Download pauta de laboratorio n° 6 - Universidad de Concepción

Ingeniería Civil en Telecomunicaciones
Universidad de Concepción
Trabajo Final
Estadística Aplicada
TEL 2006-2
Grupo N°1
1) La señal x(t) del problema 8.4.5 se aplica a un rectificador de media onda, por lo que
la salida y(t) se define con:
y (t ) 
a) Encuentre y grafique la fda de Y.
b) Encuentre y grafique la fdp de Y.
c) Encuentre la media y la varianza de Y.
2) La fdp de la amplitud X de cierta señal x(t) está dada por Px(x) = k exp (-|.x|).
a) Grafique la fdp de X.
b) Determine y grafique la fda de X.
c) La señal x(t) se aplica a la entrada de un amplificador con ganancia unitaria; la
salida correspondiente es y(t). Sin embargo, este amplificador no puede aceptar los
(ocasionales) picos de alta tensión en la señal de entrada y se satura ("recorta") en los
niveles Y = ±A. Determine y grafique la fdp y la fda de la salida, Y.
3) En el proceso aleatorio z (t )  X cos( wct)  Ysen(wct ) , X e Y son V.A. gaussianas
independientes, cada una con media cero y varianza  2 .
a) Determine mz y  z2
b) ¿Es valido su resultado si solo se sabe que X e Y no están correlacionadas y que
tienen media cero e iguales varianzas?
4) Determine y grafique la fdp de y = A cos x, donde X está uniformemente distribuida en
(-,). [Sugerencia: Considere los intervalos (-, 0) y (0, ) en forma separada.]
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Grupo N°2
5) Cierto transmisor operado en forma remota se programa para que se apague si los
eventos A y B (p. ej., tensiones por encima de la tolerancia) ocurren de manera
simultánea, o si ocurre el evento C. La probabilidad de que ocurra A es de 0.001, la
probabilidad de que ocurra B es de 0.002 y la probabilidad de que ocurra C es de 10-5.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se apague el transmisor?
b) Si P(A/B) = 0.01, ¿son los eventos A y B estadísticamente independientes?
c) ¿Cuál es el valor de P(B/A)?
6) La fdp conjunta de las variables aleatorias X, Y está dada como:
pxy ( x, y)  x  exp 055( x  2 y) u( x)u( y)
a) ¿Son X e Y estadísticamente independientes? Explique.
b) Determine el valor de la constante k.
c) Encuentre P(X < 2 , Y < 2).
d) Determine px(x) y p y ( y ) .
7) Sean X e Y los niveles de concentración en ppm de dos contaminantes en una
determinada porción de un estanque de agua. Si la función de densidad conjunta de
probabilidad esta dada por:
( x  y ) / 8000, 0  x, y  20 
f ( x, y )  

0
cov


(cov: cualquier otro valor)
Y si el nivel de concentración observado de Y es de 10 ppm, obtener la probabilidad de
que el nivel de concentración de X sea, a lo mas, 14 ppm. Obtener la media, la varianza
condicional de X para Y=10ppm.
8) (a)Escriba la fdp gaussiana bivariada, en la forma más simplificada posible, para
mx = my= 1;  x   Y  1; E[XY] = 1 + 3 /2.
b) Escriba px(x) y py(y) para este caso.
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Grupo N°3
9) Una característica importante en los amplificadores lineales para potencia de salida (p.
ej., en sistemas de audio) es cuan bien responden a picos súbitos en el material de
programación sin recortar la señal de salida. Suponga aquí que la potencia promedio
necesaria de dicho amplificador es de 5 W. Nos interesa encontrar la potencia pico
(instantánea) necesaria si la señal se recorta, en promedio, no más del 0.01% del
tiempo. Por ejemplo, la potencia pico necesaria para cumplir con esta condición para
una entrada senoidal sería (5)( 2 )2 = 10 W. Determine la potencia pico requerida si la
distribución de la señal de entrada se puede describir por medio de una variable aleatoria
con media cero y es
a) uniformemente distribuida;
b) gaussiana;
c) laplaciana es decir, px ( x)  k  exp( x ), var  x   / 2
10) La fdp conjunta de las variables aleatorias X, Y está dada como:
pxy ( x, y)  x  exp   x(1  y) u( x)u( y)
a) Encuentre px(x) y p y ( y )
b) ¿Son X y Y estadísticamente independientes? Explique.
c) Encuentre P(X < 1 , Y < 1).
d ) Determine la fdp de Y, dado X = 1.
11) Encuentre los momentos primero y segundo de la variable aleatoria X cuya fdp se
muestra en la Figura P-8.5.4.
b) Determine el máximo valor de la razón    x / mx y encuentre el valor correspondiente
de p.
Figura P-8.5.4
12) Un sistema de comunicación binario transmite unos y ceros con igual probabilidad
utilizando la señal f1 (t )  cos( t / Tb) en (-Tb/2, Tb/2) para un uno y f 2 (t )   f1 (t )
para un cero.
a) Determine la densidad espectral de potencia de la señal transmitida.
b) Repita la parte (a) si f 2 (t )  0 .
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Grupo N°4
13) En algunas situaciones, la teoría desarrollada para sistemas lineales invariables en el
tiempo se puede adaptar, con ventajas, a la probabilidad. Por ejemplo, suponga que para
la
variable aleatoria X se identifica E e jwX  como la transformada de Fourier de su fdp.
Sea la variable aleatoria Z la suma de las variables aleatorias X, Y con fdp conjunta
conocida. Demuestre que la fdp de Z está dada por la convolución de la fdp de X con la fdp
de Y, si X e Y estadísticamente independientes.
14) Use el resultado del problema 13 y convolución repetida a fin de generar la fdp para la
distribución binomial.
15) Sea X una variable aleatoria que toma los valores  A con igual probabilidad. Sea Y
una variable aleatoria gaussiana con media cero y varianza  2 . Suponga que X y Y
son estadísticamente independientes, y que A >  .
a) Usando el resultado del problema 13, dibuje la fdp de Z = X + Y.
b) Un observador dispone de la variable aleatoria Z para hacer una estimación si X =
A o X = -A está presente. La regla adoptada es que si Z > O entonces la decisión es que
+A está presente y si Z < O entonces -A se encuentra presente. ¿Cuál es la
probabilidad de que el observador cometa un error?
16) Sean X1y X2 variables aleatorias distribuidas normalmente conjuntamente (que
representan las amplitudes observadas de un voltaje de ruidos registrados separados en
un intervalo de tiempo conocido). Supóngase que su función de densidad de
probabilidad conjunta, viene dada por la ecuación:
f ( x, y ) 
1
2 1 2
2
2

 x1  m1  x2  m2   
 1  x1  m1   x2  m2 


 exp 


2

 



 
2
2
1    2 
1 
  2   2   

 2 1   

con:
m1  1, m2  2, 1  1,  2  4,   0.4
Hallar P  X 2  1 X 1  1
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Grupo N°5
17) ¿Cuál es la probabilidad de que el último dígito de un número telefónico sea a) impar,
b) 5: c) 5 o 6? d) impar o divisible entre cuatro? (Suponga que todos los dígitos son
igualmente probables.)
18) Una caja llena de bolas blancas y negras contiene el doble de bolas blancas que de
negras. Suponga que se mezclan y sólo se distinguen por el color. Suponga también
que se extrae cierto número de bolas sin reemplazar y que todas ellas son negras. Si la
probabilidad de extraer una bola adicional es exactamente 10% menor que si se
hubiesen reemplazado las bolas negras, determine el número de bolas mínimo que
había al principio en la caja.
19) La variable aleatoria X que representa cierta señal x(t) tiene una fdp como la mostrada
en la figura P-8.8.1(a). Esta señal es la entrada a un amplificador cuya característica
de ganancia de entrada y salida se muestra en la figura P-8.8. l(b).
a) Sea Y la salida del amplificador; encuentre y grafique la fdp de Y.
b) Determine el valor rms de X y el valor rms de Y. ¿Están relacionados en forma
lineal por la ganancia del amplificador? Explique.
Figura P-8.8.1
20) La actividad solar varía en intervalos de tiempo de varias horas a años, y afecta las
comunicaciones de alta frecuencia (HF, high-frequency) que utilizan la propagación
espacial por la ionosfera. La mayor parte de la actividad de las manchas solares es cíclica,
con un ciclo de alrededor de 11.1 años. Las tormentas magnéticas asociadas con la actividad
solar son cíclicas, con ciclos de 27 días, que constituyen el periodo de rotación del Sol.
¿Podría usted clasificar estos efectos de la actividad solar en la propagación ionosférica
como procesos aleatorios estacionarios en a) un minuto; b) una semana? Explique.
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Grupo N°6
21) La señal periódica x(t) mostrada en la figura P-8.6. 1 tiene un tiempo de inicio aleatorio
con distribución uniforme.
a) Dibuje la fda y la fdp de la amplitud X.
b) Calcule la media y la varianza de X.
c) Calcule el valor rms de x(t), tanto a partir de la fdp como de los promedios en el
tiempo.
Figura P-8.6.1.
22) Una variable aleatoria X tiene la siguiente fdp:
px(x) = k ( l - x2) rect (x/2).
a) Encuentre el valor numérico de k.
b) Encuentre P(-l/2  X < 1/2).
c) Determine y grafique la fda de X.
23) Considere el experimento de lanzar cuatro monedas legales; asigne 1 a "cara", 0 a
"cruz", y luego súmelos para formar el número N. La variable aleatoria se define
asignando X = log (1 + N 3).
a) Determine y grafique la función de distribución acumulativa de X en (0, 2).
b) De su resultado, determine P(X  1) e
indíquelo en la gráfica.
24) Sean X e Y dos variables aleatorias continuas con una función de densidad de
probabilidad conjunta:
3x(1  xy ) 0  x, y  1
f ( x, y )  
,

0
cov 

(cov, cualquier otro valor)
Obtener las distribuciones de densidad marginal y acumulativa de X e Y.
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Grupo N°7
25) Cierto sistema para transmisión de datos tiene una probabilidad de error promedio de
106 por dígito. Determine la probabilidad de que en un mensaje de 2 * 106 dígitos
haya
a) exactamente dos errores;
b) menos de dos errores;
c) más de dos errores.
26) Una moneda legal es aquella en la cual cara y cruz son igualmente probables.
a) Se lanzan tres monedas legales. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos caras y
una cruz?
b) Se lanzan cuatro monedas legales. ¿Cuál es la probabilidad de que la mitad sean caras?
27) La fdp de una variable aleatoria dada es px (x) = 2 exp (-2x)u(x).
a) Encuentre la media y la varianza de X.
b) La variable aleatoria Y se define por la transformación Y = 2X + 5. Encuentre la
media y la varianza de Y.
28) Suponga que en el examen del ejemplo 8.53 existen dos problemas con igual peso.
La tabulación de los resultados, identificados por las variables aleatorias X, Y, Z, se
muestran en seguida.
N
Total Z
Problema 1 X
Problema 2 Y
1
33
10
23
2
3
4
5
6
7
8
9
47
58
67
75
82
88
94
100
20
18
30
35
38
38
49
50
27
40
37
40
44
50
45
50
a) Calcule la media y la desviación estándar de X, Y, Z. ¿Se cumple aquí la igualdad
 z2   x2   y2 ? Explique.
b) Calcule el coeficiente de correlación y los coeficientes de regresión lineal para (X, Z) y
(Y,Z).
c) Para el estudiante núm. 5, encuentre la mejor estimación para la calificación total basado
sólo en (1) el resultado del problema 1; (2) el resultado del problema 2.
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d) Basado sólo en estadística, ¿cuál cree que es el mejor problema del examen? ¿Por qué?
Grupo N°8
29) Cierta variable aleatoria X tiene la siguiente fda:
Fx(x) = x2u(x) + (1 - x2)u(x - 1).
a) Encuentre P(l/4  X).
b) Encuentre P(l/4  X < 3/4).
c) Determine y grafique la fdp de X.
30) La función de densidad conjunta de probabilidad para la demanda mensual de dos
productos es una distribución normal divariada dada por:
2
2

1
 2  x  50   x  50  y  50   y  25   

f ( x, y ) 
 exp  
 


 
100 3

 3  10   10  10   10   

a) ¿Cuál es el coeficiente de correlación entre X e Y?
b) ¿Cuál es la covarianza entre X e Y?
c) Obtener la función de densidad de probabilidad condicional f ( x y)
Suponga que la demanda de Y=30. ¿Cuál es la probabilidad condicional de que X sea
menor que 65?
31) Durante el otoño en el norte de Estados Unidos, un fabricante de limpiadores de nieve
hace la siguiente oferta. Si usted compra un limpiador y nieva menos del 20% del
promedio ese invierno, se le devuelve todo el dinero pagado (y usted conserva el
limpiador). Si nieva menos del 50% del promedio, usted recupera el 50% de dinero.
(¡Si nieva más que esto se encontrará satisfecho de haber comprado el limpiador!)
Suponga que la cantidad de nieve es una variable aleatoria X que se puede aproximar
por distribución gaussiana con media mx . Suponga también que los costos de
producción de los limpiadores es del 50%, los costos de distribución son el 40% y
los márgenes de utilidad usuales representan el 10% del precio de venta. Determine
el porcentaje de ganancia esperado de la compañía en las condiciones anteriores de
esta promoción si
a)  x  0.2mx
b)  x  0.3mx
32) La función de densidad de probabilidad para una Variable Aleatoria X es:
x


1/ 8  x 1/ 2  e 4 x  0 
f ( x)  
,

cov


0
1/ 2
(cov, cualquier otro valor)
Determine:
a) E(X)
b) Var(X)
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c)  x
Grupo N°9
33) Un generador de números aleatorios produce los dígitos de igual probabilidad N = O,
1, 2,..., 9. Determine y grafique la función de distribución acumulativa de:
a) La variable aleatoria X definida por X = -1 s i N  3; X = +1 s i N  7 ; X = 0 en otro
caso.
b) La variable aleatoria Y definida por Y= +1 si N  3; Y = -1 si N  7 ; Y = 0 en otro
caso.
c) La variable aleatoria Z = parte entera de {N/2}.
34) Sea X una V.A cualquiera, Demuestre que:
 E  aX  b   aE  X   b
Var  aX  b   a 2Var  X 
35) Determine la constante k y la media de la variable aleatoria gaussiana X cuya fdp es
px(x) = {exp [-(x - l)2/3]}/ 5 + k  ( x )
[Sugerencia: Ordene en la forma estándar y luego encuentre las respuestas sin integrar.]
36) La densidad conjunta para las variables aleatorias (X,Y), donde X es el cambio de
temperatura unitario e Y es la porción de desplazamiento espectral que produce cierta
partícula atómica es:
10 xy 2 , 0  x  y  1
f ( x, y)  

cov
 0

a) Encuentre las densidades marginales de X e Y, y la densidad condicional f ( y x)
Encuentre la probabilidad de que el espectro se desplace mas de la mitad de las
observaciones totales, dado que la temperatura aumenta a 0.25 de unidad.
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Grupo N°10
37) a) Usando distribución binomial, encuentre la probabilidad de que aparezcan
exactamente 50% de caras cuando se lanzan cuatro monedas legales.
b) Repita la parte (a), excepto que se lanzan 16 monedas.
c) Repita la parte (a), excepto que se lanzan 64 monedas.
d) Encuentre P( X  mx   x para cada uno de los tres casos anteriores.
38) El ruido de salida de un amplificador de alta ganancia tiene distribución gaussiana
con media cero y disipa una potencia promedio de 100 mW en una carga resistiva de
50 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la amplitud del ruido de salida sea menor que
-1 V?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la amplitud del ruido dé salida sea mayor que
+1 V?
c) Repita las partes (a) y (b) si el valor promedio del ruido de salida es de 1 V.
39) Se sabe que el tiempo promedio que debe esperar un estudiante en una ventanilla de
información es de 4 minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado con una llegada
aleatoria tenga que esperar 4 minutos exactos? (Suponga una variable aleatoria de
Poisson.)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante en (a) tenga que esperar 4 ±l 
minutos?
40) Encuentre la posibilidad de derribar un avión si se lanzan tres misiles de manera
sucesiva, cada uno con 1/3 de probabilidad de dar en el blanco. Suponga que el
avión cae al ser alcanzado. Resuelva este problema mediante dos métodos
diferentes, comenzando cada uno como sigue:
a) Encuentre la probabilidad de que ocurran tres errores; éstos son estadísticamente
independientes.
b) Escriba una expresión, en términos de una cadena de probabilidades condicionales,
para la probabilidad total de un acierto.
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Grupo N°11
41) Considere la fdp triangular mostrada en la figura P-8.5.2.
a) Encuentre P(X > a/2).
b) Determine  x si a = 1.
c) Suponga que a = 1 y divida el intervalo de X en ocho subintervalos iguales (es
decir, 0  X < 0.25,0.25  X < 0.50, etc.). Reemplace cada área definida por estos
subintervalos y Px(x) mediante un impulso con la misma área que la región que
reemplaza, y en el punto medio del subintervalo. Este procedimiento de reemplazo de
una fdp continua por una discreta se llama "cuantificación". Nótese que la
cuantificación requiere una definición de los subintervalos de X, y los puntos en los
cuales se colocarán las representaciones discretas. Dibuje la fdp discreta resultante
para este caso.
d) Calcule la desviación estándar usando el resultado de la parte (c) y compárela con
la desviación estándar de la parte (b).
Figura P-8.5.2
42) Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria discreta X que tiene dos
valores posibles a, b con probabilidad P(X = a) = p.
¿En qué condiciones su resultado concuerda con el dado para la distribución
binomial?
43) Una variable aleatoria X, distribuida de manera uniforme en (O, 1), se aplica a la
entrada de un sistema que tiene una característica de ganancia de entrada y salida:
y = sen (x /2).
Determine y grafique la fdp de la salida Y.
44) Cierto sistema binario PCM transmite los dos estados binarios +1, -1 con igual
probabilidad (p. ej., utilizando la modulación de fase de una senoidal). Sin
embargo, como resultado del ruido, el receptor comete algunos errores de
reconocimiento; suponga que P(+l|-l) = 0.10 y P(-l|+l) = 0.20. Otra posibilidad es
que, como resultado de la distorsión por trayectoria, el receptor pierda la fuerza de
la señal necesaria para tomar una decisión. Por tanto, se identifican tres posibles
estados del receptor: +1, O, -1, donde O corresponde a "pérdida de señal". Para la
última condición, sea P(0|+l) = P(0|-l) = p, donde p es la probabilidad de pérdida.
a) ¿Cuáles son las probabilidades de unos y ceros para el receptor si p=0?
b) Si el receptor hace una decisión de +1, y p = 0, ¿cuál es la probabilidad de que se
haya enviado realmente un +1 ?
c) Repita la parte (b) si p ≠ 0.
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Grupo N°12
45) Una variable aleatoria X tiene la siguiente fdp:
kx(1  x) 0  x  1
px ( x )  

eoc 
 0
a) Encuentre el valor numérico de k.
b) Encuentre P(l/4  X).
c) Determine y grafíque la fda de X.
46) La función de distribución acumulativa para cierta variable aleatoria X es
0
x   



FX ( X )  1  sen( x / 2 / 2   x   

1
  x 

Determine: (a) P(X < 2); (b) P(-l < X < +1); (c) P(l < X < 3); (d) los valores mínimo y
máximo de X.
47) La fdp Rayleigh está dada por
px(x) = kx exp [-x2/( 2 2 )]u(x) .
a) Encuentre P(   X) y P(   X  2 ) .
b) Determine la fda de X.
c) Encuentre la constante a tal que P(X > a) = 0.00033.
48) Determine la moda, la mediana y el valor medio de la variable aleatoria cuya fdp
está dada en
a) el problema 8.4.2;
b) el problema 8.3.2;
c) el problema 8.4.4.
49) Se elige una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta
sea a) un diamante; b) un 2; c) el 2 de diamantes; d) un 2, un 4 o un 6?
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50) Se compra una parte electrónica a tres vendedores. Los registros muestran que las
tasas promedio de partes defectuosas son de 0.02% para el vendedor A, de 0.013%
para el vendedor B y de 0.01% para el vendedor C. De 50 000 partes compradas, 10
000 son del vendedor A, 15 000 del vendedor B y 25 000 del vendedor C. Las partes
se combinan y utilizan en producción.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una parte dada en el inventario combinado,
seleccionada al azar, sea defectuosa?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la parte defectuosa provenga del vendedor A?
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