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CUADERNO
AUXILIAR de
Página
1
1.- NÚMEROS
LICEO POLITÉCNICO DOMINGO SANTA MARÍA
Página
2
Nadie nos enseña que uno viene a 4
cosas importantes a este mundo, primero
a ser feliz, segundo a amar, tercero a
aprender y cuarto a dejar huella.
Javier González Legrand)
(Alejandro
I.- NÚMEROS
PROGRAMACIÓN ANUAL RESUMIDA 2013 * MATEMÁTICA * 2º E. M. T. P.
OA 01
Comprender que los números irracionales permiten resolver problemas
que no tienen solución en los números racionales.
OE 02
Aproximar números irracionales por defecto, por exceso y por
redondeo.
OE 03
Ordenar números irracionales y representarlos en la recta numérica.
OE 04
Conjeturar y verificar propiedades de los números irracionales.
OE 05
Comprender que los números reales corresponden a la unión de los
números racionales e irracionales.
OA 06
Demostrar algunas propiedades de los números reales.
PERIODO
ABRIL:
1º
SEMESTRE
OA 05
Comprender el significado de las potencias de base racional y
exponente entero.
OA 06
 Resolver problemas en contextos diversos que involucran números
racionales o potencias de base racional y exponente entero.
OA 07
Analizar la existencia de las raíces en el conjunto de los números
reales.
PERIODO
MAYO:
1º
SEMESTRE
PERIODO
MARZO:
2º SEMESTRE
PERIODO
MARZO:
1º SEMESTRE
PERIODO
MARZO:
1º
SEMESTRE
PERIODO
MARZO:
1º SEMESTRE
APRENDIZAJES ESPERADOS ESPECÍFICOS
OA 08
Utilizar relaciones entre las potencias y raíces para demostrar
propiedades de las raíces.
Página
3
I.- RESUMEN DE NOTAS POR GUÍAS DE TRABAJO:
GUÍA Nº 1.FRACCIONES
NOTA 1
Firma Apoderado
Página
4
GUÍA Nº 2.UBICACIÓN DE RAÍCES EN LA RECTA
NUMÉRICA
NOTA 2
GUÍA Nº 3.CALCULO DE RAÍCES
NOTA 3
Firma Apoderado
Firma Apoderado
GUÍA Nº 4.ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RAÍCES
NOTA 4
Firma Apoderado
NOTA 5
Firma Apoderado
GUÍA Nº 5.MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RAÍCES
NOTA FINAL
Firma Apoderado
II.- RESUMEN DE NOTAS POR GUÍAS DE TRABAJO:
GUÍA Nº 6.Raíz de una raíz
NOTA 6
Firma Apoderado
Página
5
GUÍA Nº 7.Racionalización
Firma Apoderado
NOTA 7
GUÍA Nº 8.Logaritmos
NOTA 8
GUÍA Nº 9.Propiedades de los logaritmos
NOTA 9
Firma Apoderado
Firma Apoderado
GUÍA Nº 10.Ecuaciones logarítmicas
NOTA 10
NOTA FINAL
Firma Apoderado
Firma Apoderado
NÚMEROS IRRACIONALES
1
• CONJUNTOS NUMERICOS
Son todos aquellos conjuntos que están formados por números, estos se dividen
principalmente en:
1.1. Números Naturales:
Los números naturales son los que normalmente ocupamos para contar, se representan
por el símbolo N. Y sus elementos son:
N ={ 1; 2; 3; 4;...  }
Algunos subconjuntos de N son:
 Los números pares = {2; 4; 6; 8; 10; 12;…  }
 Los números impares = {1; 3; 5; 7; 9; 11; …  },
 Los números primos = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; …  }, son todos aquellos números
que son divisibles solo por si mismos y por 1, excluyendo a este último.
 Los números compuestos, Son todos aquellos que NO son primos.
ALGUNAS CONSIDERACIONES…
 La cardinalidad de N es infinita. y Este conjunto es “cerrado" bajo la suma y la
multiplicación, es decir, para todo par de números en N, su suma y su multiplicación
también es un numero natural.
 Este conjunto NO es “cerrado" bajo la resta y la división, ya que para todo par de
números en N, su diferencia y división NO es necesariamente un numero natural.
 2 es el único número par que es primo.
1.2. Números Cardinales:
Cuando en el conjunto de los números naturales incluimos el 0, se denomina como Números
Cardinales, se representa por el símbolo N0, y sus elementos son:
N0 = {0; 1; 2; 3; 4;...  }
Algunos subconjuntos de N0 son:
 Los números Naturales y todos los subconjuntos de este.
 Los dígitos; = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Página
6
1.3. Números Enteros:
Es el conjunto formado por todos los números sin cifra decimal, es decir, los números
naturales, sus inversos aditivos, y el neutro aditivo.
Z = {- …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,… +}
Algunos subconjuntos de Z son:
 Los números Naturales.
 Los números Cardinales.
 etc. . .
Se dice que un número a tiene inverso aditivo, si existe un b tal que, a + b = 0, tal b es también
conocido como (-a)
Para cualquier numero x existe un único que cumple que x+(ese único)= x, a ese número lo
conocemos como neutro aditivo, (también conocido como 0).
ALGUNAS CONSIDERACIONES…
 A diferencia de los números Naturales, este conjunto si es “cerrado" bajo la suma, la resta y la
multiplicación; es decir, para todo par de números enteros, su suma, multiplicación y
diferencia es siempre un numero entero.
 Pero como el mundo no es tan bello, este conjunto no conserva a la división, ya que una
división entre dos números enteros no es necesariamente un numero de Z
Página
7
1.4. Números Racionales:
Como te habrás dado cuenta en los conjuntos anteriormente mencionados, tenemos el
problema de que sus elementos se pueden “escapar" fácilmente de ellos, nos referimos a
que basta que dos números Naturales se resten (4 - 5, por ejemplo), para obtener algún
número negativo y entonces ya estaremos fuera de N, o para el caso de los enteros, basta
que dos de ellos que no sean divisibles entre si (-3 y 2, por ejemplo), se dividan y entonces
ya no tendremos un numero entero.
Para resolver este problema, existe el conjunto de los números Racionales, representados por
el símbolo Q y que cumple que para cada par de números racionales, la suma, resta, división
y multiplicación (sin considerar al 0), es siempre un número de Q, a este tipo de conjuntos se
les conoce como Cuerpo. Lo podemos representar como:
1.4.1. Forma Fraccionaria
Esta forma nos expresa “porciones" de algún entero. En su estructura tenemos una línea
fraccionaria, un numerador (numero sobre la línea fraccionaria), y un denominador (numero
bajo la línea fraccionaria). El denominador nos indica la cantidad de partes en que dividimos
un entero y el numerador nos muestra cuantas de ellas vamos a considerar.
Por ejemplo:
Página
8
1.4.2. Forma Decimal
Toda fracción tiene su representación como numero decimal, para obtenerlo basta dividir, sin
dejar resto, el numerador con el denominador.
Por ejemplo,
consideremos la fracción :
𝟓
Página
𝟒
9
Para pasar un numero decimal a fracción existen 3 posibles casos:
i.- Con Decimales Finitos
Es decir, cuando las cifras decimales de un numero son finitas, por ejemplo 4,376 es un
decimal finito pues tiene solo 3 dígitos después de la coma, pero 4,333333333333. . . Con
infinitos 3, uno tras otro, no es un decimal finito pues tiene infinitos dígitos después de la
coma.
La manera de pasar este tipo de decimales a fracción es simplemente escribir una fracción
cuyo numerador sea el mismo numero pero sin coma, y cuyo denominador sea 10000. . . con
tantos ceros como dígitos tiene el numero después de la coma, por ejemplo:
Esto es debido a que cuando uno divide por 10, 100, 1000, etc., lo único que le sucede al
dividendo es que se corre la coma hacia la izquierda tantos espacios como ceros posee el
divisor
ii. Decimales Periódicos
Los decimales periódicos son aquellos en que los números después de la coma se repiten
infinitamente sin alterar su orden, por ejemplo:
1,333333333333333. . . es un numero decimal donde el 3 se repite infinitas veces después de
la coma, este número lo escribiremos de la forma: 1,̅3.
Página
10
4,324324324324324324. . . es un numero decimal donde el número 324 se repite
̅̅̅̅̅
infinitamente después de la coma, este número lo escribiremos de la forma: 4,324
2,56565656723214569875. . . es un numero cuyos decimales no tienen ninguna relación por
lo tanto se dice que NO es un decimal periódico.
La fracción que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador
es el número escrito sin coma ni línea periódica menos la parte entera
dividido por 9999. . . con tantos 9 como decimales periódicos halla, por
ejemplo:
iii. Decimales Semiperiodicos
Los decimales semiperiodicos son aquellos en que hay cifras decimales que aparecen solo
una vez y las demás se repiten infinitamente, por ejemplo:
1,233333333333333. . . es un numero decimal donde el 3 se repite infinitas veces después del
̅.
1, este número lo escribiremos de la forma: 1; 23
3,3211111111111111111. . . es un numero decimal donde el número 1 se repite infinitamente
̅
después del 32, este número lo escribiremos de la forma: 3; 321
2,532323232323232323232. . . es un numero decimal donde el número 32 se repite
̅̅̅̅
infinitamente después del 5, este número lo escribiremos de la forma: 2; 532
Algunos subconjuntos de Q son:
 Los números Naturales, ya que todo número natural n lo podemos escribir como N/1 .
 Los números Cardinales.
 Los números Enteros ya que todo número entero z lo podemos escribir como Z/1.
Página
 etc. . .
11
… En Resumen…
1.5. Números Irracionales
Es el conjunto de todos los números que no pertenecen al mundo de los racionales, es
decir no se pueden escribir como fracción ya que tienen infinitos decimales sin ninguna
relación. Una forma de enunciar sus elementos es:
Algunos elementos de este conjunto son:
Entre el conjunto de los números racionales y el de los irracionales no existe ningún
elemento en común.
Además, NO es un cuerpo, ya que sus elementos al sumarse, restarse, multiplicarse, o
dividirse pueden obtener un numero racional, como por ejemplo;
y 1 no es un número irracional.
1.6. Números Reales
Es el conjunto que obtenemos entre la unión de todos los conjuntos que acabamos de ver,
pero como te habrás dado cuenta, en los números racionales están ya incluidos los
naturales y los enteros, entonces basta decir que:
En la figura puedes observar gráficamente este hecho.
Página
12
Aproximación de Números irracionales
Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las
cifras pedidas que esté muy próximo al número dado.
Aproximar por redondeo un número:
Consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que se comete un
error menor.
Error de una aproximación:
Es la diferencia, en valor absoluto, entre un número y su aproximación.
La cantidad de cifras decimales de una aproximación depende de la cantidad de cifras de los
datos y también de la precisión requerida, según el contexto del problema.
LICEO DOMINGO SANTA MARÍA
RENAICO
MARCELO ARAVENA CÁCERES
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NOTA
GUÍA N° 1
2° AÑO MEDIO NÚMEROS
Nombre
Curso
N° LISTA
Fecha
1.- CONVIERTE LAS SIGUIENTES REGIONES A
FRACCIÓN:
OA 01
Página
Comprender que los números
13
irracionales permiten resolver
problemas que no tienen
solución en los números
racionales.
2.- CONVIERTE LAS SIGUIENTES FRACCIONES A REGIONES:
𝟐
𝟒
𝟓
𝟕
𝟗
𝟏𝟎
𝟑
𝟒
𝟐
𝟓
𝟏
𝟒
𝟏
𝟔
𝟑
𝟖
𝟏
𝟕
3. Sean a , b, c ∈ N, si a = 4, b = 7 , entonces en las siguientes operaciones , cuales valores
de “c”
∈ N.
a). a + b =
Justifica.
i). a - b =
Página
14
b). b + a =
j). b - a =
c). a + a =
k). a - a =
d). b + b =
l). b - b =
e). a x b =
m). a : b =
f). b x a =
n). b : a =
g). a x a =
ñ. a : a =
h). b x b =
o). b : b =
4.- ¿Qué puedes decir de la suma en N, de la sustracción en N, de la multiplicación en N y de la
división en N.?
5. Sean a , b, c ∈ Z, si a = 4, b = 7 , entonces en las siguientes operaciones , cuales valores
de “c”
∈ Z.
a). a + b =
Justifica.
i). a - b =
Página
15
b). b + a =
j). b - a =
c). a + a =
k). a - a =
d). b + b =
l). b - b =
e). a x b =
m). a : b =
f). b x a =
n). b : a =
g). a x a =
ñ. a : a =
h). b x b =
o). b : b =
6.- ¿Qué puedes decir de la suma en Z, de la sustracción en Z, de la multiplicación en Z y de la
división en Z.?
2
• IRRACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA
Página
Los números Reales se pueden ubicar en la recta numérica, pero son un conjunto que no
completa la recta numérica; es decir, que por más números decimales que usemos, siempre
existirán “huecos” entre ellos. Estos huecos corresponden a los números irracionales, como
√2 , que completan la recta numérica. Para ello se puede usar el procedimiento de
TEODORO DE CIRENE, maestro de Platón.
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados
construidos sobre sus catetos, es igual al área del cuadrado
construido sobre su hipotenusa.
16
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NOTA
GUÍA N° 2
2° AÑO MEDIO NÚMEROS
Nombre
Curso
Fecha
N° LISTA
Página
OE 03
Ordenar
números
irracionales
y
representarlos en la recta numérica.
OE 04
Conjeturar y verificar propiedades de los
números irracionales.
1.- Utilizando el método de Teodoro de Cirene (465-399 a. de C.) ubica en la
recta numérica las siguientes raíces:
√2, √3, √4, √5, √6, √7, √8, √9, √10, √11, √12, √13, √14, √15, √16, √17,
Para ello utiliza regla, compas, lápices de colores, una para cada raíz, papel milimetrado en el
reverso de tu papel milimetrado, deberán ir los cálculos de como determinaste cada diagonal
Para ello utiliza el teorema de Pitágoras.
17
3
• RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CUBICAS
Página
18
3.1. DEFINICIÓN:
𝑛
Mis
A p u n t e s:
𝑛
√𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝑎
Dónde:
“n” es el índice de la raíz
“a” es la cantidad sub radical
Si a es un numero positivo o cero (a ≥ 0), la expresión √𝑎
denota al único número (≥ 0) cuyo cuadrado es a. De este
modo, √𝑎 se lee “raíz cuadrada de a”. Si a ≥ 0, entonces:
2
𝑥 = √𝑎 𝑠𝑖 𝑎 = 𝑥 𝑛
2
2
( √𝑎 ) = 𝑎
Si a es un número real cualquiera, la expresión √𝑎
corresponde al único número cuyo cubo es a, y su signo es el
3
mismo que el de a, De este modo, √𝑎 se lee “raíz cubica de
a”.
3
3
𝑥 = √𝑎 𝑠𝑖 𝑎 = 𝑥 3
3
3
( √𝑎 ) = 𝑎
3
√0 = 0
Mis
A p u n t e s:
Si a < 0 y n es par, √𝑎 representa a un número complejo C,
conjunto que estudiaremos en 3Ero Medio.
𝑛
Página
19
Es decir:
𝒂 < 0 𝑦 𝒏 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 → √𝑎 ∈ R
𝑛
Por lo que podemos afirmar que los números negativos no
tienen Raíz cuadrada Real, pero si raíz cubica
Por ejemplo:
2
√−16 = ¿?
Porque 42 = 16 y (−4)2 = 16
Ya que no existe un número que elevado a 2 que de un valor
negativo, en los Reales.
En el caso de las raíces cubicas:
3
√8 = 2 → 2 3 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
3
√−8 = −2 → (−2)3 = −2 ∙ −2 ∙ −2 = −8
Recuerda
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NOTA
GUÍA N° 3
2° AÑO MEDIO NÚMEROS
Nombre
Curso
Fecha
N° LISTA
I.- RESUELVE
a).- √4 =
√𝟒 = 𝟐 → 𝟐𝟐 = 𝟐 ∙ 𝟐 = 𝟒
b).- √9 =
c).- √16 =
d).- √25 =
e).- √36 =
f).- √121 =
g).- 3√8 =
h).- 3√−8 =
i).- 3√27 =
j).- 3√343 =
k).- 3√−512 =
l).- √−1000 =
3
OA 07
Analizar la existencia de las raíces en el
conjunto de los números reales.
OA 08
Utilizar relaciones entre las potencias y
raíces para demostrar propiedades de las
raíces.
Página
20
II.- DESARROLLA
1.- ESCRIBE LOS CUADRADOS DE LOS NÚMEROS NATURALES DEL 1 AL 40
Página
21
2.- ESCRIBE LOS CUBOS DE LOS NÚMEROS NATURALES DEL 1 AL 40
III. SEÑALA A QUE CONJUNTO NUMÉRICO PERTENECEN LAS SIGUIENTES RAÍCES:
(R = Números Reales C = Números Complejos) resuelve.
a).- √144 =
b).- √−9 =
c).- √16 =
d).- √−25 =
e).- √36 =
f).- √121 =
g).- 3√8 =
h).- 3√−8 =
i).- 3√−27 =
j).- 3√343 =
Mis
A p u n t e s:
3.2. CALCULO CON RAÍCES
3.2.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN QUE INVOLUCREN
RAÍCES CUADRADAS Y/O CUBICAS
PARA SUMAR Y/O RESTAR CON RAÍCES, PUEDES APLICAR UN
PROCEDIMIENTO SIMILAR AL UTILIZADO EN REDUCIR
TÉRMINOS SEMEJANTES, ES DECIR AGRUPAR NÚMEROS DEL
MISMO TIPO.
PARA QUE DOS O MÁS RAÍCES SE PUEDAN SUMAR O RESTAR,
ES NECESARIO QUE TENGAN EL MISMO ÍNDICE Y LA MISMA
CANTIDAD SU RADICAL
Índice
Sub radical
EJEMPLOS:
i). 4 + √5 − 3√5 − 5 = 4 − 5 + √5 − 3√5 = −𝟏 − 𝟐√𝟓
ii). 4√7 − √7 − 8 = 𝟑√𝟕 − 𝟖
iii).
3
3
2
+ √2 − 4 − 4 + √2 =
8
8
8
3
𝟔𝟕
3
𝟖
𝟓
+ √𝟐
𝟖
𝟑
iv). 22𝜋 + √9𝜋 − 4 √3 − √3 + 𝜋 = 𝟐𝟔𝝅 − 𝟓 √𝟑
CON LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN,
NO SE PUEDE DESARROLLAR:
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
√𝒂 + 𝒃 ≠ √𝒂 + √𝒃
√𝒂 − 𝒃 ≠ √𝒂 − √𝒃
Página
22
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2° AÑO MEDIO NÚMEROS
Nombre
Curso
N° LISTA
Fecha
I.- RESUELVE
a).- 2√3 + 3√5 + 3√3 + 4√5 + √5 =
b).- 2𝜇 + 3√4𝜇 + 3√5 + 4√5 − 𝜇 =
c).-
d).-
2
13
1
23
+ √5 − − √5 =
3
5
2
7
2
2
13
1
23
√16 + 3 + 5 √5 − 2 − 7 √5 =
e).- √16𝜇 + 3√4𝜇 + 3√2 + 4√36 − √64𝜇
NOTA
OA 07
Analizar la existencia de las raíces en el
conjunto de los números reales.
OA 08
Utilizar relaciones entre las potencias y
raíces para demostrar propiedades de las
raíces.
Página
23
II.- RESUELVE
a).- 2√3𝜔 − 3√5 − 3√3𝜔 + 4√5 − √5 =
Página
24
b).- −2𝜇 − 3√4𝜇 − 3√5 − 4√5 − 𝜇 =
2
23
1
23
− √5 − − √5 =
3
5
4
7
c).-
2
2
13
3
3
1
23
√16 − 3 √9 + 5 √5 − 2 − 7 √8 =
d).-
2
4
5
√16𝜑 − 5 √64𝜑 − 4 √144𝜑 + 6 √36 − 6 √121𝜑=
3
e).-
2
3
3
4
5
√56𝜋 + 8 √64𝜋 − 8 √64𝜋 + 5 √56 − 11 √121𝜋 =
5
f).-
2
2
13
1
23
g). √36 − √9 + √25 − − √8 − √5
3
5
2
7
Mis
A p u n t e s:
3.2.2. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN QUE INVOLUCREN
RAÍCES CUADRADAS Y/O CUBICAS
Página
PARA RESOLVER MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES QUE
INVOLUCREN RAÍCES CUADRADAS Y/O CUBICAS, SE DEBEN
MULTIPLICAR O DIVIDIR, SEGÚN CORRESPONDA, LAS
CANTIDADES SUBRADICALES DE LAS RAÍCES QUE TENGAN EL
MISMO ÍNDICE.
25
PARA MULTIPLICAR O DIVIDIR RAÍCES, DEBES FIJARTE QUE
TENGAN IGUAL ÍNDICE DE RAÍZ; LAS CANTIDADES
SUBRADICALES PUEDEN SER DIFERENTES.
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
√𝒂 ∙ √𝒃 = √𝒂 ∙ 𝒃
𝒏
√𝒂 ÷ √𝒃 = √𝒂 ÷ 𝒃
𝒏
√𝒂
𝒏
√𝒃
𝒏
= √
𝒂
𝒃
𝒂, 𝒃 ∈ 𝑹+ ∪ {𝟎} 𝒄𝒐𝒏 𝒃 ≠ 𝟎
EJEMPLOS:
i). √3 ∙ √2 = √3 ∙ 2 = √6
ii). 3√3 ∙ √2 = 3√3 ∙ 2 = 3√6
iii). 𝑎√3 ∙ 𝑏√4 + 𝑎√2 ∙ 𝑏√6 = 𝑎𝑏√12 + 𝑎𝑏√12 = 2𝑎𝑏√12
2
iv).
33
√4
2
3
∙ √2 −
33
√5
5
3
3
3
∙ 5√25 =
3 √8
2
−
15 √125
5
=
33
√8
2
−
5
15 3
√125
5
3
=2∙2−
v). 3√6 ÷ √2 = 3√6 ÷ 2 = 3√3
vi).
3
2
21
21
21
÷ √8 ÷ √2 = √8 ÷ 2 = √4 = ∙ 2 =
5
7
10
10
10
21
5
15
∙
5
5 = 3 − 15 = −12
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2° AÑO MEDIO NÚMEROS
Nombre
Curso
N° LISTA
Fecha
I.- RESUELVE
a).- (2√3 ∙ 3√5) + (3√3 ∙ 4√5) =
b).- (3√7 ∙ 3√5) + (4√5 − √2) =
c).-
d).-
e).-
23
13
13
23
(3 √5 ∙ 5 √4) − (2 √25 ∙ 7 √5) =
2
23
13
13
23
√16 [(3 √25 ∙ 5 √5) − (2 √3 ∙ 7 √9)] =
2
3
13
13
3
√25 [(5 √9 ∙ 5 √3) − (2 √4 ∙ 2 √16)]=
NOTA
OA 07
Analizar la existencia de las raíces en el
conjunto de los números reales.
OA 08
Utilizar relaciones entre las potencias y
raíces para demostrar propiedades de las
raíces.
Página
26
II.- RESUELVE
a).- (2√20 ÷ 3√5) + (3√40 ÷ 4√10) =
Página
27
b).- (2√108 ÷ 3√3) ∙ (3√125 ÷ 4√5) =
1
3
13
1
13
c).- √125 [( ÷ √8) − ( ÷ √64)]=
5
5
2
2
3
2
3
√16+√9+ √8− √27+√3
d).-
3
2
3
√16+2√9+2 √8−2 √27−√5
2
e).- ( 2
3
3
2 √25+√9+ √8− √27
3
3
√16+2√9+2 √8+2 √27
1
1
=
2
) ∙ (2
3
3
√25+√16+ √8− √27
3
3
)=
√25+2√49+2 √81+2 √27
1
1
1
f).- {[(5 √25) ∙ (8 √64)] − [(7 √49) ∙ (6 √36)]} ÷ (3 √9) =
2
2
g).
13
1
23
2
( √36 ∙ 3√9 ∙ 5 √125 ∙ 2 √4)∙(3 √8−5√25)
1
1
1
1
1
{[(5√25)∙(8√64)]−[(7√49)∙(6√36)]}÷(3√9)
=
Mis
A p u n t e s:
3.2.3. RAÍZ DE UNA RAÍZ
PARA RESOLVER RAÍCES DE UNA RAÍZ, SE PROCEDE DE LA
SIGUIENTE MANERA:
Página
𝒏 𝒎
√ √𝒂 =
𝒏∙𝒎
𝒏 𝒎
𝒎 𝒏
𝒎∙𝒏
𝒎
√ √𝒂 =
√𝒂 = √ √𝒂
𝒏
√𝒂 = √ √𝒂
Ejemplos:
2 3
√ √4 = 2∙3√4 = 6√4
3
√√5 = 6√5
3
√√ 3√5 = 18√5
28
Mis
A p u n t e s:
3.2.4. RAÍZ ENÉSIMA Y SUS PROPIEDADES
COMO YA SABRÁS, √36 = 6 YA QUE 62 = 36
2
1
1
6 = 62 = (62 )2 = 362
POR OTRO LADO
Página
LUEGO SE PUEDE DECIR QUE:
√36 = 36
29
1
2
LO ANTERIOR
CUADRADAS
SE
CUMPLE
PARA
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
TODAS
a) √𝟒 = 𝟐 = 𝟐𝟐 = (𝟐𝟐 )𝟐 = 𝟒𝟐
b) √𝟗 = 𝟑 = 𝟑𝟐 = (𝟑𝟐 )𝟐 = 𝟗𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
c) √𝟏𝟔 = 𝟒 = 𝟒𝟐 = (𝟒𝟐 )𝟐 = 𝟏𝟔𝟐
d) √𝟐𝟓 = 𝟓 = 𝟓𝟐 = (𝟓𝟐 )𝟐 = 𝟐𝟓𝟐
e) …
AL GENERALIZAR SE TENDRÍA:
1
2
√𝑎 = 𝑎2
PARA EL CASO DE LAS RAÍCES CUBICAS:
𝟑
𝟑
𝟏
𝟏
a) √𝟖 = 𝟐 = 𝟐𝟑 = (𝟐𝟑 )𝟑 = 𝟖𝟑
𝟑
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
b) √𝟐𝟕 = 𝟑 = 𝟑𝟑 = (𝟑𝟑 )𝟑 = 𝟐𝟕𝟑
𝟑
c) √𝟔𝟒 = 𝟒 = 𝟒𝟑 = (𝟒𝟑 )𝟑 = 𝟔𝟒𝟑
𝟑
𝟑
𝟏
𝟏
d) √𝟏𝟐𝟓 = 𝟓 = 𝟓𝟑 = (𝟓𝟑𝟑 )𝟑 = 𝟏𝟐𝟓𝟑
e) …
LAS
RAÍCES
Mis
A p u n t e s:
ENTONCES:
𝑛
√𝑎𝑚
𝑛
= ( √𝑎)
𝑚
=
𝑚
𝑎𝑛 ,
Página
𝑎
𝑚
𝑚
+
30
∈ 𝑄 𝑠𝑖 𝒏 𝑒𝑠 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 𝑦 𝑎 ∈ 𝑄 ∪ {0} 𝑠𝑖 𝒏 𝑒𝑠 𝒑𝒂𝒓.
𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑚 ≠ 00 𝑦 𝒎 ∈ 𝑍
Ejemplos
𝟑
√𝟒 =
𝟏
𝟒𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
= ( √𝟒) = √𝟒
𝟒
𝟒
𝟒
√𝟓𝟒 = ( 𝟒√𝟓) = 𝟓𝟒 = 𝟓
𝟔
𝟒
𝟒
√𝟓𝟔 = ( 𝟒√𝟓) = 𝟓𝟔
¡RECUERDA!:
𝑛
 √1 = 1
𝑛
 √0 = 0

𝑛
√𝑎𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
= ( √𝑎) = 𝑎 = 𝑎; 𝑎 ≥ 0
1
𝑛
 √𝑎1 = 𝑎𝑛
¡RECUERDA EL USO DE PARÉNTESIS EN LAS RAÍCES Y POTENCIAS!
𝟏
𝟏
𝟏𝟐
𝟗
≠
𝟏 𝟐
(𝟗)
𝟏
𝟏
Ya que
𝟏𝟐
𝟗
=
√𝟏
𝟗
=
𝟏
𝟗
por otro lado
𝟏 𝟐
( 𝟗)
𝟏
√𝟏
𝟗
√𝟗
=√ =
=
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
𝒂𝒃𝟐 ≠ (𝒂𝒃)𝟐
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GUÍA N° 6
NOTA
2° AÑO MEDIO NÚMEROS
OA 07
Analizar la existencia de las raíces en el
conjunto de los números reales.
OA 08
Utilizar relaciones entre las potencias y
raíces para demostrar propiedades de las
raíces.
Nombre
Curso
Fecha
N° LISTA
I.- REPRESENTA COMO RAÍZ LAS SIGUIENTES POTENCIAS DE BASE Y EXPONENTE
RACIONAL
a). 5
c). 9
1
2
b). 25
1
1
2
−
d).
1
e). 1253
3 4
(2)
1 3
(8)
2
f). (𝑏 + 𝑑)4
1
5
g).
1
2
h).
12
9
Página
31
II.- REPRESENTA COMO POTENCIAS LAS SIGUIENTES RAÍCES:
a). √15 =
4
3
b). √2
Página
32
4
d). √(𝑐 + 𝑑)
5
4
√(3)
c).
2
4
f). √3−4
e). 3√𝑒 4 =
III.- EXPRESA EN TÉRMINOS DE UNA SOLA RAÍZ LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
a).
c).
2 3
√ √4 =
4
3 5
b). √ √ √2 =
5 2
2
d). √2√2 √2
√ √√2 ∙ √2 =
𝑥
20
e). √ √5 = √5
Encuentra el valor de “x”
x x
𝑥
8
f). √ √ √2 = √2
Encuentra el valor de “x”
IV.- CALCULA EL VALOR NUMÉRICO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
1
1
1
1
1
b). 92 + 83 − 273
a). 92 + 83 =
Página
33
1
c).
1
1
1
92 +83 −273
d).
1
22
1
1
92 +83 +273
1
1
=
1442 +1212
25
14
1
f). √225 ∙ 15 ∙
e). √169 ∙ 13 ∙
=
√625
2
√1965
=
3
3
3
2
g). √ √64 + √ √625 + √ √512 =
3
i).
√ 3√64+√ 2√625+ √ 3√512=
1
1
1
1
4 2 +92 +83 +273
3
2
2
4
h). √ √256 + √ √√256 + √ √√4096 =
11
√144 ∙ 12 ∙ 121
j).
3
√8
=
Mis
A p u n t e s:
3.2.5. RACIONALIZACIÓN
3.2.5.1. RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR DE UNA
FRACCIÓN
RACIONALIZAR EL DENOMINADOR IRRACIONAL DE UNA
FRACCIÓN SIGNIFICA TRANSFORMAR ESA FRACCIÓN EN
OTRA EQUIVALENTE, CUYO DENOMINADOR NO CONTENGA
RAÍCES.
AUNQUE
PAREZCA
ABSURDO,
PARA LOGRAR TAL
PROPÓSITO SE MULTIPLICA LA FRACCIÓN DADA POR 1.
PERO ESCRITO DE UNA MANERA ADECUADA
QUE
CONDUZCA A LA FORMA DESEADA.
EN OTRAS PALABRAS, HAY QUE AMPLIFICAR LA FRACCIÓN
DADA POR UN NUMERO APROPIADO QUE ELIMINE LAS
RAÍCES
DEL
DENOMINADOR.
DICHO
FACTOR
DE
AMPLIFICACIÓN SE CONOCE CON EL NOMBRE DE FACTOR DE
RACIONALIZACIÓN O FACTOR RACIONALIZADOR.
EJEMPLOS:
a).
b).
𝟏
√𝟐
𝟐
√𝟑
AMPLIFICAREMOS POR 1
1≡
√𝟐
√𝟐
Página
34
c).
d).
Página
35
e).
f).
g).
Mis
A p u n t e s:
3.2.5.2. RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADOR BINOMIO
EN ALGUNOS CASOS EL DENOMINADOR ES UNA SUMA O LA
DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS, DE LOS CUALES AL MENOS
UNO ES UNA RAÍZ CUADRADA, COMO EN LOS CASOS
SIGUIENTES:
𝟏
𝟑√𝟑
𝟐
√𝟐+𝟏
√𝟓−√𝟑
√𝟕+√𝟐
36
EN ESTOS CASOS, EL FACTOR DE RACIONALIZACIÓN SE
CONSTRUYE CON LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS DOS
TÉRMINOS DEL DENOMINADOR, DE ACUERDO A SI EL
DENOMINADOR ES RESPECTIVAMENTE LA DIFERENCIA O LA
SUMA DE DICHOS TÉRMINOS.
EN LOS EJEMPLOS DADOS SE PROCEDERÍA ASÍ:
1
∙
√𝟐 − 𝟏
√𝟐 + 𝟏 √𝟐 − 𝟏
√𝟐 − 𝟏 SERÍA EL FACTOR DE
RACIONALIZACIÓN
DONDE:
LAS RAZONES PARA QUE ELLO SEA ASÍ, PROVIENEN DE LA
IGUALDAD CONOCIDA COMO SUMA POR SU DIFERENCIA:
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
EJEMPLOS:
Página
Página
37
e)
f)
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Nombre
Fecha GUIA N° 1
Curso
OA 07
Analizar la existencia de las raíces en el
conjunto de los números reales.
OA 08
Utilizar relaciones entre las potencias y
raíces para demostrar propiedades de las
raíces.
N° LISTA
I.- ELIMINA LOS RADICALES DE LOS DENOMINADORES
DE LAS SIGUIENTES EXPPRESIONES
a).-
c).-
e).-
2
√2
3
2√2
4−√3
√3
b).-
d).-
f).-
2√3
√2
2√2
√3
4+√2
√2
Página
38
II.- RACIONALIZA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
a).-
8
b).-
5
√
2
√7
2
7
√
Página
39
c).-
√8
3
√
2
e).- √
d).- √
2
5
5
2
2∙√
g).-
f).-
5
7
√
√5
√
1
2
2
3
5
8
5
2
√
1
5
√
2
3
h).-
III.- RACIONALIZA:
a).
2
√2+2
=
b).
2 √3
√2−1
=
Página
40
c).
3√3
√2+√3
=
d).
e).
√3
=
√3−√2
f).
g).
√2
=
√3 +√4
h).
4
−1+√5
2√2
√3−√2
1
√2+1
=
=
V.- APLICA LAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES:
OBSERVA EL SIGUIENTE EJEMPLO:
𝟒√𝟕𝟓 − 𝟐√𝟑𝟎𝟎 − 𝟑√𝟑 =
Página
= 𝟒√𝟐𝟓 ∙ 𝟑 − 𝟐√𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟑 − 𝟑√𝟑
41
= 𝟒√𝟐𝟓 ∙ √𝟑 − 𝟐√𝟏𝟎𝟎 ∙ √𝟑 − 𝟑√𝟑
= 𝟒 ∙ 𝟓 ∙ √𝟑 − 𝟐 ∙ 𝟏𝟎 ∙ √𝟑 − 𝟑√𝟑
= 𝟐𝟎√𝟑 − 𝟐𝟎√𝟑 − 𝟑√𝟑
= −𝟑√𝟑
a). 𝟒√𝟏𝟎𝟖 − 𝟐√𝟏𝟐 − 𝟑√𝟑 =
b). 𝟒√𝟗𝟖 + 𝟐√𝟏𝟖 − 𝟔√𝟐 =
c). 𝟒√𝟏𝟎𝟖 − 𝟐√𝟏𝟐 − 𝟑√𝟑 =
d). 𝟒√𝟗𝟖 + 𝟐√𝟏𝟖 − 𝟔√𝟐 =
e).
𝟒𝟑
√𝟏𝟔
𝟑
𝟑
+ 𝟐 √𝟔𝟒 + √𝟖 + √𝟓𝟎 =
f).
√𝟓𝟎+√𝟏𝟖+√𝟐𝟕
𝟏
𝟐𝟖𝟖𝟐
=
OBSERVA EL SIGUIENTE EJEMPLO:
√√𝟓 − 𝟏 ∙ √√𝟓 + 𝟏 =
Página
= √(√𝟓 − 𝟏) ∙ (√𝟓 + 𝟏)
42
𝟐
= √(√𝟓) ∙ 𝟏𝟐
= √𝟓 − 𝟏
= √𝟒
=𝟐
a). √𝟐√𝟑 − 𝟐 ∙ √𝟐√𝟑 + 𝟐 =
b).
c).
√𝒂√𝒃 − 𝒄 ∙ √𝒂√𝒃 + 𝒄 =
d).
√√𝟏𝟏−√𝟐∙√√𝟏𝟏+√𝟐
f).
e).
𝟏
𝟗𝟐
=
√√𝟏𝟏 − √𝟐 ∙ √√𝟏𝟏 + √𝟐 =
√ √𝒂 − 𝒃 ∙ √ √𝒂 + 𝒃 =
√𝟐√𝟑−𝟐∙√𝟐√𝟑+𝟐
𝟏
𝟐(𝟒)𝟐
=
Mis
A p u n t e s:
3.3. LOGARITMOS:
LA PALABRA LOGARITMO, DERIVA DEL GRIEGO LOGOS
QUE SIGNIFICA PROPORCIÓN Y ARITHMOS, QUE
SIGNIFICA NUMERO.
Página
+
𝑆𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 , 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 1 𝑦 𝑛 ∈
𝑅. 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒:
43
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 = 𝒂𝒏 = 𝒃
Donde a es la base del logaritmo y b su argumento, y se lee:
“logaritmo de b, en base a es igual a n”
EJEMPLOS:
𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟏𝟔 = 𝟒 → 𝟐𝟒 = 𝟏𝟔
𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝟏𝟔 = 𝟐 → 𝟒𝟐 = 𝟏𝟔
𝟏
𝟏
−𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎
= −𝟏 → 𝟏𝟎 =
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟓 𝟎
𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟏 = 𝟎 → ( ) = 𝟏
𝟐
𝟐
GENERALMENTE SI SE TRABAJA CON LOGARITMOS EN
BASE 10, LA NOTACIÓN ES:
𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 𝒃 = 𝐥𝐨𝐠 𝒃
RECUERDA QUE!
𝒂𝒏 ∙ 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏+𝒎 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ≠ 𝟎, 𝒏, 𝒎 ∈ 𝑸
𝒂𝒏
= 𝒂𝒏−𝒎
𝒎
𝒂
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Nombre
Fecha GUIA N° 1
Curso
N° LISTA
I.- DESARROLLA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. (Con
desarrollo):
1.- ESCRIBE COMO POTENCIA: 1.024
4
5
OA 07
Analizar la existencia de las raíces en el
conjunto de los números reales.
OA 08
Utilizar relaciones entre las potencias y
raíces para demostrar propiedades de las
raíces.
2.- ESCRIBE COMO POTENCIA: 243
El 4 se multiplica 5 veces por si mismo
= 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1.024
16
64
256
1.024
3.- ESCRIBE COMO POTENCIA: 4.096 =
4.- ESCRIBE COMO POTENCIA: 3.125
5.- ESCRIBE COMO POTENCIA: 729
6.- ESCRIBE COMO POTENCIA: 343
7.- ESCRIBE COMO POTENCIA: 1024
9.- ESCRIBE COMO POTENCIA: 512
8.- ESCRIBE COMO POTENCIA: 15.625
10.- ESCRIBE COMO POTENCIA: 6.561
Página
44
II.- DESARROLLA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS, busca el exponente que falta. (Con
desarrollo):
1.- EL RESULTADO DE:
2
= 16
2.- EL RESULTADO DE:
2
= 32
Página
45
EL
3.- EL RESULTADO DE:
3
= 243
4.- EL RESULTADO DE:
EL
5.- EL RESULTADO DE:
4
= 256
5
= 125
9.- EL RESULTADO DE:
6
= 36
= 125
= 4.096
5
DE:
= 3.125
DE:
= 1.296
6
RESULTADO
3
11.- EL RESULTADO DE:
4
DE:
RESULTADO
10.- EL RESULTADO DE:
EL
= 729
RESULTADO
8.- EL RESULTADO DE:
EL
3
DE:
RESULTADO
6.- EL RESULTADO DE:
EL
7.- EL RESULTADO DE:
RESULTADO
DE:
5
12.- EL RESULTADO DE:
EL
RESULTADO
= 32
DE:
III.- DESARROLLA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. (Con desarrollo):
1.- log 2 8 =
2.- log 3 9 =
Página
46
3.- log 5 625 =
4.- log 5 3.125 =
5.- log 4 1.024 =
6.- log 3 216 =
7.- log 2 1 =
8.- log 𝑎 1 =
9.- log 2 2 =
10.- log 8 8 =
11.- log 100 =
12.- log 1.000 =
13.- log 5 √25 =
14.- log 2 √2 =
3.3.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:
𝑺𝑰 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑹+ , 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ≠ 𝟏
Mis
A p u n t e s:
SE CUMPLEN LAS
SIGUIENTES PROPIEDADES:
i.
𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶 𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝑼𝑵𝑰𝑫𝑨𝑫: 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝟏 = 𝟎
ii.
𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶 𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝒃𝒂𝒔𝒆: 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒃 = 𝟏
iii.
𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶 𝑫𝑬 𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨: 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒃𝒏 = 𝒏
iv.
𝑪𝑨𝑴𝑩𝑰𝑶 𝑫𝑬 𝑩𝑨𝑺𝑬: 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝑩 =
v.
𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶 𝑫𝑬 𝑼𝑵 𝑷𝑹𝑶𝑫𝑼𝑪𝑻𝑶:
𝐥𝐨𝐠 𝒄 𝑩
𝐥𝐨𝐠 𝒄 𝒃
𝐥𝐨𝐠 𝒃 (𝒂 ∙ 𝒄) = 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂 + 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒄
vi.
𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶 𝑫𝑬 𝒖𝒏 𝒄𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆:
𝒂
𝐥𝐨𝐠 𝒃 ( ) = 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂 − 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒄
𝒄
vii.
𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶 𝑫𝑬 𝑼𝑵𝑨 𝑹𝑨𝑰𝒁:
𝒏
𝐥𝐨𝐠 𝒃 √𝒂 =
viii.
ix.
𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂
;𝒏 ∈ 𝑵
𝒏
𝑼𝑵𝑨 𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨 𝑫𝑬 𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶: 𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒃
𝑳𝑶𝑮𝑨𝑹𝑰𝑻𝑴𝑶 𝑫𝑬 𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨: 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂𝒏 = 𝒏 ∙
𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂
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OA 07
Analizar la existencia de las raíces en el
conjunto de los números reales.
OA 08
Utilizar relaciones entre las potencias y
raíces para demostrar propiedades de las
raíces.
Nombre
Curso
Fecha GUIA N° 1
N° LISTA
I.- DESARROLLA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. APLICA LAS
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS (Con desarrollo):
1.- log 2 16 =
2.- log 3 81 =
3.- log 5 78.125 =
4.- log 5 390.625 =
5.- log 4 4.096 =
6.- log 6 216 =
7.- log 3 1 =
9.- log 𝑎 𝑎 =
8.- log 𝑥 1 =
10.- log 𝑧 𝑧 =
Página
48
11.- log 10 =
12.- log 1.000.000 =
Página
49
216
13.- log 4 1.024=
14.- log 6 (1.296) =
EL
15.- 4 log 3 243 + 3 log 2 32 + 2 log 4 1.024 − 2 log 2 128 =
RESULTADO
16.- 2 log 3 81 + 3 log 1.000 + 4 log 100 − 5 log 7 49 =
EL
17.- 2 log 8 5123 + 2 log 7 493 − 2 log 6 2163 =
RESULTADO
5
6
6
RESULTADO
DE:
RESULTADO
DE:
6
20.- log 3 √9=
EL
21.- log 5 √25 + log 3 √9 + log 4 √16 + log3 3=
DE:
18.- 3 log 2 1 + log 3 1 − 5 log 4 1 =
EL
19.- 3 log 2 82 + log 3 3 − 5 log 4 1 + 3 log 2 83 =
DE:
6
22.- log 4 √64 + log 3 243 − 3 log 2 43 =
EL
RESULTADO
DE:
II.- ANALIZA LA SIGUIENTE TABLA. LUEGO, COMPLÉTALA UTILIZANDO EN CADA
CASO LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
EXPRESIÓN EQUIVALENTE
EXPRESIÓN
Página
1.- log 2 6 + log 2 8
50
7
2.- log 2 5
3
EL
3.- log 2 √4
RESULTADO
DE:
RESULTADO
DE:
4.- log100 100
EL
5.- 4log 2 5
6.-
log𝑎 𝑏
𝑛
III.- APLICA LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS PARA REPRESENTAR CADA
EXPRESIÓN COMO UN SOLO LOGARITMO:
EL
RESULTADO
1.- log 3 2 + log 3 0,5=
DE:
5
2.- log 4 43 − log 4 √4=
EL
8 2
RESULTADO
DE:
4
3.- log 4 (3) + 3 log 5=
4.- log 2 ( √8) − log 2 10=
EL
1
5.- log 3 8 + log 3 (8)=
RESULTADO
DE:
6.- log 𝑎 + log 𝑏 =
EL
RESULTADO
DE:
3.3.2. ECUACIONES LOGARÍTMICAS:
UNA ECUACIÓN LOGARÍTMICA ES UNA IGUALDAD EN LA
QUE INTERVIENEN LOGARITMOS Y DONDE LA
INCÓGNITA FORMA PARTE DEL ARGUMENTO DE AL
MENOS UNO DE ELLOS.
PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN LOGARÍTMICA, SE
DEBE MANIPULAR LA ECUACIÓN DE MODO DE
ESCRIBIRLA DE LA FORMA 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝑩 𝒈(𝒙), DONDE
𝒇(𝒙) Y/O 𝒇(𝒙) SON EXPRESIONES QUE CONTIENEN LA
INCÓGNITA. COMO LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA ES
SIEMPRE
CRECIENTE,
O
BIEN
DECRECIENTE,
ENTONCES:
𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝑩 𝒈(𝒙) ↔ 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)
EN CONSECUENCIA, AHORA SE RESUELVE:
𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)
LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN LOGARÍTMICA SE
DEBEN COMPROBAR SIEMPRE, YA QUE LOS
LOGARITMOS SOLO SE DEFINEN PARA VALORES
POSITIVOS, Y PODRÍA OCURRIR QUE EL VALOR
ENCONTRADO, AL REEMPLAZARLO EN LA ECUACIÓN,
NO SATISFAGA ESTA CONDICIÓN
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51
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Analizar la existencia de las raíces en el
conjunto de los números reales.
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Utilizar relaciones entre las potencias y
raíces para demostrar propiedades de las
raíces.
I.- DESARROLLA LOS SIGUIENTES ECUACIONES. (Con desarrollo):
a).
log 𝑥 + log 3 = log 15
b).
log 2 − log 𝑥 = log 3
c).
log 𝑥 − 2 log 3 + log 2 = 0
d).
2log 𝑥 = 2
e).
2 log 2 𝑥 = 4
f).
2log 𝑥 = −2
Página
53
g).
log(𝑥 + 3) = log(2𝑥 − 1)
h).
log(𝑥 + 1) − log(𝑥 − 2) = log(𝑥 − 3) + log(𝑥 + 5)
Página
54
i).
2 log(𝑥 + 1) − log(𝑥 − 1) = 1
j).
log 𝑥 = 1 + log(11 − 𝑥)
k).
log(3𝑥 − 4) − log(2𝑥 + 1) = log(2𝑥 − 1) − log(3𝑥 + 4)
L).
log(𝑥 + 1) = log 3 + log(𝑥 − 3)
m).
2 log 2 (𝑥 + 2) − log 2 (𝑥 + 1) = 2
n).
2 log 2 (𝑥 + 2) = log 3 9
Página
55