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POTENC IAL ELÉCTRICO (1)
PROBLEMAS
1. Para la configuración de carga de la figura, demostrar
que V(r) para puntos colocados en el eje vertical está dado
por la siguiente expresión, suponiendo que r>>a
r
V
+q
 q 2qa 
  2 
40  r
r 
1
a
+q
a
¿Es de esperarse este resultado? (Sugerencia: La
configuración de carga se puede considerar como la suma
de una carga aislada y un dipolo).
-q
2. En la figura, sea R 1 = 1 cm y R 2 = 2 cm. Antes de conectar las esferas con el
alambre delgado, se comunicó a la esfera pequeña una carga 2.10 - 7 coul,
estando la esfera grande descargada. Calcule (a) la carga, (b) la densidad de
carga, (c) el potencial que adquiere cada esfera después de conectarla.
q1
R1
σ1
Alambre
q2
R2
σ2
3. Un electrón que se mueve paralelo al eje X tiene una velocidad inicial de
3,7.10 6 m/s en el origen. Su velocidad se reduce a 1,4.10 5 m/s en el punto x = 2
cm. Calcule la diferencia de potencial entre el origen y este punto. ¿Cuál punto
está a mayor potencial?
4. Un electrón en el haz de un tubo de imagen de televisión ordinario se acelera
a través de una diferencia de potencial de 20 kV antes de incidir en la cara del
tubo. (a) ¿Cuál es la energía de este electrón, en electrón voltios, y cuál es su
velocidad cuando incide sobre la pantalla? (b) ¿Cuánto de momento imparte el
electrón a la pantalla?
5. (a) Un cascarón cilíndrico uniformemente cargado
tiene una carga total Q, radio R y altura h. Determine
el potencial eléctrico en el punto q ue se encuentra a
una distancia d del extremo derecho del cilindro,
como se muestra en la figura. ( Sugerencia: utilice el
resultado del potencial eléctrico de un anillo de carga
y considere el cascarón cilíndrico como si fuera un
conjunto de anillos cargad os) (b) Utilice el resultado
del potencial de un disco cargado y resuelva el mismo
problema en el caso de un cilindro sólido.
POTENC IAL ELÉCTRICO ( 2)
6. Una varilla de longitud L yace a lo largo del eje de
las x, con su extremo izquierdo en el origen. Tiene una
densidad de car ga no uniforme λ=αx, siendo α una
constante positiva. (a) ¿Cuáles son las unidades de α?
(b) Calcule el potencial eléctrico en A.
7. Para el arreglo descrito en el problema anterior,
calcule el potencial eléctrico en el punto B, que está
en el bisector pe rpendicular de la varilla, a una
distancia b por encima de las x.
8. La barra delgada cargada uniformemente que se
muestra en la figura a la izquierda tiene una densidad
de carga lineal λ. Encuentre una expresión para el
potencial eléctrico en P.
9. Calcule el potencial eléctrico en el punto P
sobre el eje del anillo que se muestra en la
figura a la izquierda , el cual tiene una densidad
de carga σ.
10. Un disco de radio R tiene una densidad de
carga superficial no uniforme σ = Cr, donde C es
una constante y r se mide a partir del centro del
disco. Determine (por integración directa) el
potencial en P.
11.Una esfera sólid a de radio R tiene una densidad de carga uniforme ρ y una
carga total Q. Deduzca una expresión para su energía potencial eléctrica
total. (Sugerencia: imagine que la esfera está construida por capas sucesivas
de cascarones concéntricos de carga dq = ρ(4πr 2 dr), y utilice dU = V.dq).
12.Cuando una esfera cond uctora sin carga de radio a se coloca en el origen de
coordenadas xyz que se encuentra en un campo eléctrico inicialmente
uniforme E = E 0 k, el potencial eléctrico resultante es V(x,y,z) = V 0 , para
puntos en el interior de la esfera, y
E0  a 3  z
V ( x, y, z )  V0  E0 z 
3/ 2
x2  y2  z 2


para puntos en el exterior de la esfera, siendo V 0 el potencial eléctrico
(constante) en el conductor. Utilice esta ecuación para determinar las
componentes x, y y z del campo eléctrico resultante.
POTENC IAL ELÉCTRICO ( 3)
13. Imagine dos cascarones esféricos delgados y
conductores, como se muestra en la figura. El cascarón
interno tiene un radio de r 1 = 15 cm y una carga de 10 nC.
El cascarón exterior tiene un radio r 2 = 30 cm y un carga
de –15 nC. Determine (a) el campo eléctrico E y (b) el
potencial eléctrico V en las regiones A, B y C, siendo V =
0 en r = ∞.
14. El potencial eléctrico en un punto P a una distancia d
por encima de una varilla uniformemente cargada de
longitud L que está a lo largo del eje x es
V 
 L  L2  d 2
Ke  Q
 Ln

L
d





Utilice este resultado para deducir una expresión para la
componente en y del campo eléctrico en P. (Sugerencia:
reemplace d por y).
15. La distribución de carga que se muestra en la
figura a la izquierda se conoce como un cuadrupolo
lineal. (a) Demuestre que el potencial en un punto
sobre el eje x donde x > a es
2  Ke  Q  a2
V 3
x  x  a2
(b) Muestre que la expresión obtenida en (a) cuando x >> a se reduce a
V
2  Ke  Q  a2
6  ke  Q  a 2
E

b 
x3
x4
(c) Con el resultado en (a) evalúe el potencial del cuadrupolo lineal en x = 3a si
a = 2 mm y q = 3 μC. Compare esta respuesta con la que usted obtenga cuando
use el resultado aproximado en (b) válido cuando x >> a. (d) Emplee los
resultados obtenidos en (a) y (b) para determinar E en cualquier punto a lo largo
del eje del cuadrupolo lineal. (e) Evalúe los E en x = 3a si a = 2 mm y q = 3 μC.
16. Una esfera sólida de radio R tiene una densidad de
carga volumétrica positiva uniforme y carga total Q.
(A) Determine el potencial eléctrico en un punto fuera de
la esfera, esto es, para r > R.
(B) Determine el potencial en un punto en el interior de la
esfera, esto es, para r < R.
POTENC IAL ELÉCTRICO (4)
17. Potencial eléctrico debido a un anillo cargado uniformemente. A) Encuentre una expresión
para el potencial eléctrico en un punto P localizado en la perpendicular al eje central de un anillo
cargado uniformemente, de radio a y carga total Q. B) Encuentre una expresión para la magnitud
del campo eléctrico en el punto P.
18. Potencial eléctrico debido a un disco cargado uniformemente. Un disco uniformemente
cargado tiene un radio a y una densidad de carga superficial σ. Determine: A) el potencial
eléctrico y B) la magnitud del campo eléctrico a lo largo del eje central perpendicular al disco.
19. Una varilla de longitud L localizada a lo largo del eje de las x tiene una carga total Q y una
densidad de carga lineal uniforme λ. Determine el potencial eléctrico en un punto P localizado en
el eje de las y, a una distancia a del origen.
20. Un alambre con una densidad de carga uniforme λ se dobla como se muestra en la figura.
Determine el potencial eléctrico en el punto O.
21. Un conductor esférico tiene un radio de 14 cm y una carga de 26 μC. calcule el campo
eléctrico y el potencial eléctrico para a) r = 10 cm, b) r = 20 cm, y c) 14 cm.
POTENC IAL ELÉCTRICO (5)
22. Dos conductores esféricos de radios r1 y r2 están separados una distancia mucho mayor que
cualesquiera de sus radios. Las esferas están conectadas por un alambre conductor, como se
muestra en la figura. Las cargas en loas esferas en equilibrio son q1 y q2, respectivamente, y están
uniformemente distribuidas. Determine la relación de las magnitudes de los campos eléctricos en
las superficies de las esferas.
23. Las tres cargas puntuales de la figura están en los vértices de un triángulo isósceles. Calcule
el potencial eléctrico en el punto medio de la base, si q = 7 μC.
24. Calcule la energía requerida que se requiere para formar el arreglo de cargas que se muestra
en la figura, donde a = 0,20 m, b = 0,40 m y q = 6 μC.
POTENC IAL ELÉCTRICO
Respuestas
2. a) q1  6,67 108 C y q2  1,33  10 7 C , b)  1  5,29  10 5 C
c) V1  V2  59,90 KV
m2
y  2  2,65  10 5 C
m2
,
3. V  38,9 V . El origen está a mayor potencial.
4. a) U  20eV , b) v  2,65  10 6 m y a) p  2,41  10 24  kg  m
s
s
2
k e  Q  d  h  d  h   R 2 
 y
 ln 
5. a) V 
h


d  d 2  R2
 d  h  d  h 2  R 2  
k e  Q 
2
2
2
2
2
2

b) V  2  d  h   d  h   R  d  d  R  2  d  h  h  R  ln 
2
2
R h 

 
d d R


6. a)

C
 L 
y b) V  k e     L  d  ln 1  
2
m
 d 

 
 
 2 L2

L 
ke    L  b 
4
2
 ln 
7. V  

2
2
2
 b  L 4  L2


 a  L  a  L 2  b 2
8. V  k e    ln 
2

a  a2  b
9. V  2    k e   




x2  b2  x2  a2



x
10. V  C    k e   R  R 2  x 2  x 2  ln 
2
2
R R x

11. U 
3 ke  Q 2

5
R
12.
E x  3  E0  a 3  x  z  x 2  y 2  z 2




5
2

,
E z  E 0  E0  a 3  2  z 2  x 2  y 2  x 2  y 2  z 2





5
E y  3  E0  a 3  y  z  x 2  y 2  z 2
2

5
2
y



 1 10 8 C 
 5  10 9* C 
ˆ


  rˆ , b) VA  150 V ,
a) E A  0  rˆ , E B  k e  
y
E


k


r
B
e 

r2
r2




8

1  10 C
 90  
VB   450     m  V y VC  k e 
r
 r  

13.

14. E y 
ke  Q
y x a
2
 ˆj
2
15. c) Va   1,125 MV y Vb   1 MV , d) Ea  
e) Ea   609,375 M 
16. a) V
Q
r
Q
x a
2
18. a) V  2    k e   
19. V  k e 
x
3
 x  a2

2
y
E b  
6  ke  Q  a 2
,
x4
V
V
y E b   500 M 
m
m
 ke 
17. a) V  k e 

2  ke  Q  a 2  3  x 2  a 2
2

y b) V  k e 
y b) E  k e 

x
Q
r
Qx
2
 a2

3
2

x 2  a 2  x y b) E  2    k e    1 

Q  L  L2  a 2
 ln
L 
a



x  a2 
x




20. V  k e      2 ln 3
21. a) E  0 y V  1,67 MV , b) E  5,84 M V
y V  1,17 MV , c) E  11,9 M V
y
m
m
V  1,67 MV
22.
E1 r2

E2 r1
23. U  11 MV
24. U  3,96 J