Download La descomposición de un polígono regular en - GRUPO-206-Y-201

CONALEP JOSEMARIA MARTÍNEZ RODRIGUEZ
UNIDAD II
Modelado de superficies y espacios.
2.1 Ubica e identifica figuras en el espacio mediante sus características geométricas.
Introducción:
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En la geometría, como disciplina, se distinguen componentes tales como el plano, el punto, la línea recta, curva, quebrada-, la superficie, el segmento y otros de cuya combinación nacen todas las figuras
geométricas.
El patio de tu escuela, una cancha de fútbol, los muebles de una casa o una tuerca son algunos de los
múltiples ejemplos en donde se pueden apreciar figuras geométricas.
Entonces, una figura geométrica (también se la puede denominar lugar geométrico) corresponde a un
espacio cerrado por líneas o por superficies.
Un polígono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos. A estos segmentos se les llama
lados.
La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego: “polys”: muchos y “gonía”:
ángulos; por lo tanto, es una figura con varios ángulos.
El polígono más pequeño es el triángulo, que tiene tres lados y tres ángulos.
Las figuras geométricas de lados rectos se denominan polígonos y las figuras de lados curvos se
denominan círculo y circunferencia y corresponden también a polígonos (polígono curvilíneo).
Un polígono, por la forma de sus lados, se denomina:
 rectilíneo, si todos sus lados son segmentos rectos,
 curvilíneo, si al menos uno de sus lados es un segmento curvo.
Es importante recordar que las formas sólidas o tridimensionales corresponden a los cuerpos
geométricos y se denominan poliedros, como el cubo y la pirámide, y a los cuerpos redondos, como la
esfera y el cilindro.
Según las características de los polígonos se pueden establecer varias clasificaciones.
Según la medida de sus lados y ángulos, los polígonos pueden ser regulares e irregulares.
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2.1.1 Realiza un modelo bidimensional simulando un objeto importante en su localidad, región o Estado
empleando figuras geométricas regulares e irregulares, donde se identifiquen las características y
relaciones propias de los polígonos regulares e irregulares y que incluya la descripción del proceso
utilizado.
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Identificación de las propiedades de los triángulos.
Clasificación:
1.- Por sus lados.
 Equilátero: tres lados iguales
 Isósceles: dos lados iguales.
 Escaleno: tres lados desiguales.
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Por sus ángulos
 Acutángulo: tres ángulos agudos
 Rectángulo: un ángulo recto
 Obtusángulo: un ángulo obtuso
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Características:
1.- Relación entre sus lados y ángulos.
Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo
Teorema:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.
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Disponiendo los ángulos del triángulo en forma consecutiva se obtiene un ángulo llano.
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Corolarios:
 En todo triángulo, cada ángulo es igual a 180º menos la suma de los otros dos ángulos.
 Si en un triángulo un ángulo es rectángulo u obtuso, los dos ángulos restantes son agudos.
Y
 Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.
Propiedad del ángulo exterior
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Un ángulo exterior es un ángulo entre un lado de una figura y la línea que se extiende desde el
lado siguiente.
Teorema:
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Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
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Corolario: (afirmación lógica derivada a consecuencia directa de un teorema, y puede ser
demostrada utilizando únicamente los elementos del teorema)

Puntos y rectas notables.
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Identificación de las propiedades de los cuadriláteros (ANALIZAR EL VIDEO
“CUADRILATEROS”)

Características.

Clasificación.


Cóncavos.
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Convexos.
Cóncavo o convexo
Un polígono convexo no tiene ángulos que apunten hacia dentro. En
concreto, los ángulos internos no son mayores que 180°.
Si hay algún ángulo interno mayor que 180° entonces es cóncavo. (Para
recordar: cóncavo es como tener una "cueva")
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Convexo
Cóncavo
Identificación de propiedades de los polígonos de más de cuatro lados
Regulares
Irregulares
Un polígono es regular si todos sus lados poseen la misma longitud y si todos sus ángulos son iguales.
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Un polígono es irregular si no todos sus lados poseen la misma longitud y/o no todos sus ángulos son
iguales.
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Regular
Irregular
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Propiedades de los polígonos regulares
Nombres de polígonos
Si es regular...
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Nombre
Lados
Forma
Ángulo interior
Triángulo (o trígono)
3
60°
Cuadrilátero (o tetrágono)
4
90°
Pentágono
5
108°
Hexágono
6
120°
Heptágono (o Septágono)
7
128.571°
Octágono
8
135°
Nonágono (or eneágono)
9
140°
Decágono
10
144°
Endecágono (or undecágono)
11
147.273°
Dodecágono
12
150°
Tridecágono
13
152.308°
Tetradecágono
14
154.286°
Pentadecágono
15
156°
Hexadecágono
16
157.5°
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Heptadecágono
17
158.824°
Octadecágono
18
160°
Eneadecágono
19
161.053°
Icoságono
20
162°
Triacontágono
30
168°
Tetracontágono
40
171°
Pentacontágono
50
172.8°
Hexacontágono
60
174°
Heptacontágono
70
174.857°
Octacontágono
80
175.5°
Eneacontágono
90
176°
Hectágono
100
176.4°
Chiliágono
1,000
179.64°
Miriágono
10,000
179.964°
Megágono
1,000,000
~180°
Googológono
10100
~180°
n-ágono
n
(n-2) × 180° / n
Para polígonos con 13 lados o más, se puede escribir (y es más fácil)
"13-ágono", "14-ágono" ... "100-ágono", etc.
Ángulo interior
El ángulo interior de un polígono regular de "n"
lados se calcula con la fórmula:
(n-2) × 180° / n
Por ejemplo el ángulo interior de un octágono (8
lados) es:
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(8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135°
Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 =
2×180°/4 = 90°
Ángulo exterior
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Los ángulos exterior e interior se miden sobre la
misma línea, así que suman 180°.
Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente
180° - ángulo interior
El ángulo interior de este octágono es 135°, así
que el ángulo exterior es 180°-135° = 45°
El ángulo interior de un hexágono es 120°, así
que el ángulo exterior es 180°-120° = 60°
Diagonales
Todos los polígonos (menos los
triángulos) tienen diagonales (líneas
que van de un vértice a otro, pero que no
son lados).
El número de diagonales es n(n - 3) / 2.
Ejemplos:


A
R
B
O
L
un cuadrado tiene 4(4-3)/2 = 4×1/2 =
2 diagonales
un octágono tiene 8(8-3)/2 = 8×5/2 =
20 diagonales
(Nota: esto vale para polígonos regulares
e irregulares)
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Descomposición de polígonos en triángulos.
Un polígono regular es aquel cuyos ángulos α son iguales, y cuyos lados l tienen la
misma longitud. El segmento que une el centro del polígono con el punto medio de
cualquiera de sus lados es la apotema (a).
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Uniendo el centro con cada uno de los vértices todo polígono regular de n lados se
descompone en n triángulos iguales, los cuales serán isósceles, a excepción del
hexágono regular en que serán equiláteros. La apotema es la altura de cada uno de
dichos triángulos.
La descomposición de un polígono regular en
triángulos iguales permite obtener fácilmente el ángulo
y la superficie del mismo.
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En un polígono regular de n vértices (y por lo tanto de n lados), los ángulos miden
todos
radianes, es decir
grados (sexagesimales), lo que
se obtiene muy fácilmente de la descomposición del polígono en triángulos: los
ángulos de los n triángulos suman 180º n. Como los ángulos que convergen en el
centro son en total 360º, resulta claro que los n ángulos α del polígono sumarán
180ºn – 360º = 180º (n-2). Y, siendo dichos ángulos iguales, sólo habrá que dividir
entre n para tener su valor. Desarrollándolo algebraicamente:
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y finalmente,
1
o bien,
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2
indistintamente.
Así, por ejemplo, para el triángulo (n = 3) -se trata de un triángulo equilátero-, los
ángulos miden 1 x 180º/3 = 60º.
En el caso del cuadrilátero (n = 4) -un cuadrado-, los ángulos valen 2×180°/4 = 90°.
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En cuanto a la superficie del polígono regular, es obvio que será n veces la de cada
uno de los triángulos en que se ha descompuesto:
pero siendo la base el lado l del polígono, y la altura su apotema a,
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y finalmente, como
, nos queda
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EJERCICIOS PARA PRACTICAR LOS CONCEPTOS ANTERIORES
Como ya sabes, las figuras geométricas son parte de nuestra vida cotidiana, están
en las señales de calles y caminos, en los embaldosados de los pisos, en los
cubrimientos de paredes y en muy diversos tipos de objetos. Los artistas de todos
los tiempos han utilizado figuras geométricas en sus trabajos, y en el arte del siglo
XX alcanzaron gran importancia con el pintor español Pablo Picasso. Basando sus
obras en elementos geométricos, Picasso inició un nuevo movimiento artístico de
gran influencia en la arquitectura y las artes decorativas llamado “cubismo”.
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EJERCICIO 1
ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS
Observa estos ejemplos y compáralos con tu dibujo: en unos hay segmentos de
igual longitud o con la misma dirección, en otros, no. En todos los casos forman una
poligonal.
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1. Anota al lado de tu dibujo de poligonal si es abierta o cerrada y si es simple o cruzada.
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EJERCICIO 2
Dibuja en tu cuaderno, polígonos como estos.
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1. Elige un lado de cada polígono y traza una recta que incluya a ese lado. El plano
en el que estás dibujando quedó dividido por esa recta en dos semiplanos, uno a
cada lado de la recta.
Observa el polígono, y responde: ¿queda totalmente del mismo lado, es decir en un
mismo semiplano, respecto de la recta?
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2. Repite la experiencia con los otros lados del polígono. ¿En algún caso el
polígono queda atravesado por la recta que contiene al lado?
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3. Debajo de cada uno de los polígonos que dibujaste escribe si es convexo o
cóncavo.
4. Observa la amplitud de los ángulos interiores en los polígonos convexos y en los
cóncavos. En los polígonos cóncavos, ¿hay ángulos mayores que un ángulo llano?
Escribe el resultado de tus observaciones.
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EJERCICIO 3
Los polígonos adquieren su nombre según el número de lados que ellos tengan. En
tu carpeta has una tabla como la siguiente y complétala. Busca ayuda en libros y
diccionarios o bien pregúntale a tu maestro.
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EJERCICIO 4
En la unidad aprendiste que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
igual a 180º. Ahora vas a usar esta propiedad para calcular la suma de los ángulos
interiores de polígonos convexos con mayor número de lados.
1. Dibuja un cuadrilátero, un pentágono, un hexágono y un octógono. En cada uno
de ellos elige uno de sus vértices. Traza desde él todas las diagonales posibles.
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2. Observa cuántos triángulos se formaron en cada polígono. Copia la tabla que
está a continuación y registra en la primera fila el número de triángulos que se
formaron. En la última columna considera “n” el número de lados.
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EJERCICIO 5
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Responde: ¿cuánto mide cada ángulo interior de un polígono regular de 5,10 y 15
lados? ¿Qué cálculo te permite resolver el problema?
EJERCICIO 6
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Usando esta propiedad podrás construir cualquier polígono regular. Construye con
compás y transportador un pentágono, un hexágono y un octágono regular inscritos
en una circunferencia aplicando la propiedad anterior.
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Busca los polígonos regulares inscritos en circunferencias que has dibujado en tu
carpeta.
1. Obsérvalos y en cada uno de ellos traza los radios correspondientes a cada
vértice.
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2. Revisa si cada polígono ha quedado descompuesto en triángulos. ¿Cómo son
entre sí los triángulos de un mismo polígono regular? Escribí la respuesta en tu
carpeta y explica por qué.
3. ¿Cómo podrías hallar el área de cada polígono a partir de su descomposición en
triángulos? Explícalo en tu carpeta.
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EJERCICIO 7
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Ya observaste que todo polígono regular se puede descomponer en triángulos
congruentes.
Descompón de ese modo los siguientes polígonos. Para ello, cálcalos en tu carpeta
y nombra cada vértice.
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Para descomponer los polígonos en triángulos congruentes es necesario encontrar
su centro.
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Referente a “Circunferencia y círculo” los centros de las circunferencias que pasan
por dos puntos se encuentran en la mediatriz del segmento determinado por ellos.
La forma habitual de calcular área de un polígono regular es la fórmula siguiente:
Área de un polígono regular = n x l x ap / 2
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Donde:
n = número de lados
l = longitud de un lado
ap = apotema
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1. Aplica esta fórmula para calcular las áreas de un pentágono de 5cm de lado y
Y
Recuerda que:
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hexágono de 10 cm de lado, y compara los resultados que obtuviste. Al finalizar
muéstraselo a tu maestro.
𝑡𝑔(𝜃 ) =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
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EJERCICIO 8
Dibuja en tu carpeta dos polígonos como los siguientes.
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1. Traza, en cada uno, todas las diagonales y luego realiza en tu carpeta las
consignas que siguen.
• ¿Cuál de los dos polígonos tiene más diagonales?
• ¿De qué depende el número de diagonales de un polígono convexo?
• Construye en tu carpeta una tabla como la siguiente y complétala.
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