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MATEMATICA l (Algebra) Trabajo Práctico Nº 3 - Estructuras Algebraicas TRABAJO PRACTICO Nº 3 - ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1) Determinar en cada caso si el par ( G, * ) a) G1 = { x / x = 2k, k Z } ; * es el producto ordinario. b) G2 = { x / x = 3 k , k N } ; * es la adición c) G3 = { 1; -1 } ; * es la adición 2) Sea A = { x R / x = a + b 2 ; a Z b Z }. Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales. 3) Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas : * 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 Probar que estas operaciones definen sobre K una estructura de cuerpo. 4) Completar los siguientes enunciados para que resulten proposiciones verdaderas : i) En R2 = C se define la relación de equivalencia : (a, b) (c, d) En R2 = C se define la adición y la multiplicación mediante (a, b) + (c, d) = . . . . . . . . (a, b) * (c, d) = . . . . . . . . ii) (C, +) tiene estructura de . . . . . . . (C, *) tiene estructura de . . . . . . . (C, +, *) tiene estructura de . . . . . iii) Un complejo es real . . . . . . . . Un complejo es imaginario . . . . iv) En C es : i0 = i1 = i2 = v) Si z = (a, b) z = . . . . ; - z = . . . . . ; z -1 = . . . . . . z1 z 2 = . . . . . . . i3 = i4q+r = z1 z 2 = . . . . . . . . vi) La forma binómica de z = (a, b) es . . . . . . . Licenciatura en Sistemas de Información – Año 2009 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE MATEMATICA l (Algebra) Trabajo Práctico Nº 3 - Estructuras Algebraicas 5) Resolver las ecuaciones siguientes indicando a qué campo numérico pertenecen las soluciones : a) x2 - 1 = 0 b) x2 - 3 = 0 c) x2 + 1 = 0 d) x2 + 3 x + 7 = 0 z3 = 2 + 4 i z4 = (- 2 ,- 2 ) 6) Dados los números complejos : Z1 = (-5, 3) a) b) c) d) e) z2 = 3 2i 2 Representarlos gráficamente Expresar z1 y z4 en forma binómica Expresar z2 y z3 en forma de pares ordenados Hallar y representar gráficamente z4 Calcular y representar gráficamente i) z 1 + z 2 f) Calcular : ii) -2 (z 2 - z 1) i) z 1 z2 7) Determinar z tal que : ii) iii) - z 2 + z 3 -z 1 z3 ( z 4 ) 1 a) 3 z +z = 3 + 5 i iii) z3 z1 z2 b) i z - 2z = - 6 i c) z + iz = 3 + 5 i 8) Resolver las siguientes ecuaciones en el campo complejo. En todos los casos z es un número complejo ; despejarlo y calcular su valor : a) ( 5 + 2 i ) z = 3 - 7 i b) z (3,5) (3,4) c) z 2 z 3i 6 3i z 2i 9) Determinar x para que el producto (3 - 6 i) (4 + x i) sea : a) un número real b) un número imaginario puro 10) Analizar si B = {1, 2, 3, 6} = { x N / x / 6 } con las operaciones * y donde * denota mínimo común múltiplo y denota máximo común divisor ; resulta un modelo de Algebra de Boole, donde los neutros son respectivamente 1 y 6. 11) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes : Licenciatura en Sistemas de Información – Año 2009 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE MATEMATICA l (Algebra) Trabajo Práctico Nº 3 - Estructuras Algebraicas i) a b´ = 0 ii) a * b = b iv) a b = a iii) a´ * b = 1 12) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones 13) Probar que a, b B : a) (a * b) (a * b´) = a b) (a b) * (a b´) = a 14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos 15) Probar que en un Algebra de Boole : i) (a * b)´ = a´ b´ ii) (a b) * (a´ * b´) EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1) Dados los complejos : a) b) c) d) e) z1 = (5, 2) ; z2 = (-1, 3/2) ; z3 = (-2, -1/2 ) Representarlos gráficamente en el plano complejo. Expresarlos en forma binómica. Hallar y representar gráficamente el opuesto, el inverso y el conjugado de z1. Resolver analítica y gráficamente : i) z1 + z2 ii) 2 z3 - z2 Calcular : i) z1 z2 ii) ( z1 + z3 ) / 2 z2 2) Dadas las igualdades : a) ( 2 - i9 ) x + ( 1 + 2 i11 ) y = 2 i - i 4 b) ( m + n ; - m + 2 n ) = ( -1, 0) Determinar los números complejos z1 z2 / z1 = (x, y) z2 = (m, n) 3) Calcular : a) (3 + 2 i) (3 + i) - (1 - i) (2- 3 i) b) (2 - 3 i) + (-1 + 5i) (6 - 3i) - (-2 - 2i) = x2 + x + 4 = 0 verifican dicha ecuación. 4) Resolver la ecuación b) (5 + 3i) (2 + 4i) 6 c) 2 3i 3 2i d) (4 2i )( 1 i ) y comprobar que en efecto, las raíces obtenidas 5) Calcular el valor de z en las ecuaciones siguientes : Licenciatura en Sistemas de Información – Año 2009 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE MATEMATICA l (Algebra) Trabajo Práctico Nº 3 - Estructuras Algebraicas a) z (2 i ) 3 4i 1 4i b) 3i 5 2i z c) ( 2 + 3 i ) z = 6) Calcular los número reales x e y para que se verifique 2 xi y 3i 5 3i 7) Representar gráficamente las raíces de las ecuaciones : a) x9 + 9 = 0 b) x2 + 1 = 0 c) x - 4 = 0 d) x2 + 4 = 0 Licenciatura en Sistemas de Información – Año 2009 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE