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MATEMATICA l (Algebra)
Trabajo Práctico Nº 3 - Estructuras Algebraicas
TRABAJO PRACTICO Nº 3 - ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
1) Determinar en cada caso si el par ( G, * )
a) G1 = { x / x = 2k, k  Z } ;
* es el producto ordinario.
b) G2 = { x / x = 3 k , k  N } ;
* es la adición
c) G3 = { 1; -1 } ;
* es la adición
2) Sea A = { x R / x = a + b 2 ; a  Z  b  Z }. Comprobar que A es un anillo conmutativo
y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales.
3) Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas :
*
0
1

0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
Probar que estas operaciones definen sobre K una estructura de cuerpo.
4) Completar los siguientes enunciados para que resulten proposiciones verdaderas :
i) En R2 = C se define la relación de equivalencia : (a, b)  (c, d) 
En R2 = C se define la adición y la multiplicación mediante
(a, b) + (c, d) = . . . . . . . .
(a, b) * (c, d) = . . . . . . . .
ii) (C, +) tiene estructura de . . . . . . .
(C, *) tiene estructura de . . . . . . .
(C, +, *) tiene estructura de . . . . .
iii) Un complejo es real  . . . . . . . .
Un complejo es imaginario  . . . .
iv) En C es : i0 =
i1 =
i2 =
v) Si z = (a, b) 
z = . . . .
; - z = . . . . . ; z -1 = . . . . . .
z1  z 2 = . . . . . . .
i3 =
i4q+r =
z1  z 2 = . . . . . . . .
vi) La forma binómica de z = (a, b) es . . . . . . .
Licenciatura en Sistemas de Información – Año 2009
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE
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5) Resolver las ecuaciones siguientes indicando a qué campo numérico pertenecen las
soluciones :
a) x2 - 1 = 0
b) x2 - 3 = 0
c) x2 + 1 = 0
d) x2 + 3 x + 7 = 0
z3 = 2 + 4 i
z4 = (- 2 ,- 2 )
6) Dados los números complejos :
Z1 = (-5, 3)
a)
b)
c)
d)
e)
z2 =
3
 2i
2
Representarlos gráficamente
Expresar z1 y z4 en forma binómica
Expresar z2 y z3 en forma de pares ordenados
Hallar y representar gráficamente z4
Calcular y representar gráficamente
i) z 1 + z 2
f) Calcular :
ii) -2 (z 2 - z 1)
i) z 1  z2
7) Determinar z tal que :
ii)
iii) - z 2 + z 3 -z 1
z3
( z 4 ) 1
a) 3 z +z = 3 + 5 i
iii)
z3  z1
z2
b) i z - 2z = - 6 i
c) z + iz = 3 + 5 i
8) Resolver las siguientes ecuaciones en el campo complejo. En todos los casos z es un
número complejo ; despejarlo y calcular su valor :
a) ( 5 + 2 i )  z = 3 - 7 i
b)
z
 (3,5)
(3,4)
c)
z
2 z  3i

 6  3i
z
2i
9) Determinar x para que el producto (3 - 6 i)  (4 + x i) sea :
a) un número real
b) un número imaginario puro
10) Analizar si B = {1, 2, 3, 6} = { x  N / x / 6 } con las operaciones * y 
donde * denota mínimo común múltiplo y  denota máximo común divisor ; resulta un
modelo de Algebra de Boole, donde los neutros son respectivamente 1 y 6.
11) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes :
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i) a  b´ = 0
ii) a * b = b
iv) a  b = a
iii) a´ * b = 1
12) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones
13) Probar que  a, b  B : a) (a * b)  (a * b´) = a
b) (a  b) * (a  b´) = a
14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos
15) Probar que en un Algebra de Boole :
i) (a * b)´ = a´  b´
ii) (a  b) * (a´ * b´)
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1) Dados los complejos :
a)
b)
c)
d)
e)
z1 = (5, 2) ;
z2 = (-1, 3/2) ;
z3 = (-2, -1/2 )
Representarlos gráficamente en el plano complejo.
Expresarlos en forma binómica.
Hallar y representar gráficamente el opuesto, el inverso y el conjugado de z1.
Resolver analítica y gráficamente :
i) z1 + z2
ii) 2 z3 - z2
Calcular :
i) z1  z2
ii) ( z1 + z3 ) / 2 z2
2) Dadas las igualdades :
a) ( 2 - i9 ) x + ( 1 + 2 i11 ) y = 2 i - i 4
b) ( m + n ; - m + 2 n ) = ( -1, 0)
Determinar los números complejos z1  z2 / z1 = (x, y)  z2 = (m, n)
3) Calcular :
a) (3 + 2 i)  (3 + i) - (1 - i)  (2- 3 i)
b) (2 - 3 i) + (-1 + 5i)  (6 - 3i) - (-2 - 2i) =
x2 + x + 4 = 0
verifican dicha ecuación.
4) Resolver la ecuación
b) (5 + 3i)  (2 + 4i)  6
c)
 2  3i
 3  2i
d)
(4  2i )( 1  i )
y comprobar que en efecto, las raíces obtenidas
5) Calcular el valor de z en las ecuaciones siguientes :
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a)
z
 (2  i )  3  4i
1  4i
b)
3i
 5  2i
z
c) ( 2 + 3 i )  z =
6) Calcular los número reales x e y para que se verifique
2  xi
 y  3i
5  3i
7) Representar gráficamente las raíces de las ecuaciones :
a) x9 + 9 = 0
b) x2 + 1 = 0
c) x - 4 = 0
d) x2 + 4 = 0
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