de una baraja española
salgan: a) dos figuras; b) por lo menos una figura; c) una un tres y la otra un as;
Considerar las dos posibilidades: a) con reemplazamiento y b) sin
reemplazamiento.
21. Se tiene una bolsa con nueve bolas numeradas del uno al nueve. Se realiza un
experimento que consiste en la extracción de una bola de la bolsa, se anota el
número y se reintegra a la bolsa.
a) Halla el espacio muestral.
b) Construye los siguientes sucesos:
A= "obtener número par".
B= "obtener número primo".
C= "obtener múltiplo de tres".
c) Calcula la probabilidad de los sucesos anteriores
22. En una bolsa hay diez bolas numeradas del 11 al 20, idénticas, salvo en el color,
pues unas son rojas y otras son verdes.
a. Sacamos, sin mirar, una bola. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un
número primo?
b. Se sabe que la probabilidad de sacar bola verde es 3/5. ¿Cuántas bolas
hay de cada color?
23. De los 27 alumnos de 3º B, 5 tienen el pelo rubio, 7 son morenos y el resto
tienen el pelo castaño. El profesor ha sacado un alumno al azar a la pizarra.
¿Cuál es la probabilidad de que ese alumno tenga el pelo castaño?
24. La clase de juan ha organizado una rifa para conseguir dinero para el viaje de fin
de curso. Han numerado las papeletas con tres cifras, empezando por 000 y
terminando por 999.
a) ¿Cuántas papeletas se han hecho?
b) Juan ha comprado todos los números que terminan en 5. ¿Qué
probabilidad tiene de que le toque?
25. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas.
a) Calcula la probabilidad de que la carta sea un as.
b) Calcula la probabilidad de que la carta sea de oros.
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