Download potencias y raices

1
En mi habitación hay 3 cajones con tres filas cada uno de tres videojuegos cada una. Escribe en forma de
potencia el número total de videojuegos y calcúlalo.
Solución:
33 = 27 videojuegos.
2
Los pañuelos de papel vienen en envases de 10 paquetes de 10 pañuelos cada uno. ¿Cuántos pañuelos
hay en un envase? ¿Y en 10 envases?
Solución:
102 = 100 pañuelos en cada envase.
103 = 1000 pañuelos en 10 envases.
3
Nuestro profesor de matemáticas tiene en el departamento dos estantes de dos baldas cada uno con dos
cajas en cada balda y dos centenas de exámenes en cada caja. Escribe en forma de potencia el número
total de exámenes y calcúlalo.
Solución:
24 = 16 centenas de exámenes que son 1 600 exámenes.
4
Para subir al campanario de mi pueblo hay 30 tramos de 30 peldaños cada uno de 30 cm de alto cada uno.
Escribe en forma de potencia el número total de centímetros que hay que subir y calcúlalo.
Solución:
303 = 27 000 cm.
5
Escribe el producto 100 · 1000 como una única potencia.
Solución:
100 · 1000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 105
6
Sin realizar las potencias, indica el signo del resultado:
a) (  3)4
b) (  2)10
c) (  1)7
d) (  5)9
Solución:
a) Positivo por tener exponente par.
b) Positivo por tener exponente par.
c) Negativo por tener exponente impar.
d) Negativo por tener exponente impar.
7
Completa la siguiente tabla:
Potencia
Base
4
Exponente
3
Forma de multiplicación
Valor
(-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2)
Solución:
Potencia
43
(-2)6
8
Base
4
-2
Exponente
3
6
Forma de multiplicación
4·4·4
(-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2)
Valor
64
64
¿Cuántos metros cuadrados ocupan dos jardines cuadrados de 15 y 20 metros de lado respectivamente?
Solución:
152 + 202 = 225 + 400 = 625 m2
9
Contesta verdadero o falso y justifica la respuesta:
a) El valor de una potencia de base dos puede terminar en cifra impar.
b) Las potencias de base negativa pero par son siempre positivas.
Solución:
a) Falso. Los productos en los que interviene el dos como factor son siempre pares. Por ejemplo: 27 = 128
b) Falso. Independientemente de que la base sea par o impar, las potencias de base negativa son positivas sólo
cuando el exponente es par.
Por ejemplo: (  2)3 =  8
10 Escribe en forma de potencia los siguientes productos:
a) (  2) · 2 · 2 · 2 · 2
b) (  4) · 4 · 4
c) (  7) · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7
Solución:
a) (  2) · 2 · 2 · 2 · 2 = (  2) · (  2) · (  2) · (  2) · (  2) = (  2)5
b) (  4) · 4 · 4 = (  4) · (  4) · (  4) = (  4)3
c) (  7) · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = (  7) · (  7) · (  7) · (  7) · (  7) · (  7) · (  7) = (  7)7
11 Expresa como una única potencia y calcula su valor:
a) 23 · 33
b) 125 : 65
Solución:
a) 23 · 33 = 63 = 216
b) 125 : 65 = 25 = 32
12 Para cada uno de los siguientes apartados di si es verdadera o falsa la expresión y explica por qué:
a) 23 · 22 = 23+2
b) 32 · 32 = (3 · 3)2·2
Solución:
a) Verdadero, porque 23 · 22 = 8 · 4 = 32, es igual a 23+2 = 25 = 32
b) Falso, porque 32 · 32 = 9 · 9 = 81, no es igual a (3 · 3)2·2 = 94 = 6 561
13 Para cada uno de los siguientes apartados di si es verdadera o falsa la expresión y explica por qué:
a) 52 · 5 = 52+1
b) 64 : 62 = (6 : 6)4-2
Solución:
a) Verdadero, porque 52 · 5 = 25 · 5 = 125, es igual a 52+1 = 53 = 125
b) Falso, porque 64 : 62 = 1 296 : 36 = 36, no es igual a (6 : 6)4-2 = 12 = 1
14 Efectúa utilizando propiedades de potencias:
a) [  7 · (  2) · (  1)]3
b) [((  1)3 )5 ]7
Solución:
a) [  7 · (  2) · (  1)]3 = (  7)3 · (  2)3 · (  1)3 =  343 · (  8) · (  1) =  2 744
b) [((  1)3 )5 ]7 = (  1)105 =  1
15 Escribe el producto 167 · 163 como potencia de 16, como potencia de 4 y como potencia de 2.
Solución:
167 · 163 = 1610 = (42)10 = 420 = (22)20 = 240
16 Efectúa utilizando propiedades de potencias:
a) (-2)2 · (-2)3 · (-2)2
b) (-9)7 : (-9)3 : (-9)2
Solución:
a) (-2)2 · (-2)3 · (-2)2 = (-2)7 = -128
b) (-9)7 : (-9)3 : (-9)2 = (-9)2 = 81
17 ¿Es cierto que la suma de potencias de la misma base es otra potencia cuya base es la misma y cuyo
exponente es la suma de los exponentes de los sumandos? Justifica la respuesta con un ejemplo.
Solución:
Es falso, por ejemplo: 22 + 23 = 4 + 8 = 12, no es igual a 22+3 = 25 = 32.
18 Calcula de dos maneras distintas las siguientes potencias:
a) [(-1) · (-2) · (-3)]3
b) [(-2)3]2
Solución:
Primera forma, operando paréntesis:
a) [(-1) · (-2) · (-3)]3 = (-6)3 = -216
b) [(-2)3]2 = (-8)2 = 64
Segunda forma, aplicando propiedades de potencias:
a) [(-1) · (-2) · (-3)]3 = (-1)3 · (-2)3 · (-3)3 = (-1) · (-8) · (-27) = -216
b) [(-2)3]2 = (-2)6 = 64
19 Expresa el número 81 como cociente de potencias de la misma base de dos formas diferentes, con
distintas bases.
Solución:
Una de las posibles soluciones sería: 94 : 92, 37 : 33
20 ¿Es cierto que la potencia de una suma sea igual a la suma de las potencias de los sumandos? Justifica la
respuesta con un ejemplo.
Solución:
Es falso, por ejemplo: (2 + 3)2 = 52 = 25, no es igual a 22 + 32 = 4 + 9 = 13.
21 Calcula todos los cuadrados perfectos que hay entre 45 y 200.
Solución:
72 = 49, 82 = 64, 92 = 81, 102 = 100, 112 =121, 122 =144, 132 = 169 y 142 = 196.
22 ¿Cómo podemos colocar las 32 fichas de ajedrez, en filas y columnas, formando un cuadrado? ¿Sobrará
alguna?
Solución:
32 = 5 y resto 7. Cada fila y columna es de 5 fichas y sobran 7.
23 La casa de campo de los tíos de Ana está en una parcela cuadrada de 9 025 m 2 de superficie. ¿Qué longitud
tiene un lado de la parcela? ¿Qué longitud tiene el muro que rodea a toda la parcela?
Solución:
El lado de la parcela es de 9025 = 95m. La longitud del muro es de 95 · 4 = 380 m.
24 Calcula la raíz cuadrada entera de 71 y el resto de la raíz.
Solución:
64  8 y 81  9
Por tanto, 71  8 y Resto = 71  82 = 71  64 = 7
25 Calcula las siguientes raíces cuadradas. Si no son exactas, indica entre qué dos números naturales se
encuentran.
a) 81
b) 100
c) 46
d) 21
e) 75
f) 64
Solución:
a) 81  9
b) 100 = 10
c) 6 
46  7
d) 4  21  5
e) 8  75  9
f) 64  8
26 ¿Entre qué dos números naturales consecutivos se encuentran las siguientes raíces cuadradas?
a)
53
b)
230
c)
420
d)
150
Solución:
a) 7 < 53 < 8
b) 15 < 230 < 16
c) 20 < 420 < 21
d) 12 < 150 < 13
27 Halla la raíz y el resto de:
a) 245
b) 316
c) 450
Solución:
a) Raíz: 15. Resto: 245 - 152 = 20
b) Raíz: 17. Resto: 316 - 172 = 27
c) Raíz: 21. Resto: 450 - 212 = 9
28 El hermano mayor de Carlos se saca un dinerillo extra en verano cortando el césped de los vecinos de la
urbanización. Si cobra 2 € por cada decámetro cuadrado, y ha ganado en una semana 144 €, ¿qué
superficie de césped ha cortado? Si el jardín de cada vecino es un cuadrado de 3 dam de lado, ¿en cuántos
jardines ha trabajado?
Solución:
144 : 2 = 72 dam2 de césped ha cortado.
Cada jardín es de 32 = 9 dam2 de superficie, por tanto, ha trabajado en 72 : 9 = 8 jardines.
29 Escribe un número, mayor que 130 y menor que 150, que no sea un cuadrado perfecto. Indica los dos
cuadrados perfectos más próximos. Indica también el valor de su raíz y el valor del resto.
Solución:
Cualquier número entre 130 y 150, que no sea el 144, es una solución.
Los dos cuadrados perfectos más próximos son 121 y 169.
El valor de la raíz será 11 y el resto será el resultado de la diferencia entre el número elegido y el 121.
30 Halla los catetos de un triángulo rectángulo isósceles de 18 dm 2 de área.
Solución:
Si c es la medida de los catetos, entonces:
2
c·c
c
2
A=
 18 =
 c = 36  c = 36 = 6
2
2
Los catetos miden 6 dm cada uno.