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1. ¿Cuál es el último dígito del producto 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1?
Solución 1
-Los múltiplos 2 y 5 forman un múltiplo de 10. 2x5=10.
-Todos los múltiplos de 10 terminan en cero.
Solución 2
-Realizar la multiplicación completa:
9x8=72; 72x7=504; 504x6= 3024; 3024x5=15120; 15120x4=60480; 60480x3=181440;
181440x2=362880x1=362880.
-El último dígito es cero.
2. El número que sigue en esta sucesión 4, 5, 8,13, 20, 29,... es:
-Detectar el incremento entre números de la sucesión a partir del primero.
5-4=1; 8-5=3; 13-8=5; 20-13=7; 29-20=9.
(+1, +3. +5, +7...)
-por lo tanto el siguiente número es: 29+11= 40.
3. Las letras de las palabra OEMAS se ubican del siguiente modo: en la fila 1 se ubica O, en la fila 2
OE,
en la fila 3 OEM, en la fila 4 OEMA, en la fila 5 OEMAS, en la fila 6 OEMASO, en la fila 7 OEMASOE y
así sucesivamente hasta la fila 2011 como se ve en la figura.
¿Cuántas veces aparece escrita la letra M en las filas 2001 al 2011?
O Fila 1
OE Fila 2
OEM Fila 3
OEMA Fila 4
OEMAS Fila 5
OEMASO Fila 6
OEMASOEMA Fila 2011
Solución
-La palabra "OEMAS" tiene 5 letras diferentes y en cada fila más se incrementa en uno el número
de
letras. Es decir, el número de letras escritas en cada fila es igual al número de fila.
-Por lo tanto, en números de fila múltiplos de 5 habrá palabras completas de OEMAS.
-Entonces el número de veces que aparece M en cada fila es, el número de fila dividido entre 5.
-Como la letra M está en la 3ra posición de la palabra. Sí el residuo es >3 entonces a lo anterior le
sumamos uno.
-Si el 2001=2000+1=400(5)+1; 2001 entre 5 tiene como residuo 1, es decir que está escrita 400
veces la palabra OEMAS mas otra O; ...OEMASOEMASO. Por lo tanto está escrita 400 veces M. El
residuo es menor a 3, por tanto solo hay 400 M's.
- 2002=2000+2=400(5)+2; 2<3. En la fila 2002 hay 400 M's.
- 2003=2000+3=400(5)+3; El residuo es 3, entonces hay 400+1 M's= 401.
-Por lo anterior en las 11 filas, de 2001 a 2011, hay 400 M's hasta su letra numero 2000.
-De la fila 2003 a la 2007 hay una M más a las 400, en las cinco. Porque habrá una palabra más.
...0(Fila 2001),E(Fila 2002), M(Fila 2003), A(Fila 2004), S(Fila 2005), 0(Fila 2006), E(Fila 2007), M(Fila
2008)...
-De la fila 2008 a la 2011 hay 2 M's más a las 400 en las cuatro.
-Por lo tanto hay:
11(400)^4400;
+ 5(1)=5;
+4(2)=8;
Total número de M's= 4413.
En la sucesión 1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7,... el término que ocupa la posición 100 es:
Solución
-El término 1 sólo está una vez en la posición uno.
-El término 3 está 3 veces de las posiciones 2 a la 4. Es decir 1+3=4 y las tres posiciones anteriores
a
4 aparece el ultimo número sumado, es decir 3.
-El término 5 está 5 veces de las posiciones 5 a la 9. O sea 1+3+5=9 y las 5 posiciones anteriores a
la
novena aparece el último número sumado, 9.
-Sí 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100. -> Fórmula.
-Por lo tanto en la posición número 100 está el número 19.
El número de identificación personal (NIP) de la tarjeta de crédito de Daniela es n, pero por error
ella lo olvido, sin embargo recuerda lo siguiente:
• n es un numero de 4 cifras
• n es múltiplo de 5
• n es par
• n tiene 2 pares de cifras iguales
• n es múltiplo de 99
¿Cuál es el número de Daniela?
-Número de cuatro cifras: abed.
-Es múltiplo de 5 y par, por tanto d=0.
-Si tiene dos pares de cifras igual, entonces hay otro 0, que no puede ser o por ser el primer dígito.
-Si es múltiplo de 99, entonces es múltiplo de 11 y de 9. Para ser múltiplo de 9 la suma de sus cifras debe ser
9 o múltiplo de 9.
-Si hay dos ceros, entonces la suma de los dos dígitos iguales faltantes debe ser múltiplo de 9.
-0+0=0; 1+1=1; 2+2=4; 3+3=6; 4+4=8; 5+5=10; 6+6=12; 7+7=14; 8+8=16; 9+9=18. El único múltiplo de
9 es 18.
-Por lo tanto el primer número debe ser 9.
-Entonces puede ser 9090 y 9900, pero como debe ser múltiplo de 11, entonces 9090 no puede ser.
-El NIP de Daniela es 9900.
6. Un año es capicúa si se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda á derecha. ¿Cuántos años
capicúa hay en este milenio?
-El milenio actual es el segundo, es decir comienza en dígito 2.
-Los números posibles solo pueden tener cuatro dígitos.
Si el número es capicúa:
-El primer dígito solo puede ser 2, entonces el último también debe ser 2.: 2**2
-Los dos dígitos restantes deben ser ¡guales: 2ab2 -> a=b
-Los únicos números con un dígito son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Por lo tanto a puede ser cualesquiera de
ellos, entonces pueden haber 10 años capicúas en el milenio.
2002, 2112, 2222, 2332, 2442, 2552, 2662, 2772, 2882 y 2992.
7. Sofía al usar su calculadora sumó 79012 en vez 7912. Para corregir su error y obtener la suma correcta,
¿qué número debe restar?
Solución
-La cantidad errónea sumada es mayor a la que debía ser. 79012>7912.
-Por lo tanto ella puede solo restar la cantidad que complementa a 7912 para formar 79012:
79012-7912= 71100.
-Ella tiene que restar a su resultado 71100.
8. ¿Cuántos números de tres dígitos formados por cifras las 1, 2, 3, 4, 5 se pueden construir si estos
no pueden tener dos dígitos iguales consecutivos?
Solución 1
-Realizar todas las combinaciones.
Solución 2
-Se tienen 5 opciones de dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5.
-Entonces para el primer dígito pueden usarse las 5 opciones.
-Por tanto para el segundo dígito ya no se podrá utilizar el usado anteriormente, por lo que se tienen 4
opciones.
-Para el ultimo dígito no se puede usar el anterior pero si el primero, entonces se pueden utilizar 4 números
de
los 5.
-(5)(4)(4)=80
9. En una extraña tribu la moneda es el osep, y existen monedas de 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 oseps. Nauj y
Ocram son dos niños locales que encontraron una cajita con una moneda de cada valor. ¿De
cuántas formas pueden repartirse todas las monedas de manera que cada uno tenga el mismo
dinero?
-Sí hay una moneda de cada valor entonces la cantidad total es: 1+2+3+4+5+6+7= 28.
-Por lo tanto, a cada uno le toca 14.
-Las formas de armar dicha cantidad son:
_7+6+l=14; 2+3+4+5=14
_7+5+2=14; 1+3+4+6=14
_7+4+3=14; 1+2+5+6=14
-Hay 3, como son dos niños entonces hay (3)(2)=6
10. Los números 1, 2, 3, 4 y 5 se pueden acomodar de 120 formas para formar números de cinco
dígitos
que usen los cinco dígitos una sola vez. ¿Cuántos de esos números tienen al 1 y 2 de manera
creciente? 51234 y 14325 tienen al 1 y al 2 en orden creciente.
11. Escribe todos los números no primos de dos cifras distintas, que se pueden formar con los
dígitos
2, 3, 4, 5 y 6.
Solución 1
-La cantidad de números primos de 2 cifras usando los dígitos anteriores son:
23,43,53 ^3
-La cantidad de números de dos cifras distintas que se pueden formar con los dígitos anteriores es:
(5)(4)=20
-Menos los números primos posibles es:
20-3=17
Solución 2
Obtener los números uno por uno a partir del menor.
24, 25, 26,...,65.
12. La siguiente suma tiene 101 sumandos. ¿Cuál es el dígito central del resultado?
2
+ 22
222
2222
2222 2222
13. Un diccionario Matemático tiene 2011 páginas. En las páginas pares hay 7 dibujos. En las
páginas impares hay 5 dibujos. En las páginas cuyo número es múltiplo de 3, los dibujos son en
colores; en las otras páginas, los dibujos son en blanco y negro. ¿Cuántos dibujos en colores hay en
el diccionario de Lucía?
-Hay 2011/2=1005.5
-> 1006 páginas impares.
->1005 páginas pares.
-La páginas pares múltiplos de 3 son las paginas múltiplos de (3)(2)=6.
-Hay 2011/3=670 múltiplos de 3 en total. Es decir hay 670 páginas con dibujos a color. De las
cuales:
-Hay 2011/6=335 múltiplos de 3 en paginas pares.
-Por lo tanto hay 670-335=335 páginas múltiplo de 3 en paginas impares.
Entonces:
->335(5)=1675 Dibujos a colores en paginas impares. Y
->335(7)=2345 Dibujos a color en páginas pares.
En total hay 4010 dibujos a color en el diccionario de Lucia.
14. Wendy decidió dividir su terreno cuadrado en cinco parcelas rectangulares iguales, como
muestra la figura. Si el perímetro de cada parcela mide 150 metros, calcular el perímetro del
terreno cuadrado.
Solución
-Cada parcela es un rectángulo con dos lados igual al tamaño del lado del cuadrado, y los otros dos
lados cada uno de tamaño 1/5 de lado del cuadrado.
-Proponemos a=Lado del cuadrado.
-Entonces sí el perímetro de cada parcela es 150m tenemos que:
2a+2(l/5)a=150m
2a(l+l/5)=150m
2a(6/5)=150m
6o/5=75m
6a=(75)(5)m=375m
a=375m/6=62.5m
-Teniendo esto, y sí el lado del cuadrado es a, entonces el perímetro del cuadrado es:
-Perímetro del terreno Lado x 4 = 4o
4o=(4)(62.5m)=250m
15. El perímetro de la figura está formado por 20 cuartos de círculo, cada uno de radio 2 cm. Encuentra
el área de la figura.
Solución
Si el radio de cada círculo mide 2cm entonces su área es:
- πr2=(2)(2)π=4π
Por lo tanto cada cuarto de círculo mide π
Si se trazan segmentos a partir de los centros de los cuatro
círculos formaremos un cuadrado, ya que cada vértice está
formado por un cuarto de circulo, al ser los otros Y* 's
perímetro de la figura, por tanto al trazar dos radios, de tal
forma que toca el punto de unión con el siguiente medio
circulo que forma la parte convexa de la figura.
Entonces el lado del cuadrado resultante es cuatro
radios=8cm, por lo tanto su área es:
LxL = 64cm.
Esta área comprende 4 semicirculos=8/4 que no se encuentran en el área de la figura, y también
a este cuadrado le debemos agregar(4)( 3/4 ) de circulo=12/4
Entonces el área de la figura es:
Área del cuadrado+ Área de sectores de circulo cóncavo- Área de sector de circulo convexo
=Área de cuadrado+ 12/4- 8/4
=64cm2+12π-8π= 64cm2+47πcm2
16. Considere el rectángulo ABCD de la figura donde E está sobre el lado CD además AE=3, BE=4 y
AE
˔ BE. El área de ABCD es:
- E es un punto sobre el lado CD.
-Si AE -'-BE entonces ABE es un triangulo rectángulo en E.
-Y AE=3, BE=4.
-Entonces, su área es (3)(4)/2=6.
-Se traza EF//AD//BC. Donde F es un punto sobre AB.
-Donde AE es diagonal de ADEF y BE diagonal de BCEF.
-Sí el área de AEF=ADE y área BCE=8EF.
-Y AEF+BEF=ABE entonces ABCD=2ABE=(2)(6)=12.
17. La figura está formada por un segmento de recta de 16 cm y por dos cuartos de círculo, uno de ellos
tiene su centro en el punto medio del segmento. ¿Cuál es el área de la figura?
-Supongamos a E com A jnto medio de AB. B
-Sí el Arco CB es un cuarto del circulo entonces ZBEC=90°, por lo tanto ZAEC=90°.
-AB=16cm
-AB=AE+BE=2r
-16cm=2r
-r=8cm
-Sí trazamos dos segmentos AC y BC, formamos un triangulo isósceles ABC, con AB=16cm; BC=AC,
ya que Arco BC y Arco AC son ambos cuarto de circulo. Entonces tenemos que:
Area ABC= bxh/2
=(AB)(EC)/2= (16cm)(8cm)/2= 128cm /2=64cm
-También podemos deducir que sí Arco BC y Arco AC son ambos cuarto de círculo entonces las secciones
comprendidas entre arcos y líneas rectas correspondientes son iguales, llamémosle m a cada área.
-Y con esto decimos que:
Área de la figura = Área de triangulo ABC+ Área de sección BC - Área de sección AC
Área de la figura = 64cm2+m-m=64cm2
2
2
18. Cuatro semicírculos de radio r se trazan dentro de un rectángulo como se muestra en la figura. ¿Cuál es
el área de la región no sombreada?
Solución
-Llamémosle A, B, C, D a los cuatro vértices de rectángulo respectivamente, siendo AB=CD>AD=BC.
-Donde AB=4r y AD=2r.
-Tenemos entonces que el
Área de ABCD =JLX h = (4r)(2r)=8r2
-Por otro lado el área sombreada está comprendida por 4 semicírculos del mismo radio, que por lo tanto
tienen la misma área.
-Área sombreada=4(nr2 /2)= 2nr2
Con lo anterior sabemos que:
Área no sombreada^ Área ABCD-Área sombreada
= 8r2 -27tr2 =2r2(4-π)
2
19. a/b es una fracción. Si se le suma 2 al numerador, la fracción vale 1/2. Si se le suma 3 al
denominador la fracción vale 1/3. La suma de a+b es igual a:
Solución
-Datos: (a+2)/b=l/2; a/(b+3)= 1/3
(a+2)/b=l/2
(2) (a+2)=(b)(l)
2a+4=b
a/(b+3)= 1/3
(3) (a)=(l)(b+3)
3a=b+3
3a-3=b
Por lo tanto:
3a-3=2a+4
3a-2a=4+3
a=7
2a+4=b
(2)(7)+4=b
B=18
a+b=7+18=25
20. Un triángulo equilátero está originalmente pintado de negro. Cada minuto cambia, de forma que la
cuarta parte de cada triángulo negro se vuelve blanca. Al cabo de 4 minutos, ¿qué parte del triángulo
original sigue estando de negro?
Solución:
0 min-> Entero
ler min^3/4-(3)(l)/(4)(l)=3 /4
2do min^9/16=(3)(3)/(4)(4)=3 /4
3er min -» 27/64=(3)(3)(3)/(4)(4)(4)=3 /4
-Teniendo lo anterior deducimos que la parte negra en el triangulo según el minuto es:
3 /4 . Donde n es el número de minutos. Por lo tanto en el minuto 4 sera:
1
1
2
2
3
n
3
n
3 /4 =81/256.
4
4
21. Un auto viaja del punto A al punto B a una velocidad constante de 40 km/h. ¿A qué velocidad
debe viajar de B a A para hacer un promedio de velocidad de ida y vuelta de 50km/h?
-La velocidad de ida fue 40km/h, entonces la velocidad de ida= m + la velocidad de venida=n, entre
2 ya que la distancia es la misma, debe dar como resultado 50km/h
-(m+n)/2=50km/h
-(40km/h+n)/2=50km/h
-n=100km/h-40km/h
-n=60km/h
22. En un juego de basketball un equipo puede anotar 1, 2 o 3 puntos encestando la pelota. El
equipo de los tiburones encestó la pelota 50 veces y en total marco 80 puntos. ¿Cuál es el mayor
número de veces que encestó tiros de tres puntos?
Solución
-Decimos que el mayor número de veces que puede hacer de 3pts, es determinando cual sería el
mayor número de tiros de un punto ya que de haber tiros de dos puntos disminuye la cantidad de
tiros de un punto y tres puntos por tener un marcador final de 80 pts.
-Sí los 50 tiros fueran de un punto entonces el marcador final seria 50, con lo que nos sobrarían
30puntos.
-Teniendo el mayor número de tiros de un punto, decimos que si convertimos cierta cantidad de
tiros en tiros de 3 puntos entonces a cada tiro tendríamos que agregar 2pts más.
-Por lo tanto el mayor número de tiros que puede haber es el número de parejas de puntos que se
pueden formar con los 30 puntos faltantes, es decir 15.
23. Si x es el menor número positivo mayor que 1 tal que al dividirlo por 2, 3, 4, 5 ó 6 su residuo es
1,
¿Cuánto es la suma de los dígitos de x?
-Según los criterios de divisibilidad de los números antes mencionados, 2 divide a 4 por ser 4
número par, y 3 divide a 6 por ser 6 múltiplo de 3.
-Un número es divisible por 4 si los últimos 2 dígitos son divisibles por 4. (Par). Por lo que si un
número es par no significa que siempre pueda ser divisible por 4, sin embargo si es divisible por 4
si es divisible por 2.
-Un número es divisible por 5 si el número termina en 0 o 5.
-Un número es divisible por 6 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 6, lo cual también indica que
un número múltiplo de 6 si es múltiplo de 3, pero un múltiplo de 3 no siempre es múltiplo de 6.
-Por lo tanto el número positivo>l debe ser múltiplo de 4, 5, y 6.
-4x5x6=120. A esto le sumamos uno que indica el residuo.
120+1=121
24. El piso de una fracción se define como el mayor entero que no es mayor que la fracción. Por
ejemplo el piso (10/3) = 3. Calcule el piso de (piso 1000/7) entre el (piso 71/2).
Solución
Piso 1000/7= 142
Piso 71/2=35
Piso (piso 1000/7)/(piso 71/2)= Piso 142/35=4
25. Un avión vuela regularmente entre las ciudades de Aquin y Alian. El viento siempre sopla de
Aquin a Alian a la misma velocidad constante. La velocidad del avión sin efecto del viento es de
900 km/hr. Si el viaje de Aquim a Alian es 30 minutos y el viaje de regreso es de 37 34 minutos,
¿Cuál es la velocidad del viento?
-Aquin-^Allan->30min^x km/h->1125km/h-> Con viento
-Allan->Allan->37.5 m¡n-> 900km/hr-> Sin viento
-1125km/h-900km/hr=225km/h= velocidad del viento