Download PSU MATEMATICA Profesor de Matemática Emilio Hugo González

Eje N°1
Números y
Proporcionalidad
Unidad Número1
Teoría de Conjuntos
Un conjunto se define como una colección de objetos (los cuales llamaremos elementos) que cumplen o tienen
un cierto grupo de características.
Notación de Conjuntos
Existen tres formas de denotar o escribir los elementos de un conjunto.
Notación por Extensión: El conjunto se denota por una letra mayúscula del abecedario, luego se escribe un signo igual y
después entre medios de dos llaves { } se escriben todos los elementos que conforman un cierto conjunto (no importa el
orden en que se anoten y no se deben repetir)
Ejemplo 1:
Sea el conjunto P el de los países de Sudamérica, su notación por extensión sería:
𝑃 = {𝐴𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑖𝑛𝑎, 𝐵𝑜𝑙𝑖𝑣𝑖𝑎, 𝐵𝑟𝑎𝑠𝑖𝑙, 𝐶ℎ𝑖𝑙𝑒, 𝐶𝑜𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑎, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑑𝑜𝑟, 𝐺𝑢𝑦𝑎𝑛𝑎, 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑔𝑢𝑎𝑦, 𝑃𝑒𝑟ú, 𝑢𝑟𝑖𝑛𝑎𝑚, 𝑈𝑟𝑢𝑔𝑢𝑎𝑦, 𝑉𝑒𝑛𝑒𝑧𝑢𝑒𝑙𝑎}
Ejemplo 2:
Sea el conjunto B de los números Enteros desde -6 hasta 8, su notación por extensión es:
𝐵 = {−6, −5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}
Ejemplo 3:
Sea el conjunto C de los números Enteros entre -6 y 8, por extensión sus elementos son:
𝐶 = {−5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5,6,7}
Ejemplo 4:
Sea el conjunto D de los números enteros mayores o iguales a 5.
𝐷 = {5,6,7,8,9,10,11,12, . . , }
Sea el conjunto E de los números mayores o iguales a 2.
Si no se menciona algún conjunto numérico se asume que se usan los números Reales.
5
𝐸 = {2, … ,2.1, … ,2. 2̅, … , , … ,3, … , 𝜋 … , √10, … ,4, … , }
2
Ejemplo 5:
Observación:
Notación por Comprensión: El conjunto se denota por una letra mayúscula del abecedario, luego se escribe un signo
igual y después entre medio de dos llaves {} se escribe la(s) característica(s) que describa los elementos del conjunto.
Ejemplo 1:
Sea el conjunto P de los países de Sudamérica, su notación por comprensión es:
𝑃 = {𝑥 ∶ 𝑥 = 𝑝𝑎𝑖𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆𝑢𝑑𝑎𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎}
Ejemplo 2:
Sea el conjunto B de los números enteros desde -6 hasta 8, por comprensión:
𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ ∶ −6 ≤ 𝑥 ≤ 8}
Ejemplo 3:
Sea el conjunto C de los números enteros entre -6 y 8, su denotación por comprensión es:
𝐶 = {𝑥 ∈ ℤ ∶ −6 < 𝑥 < 8}
Ejemplo 4:
Sea el conjunto D de los números enteros mayores o iguales a 5, por compresión se denota por:
𝐷 = {𝑥 ∈ ℤ ∶ 𝑥 ≥ 5}
Ejemplo 5:
Sea el conjunto E de los números mayores o iguales a 2.
𝐸 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≥ 2}
Notación por Diagrama de Venn: Se dibuja un rectángulo o una elipse y dentro de él se escriben todos los elementos de
un conjunto. El Diagrama de Venn también se denota por una letra mayúscula como se observa en los ejemplos.
Ejemplo 1:
Sea R el conjunto de los números naturales entre 7 y 11.
Ejemplo 2:
Sea F el conjunto de los números naturales desde 3
hasta 9.
R
8
9 10
F
3 4 5 6 7 8 9
Relación de pertenencia de un elemento en un Conjunto
Un elemento 𝑥 se dice que pertenece (∈) a un conjunto cualquiera cuando el elemento forma parte de un
conjunto. Se dice que un elemento 𝑥 no pertenece (∉) a un conjunto cuando no forma parte de este último.
Ejemplo 1:
Sea el conjunto 𝑅 = {𝑥 ∈ ℕ ∶ 2 ≤ 𝑥 < 8} = {2,3,4,5,6,7}
Se tiene que 4 ∈ 𝑅, 6 ∈ 𝑅, 2 ∈ 𝑅, 8 ∉ 𝑅
{2} ∉ 𝑅 Porque cada elemento dentro de las { } no están entre { }.
Ejemplo 2:
Sea el conjunto 𝐿 = {{{𝑥 ∈ ℕ}} ∶ 8 ≤ 𝑥 ≤ 13} = {{{8}}, {{9}}, {{10}}, {{11}}, {{12}}, {{13}}}.
Observa que los elementos van escritos entre dos {{}} porque así se describe al principio del conjunto.
{{9}} ∈ 𝐿, {10} ∉ 𝐿 (Porque cada elemento está entre {{}} )
{{12}} ∈ 𝐿, {{{8}}} ∉ 𝐿
Cardinalidad de un Conjunto
La Cardinalidad corresponde al número de elementos que posee un conjunto. Es decir si un conjunto A tiene n
su cardinalidad se denota de la manera que sigue #A = n.
Conjunto Vacío.
Es aquel conjunto que no posee elementos y se denota así ∅ = { }
Ejemplo: Sea el conjunto 𝑊 = {𝑥 ∈ ℕ ∶ 𝑥 < 0}, se sabe que los números naturales son mayores o iguales a 1.
Por lo tanto el conjunto 𝑊 = ∅ = { }.
Observación: la siguiente notación { ∅ } no es igual a conjunto vacío porque indica que hay un conjunto cuyo
elemento es ∅.
Observación: #∅ = 0
Conjunto Finito.
Es aquel conjunto que consta de elementos distintos y al contar los elementos el proceso de conteo se puede
acabar.
Ejemplo 1: Sea el conjunto 𝐺 = {𝑦 ∈ ℕ: 𝑦 = 𝑥 + 2 , 3 < 𝑦 ≤ 6}, cuyos elementos por extensión son:
𝐺 = {4 + 2, 5 + 2, 6 + 2} = {6,7,8}
Al contar los elementos se tiene que #G = 3.
Conjunto Infinito.
Si en un conjunto no es posible acabar el proceso de conteo se dice que el conjunto es infinito.
Ejemplo 1:
1
3
Sea el conjunto 𝐻 = {𝑥 ∈ ℚ ∶ 0 ≤ 𝑥 < 1} = {0, … ,0.001, … ,0.1, … ,0.2, … , … ,0. 5̅, … , , … ,0.9999, … }
2
4
Se dice que H tiene una cardinalidad infinita, es decir #𝐻 = ∞.
Subconjunto.
Un conjunto A se dice que es subconjunto de otro conjunto B cuando todos los elementos de A están
contenidos en B. Otra manera de expresar lo mismo es que todos los elementos de A deben estar también en B. Lo
anterior se denota de la manera que sigue 𝐴 ⊂ 𝐵.
B
A
Ejemplo 1: Sea el conjunto 𝐶 = {𝑥 ∈ ℤ ∶ −2 < 𝑥 ≤ 6} y el conjunto 𝐷 = {3,4,5}, al escribir por extensión los
elementos del conjunto 𝐶 se obtiene que 𝐶 = {−1,0,1,2,3,4,5,6}.
Es claro observar que todos los elementos de C están contenidos en D, por lo tanto 𝐶 ⊂ 𝐷.
Observación 1: Por lo general si se dan dos conjuntos A y B no siempre se cumple que 𝐴 ⊂ 𝐵 y 𝐵 ⊂ 𝐴 al
mismo tiempo.
Lo anterior se puede observar en el ejemplo 1 dado que no todos los elementos de D están contenidos en C, por
lo tanto D no es subconjunto de C, lo cual se denota como sigue: 𝐷 ⊄ 𝐶
Observación 2: Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.
Observación 3: El conjunto vacío { } o también ∅ es subconjunto de cualquier conjunto.
Para demostrar la observación anterior haremos la siguiente reflexión.
Sea el conjunto { } y un conjunto A que tiene una cierta cantidad de elementos. Supongamos que el { } no es
subconjunto de A, por definición de subconjunto si el { } no es subconjunto de A implica que hay algún elemento del { }
que no está contenido en A. Pero lo anterior es imposible porque el { } no tiene elementos.
Por lo tanto el { } es subconjunto de cualquier conjunto.
Subconjunto o igual a.
Un conjunto A se dice que es subconjunto o igual a otro conjunto B cuando todos los elementos de A están
contenidos en B, o cuando todos los elementos de A son iguales a los de B.
Lo anterior se denota de la manera que sigue 𝐴 ⊆ 𝐵.
Si se da la primera opción:
Si se da la segunda opción:
A
B
B
A
Conjuntos Iguales o Equivalentes
Dos conjuntos A y B son iguales cuando todos sus elementos son iguales. Lo anterior se denota de la manera
que sique A = B.
A
B
Observación: Dos conjuntos A y B se dicen que son iguales cuando todos los elementos de A están en B y a la vez
todos los elementos de B están en A, es decir A es subconjunto de B y B es subconjunto de A.
Lo anterior se denota como sigue 𝐴 = 𝐵 ⟺ 𝐴 ⊂ 𝐵 y 𝐵 ⊂ 𝐴
Conjunto Universo
El conjunto Universo, Referencial o Universal es aquel conjunto al cual se le hará un estudio de sus
subconjuntos. Generalmente se denota este conjunto con la letra U pero no es obligatorio usarla.
U
C
A
D
Ejemplo 1: Sea el conjunto 𝑈 = {𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎}. Algunos subconjuntos de este
Universo serían:
U
Países de
América
A
Países de
Europa
Países de
Oceanía
O
Terrenos de
la Antártida
E
A’’
Países de
Asia
A’
Océanos del
Mundo
O’
Conjuntos Disjuntos o Desiguales
Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando estos conjuntos no tienen elementos comunes. Lo anterior se denota
por 𝐴 ≠ 𝐵.
A
Ejemplo 1:
elementos comunes
B
Sea el conjunto C = {1, 2, 3} y el conjunto D = {a, b, c} Estos conjuntos son disjuntos al no tener
Ejemplo 2:
Sea el conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∶ 𝑥 > 0} y sea el conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∶ 𝑥 < 0}. Los dos conjuntos
son disjuntos porque A es el conjunto de los números positivos y B el de los números negativos y estos conjuntos no
tienen elementos comunes
Conjunto Potencia
Sea un conjunto A el conjunto P(A) es el conjunto de los subconjuntos de A. Este conjunto recibe el nombre de
Conjunto Potencia de A o el conjunto de partes de A.
Ejemplo 1:
Sea el conjunto ∅ el conjunto potencia de ∅ es:
P(∅)={∅}
No olvidar que el vacío es subconjunto de cualquier conjunto por ende es subconjunto de sí mismo.
Ejemplo 2:
Sea el conjunto R = {1, 2} los elementos del conjunto potencia de R es:
1. { }
2.
{1}
3.
{2}
4.
{1, 2}
Luego el conjunto potencia de R es P (R) = { { } , { 1 } , { 2 } , { 1, 2 } }
Ejemplo 3:
Sea el conjunto 𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, Los subconjuntos de G son los que siguen a continuación:
1. ∅
2.
{a}
3.
{b}
4.
{c}
5. { a, b }
6.
{ a, c } 7.
{ b, c } 8.
{ a, b, c } = G
El conjunto potencia de G es igual a P (G) = { ∅, {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c,}}
Propiedad:
Sea un conjunto A de n elementos su conjunto potencia P(A) tendrá cardinalidad igual a 2𝑛 .
Lo anterior se observa en el ejemplo 1, ya que el { } tiene 0 elementos y 20 = 1, que son elementos del conjunto
del vacío.
Lo mismo ocurre en el ejemplo 2 y 3 dado que 22 = 4 y 23 = 8 son el número de elementos del conjunto
potencia de R y G respectivamente.
Producto Cartesiano de Conjuntos
Sean A y B dos conjuntos el producto cartesiano A x B es equivalente a encontrar el conjunto que tiene los
elementos de la forma (a , b) donde a representa los elementos de A y b los elementos de B.
Los elementos (a , b) son llamados pares ordenados o pares cartesianos que son la combinación de los
elementos de A y B.
Ejemplo 1:
Sea el conjunto 𝐿 = {𝑥 ∈ ℕ ∶ 1 < 𝑥 < 4 } y 𝑀 = {𝑦 ∈ ℕ ∶ 2 ≤ 𝑦 ≤ 5}
Su notación por comprensión sería 𝐿 × 𝑀 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℕ × ℕ ∶ 1 < 𝑥 < 4 ∧ 2 ≤ 𝑦 ≤ 5}
Y la notación por extensión es:
𝐿 × 𝑀 = {(2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5)}
Observemos que si cambia el orden del producto cartesiano de los conjuntos el conjunto generado no es el
mismo.
Ejemplo: 𝑀 × 𝐿 = {(𝑦, 𝑥) ∈ ℕ × ℕ ∶ 2 ≤ 𝑦 ≤ 5 ∧ 1 < 𝑥 < 4}}
Por extensión sus elementos son:
𝑀 × 𝐿 = {(2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2), (4,3), (5,2)(5,3)}
Observación: En general 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴 es decir no todos sus elementos son iguales.
Propiedad: Sea un conjunto A de n elementos y un conjunto B de m elementos el número de elementos del
conjunto producto cartesiano de AxB y de BxA será de 𝑚 ∙ 𝑛 elementos.
Ejemplo 1:
Sea el conjunto R = {As, K, J, Q, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} y P = {
}. Determinar el
número de elementos que tiene el producto cartesiano R x P.
Por teorema como la cardinalidad de R es 13 y la cardinalidad de P es 4, el total de elementos del producto
cartesiano es 13 x 4 = 52.
Observación: El producto cartesiano es posible realizarlo entre un conjunto finito y otro infinito o a la vez
realizar el producto cartesiano entre dos conjuntos infinitos. En ambos casos la cardinalidad del producto cartesiano es
infinita.
Producto Cartesiano al Cuadrado
Sea un conjunto A el producto cartesiano al cuadrado es la combinación de los pares ordenados (x,y) donde x e y
son elementos de A. El producto cartesiano se denota como 𝐴 × 𝐴 o también como 𝐴2 .
Ejemplo: Sea el conjunto S = { 0, 1, 2 } el producto cartesiano 𝑆 2 tiene los siguientes elementos por extensión.
𝑆 2 = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)}
El total de pares ordenados del producto cartesiano debe ser 9, dado que #S = 3, por tanto #𝑆 2 = 3 ∙ 3 = 9.
Representación Gráfica Cartesiana
Del Producto Cartesiano de dos Conjuntos.
Sean los conjuntos finitos 𝐴 = {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , … , 𝑎𝑛 } y 𝐵 = {𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , 𝑏4 , … , 𝑏𝑚 } la representación gráfica
cartesiana del producto cartesiano 𝐴 × 𝐵 esta dada por el siguiente esquema:
-
El siguiente esquema presenta las siguientes características:
Las línea negra horizontal recibe el nombre de eje horizontal (también llamado eje de las abscisas) y en él se
anotan los elementos del conjunto A (que está a la izquierda del producto 𝐴 × 𝐵)
-
Las línea negra vertical recibe el nombre de eje vertical (también llamado eje de las ordenadas) y en él se anotan
los elementos del conjunto B (que está a la derecha del producto 𝐴 × 𝐵)
-
Para formar la combinación de pares ordenados que conforman el conjunto del producto cartesiano 𝐴 × 𝐵 se
realiza lo siguiente:
1. trazar una recta perpendicular al eje horizontal y que pase por la posición de un elemento del conjunto
A.
2. trazar una recta perpendicular al eje vertical y que pase por la posición de un elemento del conjunto B.
3. El punto que une ambas rectas como en el ejemplo anterior es la representación de uno de los
elementos del producto cartesiano.
4. Al lado del punto se indica el par ordenado que representa un elemento del producto cartesiano.
Ejemplo: Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Determinar los elementos del producto cartesiano B x A a
través de la representación grafica cartesiana.
A
4
(a,4)
(b,4)
(c,4)
3
(a,3)
(b,3)
(c,3)
2
(a,2)
(b,2)
(c,2)
1
(a,1)
(b,1)
(c,1)
a
b
c
B
Existe una representación cartesiana que llamaremos Plano Cartesiano o de Descartes el cual trabajaremos en
Algebra en los contenidos de Funciones y Geometría Analítica.
Este plano cartesiano se produce del producto cartesiano del conjunto de los números reales al cuadrado, es
decir ℝ × ℝ o ℝ2 .
ℝ
(x,y)
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
ℝ
Más adelante estudiaremos este producto cartesiano y las características del plano cartesiano, solo mencionar
que la cardinalidad del producto cartesiano ℝ2 es infinita porque ℝ es un conjunto numérico de infinitos elementos.
Operaciones entre Conjuntos
Unión entre Conjuntos
Sea un conjunto 𝐴 y un conjunto 𝐵 el conjunto A unido con B, denotado por 𝐴 ∪ 𝐵 es el que contiene los
elementos de 𝐴 y de 𝐵. Es decir:
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
A
B
Ejemplo: Sea el conjunto 𝐴 = {1,2,3} y 𝐵 = {2,4,6} por definición 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,6}.
Observación: Si uno o más elementos se repiten en ambos conjuntos al escribir el conjunto unión los elementos
se escriben una sola vez.
Propiedad de la Unión de Conjuntos:
𝐴∪𝐵 = 𝐵∪𝐴
Intersección de Conjuntos
Sean dos conjuntos A y B el conjunto A intersectado con B, denotado por 𝐴 ∩ 𝐵 es igual al conjunto formado por
los elementos comunes o que se repiten de A y B.
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
B
A
Ejemplo 1: Sean los conjuntos A = {1,2,3,4} y B = {2,3,7,8}. El conjunto intersección 𝐴 ∩ 𝐵 = {2,3}, dado que son
los elementos comunes de A y B.
Ejemplo 2: Sean los conjuntos 𝐻 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≥ 2} y 𝐽 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 < 12}. Si deseamos determinar el
conjunto intersección podríamos realizar una gráfica a través de una línea recta de ambos conjuntos.
2
12
Podemos concluir que la intersección esta dentro del intervalo de los números mayores o iguales a 2 y menores
que 12 (sin considerar este último)
Por lo tanto 𝐻 ∩ 𝐽 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 2 ≤ 𝑥 < 12}
Propiedad de la Intersección De Conjuntos
𝐴∩𝐵 =𝐵∩𝐴
Observación 1: Si dos conjuntos A y B son disjuntos su intersección es igual al conjunto vacío. Lo anterior se
debe ya que por definición dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común.
A
B
Ejemplo: Sean los conjuntos E = {1,2,3,4,5,6} y F = {a,b,c,d}. Por definición de intersección ambos conjuntos no
tienen elementos en común, por lo tanto 𝐸 ∩ 𝐹 = ∅ .
Observación 2: Si un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B se tiene que la intersección de 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴.
Lo anterior se debe a que todos los elementos de A están contenidos en B y por lo tanto son comunes, como se
representa en el esquema.
B
A
Diferencia de Conjuntos.
Sean dos conjuntos A y B, el conjunto A – B que, es igual a tener los elementos que solamente están en A y no
están en B.
En general se pueden dar las siguientes situaciones de diferencia de dos conjuntos.
Situación 1
Situación 2
Situación 3
Situación 4
A
B
A
B
A
A
B
B
En este caso se eliminan los
elementos de B y los de la
Intersección de A y B.
En este caso se eliminan
todos los elementos de B
y se dejan solo los de A.
En este caso se eliminan
Como A = B todos los
todos los elementos de B
elementos de A y B se
porque están contenidos en A eliminan. Luego A-B ={ }
Problemas Relacionados
Con Conjuntos
Existen problemas que se relacionan con la intersección y unión de conjuntos y para ser resueltos generalmente
es necesario recurrir a una representación de Diagrama de Venn.
Ejemplo: En un curso se tiene el siguiente registro sobre las aficiones deportivas de sus estudiantes. Se sabe que
27 alumnos juegan fútbol, 15 juegan básquetbol y 9 alumnos practican ambos deportes. ¿Cuántos alumnos practican
solamente fútbol y solamente básquetbol?
Resolución Número 1 (Usando el concepto de Cardinalidad)
Sea 𝐹 = { 𝑥 ∶ 𝑥 es un alumno que juega futbol} y 𝐵 = {𝑥 ∶ 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 alumno que juega básquetbol}
Como hay intersección entre los conjuntos F y B dado que hay alumnos que practican ambos deportes se
observa lo siguiente:
En el conjunto F hay alumnos que juegan solamente fútbol y que practican ambos deportes. Los
alumnos que juegan solamente fútbol se obtienen de la resta del total que juegan fútbol y los que practican
ambos deportes. Es decir #𝐹 − #(𝐹 ∩ 𝐵) = 27 − 9 = 18.
En el conjunto B hay alumnos que juegan solamente basquetbol y que juegan ambos deportes. Los
estudiantes que solo juegan basquetbol se obtienen de la resta del total de alumnos de B y de la intersección de
ambos deportes. Es decir #𝐵 − #(𝐹 ∩ 𝐵) = 15 − 9 = 6
Resolución Número 2 (Usando el concepto de Diagrama de Venn)
El ejercicio se puede resolver también de la siguiente manera a través de un Diagrama de Venn.
Sea 𝐹 = { 𝑥 ∶ 𝑥 es un alumno que juega futbol} y 𝐵 = {𝑥 ∶ 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 alumno que juega básquetbol}
Como hay intersección en ambos conjuntos, dado que hay jugadores que practican ambos deportes, esta
afirmación es posible representarla en el siguiente Diagrama de Venn.
F
B
#𝐹 ∩ 𝐵
9
Ahora si deseamos saber cuántos practican
solamente fútbol debemos saber cuántas
personas son conforman la zona achurada
del siguiente Diagrama de Venn.
Ahora si deseamos saber cuántos practican
solamente basquetbol debemos saber cuantas
personas son conforman la zona achurada
del siguiente Diagrama de Venn
B
F
#𝐹 ∩ 𝐵
#𝐹 ∩ 𝐵
9
9
Por diferencia de conjuntos el Diagrama de
Venn achurado es igual a 𝐹 − (𝐹 ∩ 𝐵), cuya
cardinalidad es 27 – 9 = 18.
Por diferencia de conjuntos el Diagrama de
Venn achurado es igual a 𝐵 − (𝐹 ∩ 𝐵), cuya
cardinalidad es 15 – 9 = 6.
Por lo tanto solamente juegan fútbol un total
de 18 estudiantes.
Por lo tanto solamente juegan basquetbol un
total de 6 alumnos.
UNIDAD NÚMERO 2
LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Y LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS
Existen diferentes conjuntos de números los cuales poseen ciertas características. Los conjuntos numéricos que
usaremos en este libro son:
Números Naturales (ℕ).
Son aquellos números pertenecientes al conjunto ℕ = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, … }
Estos números tienen las siguientes propiedades con respecto a la suma y la multiplicación.
Propiedades de los Naturales (ℕ)
con respecto a la suma (+)
Clausura o Cerradura:
La suma de dos naturales es un número natural.
Si 𝑎 ∈ ℕ, y 𝑏 ∈ ℕ entonces 𝑎 + 𝑏 ∈ ℕ
Ejemplo. 3 ∈ ℕ y 4 ∈ ℕ luego 3 + 4 = 7 ∈ ℕ .
Conmutatividad:
El orden de la suma de dos naturales da un mismo
resultado.
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, con 𝑎 ∈ ℕ, y 𝑏 ∈ ℕ
Ejemplo: 3 + 9 = 12
9 + 3 = 12
Asociatividad:
El orden en que se comienzan a sumar tres valores no
altera el resultado.
Ejemplo:
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), con 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℕ
Ejemplo: (4 + 6) + 10 = 10 + 10 = 20
4 + (6 + 10) = 4 + 16 = 20
¿Elemento Neutro Aditivo?
¿Qué número tiene la propiedad que al sumarse con un
número x se obtiene el mismo número x?
Es decir ? + x = x + ? = x.
¿Este número existe en los Naturales?
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Propiedades de los Naturales (ℕ)
con respecto a la multiplicación ( ∙ )
Clausura o Cerradura:
La multiplicación de dos naturales es un número natural.
Si 𝑎 ∈ ℕ, y 𝑏 ∈ ℕ entonces 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℕ
Ejemplo. 8 ∈ ℕ y 9 ∈ ℕ luego 8 ∙ 9 = 72 ∈ ℕ .
Conmutatividad:
El orden de la multiplicación de dos naturales da un
mismo resultado.
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎, con 𝑎 ∈ ℕ, y 𝑏 ∈ ℕ
Ejemplo: 3 ∙ 9 = 27
9 ∙ 3 = 12
Asociatividad:
El orden en que se comienzan a multiplicar tres valores no
altera el resultado.
Ejemplo:
(𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐), con 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℕ
Ejemplo: (4 ∙ 6) ∙ 10 = 24 ∙ 10 = 240
4 ∙ (6 ∙ 10) = 4 ∙ 60 = 240
Elemento Neutro Multiplicativo
Existe un único número Natural (el 1) tal que al multiplicar
el neutro (el 1) por un número natural x se obtiene el
mismo número natural x.
Es decir: 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 ∙ 1 = 𝑥
.
Números Cardinales (ℕ0 )
Son aquellos números pertenecientes al conjunto ℕ0 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, … }
¿Qué diferencia existe entre los elementos de los Números Naturales y los Número Cardinales?
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Propiedades de los cardinales con respecto a la suma y la multiplicación:
Propiedades de los Cardinales (ℕ0 )
con respecto a la suma (+)
Clausura o Cerradura:
La suma de dos cardinales es un cardinal.
Conmutatividad:
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, con 𝑎 ∈ ℕ0 , y 𝑏 ∈ ℕ0
Asociatividad:
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), con 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℕ0
Elemento Neutro Aditivo
Existe un único número cardinal (el 0) tal que al sumar el
neutro (el 0) por un número natural x se obtiene el mismo
número natural x.
Es decir: 0 + x = x + 0 = 0
Propiedades de los Cardinales (ℕ0 )
con respecto a la multiplicación ( ∙ )
Clausura o Cerradura:
La multiplicación de dos cardinales es un cardinal.
Conmutatividad:
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎, con 𝑎 ∈ ℕ0 , y 𝑏 ∈ ℕ0
Asociatividad:
(𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐), con 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℕ0
Elemento Neutro Multiplicativo
Existe un único número cardinal (el 1) tal que al
multiplicar el neutro (el 1) por un número cardinal x se
obtiene el mismo número cardinal x.
Es decir: 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 ∙ 1 = 𝑥
Números Enteros (ℤ)
Es la unión de los números Naturales (llamados Enteros Positivos), los Enteros Negativos y el Elemento Neutro.
Es decir sean los conjuntos:
ℕ = ℤ+ = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, … }
ℤ− = {−1, −2, −3, −4, −5, −6, −7, −8, −9, −10, −11, … }
y {0}, luego su unión ℤ+ ∪ ℤ− ∪ {0} = ℤ, donde ℤ son los números enteros.
Propiedades de los Enteros con respecto a la suma y la multiplicación:
Propiedades de los Enteros (ℤ)
con respecto a la suma (+)
Clausura o Cerradura:
La suma de dos enteros es un entero.
Conmutatividad:
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, con 𝑎 ∈ ℤ, y 𝑏 ∈ ℤ
Asociatividad:
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), con 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℤ
Elemento Neutro Aditivo
Existe un único número entero (el 0) tal que al sumar el
neutro (el 0) por un número entero x se obtiene el mismo
número entero x.
Es decir: 0 + x = x + 0 = 0
Elemento Inverso Aditivo
Existe un único número entero a’ para un entero a que
cumple la siguiente propiedad:
a’ + a = a + a’ = 0.
Es decir la suma de los enteros es igual al neutro aditivo.
En general el elemento inverso aditivo de a es –a.
Ejemplo: El inverso aditivo de 3 es -3 y viceversa, porque
3 + - 3 = 3 – 3 = 0.
Ejemplo: El inverso aditivo de -4 es 4 y viceversa, porque
-4 + 4 = 0
Ejemplo: El único número entero cuyo inverso aditivo
es el mismo número es 0, porque 0 + 0 = 0.
Propiedades de los Enteros (ℤ)
con respecto a la multiplicación ( ∙ )
Clausura o Cerradura:
La multiplicación de dos enteros es un entero.
Conmutatividad:
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎, con 𝑎 ∈ ℤ, y 𝑏 ∈ ℤ
Asociatividad:
(𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐), con 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℤ
Elemento Neutro Multiplicativo
Existe un único número entero (el 1) tal que al multiplicar
el neutro (el 1) por un número entero x se obtiene el
mismo número entero x.
Es decir: 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 ∙ 1 = 𝑥
Elemento Inverso Multiplicativo
Similar a la suma para un entero 𝑥 existe un único 𝑥′
talque 𝑥 ∙ 𝑥 ′ = 𝑥 ′ ∙ 𝑥 = 1.
Pero aquí ocurre un problema.
Ejemplo consideremos el numero 5
El numero x’ debe cumplir que:
5 ∙ 𝑥′ = 1
si despejamos 5 de la ecuación se tiene
1
𝑥′ = 5
1
pero ∉ ℤ.
5
Conclusión 1: El único entero que tiene inverso
multiplicativo en los enteros es 1 y además es el mismo 1,
por que 1 ∙ 1 = 1.
Conclusión 2: Ningún número entero excepto el 1 tiene
inverso multiplicativo en el conjunto de los números
enteros.
Los Números Racionales (ℚ)
𝑎
Un número racional es aquel de la forma 𝑏 donde 𝑎 ∈ ℤ 𝑦 𝑏 ∈ ℤ − {0}, es decir en nomenclatura de conjuntos
𝑎
el conjunto de los números racionales es ℚ = {𝑏 ∶ 𝑎 ∈ ℤ 𝑦 𝑏 ∈ ℤ − {0}} .
Algunas observaciones de los números racionales:
𝑎
Observación 1: Si un número racional es 𝑏 , a es llamado numerador y b denominador.
Observación 2: Las fracciones son solamente los números pertenecientes a ℚ+ , es decir los racionales positivos.
𝑎
0
Observación 3: El denominador de un racional no puede ser 0 debido a que si = 𝑘, por definición de división 𝑘 ∙ 0 = 0
y no a, por lo tanto:
𝑎
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
0
0
Observación 4: = 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 = ∞, debido a que todo número multiplicado por 0 da 0.
0
𝑎
1
𝑎
1
Observación 5: Los números enteros en los racionales son de la forma , debido a que = 𝑎.
Propiedades de los Racionales con respecto a la suma y la multiplicación:
Propiedades de los Racionales (ℚ)
con respecto a la suma (+)
Clausura o Cerradura:
La suma de dos racionales es un racional.
Conmutatividad:
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, con 𝑎 ∈ ℚ, y 𝑏 ∈ ℚ
Ejemplo sea:
1
2
𝑎 = 2 y 𝑏 = 3, se tiene que:
1 2 3+2∙2 3+4 7
𝑎+𝑏 = + =
=
=
2 3
6
6
6
2 1 2∙2+3 4+3 7
𝑏+𝑎 = + =
=
=
3 2
6
6
6
Asociatividad:
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), con 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℚ
Elemento Neutro Aditivo
Existe un único número racional (el 0) tal que al sumar el
neutro (el 0) por un número racional x se obtiene el
mismo número x.
Es decir: 0 + x = x + 0 = 0
Elemento Inverso Aditivo
Propiedades de los Racionales (ℚ)
con respecto a la multiplicación ( ∙ )
Clausura o Cerradura:
La multiplicación de dos racionales es un racional.
Conmutatividad:
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎, con 𝑎 ∈ ℚ, y 𝑏 ∈ ℚ
Ejemplo sea:
1
2
𝑎 = 2 y 𝑏 = 3, se tiene que:
1 2 1∙2 2 1
𝑎𝑏 = ∙ =
= =
2 3 2∙3 6 3
2 1 2∙1 2 1
𝑏𝑎 = ∙ =
= =
3 2 3∙2 6 3
Asociatividad:
(𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐), con 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℚ
Elemento Neutro Multiplicativo
Existe un único número racional (el 1) tal que al
multiplicar el neutro (el 1) por un número racional x se
obtiene el mismo número x.
Es decir: 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 ∙ 1 = 𝑥
Elemento Inverso Multiplicativo
Existe un único número racional 𝑥 ′ para un racional 𝑥
Existe un único número entero a’ para un entero a que talque 𝑥 ∙ 𝑥 ′ = 𝑥 ′ ∙ 𝑥 = 1.
cumple la siguiente propiedad:
Ejemplo 1:
3
a’ + a = a + a’ = 0.
Si el racional es 5 se tiene que:
3 ′
∙𝑥 =1
Es decir la suma de los racionales es igual al neutro
5
aditivo.
5
𝑥′ =
3
𝑎
𝑎
−𝑎
𝑎
𝑎
𝑏
El elemento inverso aditivo de es − =
= .
En general si el racional es su inverso multiplicativo es .
𝑏
𝑏
𝑏
−𝑏
𝑏
𝑎
Ejemplo 2:
Comprueba lo anterior resolviendo:
Si el racional es a la vez un entero, en este caso 4.
4 ∙ 𝑥′ = 1
3
3
1
1. − 4 + 4 =
=
𝑥′ =
4
1
En
general
si
el
racional
es
𝑎
su
inverso multiplicativo es 𝑎.
2
2
2. 5 − 5 =
=
Observación:
Si el racional es el entero 0, este es el único numero que
−4
4
3. 3 + 3=
=
no tiene inverso multiplicativo.
Por el ejemplo 2 el inverso multiplicativo de 0 tendría que
1
ser 0 pero esta expresión no tiene solución.
Los Números Irracionales (𝕀)
𝑎
Son todos aquellos números que no pueden escribirse de la forma 𝑏 donde 𝑎 ∈ ℤ 𝑦 𝑏 ∈ ℤ − {0}y además su
notación decimal es infinita y no posee periodo o semiperiodo.
En general los números que pertenecen a este conjunto son:
1. Todas las raíces cuadradas, cubicas, etc., que son inexactas
Ejemplo:
3
√2 , √3, √5, √7,
4
,
√3
2√3
2. Otros números irracionales son los que se citan a continuación:
El número Pi, cuyo símbolo es 𝜋 y cuya aproximación decimal de 25 cifras después de la coma es
3.1415926535897932384626433… . Como se puede observar 𝜋 no tiene un período para escribirlo de la forma
𝑎
𝑏
donde
𝑎 ∈ ℤ 𝑦 𝑏 ∈ ℤ − {0}.
El número de Euler o Constante de Napier (lo usaremos en la Unidad de Logaritmos) cuyo símbolo es e también es
irracional y su aproximación de 25 cifras decimales es 2.7182818284590452353602874 y al igual que 𝜋 carece de
período.
El número de oro o de la proporción aurea, también llamado Phi y cuyo símbolo es Φ es igual a
1+√5
2
y su aproximación
de 25 cifras decimales es 1.6180339887498948482045868.
Este número recibe su nombre por el arquitecto griego Fidias.
Propiedades de los Irracionales con respecto a la suma y la multiplicación:
Propiedades de los Racionales (𝕝)
con respecto a la suma (+)
Clausura o Cerradura:
La suma de dos irracionales no siempre resulta ser un
número irracional.
Ejemplo: Sea el irracional √7 y el irracional -√7, la suma
de ambos es igual a:
√7 + −√7 = √7 − √7 = 0.
Por tanto no hay clausura en la suma siempre.
Conmutatividad:
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, con 𝑎 ∈ 𝕝, y 𝑏 ∈ 𝕝
Asociatividad:
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), con 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝕝
Elemento Neutro Aditivo
No hay elemento neutro aditivo en los irracionales
porque: ________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
Propiedades de los Irracionales (𝕝)
con respecto a la multiplicación ( ∙ )
No siempre la multiplicación de dos irracionales es igual a
un número irracional.
Ejemplo: Sea el irracional √6 se tiene que:
√6 ∙ √6 = √36 = 6
Y 6 no es un número irracional es un racional.
Por lo tanto no hay clausura en la multiplicación de
irracionales.
Conmutatividad:
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎, con 𝑎 ∈ 𝕝, y 𝑏 ∈ 𝕝
Asociatividad:
(𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐), con 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝕝
Elemento Neutro Multiplicativo
No hay elemento neutro multiplicativo en irracionales
porque: ________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
Elemento Inverso Aditivo.
Para que existan elementos inversos aditivos debe existir
de antemano un neutro aditivo, por tanto no hay inversos
aditivos.
Elemento Inverso Multiplicativo
Para que existan elementos inversos multiplicativos debe
existir de antemano un neutro multiplicativo, por tanto no
hay inversos multiplicativos.
Como es posible observar los irracionales carecen de ciertas propiedades que si cumplían los racionales, esto es debido
a que los irracionales son un conjunto disjunto de los racionales (la intersección de sus elementos es igual al conjunto
vacío) como se observa en el siguiente esquema.
ℕ
ℕ0
ℤ
ℚ
𝕀
Números Reales (ℝ)
La unión de los números racionales y los irracionales formarán un nuevo conjunto el cual llamaremos el Conjunto de los
Números Reales. Es decir ℝ = ℚ ∪ 𝕀.
Propiedades de los Reales con respecto a la suma y la multiplicación:
Propiedades de los Racionales (ℝ)
con respecto a la suma (+)
Clausura o Cerradura:
La suma de dos reales resulta un número real.
Conmutatividad:
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, con 𝑎 ∈ ℝ, y 𝑏 ∈ ℝ
Asociatividad:
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), con 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ
Elemento Neutro Aditivo
∀𝑎 ∈ ℝ, se tiene que el elemento neutro aditivo (0)
cumple que a + 0 = 0 + a = a.
Elemento Inverso Aditivo.
∀𝑎 ∈ ℝ se cumple que su elemento inverso aditivo es – 𝑎,
y que además 𝑎 + −𝑎 = −𝑎 + 𝑎 = 0
Propiedades de los Irracionales (ℝ)
con respecto a la multiplicación ( ∙ )
Clausura o Cerradura:
La multiplicación de dos reales resulta un número real.
Conmutatividad:
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎, con 𝑎 ∈ ℝ, y 𝑏 ∈ ℝ
Asociatividad:
(𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐), con 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ
Elemento Neutro Multiplicativo
∀𝑎 ∈ ℝ, se tiene que el elemento neutro multiplicativo (1)
cumple que a ∙ 1 = 1 ∙ a = a.
Elemento Inverso Multiplicativo
∀𝑎 ∈ ℝ − {0} se cumple que su elemento inverso
1
1
1
multiplicativo es , y que además 𝑎 ∙ = ∙ 𝑎 = 1
𝑎
𝑎
𝑎
El esquema de los números reales sería el siguiente:
ℝ
ℕ0
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
Los Números Imaginarios (𝕀𝕀)
Son aquellos números resultantes de raíces cuyo índice es un número par y el valor subradical (dentro de la raíz)
es un número negativo.
10
4
Ejemplo: √−1, √−2, √−8, √−9, √−6,
√−1003
La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de -1 y se simboliza como 𝒾. Es decir √−1 = 𝒾.
De lo anterior lo números imaginarios pueden escribirse la de la forma que sigue:
√−4 = √4 ∙ √−1 = 2𝒾
Ejemplo 2:
√−7 = √7 ∙ √−1 = √7𝒾
El esquema que representa la relación entre los Reales y los Imaginarios es el que sigue:
Ejemplo 1:
ℕ
ℕ
ℝ
ℚ
ℤ
0
𝕀𝕀
𝕀
Números Complejos (ℂ)
Son los números resultantes de la suma entre un número real y un número imaginario, es decir:
ℂ = {𝑎 + 𝑏𝑖 ∶ 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑖 = √−1}
Ejemplo: 54 + 2𝑖, −2 + 34𝑖, −5 + 4𝑖
El esquema de los Números Complejos es el siguiente:
ℕ
ℕ0
ℤ
ℚ
ℂ
ℝ
𝕀𝕀
𝕀
Observación: Según ciertos valores que tomen a y b en un número complejo se pueden obtener los siguientes
esquemas:
Esquema 1: Si en un complejo de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖, se tiene que b = 0, entonces el número es 𝑎 + 0𝑖 = 𝑎, el cual
pertenece a ℝ (llamados también complejos reales) como indica el esquema.
ℕ
ℕ0
ℤ
ℚ
ℂ
ℝ
𝕀𝕀
𝕀
Esquema 2: Si en un complejo de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖, se tiene que a = 0, entonces el número es 0 + 𝑏𝑖 = 𝑏𝑖, el cual
pertenece a 𝕀𝕀 (llamados también complejos imaginarios), como indica el esquema.
ℕ
ℕ0
ℤ
ℚ
ℂ
ℝ
𝕀𝕀
𝕀
Esquema 3: Si en un complejo de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖, se tiene que a y b son distintos de 0, los números pertenecen a los
complejos.
ℕ
ℕ0
ℤ
ℚ
ℂ
ℝ
𝕀
𝕀𝕀
Los Números Complejos e Imaginarios serán trabajados con mayor profundidad en la unidad de raíces y de ecuaciones
de segundo grado.
Otras Propiedades en los Números Reales (ℝ)
No olvidar de ahora en adelante que al hablar de los ℝ significa que en forma implícita las propiedades que
mencionemos la cumplen los ℕ, ℕ0 , ℤ, ℚ e 𝕀.
Propiedad Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ siempre se cumple que:
Distributividad a la izquierda
Distributividad a la derecha
(𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐
𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏 ∙ 𝑐
Ejemplo:
Sean los números 3, 4, 5 observemos que:
Distributividad a la izquierda
3 ∙ (4 + 5) = 3 ∙ 9 = 27
3 ∙ 4 + 3 ∙ 5 = 12 + 15 = 27
Distributividad a la derecha
(3 + 4) ∙ 5 = 7 ∙ 5 = 35
3 ∙ 5 + 4 ∙ 5 = 15 + 20 = 35
Propiedad de la Suma
La suma de dos números positivos es siempre igual a un número positivo. Es decir sean a > 0 y b > 0. Se tiene
que a + b > 0.
Ejemplo: 3 + 7 = 10 > 0
1
2
5+ =
5∙2+1
2
=
11
2
= 5,5 > 0
La suma de dos números negativos es siempre igual a un número negativo. Es decir sean a < 0 y b < 0. Se cumple
que a + b < 0
Ejemplo: -4 +- 10 = -4 – 10 = -14 < 0
- 18 + - 20 = -18 – 20 = -38 < 0
Propiedad de la Multiplicación
La multiplicación de dos números positivos es siempre igual a un número positivo. Es decir sean a > 0 y b > 0. Se
cumple siempre que ab > 0.
Ejemplo 3 ∙ 6 = 18 > 0
La multiplicación de dos negativos es siempre igual a un número negativo. Es decir sean a < 0 y b < 0. Se cumple
que ab < 0.
Ejemplo: −5 ∙ −7 = 35 > 0
La multiplicación de un positivo y un negativo o un negativo y un positivo es siempre un negativo. Es decir sean
a < 0 y b > 0 o a > 0 y b < 0. Se tiene que ab < 0.
Ejemplo: −12 ∙ 7 = −60 < 0
25 ∙ −3 = −75 < 0
Propiedades de la Resta
La resta tiene ciertas observaciones que es necesario recalcar:
Ley de Clausura: La resta de dos números que pertenecen a un conjunto X sigue perteneciendo al
conjunto X. Analizaremos si esta ley se cumple en los diferentes conjuntos que hemos analizado en los
números reales.
ℕ y ℕ0 : La resta no cumple clausura en los naturales y en los cardinales..
Ejemplo: Sea los números 3 y 4 pertenecientes a los ℕ y ℕ0 .
Si realizamos la resta 4 – 3 se obtiene el resultado 1 cuyo valor pertenece a los ℕ y ℕ0 .
Pero si realizamos la resta 3 – 4 se obtiene como resultado -1 el cual no pertenece a los ℕ y ℕ0 : si no que
aℤ.
ℤ: La resta de dos enteros sigue dando un entero.
ℚ: La resta de dos racionales da un número racional.
𝕀: En la resta no siempre hay clausura (como sucedió en la suma)
Ejemplo sean el irracional √2 si se realiza la resta de el mismo se obtiene √2 − √2 = 0. Debemos
recordar que 0 es un racional y este no pertenece a los irracionales.
ℝ: Hay clausura en la resta para los números ℝ. No olvidemos que los números reales son la unión de los
racionales y los irracionales de manera tal que al restar se puede obtener un resultado en uno de los dos
conjuntos, y así se pueda cumplir la clausura.
En general se cumple la siguiente propiedad en la resta de los números ℝ y que es necesario conocer para
determinar si un número resultante de una resta es negativo, positivo o cero.
Sean dos números a y b positivos (pertenecientes a ℝ+ ) donde 𝑎 > 𝑏. Siempre se cumple que:
-
𝑎– 𝑏 > 0
Ejemplo 6 – 3 = 3 > 0
-
𝑏– 𝑎 < 0
Ejemplo 7 – 11 = − 4 < 0
Sean dos números a y b positivos (pertenecientes a ℝ+ ) donde 𝑎 = 𝑏. Siempre se cumple que:
-
𝑎– 𝑏 = 0
Ejemplo 5 – 5 = 0.
Sean dos números a y b negativos (pertenecientes a ℝ− ) donde 𝑎 > 𝑏. Siempre se cumple que:
-
𝑎– 𝑏 > 0
Ejemplo −4 − − 5 = − 4 + 5 = 1 > 0
-
𝑏– 𝑎 < 0
Ejemplo −6 − −2 = −6 + 2 = − 4 < 0
Sean dos números a y b positivos (pertenecientes a ℝ+ ) donde 𝑎 = 𝑏. Siempre se cumple que:
-
𝑎– 𝑏 = 0
Ejemplo −5 − − 5 = −5 + 5 = 0
Otras Observaciones sobre la resta.
La resta no es conmutativa en ℝ, por tanto no lo es en sus subconjuntos (ℕ, ℕ0 , ℤ, ℚ e 𝕀).
Ejemplo: Sean los números 7 y 10.
La resta de 7 – 10 = -3 y al revés 10 – 7 = 3, por lo tanto se dan dos diferentes resultados y por ello no hay
conmutatividad en la resta.
Observación: Cuando se realiza una comparación de conmutatividad se invierten los números y sus signos pero siempre
se conserva el signo del operador resta (el - )
Ejemplo: Sean los números 4 y -2.
La resta de 4 − − 2 = 4 + 2 = 6.
La resta al revés es – 2 – 4 = −6. Por lo tanto nuevamente se observa que la resta no es conmutativa.
La resta no es asociativa en ℝ.
Ejemplo: Sea los números 1, 2 y 3 que pertenecen a ℝ.
(1 – 2 ) – 3 = − 1 – 3 = − 4.
1 – (2 – 3 ) = 1 – (−1) = 1 + 1 = 2.
Elemento Neutro en la resta para ℝ.
No existe elemento neutro único en la resta.
No olvidemos que si un número x es neutro debe cumplir que para todo número a:
x – a = a – x = a.
Ejemplo: Sea el número 4. Busquemos el neutro x.
Caso 1: Si 4 está a la derecha del signo -.
x–4=4
x=4+4
x=8
Caso 2: Si 4 está a la izquierda del signo -.
4–x=4
-x=4–4
-x=0
x = 0.
Como se observa del análisis el neutro no es único, por lo tanto no existe neutro en la resta.
Elemento Inverso de la Resta para ℝ.
En la resta no es posible hallar un inverso debido a que no existe un elemento neutro para esta operación como se
determino anteriormente.
División de Números Naturales
Sean 𝑎 y 𝑏 dos números naturales con 𝑎 > 𝑏 donde 𝑎 se llama dividendo y 𝑏 divisor. Se tiene que el resultado
de 𝑎 dividido 𝑏 (que se denota 𝑎: 𝑏) es igual a dos números 𝑞 y 𝑟 donde 𝑞 se llama cociente y 𝑟 resto, los cuales cumplen
la siguiente condición junto al número 𝑎 y 𝑏.
𝑏 ∙ 𝑞 + 𝑟 = 𝑎, y además 0 ≤ 𝑟 < 𝑏
Ejemplo 1:
Sean los números 3 y 2 donde 3 será el divisor y 2 el dividendo:
3∶2=1
1
Es decir el cuociente es 1 y el resto es 1.
Comprobemos que se cumple la condición de división de números naturales:
2∙1 + 1=2+1=3
Ejemplo 2:
Sean los números 6 y 4 donde 6 será el divisor y 2 el dividendo:
6∶4=1
2
Comprobemos que se cumple la condición de división de números naturales:
4∙1 +2=4+1=6
Ejemplo 3:
Sean los números 3455 y 4 donde 3455 será el dividendo y 4 el divisor:
34′ 5′ 5′ : 4 = 863
- 32
----25
-2 4
---15
-12
----3
Comprobemos que se cumple la condición de división de números naturales:
863 ∙ 4 + 3 = 3452 + 3 = 3455
Ejemplo 4:
Sea el número 4560 y el número 4 donde 4560 es el dividendo y 4 es el divisor:
4′5′ 6′0′: 4 = 1160
-4
---05
- 04
---16
-1 6
----00
Comprobemos que se cumple la condición de división de números naturales:
1160 ∙ 4 + 0 = 4560
En la división el resto siempre se ubica en el intervalo 0 ≤ 𝑟 < 𝑏, es decir es cero o es menor al divisor.
Observación 1: Si el resto no es 0 entonces la división es inexacta y en este caso no se cumple clausura en ℕ.
Observación 2: Si el resto es igual a 0 entonces la división es exacta y en este caso se cumple clausura en los ℕ.
Divisores de un Número Natural
Se dice que un número natural a es un divisor de un número natural b si existe otro número natural c (único)
que cumple la siguiente condición: 𝑎𝑐 = 𝑏
Ejemplo:
1 ∙ 16 = 16
Sea el número 16, sus divisores son 1, 2, 4, 8, y 16 porque:
2 ∙ 8 = 16
4 ∙ 4 = 16
8 ∙ 2 = 16
16 ∙ 1 = 16
Observación 1: Todo número natural x es divisible por 1 y por el mismo número x.
Observación 2: El número 0 es divisible por cualquier número excepto el 0 (como se vio anteriormente)
Números Primos
Son aquellos números naturales que solamente tienen 2 divisores. En otras palabras los dos divisores son 1 y el
mismo número.
Observación 1: Uno no es primo porque el divisor es 1 y ninguno más.
Observación 2: Los números primos son infinitos y son un subconjunto de los naturales.
2
Algunos números primos son:
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47 …
Observación 3: El único número par que es primo es 2. Otra forma de decir lo anterior es que todos los números
pares excepto el 2 no son primos.
Máximo Común Divisor (M.C.D.)
Sean dos números a y b naturales y sean los conjuntos D(a) y D(b) de los divisores de a y b. De la intersección de
los dos conjuntos 𝐷(𝑎) ∩ 𝐷(𝑏) el elemento que sea el mayor número del conjunto será el Máximo Común Divisor de los
números a y b.
Ejemplo: Sean los números 16 y 24. El conjunto de divisores de ambos números son:
D(16) = {1, 2, 4, 8, 16} y D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Al obtener el conjunto intersección se tiene:
𝐷(16) ∩ 𝐷(24) = {1,2,4,8}
El mayor elemento del conjunto es 8, por lo tanto el Máximo Común Divisor de 16 y 24 es 8.
Observación 1: Si dos números a y b tienen como máximo común divisor el número 1, estos números reciben el
nombre de primos relativos.
Ejemplo: Sean los números 7 y 8. El conjunto de sus divisores son:
D(7) = {1,7} y D(8) = {1,2,4,8}. Se observa de la intersección 𝐷(7) ∩ 𝐷(8) = {1} que el máximo común
divisor de 7 y 8 es 1. Luego 7 y 8 son primos relativos.
Observación 1: Los primos relativos no necesariamente deben ser primos como se vio en el ejemplo anterior.
Observación 2: Dos números primos son primos relativos.
Reglas de División Exacta en los Naturales
Existen reglas para saber si un número es posible dividirlo por otro en forma exacta en los naturales sin
necesidad de recurrir a dividir.
Observación (estas reglas también funcionan para los enteros negativos)
Regla de División por 2:
Todo número natural es divisible por 2 si este es par.
Esta regla es equivalente a decir que todo número se divide por 2 en forma exacta si termina en 0,2,4,6,8.
Ejemplo: 4000, 5032, 568
Regla de División por 3:
Un número natural es divisible por 3 si la suma de sus cifras es también un número que se divide por 3.
Ejemplo: Sea el número 3453, la suma de sus cifras es 3 + 4 + 5 + 3 = 15, el cual se divide por 3, ya que 3 ∙ 5 =
15.
Ejemplo: Sea el número 4561, la suma de sus cifras es 4 + 5 + 6 + 1 = 16, el cual no se divide por 3, ya que 3 ∙ 5 +
1 = 15 + 1 = 16.
Regla de División por 4:
Un número natural es divisible por 4 si sus dos últimas cifras es un número que se divide por 4 o son dos 0
(ceros).
Ejemplo: El número 4540 es divisible por 4, dado que termina en 40 y además 4 ∙ 10 = 40
Ejemplo: El número 2000 es divisible por 4, dado que termina en 2 ceros.
Ejemplo: El número 6004 es divisible por 4, dado que termina en 04 y además 4 ∙ 1 = 4
00
40
76
En conclusión todos los números terminados en:
04
08
12
16
42
44
48
52
80
84
88
92
20
56
96
24
60
100
28
64
32
68
36
72
Se pueden dividir por 4 en forma exacta, es decir el resto que se obtiene es 0.
Regla de División por 5:
Un número es divisible por 5 si termina en 5 o en 0.
Regla de División por 6:
Un número es divisible por 6 si se divide por 2 y 3 al mismo tiempo. Es decir ese número debe cumplir la regla
de división por 2 y 3 al mismo tiempo.
Ejemplo: El número 456 es divisible por 6 debido a que:
Es par por tanto es divisible por 2.
La suma de sus cifras es 4 + 5 + 6 = 15 el cual se divide por 3 dado que 3 ∙ 5 = 15
Regla de División por 7.
Un número es divisible por 7 si se cumple:
Que el doble de la última cifra del número restado del número formado por los dígitos restantes da un número
que se divida por 7, entonces el número inicial es divisible por 7.
Ejemplo: Sea el número 693.
El número se dividiría en 69 | 3.
El doble de 3 es 2 ∙ 3 = 6 y de las cifras forman el número 69, luego 6 – 69 = - 63, el cual se divide por 7 porque
−9 ∙ 7 = 63.
Regla de División por 8.
Un número se divide por 8 si 3 últimas cifras se dividen por 8 o son tres ceros.
Ejemplo: El número 82024 es divisible por 8 debido a que termina en 024 el cual también se divide por 8, porque
8 ∙ 3 = 24.
Ejemplo: El número 5670000 es divisible por 8 debido a que termina en 3 ceros.
Regla de División por 9.
Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es también divisible por 9.
Ejemplo: El número 156762 es divisible por 9 dado que 1 + 5 + 6 + 7 + 6 + 2 = 27, el cual se divide por 9 dado
que 9 ∙ 3 = 27.
Regla de División por 10.
Todo número cuya última cifra es 0 se puede dividir por 10.
Múltiplo de un Número Natural
Sean dos números 𝑎 y 𝑏 ∈ ℕ, se dice que a es múltiplo de b, si existe un único número x ∈ ℕ que cumple la
condición que 𝑎 = 𝑏𝑥. En otras palabras si b divide a a entonces se obtiene resto 0.
Ejemplo: 16 es múltiplo de 8 porque 16 = 8 ∙ 2.
Ejemplo: 25 es múltiplo de 5 porque 25 = 5 ∙ 5.
Ejemplo: 14 no es múltiplo de 3 porque no existe un único x talque 14 = 3 ∙ 𝑥 y el resto sea igual 0.
Al realizar la división 14 : 3 el cuociente es 4 y el resto es 2 porque 3 ∙ 4 + 2 = 12 + 2 = 14.
Observación: Todo número natural es múltiplo de sí mismo.
Conjunto de los Múltiplos de un Número Natural
Sea un número x el conjunto de los múltiplos de x es por comprensión 𝑀(𝑥) = {𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝑛 = 𝑥 ∙ 𝑘, 𝑘 ∈ ℕ}. En
otras palabras el conjunto 𝑀(𝑥) por extensión es 𝑀(𝑥) = {𝑥, 2𝑥, 3𝑥, … }
Ejemplo: Los múltiplos de 4 son M(4) = { 4 ∙ 1, 4 ∙ 2, 4 ∙ 3, 4 ∙ 4, …} = {4, 8, 12, 16, …}
Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)
Sean a y b ∈ ℕ y los conjuntos M(a) y M(b) de los múltiplos de a y b. De la intersección 𝑀(𝑎) ∩ 𝑀(𝑏) el menor
elemento es el Mínimo Común Múltiplo de los Números a y b.
Ejemplo: Sean los números 3 y 4, los conjuntos de los múltiplos de ambos números son:
M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, … } y M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, 24, …}
La intersección de ambos conjuntos es 𝑀(3) ∩ 𝑀(4) = {12, 24,36,48, … } es decir los múltiplos de 12 y el
menor número de este conjunto es 12 el cual es el Mínimo Común Múltiplo de 3 y 4.
Método de los Divisores primos para hallar el Mínimo Común Múltiplo
De dos o más números.
Supongamos que deseamos hallar el mínimo común múltiplo de 3, 8, 7, 10. Una opción sería determinar por
extensión los conjuntos de los múltiplos de cada número y encontrar en la intersección de los conjuntos el menor
número. Pero en casos como estos este procedimiento es lento, en cambio el método que se ejemplifica a continuación
es fácil y de rápida realización.
Paso 1: En una tabla como Paso 2: En el espacio Paso 3: Se divide en forma Paso 4: Si es posible dividir
la que sigue se escriben los marcado con un círculo se exacta los números de la por 2 (o cualquier divisor
números a calcular su escribe el menor primo que izquierda (por el divisor primo) este se anota
mínimo común múltiplo.
divida al menos uno de los primo
hallado) y el nuevamente debajo del
números dados.
cuociente se escribe debajo divisor primo anterior.
3 - 8 - 7 - 10
del dividendo respectivo.
3 - 8 - 7 - 10 2
3 - 6 - 7 - 10 2
3 - 8 - 7 - 10 2
3
4
7
5 2
3
4
7
5
3
2
7
5 2
3
1
7
5
Si en uno de los números En el caso de que el El procedimiento de dividir
de la izquierda hay un par, número de la izquierda no por el mismo divisor primo
el primo divisor inicial se pueda dividir por el se realiza hasta que el
siempre es 2. En caso divisor primo este se vuelve cuociente de la izquierda
contrario 3, 5, 7, … según a escribir, debajo de sí sea 1 o hasta que no se
corresponda
mismo.
pueda dividir más por 2 u
otro factor primo.
Paso 5: Si no es posible
3 - 8 - 7 - 10 2
Paso 6: Los pasos de dividir Paso 7: Todos los divisores
dividir por el primo 2, se
3
4
7
5 2
por divisores primos finaliza de
la
derecha
son
divide por el resto de
3
2
7
5 2
cuando
todos
los multiplicados y el valor que
números primos (3, 5, 7, 11,
3
1
7
5 3
cuocientes en la tabla son se obtenga es el Mínimo
…) según corresponda. El
1
1
7
5 5
1.
Común Múltiplo buscado.
nuevo divisor se coloca
1
1
7
5 7
En este caso:
debajo del primor divisor
1
1
1
1
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 840
Por lo tanto el M.C.M. de 3,
usado las veces necesarias
5, 7 y 8 es 840
Descomposición Prima de un número Natural.
Todo número natural 𝑥 ≥ 2 es posible escribirlo como la multiplicación de números primos.
Ejemplo: Sea el número 24 encontrar su descomposición prima.
Para lo anterior se intenta dividir el número por el menor primo, es decir 2, de no ser así por 3, 5, 7, 11, … según
corresponda.
24 : 2 = 12
El cuociente obtenido si es posible se vuelve a dividir por 2 y en caso contrario por 3, 5, 7, 11, etc.
En resumen la división a realizar es la que se ve a continuación.
24 : 2 = 12
12 : 2 = 6
6:2=3
3:3=1
El procedimiento finaliza hasta obtener como cuociente final 1.
Luego se anotan todos los divisores empleados, que en el ejemplo anterior han sido marcados con una elipse.
Luego la descomposición prima de 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3
Problemas donde se use el concepto de
Máximo Común Divisor
Manuel es encargado del diario mural en su curso y el desea en una cartulina de 12 cm de largo y 9 de ancho
colocar las fotografías de la directiva del curso. Si las fotografías son de forma cuadrada ¿Cuál es el mayor tamaño que
pueden tener las fotos? ¿Cuántas fotos serán pegadas en la cartulina?
Solución: Como se desea dividir el largo y ancho de la cartulina en segmentos de mayor e igual tamaño debemos
encontrar el máximo común divisor de 12 y 9 cm.
El conjunto de divisores de 12 y 9 son:
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12,}
y
D(9) = {1, 3, 9}. De la intersección de ambos conjuntos 𝐷(9) ∩ 𝐷(12) = {1,3}
el mayor elemento es 3, quien es el máximo común divisor de 12 y 9.
Con lo anterior solucionamos la primera pregunta:
- ¿Cuál es el mayor tamaño que pueden tener las fotos?
Respuesta: El mayor tamaño de cada fotografía será de 3x3 cm.
Para saber cuántas fotografías se usarán en la cartulina el largo y ancho se dividen por 3 para conocer cuantas
fotografías caben en el largo y ancho de la cartulina.
12 : 3 = 4 (es decir caben 4 fotografías por el largo)
9 : 3 = 3 (es decir caben 3 fotografías por el ancho)
El total de fotografías es la multiplicación de los números hallados anteriormente, 4 ∙ 3 = 12.
Con lo realizado anteriormente solucionamos la segunda pregunta.
- ¿Cuántas fotos serán pegadas en la cartulina?
Respuesta: Doce fotografías serán pegadas en la cartulina.
Un esquema de lo anterior se visualiza abajo.
3 cm
3 cm
9 cm 3 cm
3 cm
12 cm
3 cm
3 cm
3 cm
Problemas donde se use el concepto de mínimo común múltiplo
En la comuna de Quillón las verdulerías “Negro el Caribe”, “El Vergel” y “La Mayuca” cada 4,6 y 8 días
respectivamente compran en la Vega Central de Concepción sus suministros de venta. Si los empleados de las 3 tres
verdulerías coinciden un día lunes en ir a comprar a la Vega Central. ¿En cuántos días más se volverán a juntar a
comprar? ¿En qué día de la semana se juntarán?
Para dar solución debemos encontrar el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 días. A través del método de
divisores de primos se obtiene:
4 - 6 - 8 2
2
3
4 2
1
3
2 2
1
3
1 3
1
1
1
Que el mínimo común múltiplo buscado es 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 días.
Con lo anterior se resuelve la pregunta uno.
- ¿En cuántos días más se volverán a juntar a comprar?
Respuesta: Las tres verdulerías se juntarán a comprar en la Vega en 24 días más.
Para conocer en qué día de la semana se juntarán nuevamente a comprar podemos recurrir al siguiente análisis.
- Si el número de días se divide por 7 (una semana es igual a 7 días) y el resto de la división es cero se encuentran
un mismo día que se encontraron inicialmente (en el ejemplo sería lunes)
- Si el número de días se divide por 7 (una semana es igual a 7 días) y el resto no es cero, el valor que se
encuentre se le suma al día inicial y este sería el día buscado.
Ejemplo: Si el resto de la división es 3, se encontraran un día jueves, porque Lunes + 3 días = Jueves.
Para nuestro problema se recurre a resolver la siguiente división:
24 : 7 = 3
3
Como el resto de la división es 3 y viajaron inicialmente un día lunes, se encontrarán un día jueves los
empleados de las verdulerías de Quillón. Lo anterior responde la segunda pregunta del problema.
Propiedades de la División en ℝ
Cuando trabajemos con la división en ℝ no olvidemos que el denominador de ella no debe ser 0. Bajo esta premisa
observemos que cumple o no cumple la división.
La división no cumple clausura en los ℕ, ℕ0 𝑦 ℤ.
Ejemplo: Sea los números 1 y 2 ambos pertenecientes a ℤ.
Se tiene que 2 : 1 = 2 resultado que pertenece a ℤ.
Pero 1 : 2 = 0.5 cuya expresión no pertenece a ℤ sino que a ℚ.
La división en ℕ, ℕ0 𝑦 ℤ es cerrada o cumple la ley de clausura cuando el resto de la división es 0.
La división si cumple cerradura en ℚ, recordando que el dividendo (numerador) puede ser cualquier número ℚ y el
divisor (denominador) pertenece a ℚ − {0} es decir nunca debe ser 0.
La división no cumple cerradura en 𝕀.
Ejemplo sea el número 𝜋 ∈ 𝕀, se tiene que 𝜋: 𝜋 = 1 ∉ 𝕀.
La división en ℝ es cerrada siempre y cuando el denominador sea distinto de 0.
Conmutatividad:
La división no es conmutativa en ℝ.
Ejemplo:
Sean los números 12 y 2, se tiene que 12 ∶ 2 = 6 ≠ 2 ∶ 12 = 0,16̅
Asociatividad.
La división no es asociativa en ℝ.
Operador valor absoluto de un Número.
Sea un número x real cualesquiera, se define su valor absoluto de la forma que sigue: |𝑥| =
Ejemplo 1: Si 𝑥
Ejemplo 2: Si 𝑥
Ejemplo 3: Si 𝑥
Ejemplo 4: Si 𝑥
=
=
=
=
𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > 0
0, 𝑠𝑖 𝑥 = 0
−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
12, entonces |12| = 12
−3, entonces | − 3| = − − 3 = 3
−10, entonces | − 10| = − − 10 = 10
0, entonces |0| = 0
Subconjuntos Importantes
de los Números Naturales
El subconjunto de los sucesores de un número Natural
Este subconjunto se representa por comprensión como sigue:
𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ ∶ 𝑥 = 𝑛 + 1 , 𝑛 ∈ ℕ}
Es decir el sucesor de un número natural es aquel número que se le suma una unidad más a un número natural.
Ejemplo:
El sucesor de 10 es 11.
Ejemplo:
El sucesor de 20 es 21.
Observación: Todos los números naturales tienen un sucesor en los naturales.
El subconjunto de los antecesores de un número Natural
Este subconjunto se representa por comprensión como sigue:
𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∶ 𝑥 = 𝑛 − 1 , 𝑛 ∈ ℕ − {1}}
Es decir el antecesor de un número natural (excepto 1) es aquel número que se le resta una a un número
natural.
Ejemplo:
Ejemplo:
El antecesor de 40 es 39.
El antecesor de 20 es 19.
Observación: El único natural que no tiene antecesor natural es 1, porque 1 – 1 = 0 ∉ ℕ
El subconjunto de los Números Pares Naturales.
Este subconjunto se representa por comprensión de la forma que sigue:
𝑃 = {𝑥 ∈ ℕ ∶ 𝑥 = 2𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ}
Como el primer natural es 1, al escribir por extensión el conjunto P se obtiene:
𝑃 = {2 ∙ 1 , 2 ∙ 2 , 2 ∙ 3 , 2 ∙ 4 , … } = {2, 4, 6, 8, 10, 12, … }
El subconjunto de los Números Impares Naturales
Este subconjunto se representa por comprensión de la forma que sigue:
𝑃 = {𝑥 ∈ ℕ ∶ 𝑥 = 2𝑛 − 1 , 𝑛 ∈ ℕ}
Como el primer natural es 1, al escribir por extensión el conjunto P se obtiene:
𝑃 = {2 ∙ 1 − 1 , 2 ∙ 2 − 1 , 2 ∙ 3 − 1 , … } = {2 − 1, 4 − 1, 6 − 1, 8 − 1, 10 − 1, 12 − 1, … } = {1,3,5,7, … }
Sucesor Par de un Número Par Natural
Es aquel número par natural sucedido dos unidades a otro número par natural.
Ejemplo: Sea el par 14 su sucesor par es 16.
Antecesor Par de un Número Par Natural
Es aquel número par natural antecedido dos unidades a otro número par natural.
Ejemplo: El antecesor par de 18 es 16.
Observación: El único par natural que no tiene antecesor par es 2, porque 2 – 2 = 0 ∉ ℕ.
Sucesor Impar de un Número Impar Natural
Es aquel número impar natural sucedido dos unidades a otro número impar natural.
Ejemplo: Sea el impar 17 su sucesor impar es 19.
Antecesor Impar de un Número impar Natural
Es aquel número impar natural antecedido dos unidades a otro número impar natural.
Ejemplo: El antecesor impar de 13 es 11.
Observación: El único impar natural que no tiene antecesor impar es 1, porque 1 – 2 = -1 ∉ ℕ.
Los subconjuntos mencionados anteriormente pueden extenderse al conjunto de los números
Cardinales y de los Enteros. Para generalizar estudiaremos los Enteros:
El subconjunto de los sucesores de un número Entero
Este subconjunto se representa por comprensión como sigue:
𝑆 = {𝑥 ∈ ℤ ∶ 𝑥 = 𝑛 + 1 , 𝑛 ∈ ℤ}
Es decir el sucesor de un número natural es aquel número que se le suma una unidad más a un número natural.
Ejemplo:
El sucesor de 45 es 46.
Ejemplo:
El sucesor de -21 es -20, porque -21 + 1 = -20.
Observación: Todos los números enteros tienen un sucesor entero.
Observación: Todos los cardinales tienen un sucesor cardinal.
El subconjunto de los antecesores de un número Entero
Este subconjunto se representa por comprensión como sigue:
𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ ∶ 𝑥 = 𝑛 − 1 , 𝑛 ∈ ℤ}
Es decir el antecesor de un número entero es aquel número que se le resta una unidad a un entero.
Ejemplo:
El antecesor de 40 es 39.
Ejemplo:
El antecesor de -20 es -21, porque -20 – 1 = -21.
Observación: Todos los enteros tienen un antecesor entero.
Observación: El único cardinal que no tiene antecesor es 0, porque 0 – 1 = -1 ∉ ℕ0
El subconjunto de los Números Pares Enteros.
Este subconjunto se representa por comprensión de la forma que sigue:
𝑃 = {𝑥 ∈ ℤ ∶ 𝑥 = 2𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ} = {… , −12, −10, −8, −6, −4, −2,0,2,4, 6, 8, 10, 12, … }
El subconjunto de los Números Impares Enteros
Este subconjunto se representa por comprensión de la forma que sigue:
𝑃 = {𝑥 ∈ ℤ ∶ 𝑥 = 2𝑛 − 1 , 𝑛 ∈ ℤ} = {… , −11, −9, −7, −5, −3, −1,1,3,5,7,9,11, … }
Sucesor Par de un Número Par Entero
Es aquel número par entero sucedido dos unidades a otro número par entero.
Ejemplo: Sea el par 14 su sucesor par es 16.
Antecesor Par de un Número Par Entero
Es aquel número par entero antecedido dos unidades a otro número par entero.
Ejemplo: El antecesor par de 18 es 16.
Observación: El único par cardinal que no tiene antecesor par es 0, porque 0 – 2 = -2 ∉ ℕ0 .
Sucesor Impar de un Número Impar Entero
Es aquel número impar entero sucedido dos unidades a otro número impar natural.
Ejemplo: Sea el impar 17 su sucesor impar es 19.
Antecesor Impar de un Número impar Natural
Es aquel número impar natural antecedido dos unidades a otro número impar natural.
Ejemplo: El antecesor impar de 13 es 11.
Observación: El único impar cardinal que no tiene antecesor impar es 1, porque 1 – 2 = -1 ∉ ℕ0 .
UNIDAD 3
LOS NÚMEROS RACIONALES, FRACCIONES Y
SUS PROPIEDADES.
𝑎
Sabemos que todo número racional es aquel que se puede representar de la forma 𝑏 con 𝑎 ∈ ℤ y 𝑏 ∈ ℤ − {0}.
Sin embargo los números es posible también representarlos a través de una representación decimal.
Representación Decimal de
Un Número Racional
Todo número racional tiene una representación decimal la cual se obtiene de la división del numerador
(dividendo) y el denominador (divisor) que conforman el número racional.
5
Ejemplo 1: Sea el número racional 4 determinar su forma decimal.
Al desarrollar la división se obtiene:
5′ ∶ 4 = 1
-4
--1
Anteriormente decíamos en la división entera que el resultado terminaba hasta obtener un resto, sin embargo
al calcular decimales al cuociente se le agrega una coma (a partir de esa coma las cifras que siguen se llaman cifras
decimales) y a cada resto se le agrega un cero como potencia 10 para lograr continuar la división decimal.
Es decir
el ejercicio anterior continúa de la manera que se ilustra a continuación.
5′ ∶ 4 = 1,25
-4
--10
-08
-----20
-20
-----0.
Luego es posible concluir que el número racional
5
4
tiene una expresión decimal igual a 1,25.
Observación: Los valores que están a la izquierda de la coma decimal reciben el nombre de cifras enteras y las
que se encuentran a la derecha de la coma decimal reciben el nombre de cifras decimales.
Existen 3 tipos de representación decimal dependiendo de la cardinalidad de las cifras del decimal.
Número Decimal Finito.
Estos racionales se caracterizan por tener una cantidad finita de cifras decimales.
Ejemplo:
0,5
1,45
1,56789
1,2344
Número Decimal Infinito.
Estos números se caracterizan por:
Tener una cardinalidad infinita de cifras decimales.
Los números decimales se clasifican en tres tipos según la forma de los decimales.
Número Decimal Infinito Periódico
Número Decimal Infinito Semi - Periódico
Decimal Infinito sin Período (Estos números decimales no pertenecen a los racionales)
Número Decimal Infinito Periódico
Son aquellos números racionales cuyas cifras decimales presentan una iteración de sus valores (se repiten en
forma infinita).
Ejemplo 1:
0,33333333333333333333333333…….
Ejemplo 2:
0,45454545454545454545454545…….
Ejemplo 3:
2445,567056705670567056705670…..
El patrón de repetición de las cifras decimales recibe el nombre de período. En el ejemplo 1 el período es 3, en
el ejemplo 2 el período es 45 y en el ejemplo 3 el período es 5670.
Para no repetir tantas veces el período, y representar la infinitud, es posible dibujar arriba del período una raya
que simboliza que el número decimal tiene período infinito.
Ejemplo 1: 0,33333333333333333333333333……. = 0, 3̅
̅̅̅
Ejemplo 2: 0,45454545454545454545454545……. = 0, ̅45
Ejemplo 3: 2445,567056705670567056705670….. = 2445, ̅̅̅̅̅̅̅
5670
Número Decimal Infinito Semi - Periódico
Se caracteriza por tener un período pero además antes de este y después de la coma decimal tiene ciertas cifras
que no tienen período llamadas antiperíodo.
periodo
̅̅̅̅
Ejemplo: 34,40565656565656 …. = 34,4056
antiperíodo
Decimal Infinito sin Período.
𝑎
Son aquellos números decimales que no se pueden escribir de la forma 𝑏 con 𝑎 ∈ ℤ y 𝑏 ∈ ℤ − {0}, nos referimos
a los números irracionales.
Ejemplo:
√2 = 1.41421356237309504880168872420…
Un esquema que puede resumir lo anterior es el siguiente:
Tipos de Números Decimales
Decimal Finito:
Ejemplo: 0,567
Decimal Infinito Periódico:
Ejemplo: 4,555… = 4, 5̅
Números Racionales
̅̅̅̅
Decimal Infinito Semiperiódico: Ejemplo: 56,577898989… = 56,57789
Decimales Infinitos sin período: Ejemplo: √7 = 2.645751311064…
Números Irracionales
Observación 1: Los números enteros que son parte de los racionales tienen como representación decimal la
forma x,00000000… donde x es un número entero x cualquiera.
No olvidar que todo número racional se convierte en número decimal al dividir su numerador por su
denominador (distinto de cero).
Estructura de las cifras de un número decimal.
El siguiente esquema muestra el nombre de las cifras enteras y decimales de un número:
… 𝑎6 𝑎5 𝑎4 𝑎3 𝑎2 𝑎1 , 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑏5 𝑏6 …
unidad
décima
decena
centena
Unidad de mil
Unidad de diez mil
Unidad de cien mil
centésima
milésima
Diez milésima
Cien milésima
Millonésima
Aproximación por Redondeo de un Número Decimal
Sea un número decimal de la forma … 𝑎6 𝑎5 𝑎4 𝑎3 𝑎2 𝑎1 , 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑏5 𝑏6 …, el aproximar por redondeo dicho
número decimal (finito o infinito) consiste en convertirlo en otro número decimal finito (diferente al inicial). Existen dos
maneras de aproximar según las cifras del número decimal.
Opción 1 de Redondeo: Si se desea redondear a una cifra decimal n y la cifra decimal n + 1 es mayor o igual a 5, a la cifra
n se le suma una unidad.
Ejemplo 1: Si se desea aproximar 𝜋 = 3,14159265 … a la milésima significa que nuestro nuevo número decimal
tendrá 3 cifras decimales y se debe observar la cuarta cifra decimal. La cuarta cifra decimal es 5, por tanto debemos
sumarle una unidad a la tercera cifra decimal. Luego 𝜋 aproximado a la milésima es igual 𝜋 ≈ 3,142.
Ejemplo 2: Si se desea aproximar el número 3,14299 a la diez milésima significa que el número decimal tendrá 4
cifras decimales y debemos observar la quinta cifra decimal. Como la quinta cifra decimal es 9 se le suma 1 a la cuarta
cifra decimal pero como esta es 9 se debe aproximar hasta una cifra decimal distinta de 9, en este caso 2 y a este
número se le suma una unidad, entonces el número aproximado será 3,143.
Observación: Se pedían 4 cifras decimales y si en las respuestas hay cifras de cuatro decimales entonces el
número aproximado es 3,1430.
Opción 2 de Redondeo: Si se desea redondear a una cifra decimal n y la cifra decimal n + 1 es menor que 5, a la cifra n se
conserva.
Ejemplo 1: Si se desea aproximar 𝜋 = 3,14159265 … a la centésima significa que nuestro nuevo número
decimal tendrá 2 cifras decimales y se debe observar la tercera cifra decimal. Como la tercera cifra decimal es 1, por
tanto la segunda cifra decimal se conserva. Luego 𝜋 aproximado a la centésima es igual 𝜋 ≈ 3,14.
Aproximación por Truncamiento de un Número Decimal
Sea un número decimal de la forma … 𝑎6 𝑎5 𝑎4 𝑎3 𝑎2 𝑎1 , 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑏5 𝑏6 …, el aproximar por truncamiento (o
truncar) dicho número decimal (finito o infinito) consiste en convertirlo en otro número decimal finito (diferente al
inicial) cortando el número a un cierto número de cifras sin alterarlas.
Ejemplo 1: Si se desea truncar el número √2 = 1.414213562 … a la centésima entonces el nuevo número
tendrá 2 cifras decimales, es decir √2 ≈ 1,41.
Ejemplo 2: Si se desea truncar el número 3,146565 a la milésima entonces el nuevo número tendrá 3 cifras
decimales, es decir 3,146565 ≈ 3,146.
Observación: Un número aproximado a través de redondeo o truncamiento no es igual al número original.
Ejemplo: Un alumno obtiene las siguientes calificaciones en Inglés: 6,5 ¿Cuál es su promedio?
Solución: Al resolver la expresión que calcula el promedio
6,5+6,5+5,5+6,5
4
=
6,5
25
4
-
5,5
-
6,5
= 6,25, las siguientes frases son
válidas como respuestas dentro de las alternativas:
- El promedio del alumno es 6,25 (esto quiere decir que se desea calcular el número exacto sin aproximar)
- El promedio aproximado por redondeo a la décima es 6,3 (la alternativa debe decir que se aproximo el número)
Por ningún motivo la alternativa diría:
- El promedio es 6,3; debido a que dice que el número exacto es 6,3 lo cual es falso ya que ese es el resultado de
una aproximación y no es el número real de la división calculada (el cual es 6,25).
Observación: Se debe aproximar (redondear o truncar) solamente cuando se pida hacerlo.
Números Racionales Equivalentes.
Son aquellos números racionales que representan una misma cantidad (equivalente). Una manera de
comprobar que dos números racionales son equivalentes es efectuar la división entre numerador y denominador y
comprobar que se obtiene un mismo valor. Ejemplo:
1
2
y
8
16
son equivalentes porque su división es igual a 0,5 pero no
3
son equivalentes a 4 porque es igual 0,75.
Amplificación de Números Racionales.
El proceso de amplificar un número racional de la forma
racional equivalente de la forma
𝑎∙𝑛
,
𝑏∙𝑛
𝑎
𝑏
con 𝑎 ∈ ℤ y 𝑏 ∈ ℤ − {0}, consiste en buscar otro
con 𝑛 ∈ ℤ − {0}.
3
5
3
5
Por ejemplo: Sea el número racional . Un racional equivalente a es por ejemplo
6
10
=
3∙2
.
5∙2
3
Existen infinitos racionales equivalente a 5 estos son:
6
10
9
12
15
18
3𝑛
= 15 = 20 = 25 = 30 = ⋯ = 5𝑛.
𝑛
Observación 1: El proceso de amplificar no altera el valor del racional porque 𝑛 = 1 (𝑛 ∈ ℤ − {0}) y no olvidemos que 1
es el neutro multiplicativo en ℚ.
Simplificación de Número Racionales.
El proceso de simplificar un número racional de la forma
racional equivalente de la forma
𝑎:𝑛
,
𝑏:𝑛
𝑎
𝑏
con 𝑎 ∈ ℤ y 𝑏 ∈ ℤ − {0}, consiste en buscar otro
con 𝑛 ∈ ℤ − {0}.
El proceso de simplificar es válido de realizar siempre y cuando n divida al mismo tiempo a a y a b.
Ejemplo: Sea el racional
8
6
8:2
4
, un racional equivalente al dividir por 2 el numerador y el denominador es 6:2 = 3
Ya no es posible simplificar por otro número más dado que 4 y 3 son primos relativos y su máximo común
divisor es 1.
Ejemplo: Sea el racional
12
,
16
un racional equivalente al dividir por 2 el numerador y el denominador es
6
6:2
12:2
16:2
6
8
= .
3
Podemos ver que aun es posible simplificar por 2, es decir 8 = 8:2 = 4 .
Ya no es posible simplificar por otro número más dado que 3 y 4 son primos relativos y su máximo común
divisor es 1.
Observación 1: El último número racional obtenido de la simplificación (el que no se puede simplificar más)
recibe el nombre de número racional irreducible.
Observación 2: El número racional irreducible se obtiene cuando el numerador y el denominador del racional
son primos relativos.
Conversión de Numero Decimal a Racional.
Decimal Finito:
Sea un número decimal 𝑎1 𝑎2 𝑎3 … 𝑎𝑛 , 𝑏1 𝑏2 𝑏3 … 𝑏𝑚 de n cifras enteras y m cifras decimales periódicas. Su
conversión a número racional es de la forma que sigue.
Se anota el número sin coma en el numerador
𝑎1 𝑎2 𝑎3 … 𝑎𝑛 , 𝑏1 𝑏2 𝑏3 … 𝑏𝑚 =
𝑎1 𝑎2 𝑎3 …𝑎𝑛 𝑏1 𝑏2 𝑏3 …𝑏𝑚
10000….0
El denominador es una potencia de 10 con
(m ceros)
tantos ceros como cifras decimales hallan.
De ser posible el racional debe ser simplificado a un racional irreducible (o a algún racional equivalente que se
adecue a la respuesta de una pregunta).
05
5:5 1
Ejemplo 1: Sea el número 0,5 su conversión a racional irreducible es: 0,5 = 10 = 10:5 2.
175
175:25
7
Ejemplo 2: Sea el número 1,75 su conversión a racional irreducible es: 1,75 = 100 = 100:25 = 4
Decimal Infinito Periódico
Sea un número decimal periódico de la forma 𝑎1 𝑎2 𝑎3 … 𝑎𝑛 , ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑏1 𝑏2 𝑏3 … 𝑏𝑚 su conversión a racional es de la forma
que sigue:
En el numerador se anota el número
sin coma decimal y se resta el número
𝑎1 𝑎2 𝑎3 …𝑎𝑛 𝑏1 𝑏2 𝑏3 …𝑏𝑚 −𝑎1 𝑎2 𝑎3 …𝑎𝑛
𝑎1 𝑎2 𝑎3 … 𝑎𝑛 , ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑏1 𝑏2 𝑏3 … 𝑏𝑚 =
entero.
9999…9
El denominador es un número de la
(m nueves)
forma 999…9 con tantos 9 como cifras
De ser posible el racional debe ser simplificado a un racional irreducible (odecimales
a algún racional
hallan. equivalente que se
adecue a la respuesta de una pregunta).
̅̅̅ su conversión a racional es la siguiente:
Ejemplo: Sea el número 3, ̅54
̅̅̅ =
3, ̅54
Es posible simplificar por 9, es decir
351:9
99:9
354 − 3 351
=
99
99
39
= 11 , la cual es irreducible porque 39 y 11 son primos relativos.
Decimal Infinito Semiperiódico:
Sea un número decimal 𝑎1 𝑎2 𝑎3 … 𝑎𝑛 , 𝑐1 𝑐2 𝑐3 … 𝑐𝑝 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑏1 𝑏2 𝑏3 … 𝑏𝑚 de n cifras enteras, m cifras decimales periódicas
y p cifras antiperiódicas. Su conversión a número racional es de la forma que sigue.
En el numerador se anota el número sin coma decimal menos el número formado
por las cifras enteras y antiperiódicas juntas de izquierda a derecha
𝑎1 𝑎2 𝑎3 … 𝑎𝑛 , 𝑐1 𝑐2 𝑐3 … 𝑐𝑝 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑏1 𝑏2 𝑏3 … 𝑏𝑚 =
𝑎1 𝑎2 𝑎3 …𝑎𝑛 ,𝑐1 𝑐2 𝑐3 …𝑐𝑝 𝑏1 𝑏2 𝑏3 …𝑏𝑚 −𝑎1 𝑎2 𝑎3 …𝑎𝑛 ,𝑐1 𝑐2 𝑐3 …𝑐𝑝
99999…900000…0
m nueves
p ceros
En el denominador se anota un número de la forma 99999…900000…0 con tantos 9
como cifras decimales periódicas hallan y tantos 0 como cifras antiperiódicas
hallan.
De ser posible el racional debe ser simplificado a un racional irreducible (o a algún racional equivalente que se
adecue a la respuesta de una pregunta).
̅̅̅̅ su conversión a forma racional es la que sigue:
Ejemplo: Sea el número 1,565
1565 − 15 1550
̅̅̅̅ =
1,565
=
990
990
Simplificando por 10 se obtiene
1550:10
990:10
=
155
.
99
Las Cuatro Operaciones y los Números Decimales Finitos
Suma de Decimales Finitos
Supongamos que deseamos resolver la siguiente suma 3 + 4,5 + 10,789
Para sumar decimales finitos se alinean los números en forma vertical dejando las comas una debajo de la otra.
Se agregan a los números decimales de menores cifras decimales tantos ceros como cifras falten para igualar a
los que tengan la mayor cantidad de cifras decimales, finalmente se suman las cifras en forma vertical.
Según lo anterior la suma anterior quedaría así:
3,000
4,500
+ 10,789
----------18,289
Resta de números decimales Finitos
Se procede de manera similar a la suma pero se resta solamente.
Multiplicación de números decimales Finitos
Supongamos que deseamos resolver la expresión 3,455 ∙ 2,4
Para multiplicar decimales se procede de la siguiente manera.
Paso 1: Se realiza una multiplicación obviando las comas.
3,455 ∙ 2,4
13820
+69100
82920
Paso 2: Se cuentan en ambos números decimales el numeros de cifras decimales. En este caso el total es 4 cifras
decimales (3 en el primer número y uno en el segundo número)
Paso 3: De derecha a izquierda se cuentan las cifras decimales contabilizadas anteriormente y se coloca la coma
en el resultado de la multiplicación del número decimal. En este caso el valor obtenido es 8,2990.
División de Números Decimales Finitos
Supongamos que deseamos dividir los valores 2,55 y 5 para ello realizaremos el siguiente procedimiento.
Paso 1: Se corre tantas veces la coma como la mayor cantidad de cifras decimales que tenga(n) los valores de la
división. En este caso 2.
Paso 2: Se agregan tantos ceros como veces falte para igualar la cantidad mayor de cifras decimales. En este
caso como 5 no tiene cifras decimales se agrega 2 ceros.
Paso 3: La división a realizar será:
2550 : 500 = 0,51
- 2500
500
-500
0
En el caso de que se deba operar entre decimales infinitos (periodicos o semiperiodicos) o decimales infinitos y
finitos, es recomendable transformar los decimales a su número racional correspondiente y asi operar con ellos.
Operaciones Con los Números Racionales
Suma de números Racionales.
Resta de números Racionales.
𝑎
𝑐
𝑎
𝑐
La suma de dos números racionales 𝑏 y 𝑑 con 𝑏, 𝑑 ≠ 0 es La resta de dos números racionales 𝑏 y 𝑑 con 𝑏, 𝑑 ≠ 0 es
igual a:
igual a:
𝑎 𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑎 𝑐 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
+ =
+ =
𝑏 𝑑
𝑏𝑑
𝑏 𝑑
𝑏𝑑
3
5
3
5
Ejemplo: Hallar la suma de 4 + 6 =?
Ejemplo: Hallar el valor de 4 − 6 =?
3
5
Solución: 4 + 6 =
3∙6+4∙5
24
=
18+20
24
38
38:2
19
= 24 = 24:2 = 12
3
5
Solución: 4 − 6 =
3∙6−4∙5
24
=
18−20
24
=
−2
24
=
−2:2
24:2
1
= − 12
Otra forma de resolver el ejercicio es que en el Otra forma de resolver el ejercicio es que en el
denominador se utilice el minimo comun multiplo de b y denominador se utilice el minimo comun multiplo de b y
d.
d.
𝑎 𝑐
𝑎𝑝 + 𝑏𝑞
𝑎 𝑐
𝑎𝑝 − 𝑏𝑞
+ =
− =
𝑏 𝑑 𝑀. 𝐶. 𝑀(𝑏, 𝑑)
𝑏 𝑑 𝑀. 𝐶. 𝑀(𝑏, 𝑑)
Donde
𝑀.𝐶.𝑀(𝑏,𝑑)
𝑏
=𝑝 y
𝑀.𝐶.𝑀(𝑏,𝑑)
𝑑
3
= 𝑞.
5
3
4
5
6
3∙3+5∙2
12
=
9+10
12
=
19
12
𝑀.𝐶.𝑀(𝑏,𝑑)
𝑏
=𝑝 y
𝑀.𝐶.𝑀(𝑏,𝑑)
𝑑
3
Ejemplo: Hallar la suma de 4 + 6 =?
Solucion: + =
Donde
= 𝑞.
5
Ejemplo: Hallar el valor de 4 − 6 =?
.
3
4
5
6
Solucion: − =
3∙3−5∙2
12
=
9−10
12
=
−1
12
.
Observación: Este segundo método evita que Observación: Este segundo método evita que
generalmente (no siempre) se deba simplificar luego de generalmente (no siempre) se deba simplificar luego de
encontrar la suma.
encontrar la resta.
Multiplicacón de Numeros Racionales
La multiplicación de dos números racionales
𝑎
𝑐
𝑎𝑐
División de Numeros Racionales
𝑎
𝑏
y
𝑐
𝑑
con La división de dos números racionales
𝑎
𝑏
𝑐
y 𝑑 con 𝑏, 𝑐, 𝑑 ≠
𝑎 𝑐
𝑎𝑑
𝑏, 𝑑 ≠ 0 es igual a 𝑏 ∙ 𝑑 = 𝑏𝑑. De ser posible hay que 0 es igual a
: = 𝑏𝑐 . De ser posible hay que
𝑏 𝑑
simplificar.
simplificar.
4 10
40
40:10
4
2 4
10
10:2
5
Ejemplo 1: ∙ = =
=
Ejemplo 1: 3 : 5 = 12 = 12:2 = 6
5 6
30
30:10
3
Ejemplo 2:
3 10
∙
5 3
=
30
15
=
30:15
15:15
Ejemplo 2:
2
1
= =2
3
:4
2
3 4
3∙1
3
= 2 : 1 = 2∙4 = 8
Número Racional Mixto.
𝑏
𝑏
Un número racional mixto es aquel de la forma 𝐴 𝑐 , con 𝑐 ≠ 0. Donde A es un entero y 𝑐 un racional irreducible.
𝑏
𝑏
El numero 𝐴 𝑐 = 𝐴 + 𝑐 =
𝐴𝑐+𝑏
.
𝑐
3
Ejemplo: Sea el número 5 2 =
5∙2+3
2
=
10+3
3
=
13
3
Orden en los Racionales
Sean dos números
1. Se tiene que
2. Se tiene que
3. Se tiene que
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑐
y
𝑑
𝑐
<𝑑
𝑐
>𝑑
𝑐
=𝑑
racionales:
⟺
𝑎𝑑 < 𝑏𝑐.
⟺
𝑎𝑑 > 𝑏𝑐.
⟺
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐.
3
1
Ejemplo 1: Si se desea el orden de los numeros racionales 4 y 2 se procede de la siguiente manera:
3
4
Se multiplican los extremos de los
racionales.
?
Se anotan ambos racionales y un
sigo de ? (no sabemos el orden)
1
2
3∙2 ? 1∙2
6 ? 2
6 > 2
Se comparan los valores obtenidos
3
4
Se desarrollan las multiplicaciones
1
>2
Observación 1: Sean dos racionales positivos de la forma
El signo de desigualdad obtenido se usa
en el mismo orden en los racionales
comparados inicialmente.
𝑎
𝑏
y
𝑎
𝑐
(Es decir dos números racionales positivos de
𝑎
𝑎
igual numerador pero de distinto denominador). Se tiene que si b < c entonces 𝑏 > 𝑐 .
En otras palabras cuando se tienen dos racionales positivos de igual numerador mientras más grande es el
denominador más pequeño es el número racional.
3
Ejemplo 1: Sean los racionales 5 y
3
9
3
3
por lo anterior 5 < 9 entonces 5 > 9.
Observación 2: Sean dos racionales negativos de la forma
𝑎
𝑏
y
𝑎
𝑐
(Es decir dos números racionales negativos de
𝑎
𝑏
𝑎
𝑐
igual numerador pero de distinto denominador). Se tiene que si b < c entonces < .
En otras palabras cuando se tienen dos racionales negativos de igual numerador mientras más grande es el
denominador más grande es el número racional.
3
3
3
3
Ejemplo 1: Sean los racionales − 5 y − 9 por lo anterior 5 < 9 entonces − 5 < − 9.
Observación 3: Sean dos racionales positivos de la forma
𝑎
𝑐
y
𝑏
𝑐
(Es decir dos números racionales positivos de
𝑎
𝑏
igual denomindador pero de distinto numerador). Se tiene que si a < b entonces 𝑐 < 𝑐 .
En otras palabras cuando se tienen dos racionales positivos de igual denominador mientras más grande es el
numerador más grande es el número racional.
5
Ejemplo 1: Sean los racionales 6 y
8
6
5
8
por lo anterior 5 < 8 entonces 6 < 6.
Observación 4: Sean dos racionales negativos de la forma
𝑎
𝑐
y
𝑏
𝑐
(Es decir dos números racionales negativos de
𝑎
𝑏
igual denominador pero de distinto numerador). Se tiene que si a < b entonces 𝑐 > 𝑐 .
En otras palabras cuando se tienen dos racionales negativos de igual denominador mientras más grande es el
numerador más pequeño es el número racional.
Ejemplo 1: Sean los racionales −
5
6
y −
8
6
5
6
por lo anterior 5 < 8 entonces − > −
8
6
Orden en los Números decimales
La manera de ordenar los números decimales es igual que al ordenar las palabras se comparan de izquierda a
derecha las cifras y la que tenga la menor cifra va en primer lugar y así en forma sucesiva.
̅̅̅ de
Ejemplo: Ordenas los siguientes números decimales 𝑎 = 0,5 ; 𝑏 = 0,53, 𝑐 = 0,5556, 𝑑 = 0, 5̅ y 𝑒 = 0, ̅52
menor a mayor.
Solución: Los números dados anteriormente se pueden escribir de las forma que sigue:
𝑎 = 0,5000
𝑏 = 0,5300
𝑐 = 0,5556
𝑑 = 0,5555 …
𝑒 = 0,5252 ….
Los números a, b y e tienen sus cifras enteras enteras (0) y su primera cifra decimal igual (5), pero la segunda
cifra decimal es diferente y como 0 < 2 < 3, el orden de los tres números sería 𝑎 < 𝑒 < 𝑏. Por otro lado c y d tienen
como segund cifra decimal el número 5 luego es mayor que los tres números a, b y c, pero como la segunda y tercera
cifra decimal es la misma en c y en d debemos comparar la cuarta cifra decimal de ambs que es distinta. Como 5 < 6 se
tiene que el orden entre c y d es 𝑑 < 𝑐.
Respuesta: El orden menor a mayor es a < e < b < d < c.
Observación: Si se piden comparar fracciones y decimales lo más recomendable es:
-
Transformar los decimales a fracciones y luego comparar fracciones.
Transformar las fracciones a decimales (con todas sus cifras) y luego comparar los decimales.
Fracciones
Las fracciones son un subconjunto de los numeros racionales. Son todos aquellos numeros racionales de la
𝑎
forma 𝑏 , con 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ.
Las fracciones son utilizadas para representar la particion de un entero. Es decir el denominador (b) indica el
numero de participaciones iguales en que se divide un entero y el numerador (a) indica el numero de particiones que se
tomaran o usaran del entero.
Fracciones Propias
Son aquellas fracciones en que el numerador a y el denominador b cumplen la siguiente condición:
a<b
𝑎
Las fracciones propias representan la partición de un solo entero dado que 0 < 𝑏 < 1.
Ejemplo: Una torta de forma cuadrada ha sido cortada en 4 partes iguales y de ella se han tomado 3 partes.
¿Cuál es la representación en fracción de la torta tomada? ¿Cuál es su representación gráfica?
3
La fracción es 4 y su representacioó gráfica es
Fracciones Impropias
Son aquellas fracciones en que el numerador a y el denominador b cumplen la siguiente condición:
a>b
𝑎
Las fracciones propias representan la partición de más de un entero dado que 𝑏 > 1.
Ejemplo: Supongamos que se tienen bidones de un litro con bencina y se han ocupado
5
4
de los bidones.
¿Cuántos litros se han ocupado? ¿Cuál es su representación gráfica?
5
Al dividir 4 es decir al traspasar el racional a su forma decimal se obtiene el 5 : 4 = 1,25. Es decir se han ocupado
1,25 litros.
Como en el número decimal 1,25 tiene como parte entera 1, quiere decir que se ha ocupado un bidón completo
1
4
1
4
y 0,25 que en fracción es , se concluye que en forma gráfica se ha ocupado un bidón completo y de un segundo bidón.
𝑥
La 𝑦 parte de un valor a.
𝑥
𝑥
Sea un valor a real, si se desea saber cual es su 𝑦 parte se debe multiplicar la fraccion por a. Es decir 𝑎 ∙ 𝑦 =
𝑎𝑥
.
𝑦
Ejemplo 1: Si una persona llama por teléfono en un InterOffice 3,2 horas al mes. ¿Cuánto tiempo consume en
llamadas?
1
La parte entera de las llamadas es 3, es decir 3 horas. La parte decimal es 0,2 lo cual equivale en fracción a 5.
Como una hora tiene 60 minutos debemos saber cual es la
1
5
1
(quinta) parte de 60 minutos. Luego 60 ∙ 5 =
60
5
= 12
minutos.
Respuesta: La persona habla al mes 3 horas y 12 minutos.
3
4
2
5
Ejemplo 2: Sofia ha usado las de las de su saldo en llamadas que es $12.000. ¿Cuánto dinero le queda para
hacer llamadas?
2
2
Solución: Primero se calcula las 5 del saldo para hacer llamadas. Es decir 5 ∙ $12000 =
3
2
3
3
Luego se calcula las 4 de las 5 (es decir las 4 de $4.800) por lo tanto 4 ∙ $4800 =
$14400
4
$24.000
5
= $4800.
= $3600.
Sofia ha usado $3.600 en llamadas luego le quedan $12.000 - $3.600 = $8400.
Respuesta: Sofia a usado $3600 en llamadas.
Ejemplo 3: Daniela ha comprado una botella de bebida de 3500 cc. A la hora de almuerzo junto a su famiia
3
consumen las 5 de la botella. Más tarde Daniela para saciar su sed consume la octava parte del contenido de la botella.
¿Cuántos centímetros cúbicos le quedan a la botella? ¿Cuántos litros no se han consumido?
3
Solución: Primero debemos saber cuánto consumió la familia de Daniela, que en este caso es 5 de la botella, es
3
decir 5 ∙ 3500𝑐𝑐 =
3500∙3
𝑐𝑐
5
=
10500
𝑐𝑐
5
= 2100𝑐𝑐.
Por lo tanto como la botella tiene 3500cc y restando lo consumido quedan 3500cc – 2100cc = 1400cc.
1
1
Daniela consume 8 del total de la botella es decir consume 8 ∙ 3500𝑐𝑐 =
3500∙1
𝑐𝑐
8
=
3500
𝑐𝑐
8
= 437,5𝑐𝑐 .
Luego como quedaban 1400cc y quitando lo que bebió Daniela quedan 1400cc – 437,5cc = 562,5cc.
Respuesta 1: Quedan 562,5 cc de la botella.
Para responder la segunda pregunta se tiene que 1 litro = 1000 cc, luego 562,5cc =
Respuesta 2: Quedan 0,5625 litros de bebida que no se han consumido.
562,5
1000
= 0,5625 litros.
Ejemplo 4: Daniela ha comprado una botella de bebida de 3500 cc. A la hora de almuerzo junto a su famiia
consumen las
3
5
de la botella. Más tarde Daniela para saciar su sed consume la octava parte de lo que queda de laa
botella. ¿Cuántos centímetros cúbicos le quedan a la botella? ¿Cuántos litros no se han consumido?
3
Solución: Primero debemos saber cuánto consumió la familia de Daniela, que en este caso es 5 de la botella, es
3
decir 5 ∙ 3500𝑐𝑐 =
3500∙3
𝑐𝑐
5
=
10500
𝑐𝑐
5
= 2100𝑐𝑐.
Por lo tanto como la botella tiene 3500cc y restando lo consumido quedan 3500cc – 2100cc = 1400cc.
1
1
1400
𝑐𝑐𝑐
8
Daniela consume 8 de lo queda (no del total) de la botella es decir consume 8 ∙ 1400𝑐𝑐 =
= 175𝑐𝑐
.
Luego como quedaban 1400cc y quitando lo que bebió Daniela quedan 1400cc – 175cc = 1225cc.
Respuesta 1: Quedan 1225 cc de la botella.
1225
Para responder la segunda pregunta se tiene que 1 litro = 1000 cc, luego 1225 cc = 1000 = 1,225 litros.
Respuesta 2: Quedan 1,225 litros de bebida que no se han consumido.
1
Ejemplo 5: Si de una cierta cantidad de dinero se ha gastado la octava parte y luego la 4 parte del total. ¿Qué
fracción del dinero sobra?
Solución: Como no se sabe cual es el total de dinero, se usa el número 1 como entero. Luego se ha gastado la
1
1
octava parte es decir 8 del total. Por lo tanto queda 1 − 8 =
8−1
8
7
= 8 del total del dinero.
1
7
1
Como se han gastado 4 del total esta cantidad se le resta a lo que quedo, es decir se calcula 8 − 4 =
7−2
8
5
= 8.
5
Respuesta la cantidad de dinero que queda es 8.
1
Ejemplo 6: Si de una cierta cantidad de dinero se ha gastado la octava parte y luego la 4 parte de lo que sobro.
¿Qué fracción del dinero sobra?
Solución: Como no se sabe cual es el total de dinero, se usa el número 1 como entero. Luego se ha gastado la
1
1
octava parte es decir 8 del total. Por lo tanto queda 1 − 8 =
1
de lo que sobra,
4
7
7
28−7
21
− 32 = 32 = 32.
8
Como se ha gastado
quedo, es decir se calcula
8−1
8
7
= 8 del total del dinero.
7 1
7
esta cantidad es igual a 8 ∙ 4 = 32 y esta cantidad se le resta a lo que
21
Respuesta la cantidad de dinero que queda es 32.
Ejemplo 7: ¿Cuántos decimos son igual al numero 2?
1
1
Solucion: Decimo es igual a 10. Y la pregunta es igual a saber cuanto vale 2: 10 =
2∙10
1
= 20
1
Respuesta: 10 cabe 20 veces en 2.
Todas las propiedades de operaciones, teoremas de orden, transformaciones (decimal y racional), aproximación
(por redondeo o truncamiento) y observaciones vistos para los números racionales son aplicables a las
fracciones.
Unidad 4: Razones y Proporciones
Variable: Es una característica que desea ser estudiada en una población.
Las variables pueden ser cuantitativas o cualitativas según el valor que estos tengan.
Variable Cuantitativa: Son variables que se expresan a través de cantidades numéricas.
Variable Cualitativa: Su valor es una palabra y expresa cualidades, características o modos.
Ya conociendo lo que es una variable realizaremos en esta unidad el estudio de las razones y proporciones.
Razones
Una razón es la comparación entre dos variables de igual magnitud y unidad de medida por medio de un
cuociente.
𝑎
Es decir sean 𝑎 y 𝑏 dos variables de igual magnitud “la razón de a es b” es igual a 𝑎 ∶ 𝑏 o también 𝑏 . Con 𝑏 ≠ 0.
La interpretación de la razón equivale a decir cuantás veces la primera variable contiene a la segunda variable.
El primer valor (numerador) recibe el nombre de antecedente y el segundo (denominador) de consecuente.
Ejemplo 1: En una escuela la razón de la cantidad de alumnos y alumnas es de 3 : 5.
Lo anterior quiere decir que por cada 3 varones (alumnos) hay 5 mujeres (alumnas) en la escuela.
Ejemplo 2: En un plano de una casa 1 cm equivale a 50 cm en la realidad.
Lo anterior establece que la razon entre los centimetros entre el plano y la realidad es de 1 : 50.
Ejemplo 3: La razón de pixeles que proyecta un monitor 4 : 3.
Ejemplo 3: En un mapa de Chile 1 cm equivale a 2 km de una carretera.
Como en las razones las magnitudes y unidades de medida deben deben ser iguales es necesario realizar una
conversión de cm a km o de km a cm según las alternativas que se presenten en el ejercicio.
Si fuese de km a cm, la razón sería 1 : 200000. Es decir 1 cm del mapa es a 200000 cm en la realidad.
Si fuese de cm a km, la razón sería 0,00001 : 2. Es decir 0,00001 km del mapa es igual a 2 km reales.
Observación 1: El cuociente en una razón es un valor numerico que carece de unidad de medida. Por eso es
importante que al comparar las variables estan sean de igual magnitud o unidad de medida.
Observación 2: Los valores de a y b pueden ser cualquier valor real, excepto para b ser 0. Para que no se
indetermine la división.
𝑎
𝑏
Observación 3: La razón 𝑏 no es equivalente a su razón recíproca 𝑎. Esto solo ocurre cuando a = b.
Razones Equivalentes
En ejercicios de razones es necesario al igual que los números racionales o las fracciones realizar una
amplificación o simplificación para obtener una razón equivalente (generalmente se hará uso de la amplificación). Es por
𝑎
𝑎𝑘
eso que la razón 𝑏 = 𝑏𝑘 con 𝑘 ≠ 0. Lo anterior se puede escribir como ak : bk.
Aplicación de las Razones
Ejemplo 1: En un curso el número de alumnos y alumnas esta en la razón de 3 : 2. Si en total hay 30 estudiantes
en el curso. ¿Cuántas alumnas hay?
Solución: Como la razón entre alumnos y alumnas es de 3 : 2 una razón equivalente es 3k : 2k. Luego como el
total de estudiantes en el curso es de 30 personas, se tiene que 3k + 2k = 30. Resolviendo la ecuación:
3k + 2k = 30
5k = 30
k=
30
5
k=6
Luego la razon equivalente entre alumnos y alumnas es de 3 ∙ 6 ∶ 2 ∙ 6 = 18: 12.
Respuesta: El numero de alumnas en el curso es de 12 personas.
Ejemplo 2: Dos numeros reales positivos se encuentran en la razon de 2 : 5. Si la diferencia negativa de ambos
numeros reales es igual -27. ¿Cuál es el numero mayor?
Solucion: Como los números están en la razon de 2 : 5 su razón equivalente es 2k : 5k. La diferencia negativa
entre ambos es igual 2k – 5k = -27. (en ese orden porque al ser 2 < 5 entonces 2k < 5k).
Resolviendo la ecuación se obtiene:
2k – 5k = - 27
-3k = - 27
k=
−27
−3
k=9
Como se desea el valor del número mayor se debe calcular 5 ∙ 9 = 45.
Respuesta: El número mayor es 45.
Ejemplo 3: Sean 2 números naturales que se encuentran en la razón 3 : 7. Si la suma de ambos números es igual
a 34. ¿Cuál es el valor del número menor?
Solución: Como lo números están en la razón 3 : 7 su razón equivalente es 3k : 7k. La expresión la suma de
ambos es 34 se traduce en la siguiente ecuación 3k + 7k = 34.
3k + 7k = 34
10k = 34
k=
34
10
k = 3,4
Al multiplicar 3,4 por por 3 (para calcular el número de menor valor) se obtiene el valor 3,4 ∙ 3 = 10,2. Pero se
sabe que 10,2 ∉ ℕ .
Por lo tanto no existen números naturales que esten en la razón 3 : 7 y que su suma sea 34.
Observación: Generalmente en la PSU ante una situación en la que no existe solución la alternativa puede decir:
No existe solución
No existe solución en … (aquí se específica un conjunto en el cual se trabaja la pregunta)
Ninguna de las Anteriores
Falta Información
Ejemplo 4: Sean tres números reales que se encuentran en la razón 2 : 3 : 5. Si se sabe que la suma entre ellos es
igual 99. ¿Cuál es el número mayor?
Solución: Como los números están en la razón de 2 : 3 : 5 la razón equivalente entre ellos es 2k : 3k : 5k. La
expresión de la suma entre ellos es 2k + 3k + 5k = 99 y su resolución es la que continua:
2k + 3k + 5k = 99
10k = 99
99
k = 10
k = 9,9
Al multiplicar 9,9 por 5 para obtener el número de mayor valor se obtiene que 9,9 ∙ 5 = 49,5.
Respuesta: El número de mayor valor es 49,5
Proporciones
Una proporción es la igualdad entre dos razones.
𝑎 𝑐
=
𝑏 𝑑
Observación: Al igualar dos razones se tiene los siguientes elementos en la proporción.
extremos
𝑎
=
𝑏
medios
medios
𝑐
𝑑
extremos
Teorema Fundamental de las Proporciones
El siguiente teorema nos permite saber cuando dos razones forman una proporcionan.
Dos razones
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
y estan en proporción si y solo si 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐.
𝑎
𝑐
En otras palabras 𝑏 y 𝑑 están en proporción si el producto de los medios es igual producto de los extremos.
3 5
7
Ejemplo 1: Sean las razones 4,
-
3
4
Primera Comprobación
9
y 12. ¿Cuáles de estás razones están en proporción?
5
y 7: Al aplicar el teorema se obtiene que 3 ∙ 7 = 21 y
5 ∙ 4 = 20. Como no hay
igualdad entre el prodoucto de los medios y el producto de los extremos entonces las razones no forman una
proporción.
-
Segunda Comprobación
3
4
y
9
:
12
Al aplicar el teorema se obtiene que 3 ∙ 12 = 36 y
9 ∙ 4 = 36. Como hay
igualdad entre el prodoucto de los medios y el producto de los extremos entonces las razones forman una
proporción.
-
Tercera Comprobación
9
5
y :
12 7
Al aplicar el teorema se obtiene que 9 ∙ 7 = 63 y
12 ∙ 5 = 60. Como no hay
igualdad entre el prodoucto de los medios y el producto de los extremos entonces las razones no forman una
proporción.
Observación: Las razones que forman proporciones son razones equivalentes.
Aplicación del Teorema Fundamental de las Proporciones
Ejemplo 1: Si a un número se le suma 2 unidades y a la vez se le resta 3 unidades de manera tal de obtener 2
números (en el orden dado inicialmente) que se encuentran en la razón de 3 : 4. ¿Cuál es el número?
Solución: Como no se conoce el número inicial le asignaremos la incógnita x. Se sabe que el primer valor es x + 2
(dado que se le sumo 2 unidades) y el otro valor es x – 3 (porque se le resto 3 unidades).
Luego se tienen dos razones
𝑥+2
𝑥+2
𝑥−3
, 3 : 4 como son equivalentes ellas forman una proporción la cual se denota
3
en la siguiente expresión 𝑥−3 = 4 .
Aplicando el Teorema Fundamental de las Proporciones se obtiene la siguiente ecuación:
4(𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 3)
4𝑥 − 8 = 3𝑥 − 9
4𝑥 − 3𝑥 = −9 + 8
𝑥 = −1.
Respuesta: El número buscado es -1.
Ejemplo 2: En el plano de una casa 2 cm son equivalentes a 50 cm de la realidad. Si una puerta dibujada tiene un
largo de 8 cm y un ancho de 2 cm. ¿Cuál es el perímetro real de la puerta?
Solución: Este ejercicio es posible resolverlo de dos maneras:
Método 1: A través de los lados.
Se tiene que la razón entre las medidas del plano y la realidad es 2 : 50.
Proporción para el largo real de la puerta.
Como la puerta en el plano tiene un largo de 8 cm y en la realidad se desconoce, entonces la razón entre largo
del plano y largo real es 8 : x.
Como las razones 2 : 50 y 8 : x son equivalentes se forma la siguiente proporción:
2
8
=
50 𝑥
Aplicando el Teorema Fundamental de las proporciones se obtiene:
2𝑥 = 50 ∙ 8
2𝑥 = 400
400
𝑥=
2
𝑥 = 200 𝑐𝑚
Luego el largo real de la puerta es 200 cm.
Proporción para el ancho real de la puerta.
Como la puerta en el plano tiene un ancho de 4 cm y en la realidad se desconoce, entonces la razón entre largo
del plano y largo real es 2 : y.
Como las razones 2 : 50 y 4 : y son equivalentes se forma la siguiente proporción:
2
2
=
50 𝑦
Aplicando el Teorema Fundamental de las proporciones se obtiene:
2𝑦 = 2 ∙ 50
2𝑥 = 100
100
𝑥=
2
𝑥 = 50 𝑐𝑚
Luego el ancho real de la puerta es 50 cm.
Un esquema de la puerta es el que muestra a continuación:
50 cm
200 cm
200 cm
50 cm
Sumando todos los perímetros el perímetro real de la puerta es 50cm + 200cm + 200cm + 50cm = 500cm
Método 2: Utilizando Proporción con los perímetros.
Existe un teorema y que repasaremos en la unidad de Geometría que dice:
Si dos figuras tienen todos sus lados proporcionales (forman razones equivalente) entonces sus perímetros
también son proporcionales (es decir forman una razón equivalente).
Utilizaremos el teorema anterior de la siguiente manera.
Paso 1: Calcular el perímetro de la puerta en el plano. Un esquema de la puerta en el plano es el que ve a
continuación:
2cm
8cm
8cm
2cm
El perímetro de la puerta en el plano es igual a 2cm + 2cm + 8cm + 8cm = 20cm.
Usando el teorema de proporción entre dos figuras, se formaría una proporción entre la razón de los lados de la
puerta 2 : 50 y la razón de los perímetros 20 : p, y como dice el teorema dos dos razones equivalentes y por ende
forman la siguiente proporción:
2
20
=
50
𝑝
Aplicando el teorema fundamental de las proporciones se obtiene:
2𝑝 = 50 ∙ 20
2𝑝 = 1000
𝑝 = 1000/2
𝑝 = 500𝑐𝑚
Respuesta: El perímetro real de la puerta es 500cm.
Ejemplo 2: Una pantalla de televisor se dice que es de resolución Widescreen cuando la razón de pixeles entre el
largo y el ancho es de 16 : 9. Si una persona tiene un televisor que genera una imagen de 1024 pixeles de largo.
¿Cuántos pixeles son de ancho?
Solución: Como se tiene una proporción entre la razón que genera una imagen Widescreen, en este caso 16 : 9,
y la razón entre el número de pixeles que genera un televisor, en este caso 1024 : x (se asigna al ancho x dado que es la
medida desconocida).
Luego como las razones son equivalentes se forma la proporción
16
9
=
1024
.
𝑥
Aplicando el teorema fundamental de las proporciones se obtiene la ecuación:
16𝑥 = 9216
9216
𝑥=
16
𝑥 = 576 𝑝𝑖𝑥𝑒𝑙𝑒𝑠
Respuesta: El televisor Widescreen genera 576 pixeles de imagen de ancho.
Ejemplo 3: Determinar el valor de x en cada una de las siguientes proporciones:
Ejemplo 3.1: ¿Cuánto vale x si
4
9
=
20
?
𝑥
Solución: Aplicando el teorema fundamental de las proporciones se obtiene:
4𝑥 = 20 ∙ 9
4𝑥 = 180
180
𝑥=
4
𝑥 = 45
Ejemplo 3.2: ¿Calcular el valor de z si
1
2
3
=
7
𝑧
?
̅
0,5
Solución: Primero se realizará una conversión a números racionales para facilitar los cálculos del ejercicio:
-
1
3 2 es igual
3∙2+1
2
=
6+1
2
7
= 2 y además 0, 5̅ en conversión a racional es igual a
Luego, la proporción dada es equivalente a
7
2
7
=
𝑧
5
9
5−0
9
5
= 9.
.
Resolviendo las divisiones de racionales en el lado izquierdo y derecho de la proporción se obtiene:
-
7
2
7
7
7
7
1
= 2 ∶ 1 = 14 = 2 y por otro lado
𝑧
5
9
𝑧 5
= 1:9 =
Por lo tanto la proporción ahora es equivalente a
9𝑧
5
1
2
=
9𝑧
5
y aplicando el Teorema Fundamental de las
Proporciones se obtiene:
5 ∙ 1 = 2 ∙ 9𝑧
5 = 18𝑧
5
=𝑧
18
5
Respuesta: El valor de 𝑧 es igual a 18.
Ejemplo 4: Sean 3 números reales a, b, c que cumplen la condición a : b = 2 : 3 y b : c = 9 : 10. Si los tres valores
al sumarse son igual a 150 ¿Cuánto vale c?
Solución: Se sabe que a : b = 2 : 3 luego su razón equivalente es a : b = 2k : 3k, es decir en forma independiente
a = 2k y b = 3k.
Por otro lado b : c representan otra razón no es posible usar la misma incognita k, sin embargo como b : c es
equivalente a 9 : 10 forman la siguiente proporción:
𝑏
9
=
𝑐 10
Ahora para que c pueda tener la incógnita k despejaremos c en la expresión anterior, usando el Teorema
Fundamental de las Proporciones:
9𝑐 = 10𝑏
10𝑏
𝑐=
9
Y recordemos que b = 3k (lo cual se expresó al inicio del problema) luego c es igual a:
10 ∙ 3𝑘
9
30𝑘
𝑐=
9
10𝑘
𝑐=
3
10𝑘
Por otro lado se sabe que a + b + c = 150 y como sabemos a = 2k, b = 3k y 𝑐 =
obteniendo la siguiente
𝑐=
3
ecuación:
10𝑘
= 150
3
6𝑘 + 9𝑘 + 10𝑘
= 150
3
6𝑘 + 9𝑘 + 10𝑘 = 450
15𝑘 = 450
450
𝑘=
15
𝑘 = 30
2𝑘 + 3𝑘 +
Respuesta: El valor de c es igual a
10∙30
3
=
300
3
= 100.
Ejemplo 5: Se sabe que 𝑝 y 𝑞 2 se encuentran en la razón de 2 : 3. Determinar el valor de p cuando q = 4.
Solución: Dado que 𝑝 y 𝑞 2 se encuentran en la razón 2 : 3, lo anterior es posible escribirlo a través de la
siguiente proporción:
𝑝
2
=
2
𝑞
3
Reemplazando por el valor de q = 4 (dado al final del enunciado del problema) se obtiene la ecuación:
𝑝
2
=
2
4
3
𝑝
2
=
16 3
Aplicando el Teorema Fundamental de las Proporciones y desarrollando la expresión se obtiene:
Respuesta: El valor de 𝑝 =
3𝑝 = 16 ∙ 2
3𝑝 = 32
32
𝑝=
3
32
.
3
Situaciones Especiales de Proporciones
Cálculo de la Cuarta Proporcional Geométrica:
SI todos los términos de una proporción son diferentes entonces cualquiera de ellos se denomina cuarta
proporcional geométrica.
3
𝑦
4
6
Ejemplo: Sea la proporción = . Determina su cuarta proporcional.
Se pide calcular el valor de y haciendo uso del Teorema Fundamental de las Proporciones se obtiene:
3 ∙ 6 = 4𝑦
18 = 4𝑦
18
=𝑦
4
9
=𝑦
2
9
Solución: La cuarta proporcional es 2.
Media Proporcional Geométrica:
Es cuando los extremos o los medios de una proporción son iguales y desconocidos, es decir hablamos de una
𝑎
𝑥
proporción del tipo 𝑥 = 𝑏 o
𝑥
𝑎
𝑏
= 𝑥.
Si aplicamos el Teorema Fundamental de las Proporciones en cualquiera de los dos casos se obtiene:
𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑎𝑏
𝑥 2 = 𝑎𝑏
𝑥 = √𝑎𝑏 ó 𝑥 = −√𝑎𝑏
Observación: La media proporcional geométrica es igual a la raíz cuadrada positiva o negativa (se adecua a la
respuesta de las alternativas) del producto de los términos conocidos de la proporción.
Ejemplo: Determinar la media proporcional geométrica positiva de la proporción 3 : x = x : 4.
Solución: Por lo señalado en la observación la media proporcional geométrica es igual a:
𝑥 = √3 ∙ 4
(se conserva el valor positivo dado que es valor que pide el ejercicio)
𝑥 = √12
En la unidad de raíces cuadradas veremos que √12 = √4 ∙ 3 = 2√3.
Tercera Proporcional Geométrica
Se aplica el cálculo de la tercera proporcional geométrica cuando en una proporción los medios son iguales y
conocidos y uno de los extremos es conocido o viceversa, es decir los extremos son iguales y conocidos y uno de los
medios conocidos.
Es decir las proporciones son del tipo:
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑥
𝑥
𝑏
=
𝑏
𝑎
𝑏
𝑥
=
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
=
𝑥
𝑏
Aplicando el Teorema Fundamental de las Proporciones, el valor de la tercera proporcional será:
𝑎𝑥 = 𝑏 2
𝑏2
𝑥=
𝑎
2
4
Ejemplo: Determinar la tercera proporcional geométrica en la proporción 4 = 𝑥
Solución: Por lo anterior la tercera proporcional geométrica es igual a:
42
𝑥=
2
16
𝑥=
2
𝑥=8
Respuesta: La tercera proporcional geometrica es igual a 8.
Propiedades de las Proporciones
Las siguientes propieades enuncian que es posible cambiar las razones, pero siempre se mantiene una
proporción, es decir el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
1.
Cambio de los Extremos.
Sea la proporción
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
=
es posible intercambiar los extremos a la forma
𝑑
𝑏
𝑐
𝑎
= , se cambia la razón pero se
mantiene una proporción.
2.
Cambio de los Medios.
𝑎
𝑏
Sea la proporción
𝑐
= 𝑑 es posible intercambiar los medios a la forma
𝑎
𝑐
𝑏
= 𝑑, se cambia la razón pero se
mantiene una proporción.
3.
Invertir ambas razones.
𝑎
𝑐
Sea la proporción 𝑏 = 𝑑 es posible igualar las razones reciprocas a la forma
𝑏
𝑎
𝑑
= 𝑐 , se cambia la razón pero se
mantiene una proporción.
4.
Permutar las razones (Propiedad Reflexiva de la Igualdad)
𝑎
𝑐
𝑐
𝑏
Sea la proporción 𝑏 = 𝑑 es posible permutar las razones a la forma 𝑑 = 𝑎 y se mantiene la razón y la proporción.
5. Componer con Respecto al Antecedente.
𝑎
𝑐
Sea la proporción 𝑏 = 𝑑 es posible transformarla en
𝑎+𝑏
𝑎
=
𝑐+𝑑
𝑐
donde se cambia la razón pero se mantiene la
𝑎+𝑏
𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑑
donde se cambia la razón pero se mantiene la
𝑎−𝑏
𝑎
=
𝑐−𝑑
𝑐
donde se cambia la razón pero se mantiene la
proporcionalidad.
6. Componer con Respecto al Consecuente.
Sea la proporción
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
es posible transformarla en
proporcionalidad.
7.
Descomponer con Respecto al Antecedente.
Sea la proporción
proporcionalidad.
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
es posible transformarla en
8.
Descomponer con Respecto al Antecedente.
𝑎
𝑐
Sea la proporción 𝑏 = 𝑑 es posible transformarla en
𝑎−𝑏
𝑏
=
𝑐−𝑑
𝑑
donde se cambia la razón pero se mantiene la
proporcionalidad.
9.
Componer y descomponer al mismo Tiempo.
𝑎
𝑐
𝑎+𝑏
𝑐+𝑑
𝑎−𝑏
𝑐−𝑑
Sea la proporción 𝑏 = 𝑑 es posible transformarla en 𝑎−𝑏 = 𝑐−𝑑 donde se cambia la razón pero se mantiene la
proporcionalidad.
10. Descomponer y componer al mismo Tiempo.
𝑎
𝑐
Sea la proporción 𝑏 = 𝑑 es posible transformarla en 𝑎+𝑏 = 𝑐+𝑑 donde se cambia la razón pero se mantiene la
proporcionalidad.
Aplicación de las Propiedades Anteriores
Hay ejercicios en los cuales se da una determinada proporción (o varias proporciones) y a través de ellas
verificar la veracidad de otras proporciones o el valor de ciertas incógnitas o expresiones:
𝑎
𝑏
Ejemplo: Sea la proporción 3 = 7 de ella es o son verdaderas las siguientes afirmaciones:
I.
3
𝑎
𝑏
=7
𝑎+3
𝑎−3
II.
𝑏+7
= 𝑏−7
7
3
III.
𝑏
=𝑎
Solución: Analizando cada caso y haciendo uso de las propiedades se concluye:
Caso I.
Por la propiedad de invertir las razones se observa que si
𝑎
3
=
𝑏
7
entonces
3
𝑎
=
7
𝑏
que es distinto a lo escrito en el caso I.
Por lo tanto el caso I es falso.
Caso II.
𝑎
𝑏
Por la propiedad de componer y descomponer al mismo tiempo se concluye que si 3 = 7 entonces
𝑎+3
𝑎−3
𝑏+7
= 𝑏−7.
Luego el caso II es verdadero.
Caso III.
𝑎
𝑏
7
𝑏
Por la propiedad de cambiar los extremos de una proporción se concluye que si 3 = 7 entonces 3 = 𝑎.
Luego el caso III es verdadero.
Respuesta: Los casos II y III son verdaderos.
Propiedad de la Igualdad de Razones
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
Sean las siguientes razones 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , … 𝑏𝑛 que cumplen la condición de ser equivalentes, es decir:
1
2
3
𝑛
𝑎1
𝑏1
𝑎
𝑎
𝑎
= 𝑏2 = 𝑏3 = … = 𝑏𝑛
2
3
𝑛
Estas razones cumplen la siguiente propiedad:
𝑎1 : 𝑎2 : 𝑎3 : 𝑎4 : … ∶ 𝑎𝑛 = 𝑏1 : 𝑏2 : 𝑏3 : 𝑏4 : … ∶ 𝑏𝑛
2
5
8
Ejemplo: Si 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 y además x + 3y – z = 18. Hallar el valor de z.
Solución: Por el teorema anterior si
2
𝑥
5
8
= 𝑦 = 𝑧 entonces 2 : 5 : 8 = x : y : z. Construyendo razones equivalentes a
través de la incógnita k se concluye que 2k : 5k : 8k = x : y : z, y de esto se obtiene que en forma individual:
x = 2k, y = 5k, z = 8k
Reemplazando las expresiones de x, y, z en x + 3y – z = 18, se obtiene la ecuación 2𝑘 + 3 ∙ 5𝑘 − 8𝑘 = 18.
Resolviendo se concluye:
2𝑘 + 15𝑘 − 8𝑘 = 18
17𝑘 − 8𝑘 = 18
9𝑘 = 18
18
𝑘=
9
𝑘=2
Respuesta: Como z = 8k se tiene que 𝑧 = 8 ∙ 2 = 16
Unidad 5: Variaciones Proporcionales
Variación Proporcional Directa
Sean dos variables x e y estás variables se dice que son Directamente Proporcionales o están en una variación
proporcional directa si ambas (al mismo tiempo) disminuyen o aumentan (al mismo tiempo) en una misma razón.
Lo anterior es posible escribirlo de la forma que sigue:
𝑦 = 𝑥𝑘, con 𝑘 > 0.
Donde k es la razón de variación también llamada constante de proporcionalidad.
Para conocer cual es la constante de proporcionalidad k basta con realizar la división:
𝑦
=𝑘
𝑥
La expresión anterior es la que usaremos para resolver diferentes problemas de proporción directa.
𝑦
Observación: La constante de proporcionalidad 𝑥 = 𝑘 no es igual cuando se invierten las variables, porque al invertir
las variables se obtiene la constante de proporcionalidad reciproca que es igual a
𝑥
𝑦
=
1
𝑘
Ejemplo 1: Si una impresora imprime de manera proporcional 15 hojas en 45 segundos. ¿Cuántas hojas imprime la
impresora en 2 minutos?
Solución: Mientras mayor sea el tiempo que transcurra mayor será la cantidad de hojas impresas. Además se afirma
que el número de hojas impresas y el tiempo transcurrido es proporcional (por lo tanto ambas son directamente
proporcionales)
Luego la constante de proporcionalidad entre el tiempo transcurrido y el número de hojas impresas en el inicio del
enunciado es
45
15
= 3, además se tiene que la constante de proporcionalidad entre el tiempo y hojas impresas en la
parte de la pregunta es 120/𝑥 (el tiempo debe ser escrito en segundos dado que las divisiones por comparación
deben ser de igual magnitud).
Luego como la constante en la situación 1 es igual a la de la situación 2, se obtiene la siguiente ecuación:
3=
120
𝑥
Resolviendo la ecuación se concluye que:
3𝑥 = 120
𝑥 = 120/3
𝑥 = 40 ℎ𝑜𝑗𝑎𝑠
Respuesta: La impresora imprime 40 hojas en 2 minutos (120 segundos).
Ejemplo 2: En una compañía por el trabajo semanal de 30 horas se realiza un pago de $345.000 al final del mes. Si el
pago es proporcional al número de horas de trabajadas ¿Cuánto gana un empleado al final del mes por trabajar 44
horas semanales?
Solución: Ambas variables son directamente proporcionales porque se enuncia proporcionalidad y además a mayor
número de horas semanales de trabajo mayor sueldo pagado al mes.
Como el pago mensual es proporcional a las horas trabajadas a la semana la constante de proporcionalidad es
345000
30
= 11500 (esto es lo planteado al principio del enunciado). En la pregunta se dice que el sueldo pagado y un
trabajo de 44 horas semanales establecen la siguiente proporcionalidad
𝑥
.
44
Luego la ecuación que se obtiene entre la situación 1 y 2 es (resolviendo se tiene):
𝑥
44
𝑥 = 11500 ∙ 44
𝑥 = 506000
11500 =
Respuesta: Una persona que trabaja 44 horas a la semana gana $50600.
Ejemplo 3: La siguiente tabla representa el comportamiento de variación entre el valor a pagar en pesos chilenos
por la compra de litros de gasolina.
Litros Comprados
3 litros
5 litros
x
Precio Pagado
$1500
y
$7200
¿Cuál es el valor del producto entre x e y?
Solución: Como a mayor cantidad de litros comprados mayor precio a pagar y además se afirma que existe
proporcionalidad se tiene que ambas variables son directamente proporcionales. Por otro lado la constante de
proporcionalidad directa es
1500
3
= 500.
Para hallar el valor de y.
𝑦
5
Luego por existir proporcionalidad directa el cuociente = 500, por lo tanto resolviendo la ecuación se obtiene:
𝑦 = 500 ∙ 5
𝑦 = $2500
Para hallar el valor de x.
Luego por existir proporcionalidad directa el cuociente
7200
𝑥
= 500, por lo tanto resolviendo la expresión se tiene:
500𝑥 = 7200
7200
𝑥=
500
𝑥 = 14,4 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
Respuesta: El valor del producto entre x e y es igual a 2500 ∙ 14,4 = 36000
Ejemplo 4: Las siguientes tablas muestran la comparación entre el precio a pagar y el número de artesanias
adquiridas en dos diferentes locales de venta en Quinchamali.
Local “Las Artesanías de Mónica”
Artesanías Compradas
3
4
5
Local “Artesanías de mi Zona”
Precio Pagado
$3000
$4500
$5500
Artesanías Compradas
2
4
7
Precio Pagado
$1500
$3000
$5250
De las tablas anteriores cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas:
I.
II.
III.
IV.
En ambos locales la variación entre número de artesanías compradas y precio pagado es directamente
proporcional.
La constante de proporcionalidad entre precio y artesanias compradas en el local “Artesanías de mi Zona”
es 750.
El precio por comprar 20 piezas en el local “Artesanías de Mónica” tiene un mayor costo que comprarla en
el local “Artesanías de mi Zona”
El costo por comprar 50 artesanías en el local “Artesanías de mi Zona” tiene un costo de $37500.
Solución: Realizando un análisis de cada caso en forma independiente se obtiene:
Análisis del Caso I:
Al realizar la división entre precio pagado y artesanías compradas del Local “Artesanías de mi Zona” se concluye:
1500
2
= 750
3000
4
= 750
5250
7
= 750
Que la constante de proporcionalidad es 750 y además a mayor piezas compradas mayor el precio a pagar, por
tanto en el local “Artesanías de Mónica” la variación de las variables es directamente proporcional.
Al realizar la división entre precio pagado y artesanías compradas del Local “Artesanías de Mónica” se concluye:
3000
3
4500
4
= 1000
5500
5
= 1125
= 1100
No existe una constante de proporcionalidad al comparar las diferentes situaciones de precio y piezas
adquiridas a través de una división. Por tanto las variables precio y piezas no son directamente proporcionales.
Por lo tanto la afirmación I es falsa.
Análisis del Caso II:
Lo anterior fue posible comprobarlo en el análisis del caso I, y es cierto la constante de proporcionalidad entre
precio y artesanías (en ese orden) es 750.
Por lo tanto la afirmación II es verdadera.
Análisis del Caso III:
No es posible saber esta afirmación, falta información, debido a que en local “Artesanías de Mónica” no existe
una variación proporcional directa entre precio y piezas adquiridas.
Por tanto no es posible hacer una comparación en ambas tiendas sobre donde se gasta más al comprar 20
piezas de artesanía.
Luego, la afirmación III es falsa.
Análisis del Caso IV:
Se sabe que la constante de proporcionalidad directa entre precio y piezas adquiridas (en ese orden) en el local
“Artesanías de mi zona” es 750, además como se pide saber cuanto se paga por 50 piezas en forma de razón lo anterior
se denota por
𝑥
. Como
50
en todos los casos de comparación de división entre precio y piezas es 750, se obtiene la
siguiente ecuación:
𝑥
= 750
50
De la resolución de la ecuación se concluye el siguiente resultado:
𝑥 = 750 ∙ 50
𝑥 = $37500
Se paga $37500 por comprar 50 piezas, por lo tanto la afirmación IV es verdadera.
Respuesta:
Sólo las afirmaciones II y IV son verdaderas.
Ejemplo V: Sean 𝑥 e 𝑦 3 directamente proporcionales. Si x = 4 cuando y = 2. ¿Cuánto vale x cuando y = 4?
Solución: Como 𝑥 e 𝑦 3 son directamente proporcionales entonces
𝑥
𝑥
𝑦3
=
4
4
23
(por lo establecido antes de la pregunta) y
𝑥
1
desarrollando la expresión anterior se obtiene que 𝑦3 = 8, lo cual equivale a que 𝑦3 = 2.
𝑥
1
Se pregunta el valor de x cuando cuando y = 4 y usando la expresión anterior se obtiene la ecuación 43 = 2, que
al resolverla se obtiene que 𝑥 =
43 ∙1
.
2
Respuesta: El valor de x = 32.
Desarrollando se calcula que 𝑥 =
64
2
lo que equivale a que 𝑥 = 32.
Gráfica de una Variación Directamente Proporcional.
Sea el producto cartesiano 𝑋 × 𝑌 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ ∶ 𝑦 = 𝑘𝑥, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 > 0} su gráfica es la que se presenta a
continuación:
Una recta creciente que pasa por el origen y además donde los valores de x cuando crecen también lo hacen los
de la variable y, y viceversa, en una misma razón k > 0 llamada constante de proporcionalidad.
Cuando se trabaja en situación cotidianas de variación proporcional, en general se trabaja en una parte acotada
del plano. Se trabaja en el sector del plano donde x e y son solamente positivos.
La gráfica de esta recta es la que se ve a continuación:
Variable y
Variable x
Variación Inversamente Proporcional
Sean x e y dos variables estan son inversamente proporcionales cuando el producto de ambas variables siempre
es igual a una constante k.
Es decir x e y son inversamente proporcionales si 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑘, con k > 0.
Observación: Si el valor de x disminuye en una variación inversamente proporcional el valor de y debe aumentar
y viceversa.
Ejemplo 1:
En una empresa de construcción 20 trabajadores realizan una trabajo en 15 días. Si la empresa
contratará 5 empleados más ¿En cuánto tiempo terminarían la misma obra?
Solución: Al realizarse un mayor contratación de empleados menor será el tiempo en que se realice, por lo tanto
estamos presentes ante dos variables inversamente proporcionales.
Al principio del enunciado se dice que 20 trabajadores hacen un trabajo en 15 días, luego la constante de
proporción inversa es:
𝑘 = 20 ∙ 15
𝑘 = 300
Si se contratan 5 empleados más entonces la empresa tendrá 25 trabajadores cuya relación con el tiempo
desconocido (x) del término de la obra sería la siguiente: 25𝑥 = 300
Resolviendo la expresión se obtiene:
300
𝑥=
25
𝑥 = 12 días
Respuesta: Si la empresa trabaja con 25 empleados la obra sería terminada en 12 días.
Ejemplo 2: Una persona se demora en ir de una ciudad a otra 2 horas viajando a una velocidad de 100 km/hr. Si la
persona en un viaje conduce a velocidad de 120 km/hr. ¿Cuánto demora ahora en realizar el viaje?
Solución: A mayor velocidad es menor el tiempo en que un móvil llega desde un punto a otro. Por lo tanto la variable
tiempo en llegar a un lugar y velocidad de un móvil son inversamente proporcionales.
Al principio del enunciado se dice que el auto demora 2 horas en realizar un viaje a 100 km/hr, luego de lo
anterior se concluye que la constante de proporción inversa es:
𝑘 = 2 ∙ 100
𝑘 = 200
Luego al comparar la nueva velocidad del movil con el tiempo desconocido en llegar de una ciudad a otra se
obtiene la siguiente expresión 120𝑥 = 200.
Resolviendo la expresión anterior se concluye:
200
120
𝑥 = 1, 6̅
𝑥=
Como el número 1, 6̅ esta compuesto por una parte entera (1) y una parte decimal (0, 6̅), el tiempo anterior
puede expresarse como una hora y la 0, 6̅ parte de una hora (60 minutos).
6
2
2
2
Sabemos que 0, 6̅ = 9 = 3, luego la 3 parte de una hora (60 minutos) es igual a 3 ∙ 60 =
120
3
Por lo tanto el tiempo transcurrido es de Una hora y 40 minutos.
Respuesta: Un persona demora 1 hora y 40 minutos en viajar desde una ciudad a otra a 120 km/hr.
= 40 minutos.
Ejemplo 3: Si las variables 𝑎 y 𝑏 3 son inversamente proporcionales cuando a = 6 y b = 2. Determinar el valor de a
cuando b = 4.
Solución: Se sabe que 𝑎 y 𝑏 3 son inversamente proporcionales luego 𝑎 ∙ 𝑏 3 = 𝑘. Para conocer el valor de k
reemplazamos los valores de a y b dados al principio del enunciado, por lo tanto 𝑎 ∙ 𝑏 3 = 6 ∙ 23 , resolviendo se obtiene:
𝑎 ∙ 𝑏3 = 6 ∙ 8
𝑎 ∙ 𝑏 3 = 48
Para conocer el nuevo valor de a basta con resolver la siguiente ecuación 𝑎 ∙ 43 = 48, dado que al final del
enunciado se sabe el valor de b pero no de a.
Obteniendo el valor de a en la última expresión se observa que:
𝑎 ∙ 64 = 48
48
𝑎=
64
48: 16
𝑎=
64: 16
3
𝑎=
4
3
4
Respuesta: El valor de a es igual a , en caso de estar en número decimal el valor sería 0,75.
Gráfica de Variación Inversamente Proporcional
Sea el producto cartesiano 𝑋 × 𝑌 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ ∶ 𝑥𝑦 = 𝑘, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 > 0} su gráfica es la que se presenta a
continuación:
La gráfica es una curva llamanada hipérbola equilatera y la cual no corta al eje de la varible x y tampoco al eje de
la variable y.
Para las situaciones contextualizadas se toma el tramo superior de la hipérbola equilatera, es decir donde x e y
son valores positivos.
Variaciones Proporcionales Compuestas o Mixtas
Este tipo de problemas se destacan por tener más de tres variables en juego. La manera de resolver problemas
con más de tres variables se ejemplifica a continuación:
Ejemplo 1: En una empresa de edición gráfica 4 impresoras en 20 minutos procesan 1500 hojas a color. ¿Cuántas hojas
pueden imprimir 6 impresoras y en 10 minutos?
Solución:
Paso 1: Primero se realiza una tabla de comparación entre las variables existentes, que en este caso son impresoras,
tiempo y hojas procesadas:
Impresoras
4
6
Tiempo
20
10
Hojas Procesadas
1500
x
Paso 2: Se trabaja con solo 2 variables y una de ellas debe ser la desconocida. En este caso trabajaremos con las
impresoras y las hojas procesadas.
Nuestra nueva tabla de comparación sería:
Impresoras
4
6
Hojas Procesadas
1500
y
Aún no se utiliza
la incógnita x
Observamos que mientras más impresoras existan (sin importar el tiempo de trabajo) mayores serán las hojas
impresoras, por tanto estas dos variables son directamente proporcionales.
Por lo visto anteriormente la constante de proporcionalidad es
1500
4
Luego, a la vez la constante de proporcionalidad es también igual a
𝑦
6
= 375.
𝑦
.
6
Igualando ambas expresiones se obtiene la siguiente ecuación = 375 y al resolver se obtiene:
𝑦 = 375 ∙ 6
𝑦 = 2250 hojas
Paso 3: Se trabaja con la última variable que no fue utilizada antes más la variable incógnita (en el ejercicio el número de
hojas impresas):
Aquí se utiliza el nuevo
Nuestra nueva tabla de comparación es:
valor calculado de
hojas impresas
Tiempo
Hojas Procesadas
20
2250
Ahora se utiliza la
10
X
incógnita x
A mayor tiempo de trabajo (con igual cantidad de improsoras en ambos tiempos) es mayor la cantidad de hojas
impresas, entonces las dos variables son directamente proporcionales.
2250
= 112,5.
20
𝑥
Además se tiene que la constante de proporcionalidad es igual a .
10
𝑥
Igualando ambas expresiones se obtiene la siguiente ecuación 10 = 112,5 y al resolver
Por lo visto anteriormente la constante de proporcionalidad es
𝑥 = 112,5 ∙ 10
𝑥 = 1125 hojas
Respuesta: Por lo tanto 6 impresoras en 10 minutos procesan 1125 hojas.
se obtiene:
Ejemplo 2: En una constructora 8 trabajadores realizan una obra durante 40 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuánto
días demoran 4 trabajadores si realizan la misma obra pero trabajando 10 horas al día?
Solución:
Paso 1: Primero se realiza una tabla de comparación entre las variables existentes, que en este caso trabajadores, días
de trabajo y horas diarias de trabajo.
Trabajadores
8
4
Días Obrados
40
x
Horas diarias de trabajo
8
10
Paso 2: Se trabaja con solo 2 variables y una de ellas debe ser la desconocida. En este caso trabajaremos con
trabajadores y días de labor realizada.
Nuestra nueva tabla de comparación sería:
Trabajadores
8
4
Días Obrados
40
y
Aún no se utiliza
la incógnita x
Observamos que mientras menos trabajadores (sin importar el número de horas diarias de labor) laboren más
será la cantidad de días que se demore la obra.
Por lo visto anteriormente la constante de proporcionalidad invsersa es 8 ∙ 40 = 320.
Luego, a la vez la constante de proporcionalidad es también igual a 4𝑦.
Igualando ambas expresiones se obtiene la siguiente ecuación 4𝑦 = 320 y al resolver se obtiene:
320
4
𝑦 = 80 días
𝑦=
Paso 3: Se trabaja con la última variable que no fue utilizada antes más la variable incógnita (en el ejercicio el número de
días por laborar):
Nuestra nueva tabla de comparación es:
Aquí se utiliza el nuevo
valor calculado de
hojas impresas
Días laborados
80
x
Horas diarias de trabajo
8
10
Ahora se utiliza la
incógnita x
Con una misma cantidad de trabajadores mientras más horas de trabajo ellos realicen al día menor será la
cantidad de demoren en terminar la obra, luego las dos variables son inversamente proporcionales.
Por lo visto anteriormente la constante de proporcionalidad inversa es 80 ∙ 8 = 640.
Además se tiene que la constante de proporcionalidad inversa es igual a 10𝑥.
Igualando ambas expresiones se obtiene la siguiente ecuación 10𝑥 = 64 y al resolver se obtiene:
640
10
𝑥 = 64 dias
𝑥=
Respuesta: Por lo tanto 4 trabajadores laborando 10 horas diarias realizan una cierta obra en 64 días.
Observación: Siempre al comparar 2 variables en una variación mixta se debe:
- Una de ellas siempre deber ser la incógnita.
- La tercera variable se iguala en el primer y segundo caso y siempre debe ser considerado en la comparación
para ver como influye si las dos variables comparadas son directa o inversamente proporcionales.
Unidad 6: Variación Porcentual o Porcentajes (%) de una
cantidad total.
La variación porcentual es una magnitud que nos permite conocer que parte de un total es una cierta cantidad.
Al igual que el número 1 representa el entero o total, el 100% es equivalente al total de una cierta cantidad.
Cálculo del p% de un valor v (a este valor le asignaremos la incógnita x)
Sea una cantidad v cualquiera para entender como calcular el p% de v observemos lo siguiente:
Entre una cantidad y un % existe una variación directamente proporcional, porque a mayor cantidad numérica
mayor será la cantidad porcentual que la representa y viceversa.
𝑣
-
Como v es el 100% la constante de variación proporcional directa que usaremos será la siguiente 100.
-
El cierto porcentaje p% y su valor numérico a buscar x se relacionan con la siguiente división 𝑝.
𝑥
Las 2 razones son equivalente luego igualando se obtiene:
𝑥
𝑣
=
𝑝 100
Resolviendo se obtiene:
𝑝𝑣
El p% de v es igual a 𝑥 = 100
Observación: Dado un porcentaje p% representativo y un total v, la cantidad buscada que representa a p% es
igual a la cantidad total por el porcentaje dado y luego dividido por 100.
Ejemplo 1:
Sergio tiene un ahorro de $14200 en el banco. Si realiza un giro del 25% de su dinero recaudado
¿Cuánto dinero saca del banco?
Solución: Se sabe que $14200 es el 100% luego el cuociente entre ambos
cuociente entre el valor a buscar y el 25% es
𝑥
.
25
14200
100
= 142. Por otro lado el
Igualando las razones anteriores se obtiene la siguiente proporción:
𝑥
= 142
25
𝑥 = 142 ∙ 25
𝑥 = $3550
Respuesta: Si Sergio realiza un giro del 25% entonces sacara $3550 de lo que tiene invertido en el banco.
Ejemplo 2:
En una empresa de 140 empleados el 10% esta trabajando con contrato y el resto esta
trabajando a honorarios. ¿Cuántos empleados trabajan a honorarios?
Solución: Como se desea calcular la cantidad de trabajadores a honorios y no a contrata este porcentaje es igual
100% − 10% = 90%.
140
Luego el 100% es igual a 140 empleados y estas variables estan en la razón 100 = 1,4. Por otro lado el número
𝑥
de empleados a honorarios y su porcentaje están en la razón 90.
Igualando las razones anteriores se obtiene la siguiente proporción:
𝑥
= 1,4
90
𝑥 = 1,4 ∙ 90
𝑥 = 126 empleados
Respuesta: En la empresa trabajan 126 empleados a honorarios.
Cálculo de un p% dado un valor de un cierto total
Sea una cantidad v que será el 100% y un valor m conocido de v, el porcentaje p% que representa a m se
obtiene de la manera que sigue:
Entre una cantidad y un % existe una variación directamente proporcional, porque a mayor cantidad numérica mayor
será la cantidad porcentual que la representa y viceversa.
𝑣
-
Como v es el 100% la constante de variación proporcional directa que usaremos será la siguiente 100.
-
El valor numérico m y su porcentaje p% (por conocer) se relacionan con la siguiente división 𝑝 .
𝑚
Las 2 razones son equivalente luego igualando se obtiene:
𝑚
𝑣
=
𝑝 100
Resolviendo se obtiene:
Si m es un cierto valor su p% es igual a 𝑝 =
100𝑚
%
𝑣
Observación: Si se conoce el valor total v y un cierta cantidad llamada m su p% es igual a la cantidad m dividida
por v y luego lo anterior multiplicado por 100.
Ejemplo 1:
Una celular en una tienda tiene un costo de $180000 y un cliente lo compra con un bono de
descuento de $25.000. ¿Cuál es el porcentaje de descuento realizado?
Solución: Se sabe que el valor total es $180000 y la razón entre este valor y el 100% es
lado la razón entre valor conocido y porcentaje desconocido es igual a
180000
100
= 1800. Por otra
25000
.
𝑝
Igualando las dos razones anteriores se obtiene la proporción:
25000
1800 =
𝑝
Luego resolviendo la ecuación a través del Teorema Fundamental de las Proporciones se obtiene que p es:
1800𝑝 = 25000
25000
𝑝=
1800
𝑝 = 13, 8̅%
Respuesta: El descuento es de un 13, 8̅%.
Ejemplo 2: Un empleado recibe en promedio un sueldo de $750000 durante toda su vida laboral. Si un período
de jubilación recibe una pensión de $320000 ¿Cuál es el porcentaje del sueldo promedio que no recibe en su jubilación?
Solución: Como se desea saber el porcentaje de la cantidad no recibida de lo ganado en promedio, el valor a
usar será $750000 - $320000 = $430000.
La razón entre el total y el 100% es igual a
porcentaje a calcular es igual a
750000
100
= 7500. Por otro lado la razón entre el valor conocido y el
430000
.
𝑝
Igualando las razones se obtiene la siguiente proporción 7500 =
430000
,
𝑝
la cual al ser resuelta se obtiene:
7500𝑝 = 430000
430000
𝑝=
7500
𝑝 = 57, 3̅%
Respuesta: El empleado en su jubilación no recibe en su pensión el 57, 3̅% de su sueldo promedio ganado en su vida
laboral.
Conocer el total dada una cierta cantidad de dicho total.
(llamaremos x a ese total desconocido)
Supongamos que se conoce una parte de un cierto valor total, para conocer el valor total se procede de la
siguiente manera:
Entre una cantidad y un % existe una variación directamente proporcional, porque a mayor cantidad numérica mayor
será la cantidad porcentual que la representa y viceversa.
𝑥
-
Como x es el 100% la constante de variación proprorcional directa que usaremos será la siguiente 100.
-
El valor numérico m conocido (y que es parte de x) y su porcentaje p% representativo se relacionan con la
𝑚
siguiente división 𝑝 .
Las 2 razones son equivalente luego igualando se obtiene:
𝑚
𝑥
=
𝑝 100
Resolviendo se obtiene:
El valor total x dada una parte es igual a 𝑥 =
100𝑚
%
𝑝
Observación: El valor total es igual a la división entre el valor conocido (parte de x) y su porcentaje representativo y el
resultado luego se multiplica por 100.
Ejemplo 1: Un equipo de fútbol realizó un total de 50 goles de local lo cual equivale a un 40% del total de goles
realizados. ¿Cuál es el total de goles realizados por el club? ¿Si el resto de goles son de visita estos cuántos son?
Solución: Se sabe que el total de goles es x (se desconoce el total) se relaciona con el 100% a través de la siguiente
𝑥
50
50:10
5
razón 100. Por otro lado el valor conocido y su porcentaje representativo forman la siguiente razón 40 = 40:10 = 4.
𝑥
5
Igualando ambas razones se obtiene la siguiente proporción 100 = 4 la cual al resolver se obtiene:
4𝑥 = 500
500
𝑥=
4
𝑥 = 125 𝑔𝑜𝑙𝑒𝑠
Respuesta 1: El equipo convirtio 125 goles en total.
Como el total de goles es 125 y 50 han sido de visitas, los goles de local se obtienen de la resta 125 – 50 = 75
goles.
Respuesta 2: El equipo convirtió 75 goles de local.
Ejemplo 2: Manuel esta descargando una película desde Ares y lleva bajado 250 Megabytes lo que equivale al
40% del total a bajar. ¿Cuántos Megabytes pesa el archivo en total?
Solución: La razón entre el total a descargar (y desconocido) por el 100% es igual a
𝑥
.
100
Por otro lado la
cantidad descargada de la película (250 Megabytes) y su porcentaje representativo (40%) estan en la razón
Igualando la dos razones se obtiene la siguiente
𝑥
proporción 100
𝑥 = 6,25 ∙ 100
𝑥 = 625 𝑀𝑒𝑔𝑎𝑏𝑦𝑡𝑒𝑠
Respuesta: El peso total de la película es de 625 Megabytes.
250
40
= 6,25.
= 6,25 la cual al ser resuelta se obtiene:
Porcentaje del Porcentaje de un Valor.
Supongamos que se tiene una cantidad x y se desea saber cual es el a% del b% de x. Para realizar ese cálculo se
debe realizar lo que se enuncia a continuación:
Paso 1: Calcular el valor del b% de x.
Solución: Como x es el 100% la razón entre ambos es igual a
(que llamaremos ?) es igual a
𝑥
.
100
Además la razón entre el b% y su valor desconocido
?
.
𝑏
Igualando ambas razones se obtiene la proporción
𝑥
100
?
𝑏
= y desarrollandola se obtiene que:
100? = 𝑥𝑏
𝑥𝑏
?=
100
𝑥𝑏
Paso 2: Calcular el valor del a% de 100 (es decir el valor obtenido con anterioridad)
𝑥𝑏
𝑥𝑏
𝑥𝑏
Solución: Como 100 es el 100% la razón entre ambos es igual a 100 : 100 = 100 :
100
1
Por otro lado la razón entre el a% y su nuevo valor a buscar (que llamaremos ?′ ) es
𝑥𝑏
Igualando ambas razones se obtiene la proporción 10000 =
?′
𝑎
𝑥𝑏
𝑥𝑏
= 100∙100 = 10000.
?′
.
𝑎
y desarrollandola se obtiene como resultado:
10000?′ = 𝑥𝑏𝑎
𝑥𝑏𝑎
?′ =
10000
Respuesta: El a% del b% de x es igual a
𝑥𝑏𝑎
.
10000
Ejemplo: Una persona ganaba en promedio $750000 antes de jubilar. Al momento de su jubilación este recibió el 40%
del 80% de su sueldo. ¿Cuánto dinero recibe de jubilación?
Solución:
Paso 1: Calcular el 80% del sueldo de $750000.
750000
= 7500. La razón entre el valor a conocer
100
𝑥
igual a 80. Igualando ambas razones se obtiene la
Se sabe que el 100% es $750000 luego la razón entre ambos es
(el que llamaremos x) y su porcentaje representativo (80%) es
proporción:
𝑥
= 7500
80
La cual al ser resuelta se obtiene que x es igual a:
𝑥 = 7500 ∙ 80
𝑥 = $600000
Paso 2: Calcular el 40% de $600000
600000
= 6000. La razón entre el valor a
100
𝑥
. Igualando ambas razones se obtiene la
40
Se sabe que el nuevo 100% es $600000 luego la razón entre ambos es
conocer (el que llamaremos y) y su porcentaje representativo (40%) es igual a
proporción:
𝑥
= 6000
40
La cual si se resuelve se concluye que y es igual a:
𝑦 = 6000 ∙ 40
𝑦 = $240000
Respuesta: El 40% del 80% de $750000 es igual a $240000.
El total del total de un valor.
Supongamos que un valor a es igual al b% del c% de un cierto total. La pregunta es ¿Cuál es el total inicial?
Solución: Primeros debemos averiguar cual es el total cuando a es el b% de un cierto valor. Para ello recordemos que el
𝑦
100
total a buscar (que llamaremos y) y el 100% se comparan a través de la razón
representativo se relacionan a través de la razón
𝑎
.
𝑏
y el por otro lado a y su b%
Igualando ambas razones se obtiene la proporción:
𝑦
𝑎
=
100 𝑏
Aplicando el teorema fundamental de las proporciones se obtiene:
𝑦𝑏 = 100𝑎
Despejando el valor de y se concluye que:
𝑦=
100𝑎
𝑏
Luego al nuevo valor obtenido si sabemos que es el c% de un cierto total valor x, este último se calcula de la siguiente
forma:
𝑥
-
Se sabe que x al ser un total se relaciona con el 100% a través de la razón 100.
-
Se sabe que
100𝑎
𝑏
y su porcentaje representativo c% se relacionan con la razón
𝑥
Igualando las dos razones anteriores se obtiene la siguiente proporción 100 =
100𝑎
,
𝑏𝑐
100𝑎
:𝑐
𝑏
=
100𝑎 𝑐
:1
𝑏
=
100𝑎
.
𝑏𝑐
la cual al ser resuleta por el Teorema
Fundamental de las Proporciones se calcula que x es igual a:
𝑥
100𝑎
=
100
𝑏𝑐
𝑥𝑏𝑐 = 10000𝑎
10000𝑎
𝑥=
𝑏𝑐
Ejemplo: Pedro tiene depositado una cierta cantidad de dinero en el banco y penso al principio sacar un 80% de lo que
tiene depositado, sin embargo consideró que era mucho dinero y solo sacó un 60% de lo que pensabe sacar. Si retiró
$51000. ¿Cuánto dinero tenía guardado en el banco?
Solución: Se debe calcular el total del 60% que se pensaba retirar. Llamemos a dicho valor y. Se sabe que ese valor y al
ser un 100% forma la siguiente razón
forman la razón
51000
60
𝑦
100
y por otro lado lo retirado ($51000) y su porcentaje representativo 60%
= 850.
Igualando las razones formadas anteriormente se obtiene la proporción 850 =
𝑦
,
100
la cual al ser resuelta por el
Teorema Fundamental de las proporciones se obtiene:
𝑦 = 850 ∙ 100
𝑦 = $85000
Luego $85000 es el 80% del total del dinero depositado por Pedro en el banco (el cual llamaremos x). Por tanto x y el
𝑥
100% forman la razón 100 y por otra parte $85000 y el 80% la razón
𝑥
85000
80
= 1062,5.
Al igualar las razones se obtiene la proporción 100 = 1062,5 que al ser resuelta se calcula que el total de dinero
depositado en el banco es:
𝑥 = 1062,5 ∙ 100
𝑥 = $106250
Respuesta: Pedro tenia depositado $106250 en el banco.
Las Fracciones una Forma de Representar una
Cierta cantidad Porcentual.
Todo porcentaje es decir una expresión de la forma a% tiene una representación en forma de fracción la cual es
𝑎
,
100
de ser posible esta debe ser simplificada.
Observación: Al transformar de porcentaje a fracción esta última no se escribe con el símbolo de %.
50
1
Ejemplo 1: El 50% escrito en forma de fracción es igual a 100 = 2, es decir el 50% es la mitad de un cierto total.
Ejemplo 2: Determina la forma fraccionaria de los siguientes porcentajes:
75% = _____________
10% = _____________
1% = ______________
60% = _____________
45% = _____________
15% = ______________
80% = _____________
90% = ____________
12% = ______________
40% = _____________
200% = ____________
20% = ______________
25% = _____________
150% = ____________
33 3 % = _____________
30% = _____________
1000% = ___________
33 % = ______________
1
Una aplicación de lo anterior se presenta a través del siguiente ejercicio:
Ejemplo: Una familia ha preparado una cierta cantidad de litros de jugo para su consumo. Si en el desayuno
consumen un 5% del total, en el almuerzo consumen la quinta parte del total y en la cena se consumen 2 litros sobrando
7 litros ¿Cuántos litros se habían preparado para consumir?
Solución:
Como el problema combina fracciones y porcentajes es recomendable trabajar con fracciones y
así determinar una ecuación que nos permita resolver el problema.
Se sabe que el 5% es igual en fracción a
primera parte de la ecuación es igual 𝑥 −
5
100
1
= 20 y como esa cantidad a sido reducida de un cierto total x la
1
𝑥.
20
Por otro lado se ha consumuido la quinta parte del total lo cual anexado a lo anterior una parte de la ecuación
1
1
sería 𝑥 − 20 𝑥 − 5 𝑥.
Como al final se han reducido 2 litros del total consumido y todo es igual a 4 litros, lo anterior se escribe de la
siguiente forma:
1
1
𝑥− 𝑥− 𝑥−2 = 7
20
5
Se despeja – 2 a la derecha de la expresión con signo positivo y se obtiene:
1
1
𝑥− 𝑥 =7+2
20
5
1
1
𝑥− 𝑥− 𝑥=9
20
5
𝑥−
Multiplicando se obtiene:
𝑥−
𝑥 𝑥
− =9
20 5
Operando las sumas y restas se obtiene:
20𝑥 − 𝑥 − 4𝑥
=9
20
Usando el teorema fundamental de las proporciones se concluye:
20𝑥 − 𝑥 − 4𝑥 = 180
15𝑥 = 180
180
𝑥=
15
𝑥 = 12 litros
Respuesta: La familia preparó 12 litros de jugo para consumir.
Fracción representado como un Porcentaje (%)
Para representar una fracción o un número decimal como un porcentaje esté debe ser multiplicado por 100.
Observación: Al multiplicar la fracción o decimal por 100 se debe agregar el signo de porcentaje (%).
Ejemplo 1: El número 0,5 como porcentaje es igual a 0,5 ∙ 100 = 50%.
3
3
Ejemplo 2: El número 4 como porcentaje es igual a 4 ∙ 100 =
3∙100
4
=
300
4
= 75%
Ejemplo 3: Convierte en porcentaje los siguientes números (los que tengan infinitos decimales debes
tranformarlos en fracción y luego a porcentaje)
0,25 = _____________
0,33 = ______________
1 = __________________
0,75 = _____________
0, 3̅ = _______________
2 = __________________
0,1 = _____________
0,45 = ______________
0,125 = ________________
0,15 = _____________
̅̅̅̅ = ______________
0,45
0,625 = ________________
0,2 = _____________
0,01 = ______________
1,5 = _________________
0,3 = _____________
0,001 = ______________
2,25 = ________________
Ejemplo 4: Convierte las siguientes fracciones en porcentaje:
1
8
= _______________
4
5
= ________________
1
3
= _________________
1
4
= _______________
7
8
= ________________
2
3
= _________________
= ______________
1
9
= ________________
2
7
= _________________
= _______________
1
7
= ________________
4
3
= _________________
______________
1
2
= ________________
3
8
= _________________
= _______________
5
8
= ________________
3
2
= _________________
1
16
2
5
1
=
10
3
5
Interés Simple
El interés simple es fórmula de aplicación de un aumento o una disminución constante de un cierto porcentaje
siempre sobre una cierta cantidad inicial.
En esta fórmula se ven ciertos elementos que son característicos en situaciones de la economía (pero se puede
usar la fórmula para otros elementos que no tengan relación con la economía).
𝐶𝑖 : Capital inicial (situaciones de economía) o valor inicial (otras situaciones incluyendo las anteriores). Este
valor es el que aumentará o disminuira con el tiempo dependiendo de la fórmula que se aplique.
𝐶𝑓 : Capital final (situaciones de ecnonomía) o valor final (otras situaciones incluyendo las anteriores). Este es
el valor final luego de que el valor inicial haya aumentado o disminuido.
𝑝:
Porcentaje el cual será aumentado o disminuido en forma constante al valor inicial con respecto a una
cierta unidad de tiempo.
𝑡:
Unidad de tiempo que indica cuantas veces se aplicó un aumento o disminución de un cierto porcentaje
del valor inicial
Fórmula de Interés Simple de Aumento
𝐶𝑓 = 𝐶𝑖 ∙ (1 +
𝑝𝑡
)
100
Se aplica cuando el Capital final es mayor al
inicial.
Fórmula de Interés Simple de Disminución
𝐶𝑓 = 𝐶𝑖 ∙ (1 −
𝑝𝑡
)
100
Se aplica cuando el Capital final es menor
al inicial.
Ejemplo 1:
Una persona realiza un depósito de ahorro de $400000 en el Banco del Estado. Si su capital
aumenta mes a mes un 2% del capital inicial. Si la persona desea retirar todo su dinero en 2 dos años más después del
depósito. ¿Cuánto dinero retirará en dos años más?
Solución:
Como el interés es aplicado al valor inicial de $400000, a un plazo de dos años (24 meses dado
que el aumento es mes a mes) y con un porcentaje del 2%, la formula queda de la siguiente manera:
12 ∙ 2
𝐶𝑓 = 400000 ∙ (1 +
)
100
24
𝐶𝑓 = 400000 ∙ (1 +
)
100
𝐶𝑓 = 400000 ∙ (1 + 0,24)
𝐶𝑓 = 400000 ∙ 1,24
𝐶𝑓 = $496000
Respuesta:
La persona al cabo de 2 años retira un total de $496000.
Ejemplo 2:
Un estudiante tiene una deuda de $350000 y la cual desea repactar en pago de cuotas
equivalentes al 5% de la deuda. ¿Cuánto dinero aún deberá pagar el estudiate luego de pagar 10 cuotas?
Solución:
Como el valor inicial disminuira con el tiempo debemos usar la fórmula de decrecimiento simple.
Observemos que el valor inicial de la deuda es $350000, el porcentaje de cada cuota es de un 5% y el total de cuotas
pagadas es 10, por lo tanto la formula quedaría como sigue:
10 ∙ 5
𝐶𝑓 = 350000 ∙ (1 −
)
100
50
𝐶𝑓 = 350000 ∙ (1 −
)
100
𝐶𝑓 = 350000 ∙ (1 − 0,5)
𝐶𝑓 = 350000 ∙ 0,5
𝐶𝑓 = $175000
Respuesta: Al alumno le queda pagar $175000 de su deuda total.
Ejemplo 3: Una persona juega en un casino con un capital inicial de $20000. Si en cada mano que juega logra
ganar un 20% de lo que tenía inicialmente y al final se retira con un capital total de $100000 ¿Cuántas manos jugó?
Solución: Los datos del problema son los siguientes:
𝐶𝑓 = $100000
𝐶𝑖 = $20000
𝑝 = 20%
En cambio el tiempo es desconocido dado que no se sabe el número de manos que jugó la persona.
Se usa la fórmula de interés simple con aumento debido a que el capital final es mayor que el capital inicial.
Finalmente resolviendo la ecuación anterior se obtiene:
20𝑡
)
100
1𝑡
100000 = 20000 ∙ (1 + )
5
𝑡
100000 = 20000 ∙ (1 + )
5
100000
𝑡
=1+
20000
5
100000 = 20000 ∙ (1 +
5+𝑡
5
5∙5=5+𝑡
25 = 5 + 𝑡
25 − 5 = 𝑡
20 = 𝑡
5=
Respuesta: La persona jugó 20 manos.
Interés Compuesto
Está formula permite obtener un valor final que puede ser mayor o menor al inicial, aplicando un mismo
porcentaje de aumento o dismininución de interés sobre un valor anteriormente aumentado o disminuido.
Fórmula de Interés Compuesto de Aumento
𝐶𝑓 = 𝐶𝑖 ∙ (1 +
Fórmula de Interés Compuesto de Disminución
𝑝 𝑡
)
100
Se aplica cuando el Capital final es mayor al
inicial.
𝐶𝑓 = 𝐶𝑖 ∙ (1 −
𝑝𝑡 𝑡
)
100
Se aplica cuando el Capital final es menor al
inicial.
Observación: Interés compuesto es equivalente a decir que el aumento o disminución se aplica siempre a un
valor previamente aumentado o disminuido, no sobre el capital inicial (lo cual es aplicable en el Interés Simple)
Ejemplo: Se realiza un depósito de $400000 en un banco con un porcentaje de aumento del interés compuesto
del 2%. Si se retirará todo el dinero a cabo de 2 meses. ¿Cuánto dinero se agregó al capital inicial?
Solución: Como el aumento es de un interés compuesto y más los datos del problema:
𝐶𝑖 = $400000, 𝑝 = 2% y 𝑡 = 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
La fórmula queda como sigue:
2 2
𝐶𝑓 = 400000 ∙ (1 +
)
100
1 2
𝐶𝑓 = 400000 ∙ (1 + )
50
50 + 1 2
𝐶𝑓 = 400000 ∙ (
)
50
51 2
𝐶𝑓 = 400000 ∙ ( )
50
400000 ∙ 2601
𝐶𝑓 =
2500
1040400000
2500
𝐶𝑓 = $416160
𝐶𝑓 =
Como se pide calcular el dinero ganado no el total se tiene que para calcular lo anterior se debe desarrollar la
expresión $416160 − $400000 = $16160.
Respuesta: El total de dinero agregado a la cuenta es de $16160.
Ejemplo 2: Carolina tiene guardado $500000 para distintos gastos. Si gasta un 5% del total guardado en luz y un
5% de lo que gastó antes en agua. ¿Cuánto dinero le sobra?
Solución: Aunque los dos gastos son diferentes se aplica un disminución compuesta por que es un 5% del 5%,
por tanto según los datos del problema la fórmula a usar es:
5 2
𝐶𝑓 = 500000 ∙ (1 −
)
100
1 2
𝐶𝑓 = 500000 ∙ (1 − )
20
20 − 1 2
𝐶𝑓 = 500000 ∙ (
)
20
19 2
𝐶𝑓 = 500000 ∙ ( )
20
361
𝐶𝑓 = 500000 ∙
400
500000 ∙ 361
𝐶𝑓 =
400
108500000
𝐶𝑓 =
400
𝐶𝑓 = $451250
Respuesta: A Carolina le quedan $451250.
Observación 1: El problema tiene un segundo método de resolución el cual se obtiene calculando los
porcentajes en forma separada o individual, tal cual como se expone a continuación:
Primero se calcula el 5% del total guardado, para saber lo gastado en luz. Se sabe que el 100% es $500000,
luego ambos forman la razón
500000
100
𝑥
= 5000. Por otro lado el 5% y su valor a determinar x, forman la razón 5. Igualando
las razones y se resolviendo se obtiene:
𝑥
5
5000 ∙ 5 = 𝑥
$25000 = 𝑥
Descontamos dicho valor al total guardado y se obtiene que quedan $500000 − $25000 = $475000.
Al nuevo valor calculado se le obtiene su 5% por que es a la nueva cantidad obtenida que se le aplica la
disminución del 5% (para determinar el cálculo del pago del agua). Como $475000 es el 100% ambos forman la razón
5000 =
475000
100
𝑧
= 4750 y además el nuevo 5% y su valor z forman la razón 5. Igualando las razones y resolviendo se obtiene:
𝑧
4750 =
5
4750 ∙ 5 = 𝑧
$23750 = 𝑧
Restando el valor anterior a lo que sobró previamente se obtiene lo que le sobra a Carolina, lo cual es
$475000 − $23750 = $451250.
Respuesta: A Carolina luego de pagar el agua y la luz le sobran = $451250.
Observación: En los ejercicios de aplicación del interés simple y compuesto (ya sea de aumento o disminución
para ambos) se usar la fórmula o encontrar los porcentajes en forma individual y luego restar o sumar según sea el caso.
Unidad 7: Potencias
Sea un número a real y b un número natural se define la potencia de base a y de exponente b de la forma que
sigue:
Exponente
𝑎𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … .∙ 𝑎 ∙ 𝑎
Base
a es multiplicado b veces por sí mismo
Ejemplo 1:
34 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 9 ∙ 3 ∙ 3 = 27 ∙ 3 = 81
Ejemplo 2:
(5) = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 5∙5∙5 = 25∙5 = 125
2 3
2 2 2
2∙2∙2
4∙2
8
Observación: Las potencias en general no son conmutativas es decir 𝑎𝑏 ≠ 𝑏 𝑎 .
Ejemplo 1: 25 ≠ 52 , dado que 25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32 y 52 = 5 ∙ 5 = 25.
Ejemplo 2: Un caso particular en que 𝑎𝑏 = 𝑏 𝑎 es 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16 y 42 = 4 ∙ 4 = 16.
Propiedades de las Potencias
Propiedad Número 1:
Multiplicación de potencias de igual base.
Sean dos potencias de base real igual a a y de exponente natural (incluso enteros) n y m, se tiene que la
multiplicación de las potencias es igual a:
𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
Propiedad Número 2:
División de potencias de igual base.
Sean dos potencias de base real igual a a (distinta de 0) y de exponente natural (incluso enteros) n y m, se tiene
que la división de las potencias es igual a:
𝑎𝑛
= 𝑎𝑛−𝑚
𝑎𝑚
Propiedad Número 3:
Sobre el resultado de una potencia dependiendo del valor de su base y de su exponente:
Caso 1: Potencia de base positiva y exponente natural.
Para toda potencia de base real positiva y exponente natural se cumple:
𝑎𝑏 > 0, con a > 0 y 𝑏 ∈ ℕ.
Caso 2: Potencia de base negativa y exponente natural par.
Para toda potencia de base real negativa y exponente natural par se cumple:
𝑎2𝑛 > 0, con a < 0 y 𝑛 ∈ ℕ.
Caso 3: Potencia de base negativa y exponente natural impar.
Para toda potencia de base real negativa y exponente natural impar se cumple:
𝑎2𝑛−1 < 0, con a < 0 y 𝑛 ∈ ℕ.
Caso 4: Un caso particular es el siguiente: −𝑎𝑛 , donde el exponente natural n afecta al número a pero no al
signo negativo. De aquí se derivan tres casos:
Caso 4.1: Si el número a es positivo sin importar el exponente entero, el resultado sera negativo.
Caso 4.2: Si el número a es negativo y el exponente es par natural (incluso entero), se tiene que 𝑎𝑛 > 0, pero
por el signo negativo se obtiene que −𝑎𝑛 < 0.
Caso 4.3: Si el número a es negativo y el exponente es impar natural (incluso entero), se tiene que 𝑎𝑛 < 0,
pero por el signo negativo se obtiene que −𝑎𝑛 > 0.
Propiedad Número 4:
Caso 1:
1𝑛 = 1, para cualquier número real n.
Caso 2:
(−1)𝑝𝑎𝑟 = 1, para cualquier número par natural (e incluso entero)
Caso 3:
(−1)𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 = −1, para cualquier número impar natural (e incluso entero)
Caso 4:
−1𝑛 = −1, para cualquier número real n. (la potencia afecta al número 1 no al negativo)
Propiedad Número 5:
Si la base de la potencia es 0 y el exponente un número real cualquiera distinto de cero. Se tiene que:
0𝑛 = 0
Propiedad Número 6:
Si la base es cualquier número real y el exponente es igual a 1, se tiene que:
𝑎1 = 𝑎
Propiedad Número 7:
Sea un número real a distinto de 0, se tiene que:
𝑎0 = 1
Propiedad Número 8:
Sea un número real a distinto de 0, se tiene que:
𝑎−1 =
1
𝑎
𝑎
Observación: Si un número es de la forma 𝑏 con a y b reales distintos de cero, se tiene que:
𝑎 −1 𝑏
( ) =
𝑏
𝑎
Propiedad Número 9:
Sea un número real a distinto de 0, se tiene que:
1
𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛 , con n un natural cualquiera
𝑎
𝑏
Observación: Si un número es de la forma con a y b reales distintos de cero, se tiene que:
𝑎 −𝑛
(𝑏 )
𝑏𝑛
= 𝑎𝑛 , con n un natural cualquiera
Propiedad Número 10:
Multiplicación de Potencias de diferente base e igual exponente entero.
Sean dos números reales distintos de cero y un exponente entero igual para ambas bases.
𝑎𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛
Observación: El número 0 también sirve para este teorema siempre y cuando n no sea 0. En cualquier situación
ocurre que:
0𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 = 0, porque todo numero multiplicado por 0 es 0.
Propiedad Número 11:
División de Potencias de diferente base e igual exponente entero.
Sean dos números reales distintos de cero y un exponente entero igual para ambas bases.
𝑎𝑛
𝑎 𝑛
=
(
)
𝑏𝑛
𝑏
Observación: El número 0 también sirve para este teorema siempre y cuando a sea 0, b no debe ser nulo y n un
natural. En cualquier situación ocurre que:
0𝑛
𝑏𝑛
= 0, porque 0 dividido por cualquier número diferentes de 0 es igual 0.
Propiedad Número 12:
Potencia de una Potencia:
Sea un número x real cualquiera distinto de cero y dos exponentes enteros a y b.
(𝑥 𝑎 )𝑏 = 𝑥 𝑎∙𝑏
𝑎
Observación 1: (𝑥 𝑎 )𝑏 = (𝑥 𝑏 )
Observación 2: Si la base es 0 y los exponentes no son nulos entonces (0𝑎 )𝑏 = 0.
Observación 3: Si la base es 1 y los exponentes son cualquier número real entonces (1𝑎 )𝑏 = 1.
Ejemplos y Aplicaciones de las propiedades de potencias
Ejemplo 1:
Determina el resultado de la expresión
32 ∙812 ∙27−3
9−2 3−2
.
Solucón: Es posible observar que los números 81, 27 y 9 son resultados de una potencia base 3; en este caso 34 ,
33 y 32 respectivamente. Reemplazamos lo anterior en la expresión dada:
32 ∙ (34 )2 ∙ (33 )−3
(32 )−2 3−2
Ahora aplicamos la propiedad 12 (Potencia de una Potencia) y la expresión queda así:
32 ∙ 34∙2 ∙ 3−3∙3
3−2∙2 3−2
32 ∙ 38 ∙ 3−9
3−4 3−2
Aplicando la propiedad 1 (multiplicación de potencias de igual base) en el numerador y denominador se
obtiene:
32+8+−9
3−4+−2
32+8−9
3−4−2
31
3−6
Aplicando la propiedad 2 (división de potencias de igual base) se concluye que:
31−−6
31+6
37
Respuesta: El valor de la expresión es igual a 37 .
Ejemplo 2: Determinar cual es la mitad de la expresión 6428.
Solución: La mitad de 6428 se obtiene del cálculo de la expresión
6428
.
2
Es posible ver que 64 = 26 (lo anterior
para aplicar la propiedad 2 de división de potencias de igual base); reemplazando lo anteior en la expresión a calcular se
obtiene:
(26 )28
2
Aplicando la propiedad 12 (potencia de una potencia) se tiene:
26∙28
2
2168
2
2168
21
1
Se aplicó propiedad 6 (2 = 2 ) y ahora si es posible aplicar la propiedad 2, de lo cual se obtiene:
2168−1
2167
Respuesta: La mitad de 6428 es igual a 2167.
Ejemplo 3: ¿Cuál es el triple de la expresión 3610 ?
Solución: Cuando se debe encontrar el triple de la expresión es necesario multiplicar por 3, luego el valor a
calcular es:
3 ∙ 3610
3 ∙ 610
3 ∙ (2 ∙ 3)10
Aplicando la propiedad de potencias de igual exponente y diferente base se obtiene:
3 ∙ 210 310
31 ∙ 210 310
Anteriormente se aplicó la propiedad 6 (3 = 31 ) y ahora usando la propiedad 1 (multiplicación de potencias de
igual base) se obtiene:
210 ∙ 310+1
210 ∙ 311
10
10
11
Respuesta: El triple de 36 es igual a 2 ∙ 3 .
2 4
3 10
9
Determina el valor de la expresión 𝑁 = (3) ∙ (4) ∙ (2) .
Ejemplo 4:
2
3
Solución: Este ejercicio puede tener dos posibles resultados dependiendo si la base en la repuesta es 3 o 2.
Realizaremos un trabajo paralelo considerando ambas bases.
2
Considerando que el resultado tiene como base 3.
2 4
9
3 10
2 4
4 −1
𝑁 = (3) ∙ (4) ∙ (2) , luego
𝑁 = (3) ∙ (9)
𝑁=
𝑁=
10
2 −1
∙ ((3) )
, por propiedad 8
11 y 12
, por propiedad 1
2 4−2−10
,
3
−8
𝑁=( )
2 4
9
3 10
𝑁 = (3) ∙ (4) ∙ (2) , luego
−1
2 4
2 2
2 −10
(3) ∙ ((3) ) ∙ (3) , por propiedad
2 4
2 −2
2 −10
(3) ∙ (3) ∙ (3) , por propiedad 12
2 4+−2+−10
𝑁 = (3)
3
Considerando que el resultado tiene como base 2.
4
3 −1
3 2
3 10
𝑁 = ((2) ) ∙ (2) ∙ (2)
𝑁=
𝑁=
𝑁=
, por propiedad 8 y 11
3 −4
3 2
3 10
( ) ∙ ( ) ∙ ( ) , por propiedad
2
2
2
3 −4+2+10
(2)
, por propiedad 1
8
3
( ) ,
2
12
por regla de multiplicación en ℝ
2
𝑁=( )
3
Observación: Ambos resultados dan un mismo número real solo que expresado de manera diferente, porque:
3 8
8
2 −1
2 −8
(2) = ((3) ) = (3) , por propiedad 8 y 12.
Solo hay que tener sumo cuidado en que la base y el exponente de uno de los 2 resultados concuerde con la
respuesta correcta del ejercicio.
Ejemplo 5:
Se tiene que una pieza de metal de 4 centímetros de espesor es doblada 20 veces. ¿Cuál es el
nuevo espesor de la pieza de metal al ser doblada 20 veces?
Solución: El siguiente esquema presenta en forma intuituva lo que se realiza con la pieza de metal:
Pieza no doblada
Pieza con primer dobles
4cm
4cm
4 cm
Pieza con segundo dobles
4 cm
4 cm
4 cm
4 cm
8 cm
16 cm
cm
Por tanto podemos observar que el espesor de la pieza de metal (desde el primer dobles) se puede expresar en
forma de una potencia de base 2 dado que: 8 = 23, 16 = 24 , 32 = 25 , 64 = 26 , …
Observación 1: No se puede considerar a la pieza cuando esta tiene 4 cm de espesor dado que aún no ha sido
doblada.
Observación 2: Como todos los espesores de la pieza al estar doblada tienen como base de potencia el número
2, debemos buscar la relación entre el número del dobles y el exponente.
Observemos que:
En el primer (1°) dobles el espesor es igual 21+2 = 23 𝑐𝑚
En el segundo (2°) dobles el espesor es igual 22+2 = 24 𝑐𝑚
En el tercer (3°) dobles el espesor es igual 23+2 = 25 𝑐𝑚
En el enésimo (n°) dobles el espesor es igual a 2𝑛+2 𝑐𝑚
padre
Como nos interesa saber el espesor de la barra luego de haberla doblado 20 veces se tiene que el espesor es
igual a 220+2 = 222 𝑐𝑚.
Respuesta: El espesor de la barra al ser doblada 20 veces es igual a 222 𝑐𝑚.
Ejemplo 6:
El siguiente árbol geneológico muestra una relación de la cantidad de padres y madres de una
familia generación tras generación:
padre
padre
madre
padre
madre
padre
madre
madre
padre
padre
Generación 20
madre
madre
Generación 19
padre
madre
Generación 18
¿Cuántas madres hubieron en la 4° generación de la familia?
Solución: En la generación número 20 hay una sola madre, en la generación 19 hubieron 2 madres, en la
genación 18 existieron 4 madres; luego 8, 16, 32, … madres, es decir el doble de la generación anterior.
Podemos observar que 1 = 20 , 2 = 21 , 4 = 22 , 8 = 23 , 16 = 24 , 32 = 25 , … etc.
Debemos buscar como se relaciona el exponente (de las potencias que representan el número de madres por
generación) con la enumeración de las generaciones.
Observemos que en la generación 20 se tiene que 1 = 20 = 220−20 .
En la generación 19 se puede ver que 2 = 21 = 220−19.
En la generación número 18 se puede observar que 4 = 22 = 220−18 .
Se puede concluir en general que en la generación n hay 220−𝑛 madres.
Como deseamos saber el número de madres en la 4° cuarta generación este sera igual a 220−4 = 2016 madres.
Respuesta: En la generación 4 existieron 2016 madres.
Ejemplo 7:
El valor de 𝑋 =
34 +34 +34 +34 +34 +34
3
es igual a:
Solución:
Observemos que el operador que se encuentra en cada una de las potencias del numerador es
una suma y no una multiplicación, por tanto no podemos aplicar la propiedad número 1 de multiplicación de potencias
de igual base. Para resolver el problema aplicaremos la siguiente definición:
Se define la multiplicación de 𝑚 ∙ 𝑛 (con m y n) de la suma reiterativa del número m un total de n veces. Por
ejemplo 4 ∙ 3 = 4 + 4 + 4 = 12, 5 ∙ 7 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35.
Por lo anterior la expresión X es posible trabajarla de la siguiente forma en su numerador:
34 + 34 + 34 + 34 + 34 + 34
𝑋=
3
𝑋=
34 ∙ 6
3
Sabemos que la descomposición prima de 6 es igual 3 ∙ 2, reemplazando esto en la expresión anterior se
obtiene:
34 ∙ 2 ∙ 3
𝑋=
3
Simplificando los dos 3 del numerador y denominador se obtiene:
𝑋 = 34 ∙ 2 ∙ 1
𝑋 = 34 ∙ 2
Respuesta 1: El valor de 𝑋 = 34 ∙ 2.
Respuesta 2: Si valor de X es un valor numérico no expresado en potencia este sería 𝑋 = 81 ∙ 2 = 162.
Ejemplo 8:
Se realiza en una sustancia un análisis bacteriano y se determino que en ella hay 2100 bacterias. Si se aplica en la
sustancia una mezcla con un agente antibacteriano y se observa que las bacterias disminuyen su población a la mitad
cada una hora. ¿Cuántas bacterias habrán al cabo 10 horas?
Solución:
1
2
1
4
( ):2 = =
1
22
1
La población en una hora sera la mitad de la actual (2), en dos horas será la cuarta parte
1
4
1
8
de la población total de bacterias, en tres horas la población será la octava parte ( ) : 2 = =
1
23
y así
en forma sucesiva la población disminuira en partes.
Es posible observar que la relación entre las horas transcurridas y la parte restante de la población bacteriana es
1
21
1
1
1
(1 hora), 22 (2 horas), 23 (3 horas) y en n horas la parte restante será 2𝑛 .
Como deseamos conocer la población restante en 10 horas está será igual a la
1
Luego el valor a calcular es igual a 2100 ∙ 210 =
100−10
igual base) se obtiene el siguiente resultado 2
Resultado:
2100 ∙1
210
90
=2
=
2100
210
1
210
parte de la población inicial.
, aplicando la propiedad 2 (división de potencias de
bacterias.
Al cabo de 10 horas el número de bacterias restantes es igual a 290 .
Potencia de base 10.
Las potencias de base 10 y exponente entero presentan los siguientes resultados:
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
105 = 100000
10𝑛 = 10000 … 0
n ceros
10−1 = 0,1
10−2 = 0,01
10−3 = 0,001
10−4 = 0,0001
10−5 = 0,000001
10−6 = 0,0000001
10−𝑛 = 0,0000 … 01
n ceros
10−𝑛 = 0,0000 … 01
n cifras decimales
Una aplicación de las potencias de base 10 es la siguiente:
Ejemplo:
Representa el número 1456 y 70562 en forma de potencia.
Solución:
Para el número 1456 es posible ver que este es igual a 1000 + 400 + 50 + 6. Lo anterior sirve
para denotar en el número 1456 cuántas unidades de mil, centenas, decenas y unidades tiene el número.
Luego 1000 + 400 + 50 + 6 = 1000 + 4 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 6 = 103 + 4 ∙ 102 + 5 ∙ 10 + 6.
Respuesta:
1456 = 103 + 4 ∙ 102 + 5 ∙ 10 + 6.
Una respuesta alternativa e igual a la anterior es la siguiente debido a la propiedad 7 de potencia.
1456 = 103 + 4 ∙ 102 + 5 ∙ 10 + 6 ∙ 100 .
Para el número 70562 es posible ver que este es igual a 70000 + 500 + 60 + 2. Lo anterior sirve para denotar
la existencia en el número 70562 de las decenas de mil, centenas, decenas y unidades.
Luego 70000 + 500 + 60 + 2 = 7 ∙ 10000 + 5 ∙ 100 + 6 ∙ 10 + 2 = 7 ∙ 104 + 5 ∙ 102 + 6 ∙ 10 + 2
Respuesta:
70562 = 7 ∙ 104 + 5 ∙ 102 + 6 ∙ 10 + 2
Una respuesta alternativa e igual a la anterior es la siguiente debido a la propiedad 7 de potencia.
70562 = 7 ∙ 104 + 5 ∙ 102 + 6 ∙ 10 + 2 ∙ 100 .
Propiedad:
Todo numero natural de la forma 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 … 𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝑥0 es posible escribirlo en forma de
potencia de 10 de la siguiente manera:
𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 … 𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝑥0 = 𝑥𝑛 ∙ 10𝑛 +𝑥𝑛−1 ∙ 10𝑛−1 + ⋯ + 𝑥4 ∙ 104 + 𝑥3 ∙ 103 + 𝑥2 ∙ 102 + 𝑥1 ∙ 101 + 𝑥0 ∙ 100
decena
de mil
unidad
de mil
centenas
decenas
unidades
O también es posible expresar lo anterior así:
𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 … 𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝑥0 = 𝑥𝑛 ∙ 10𝑛 +𝑥𝑛−1 ∙ 10𝑛−1 + ⋯ + 𝑥4 ∙ 104 + 𝑥3 ∙ 103 + 𝑥2 ∙ 102 + 𝑥1 ∙ 10 + 𝑥0
decena
de mil
unidad
de mil
centenas
decenas
unidades
Notación Científica
La notación científica es una forma de reescribir un número como el producto entre otro número mayor que 1 y
menor que 10 por una potencia de 10.
Observación: Generalmente la notación científica se utiliza para representar en forma abreviada números que
tienen demasiadas cifras enteras o decimales.
𝑚𝑡
Ejemplo 1: Aproximadamente la velocidad de la luz es igual a 300000000 𝑠𝑒𝑔, es decir la luz recorre trescientos
millones de metros en un segundo. Una forma de representar lo anterior en forma de notacion científica es observando
que después del 3 hay 8 ceros, y como 0 < 3 < 10, luego 300000000
𝑚𝑡
𝑠𝑒𝑔
= 3 ∙ 108
𝑚𝑡
.
𝑠𝑒𝑔
Ejemplo 2: Supongamos que una sustancia X tiene un peso atómico de 0,000000000000008009 gramos. Para
expresar la magntitud con notación científica debemos notar que el número entre 1 y 10 a utilizar es 8,009; luego
contando las cifras decimales (en el número inicial) desde 8 hasta la primera cifra decimal se cuentan en total 15, por lo
tanto el peso atómico de X en notación científica es igual a 8,009 ∙ 10−15 .
Ejemplo 3: En un centro de reciclaje el total de masa de basura existe es igual a 40000000000 kilogramos.
¿Cuántas toneladas, expresado en notación científica, de basura hay en el centro de reciclaje?
Solución: Se sabe que una (1) tonelada es igual a 1000 kilográmos, luego la razón entre toneladas y kilográmos
1
en ese orden es igual a 1000.
Luego la razón entre el número de toneladas (x) equivalentes a 40000000000 kilogramos es igual a
𝑥
.
40000000000
Igualando las dos razones anteriores se obtiene la proporción:
𝑥
1
=
40000000000 1000
𝑥=
40000000000
1000
𝑥 = 40000000 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠
Como hay 7 ceros después del número 4 (el cual está entre 1 y 10 y es el que usaremos en la notación científica)
se puede concluir que 𝑥 = 40000000 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 = 4 ∙ 107 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠.
Respuesta:
Hay un total de masa de 4 ∙ 107 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 de basura en el centro de reciclaje.
Observación 1: Si se usa un número x entre 1 y 10 para escribir un número decimal con cifras decimales a la
derecha de x, la potencia de 10 a utilizar tendrá un exponente positivo.
Observación 2: Si se usa un número x entre 1 y 10 para escribir un número decimal con cifras decimales a la
izquierda de x, la potencia de 10 a utilizar tendrá un exponente negativo.
Observación 3: Generalmente en la PSU de Matemática no se menciona que se debe hacer uso de la notación
científica, pero si una cierta unidad de medida o magnitud es expresada como a través de una potencia de 10, entonces
se debe usar la notación científica.
Unidad 8: Raíces
Se define el operador raíz enésima de x como un número real a que cumple la siguiente condición:
𝑛
√𝑥 = 𝑎, con tal que 𝑎𝑛 = 𝑥 y 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1
En otras palabras a es la raíz enésima de x si a multiplicado consigo mismo n veces es igual al número x.
Observación: El valor que se obtiene del operador raíz es único.
En el operador raíz se distinguen los siguientes elementos:
n: índice de la raíz. Indica el número de
veces que a debe multiplicarse a sí
mismo para ser igual a x.
𝑛
√ ∶ Operador raíz enésima. Es el operador
que permite calcular que número multiplicado
n veces consigo mismo es igual a x.
𝑛
√𝑥 = 𝑎
x: Cantidad subradical. Es el valor
resultante de la multiplicación n veces
consigo mismo de a.
a: raíz enésima de x. Es el valor único
que multiplicado n veces por sí mismo
es igual a x.
Existen ciertas raíces especiales que veremos a continuación:
Raíz Unidad
Se define el operador raíz unidad de x de la manera que sigue:
1
√𝑥 = 𝑥, en efecto dado que 𝑥 1 = 𝑥.
Ejemplo 1:
1
√5 = 5
Ejemplo 2:
1
√−2 = −2
1
√0 = 0
Ejemplo 3:
Raíz Cuadrada
Se define el operador raíz cuadrada de x de la manera que sigue:
2
√𝑥 = 𝑎, con talque 𝑎2 = 𝑥 , además 𝑥 ≥ 0, 𝑎 ≥ 0.
2
Observación 1: El operador raíz cuadrada es la única cuyo índice se puede omitir, es decir √ = √ .
Observación 2: La cantidad subradical de una raíz cuadrada debe ser positiva o igual a 0, lo mismo ocurre con la
raíz cuadrada cuyo valor es siempre un valor positivo o igual a cero.
Ejemplo 1: Veremos una tabla de las raíces cuadradas naturales más utilizadas:
√0 = 0
√25 = 5
√100 = 10
√225 = 0
√400 = 200
√3600 = 60
√1 = 1
√36 = 6
√121 = 11
√256 = 16
√625 = 25
√4900 = 70
√4 = 2
√49 = 7
√144 = 12
√289 = 17
√900 = 30
√6400 = 80
√9 = 3
√64 = 8
√169 = 13
√324 = 18
√1600 = 40
√8100 = 90
√16 = 4
√81 = 9
√196 = 14
√361 = 19
√2500 = 50
√10000 = 0
Otros ejemplos de raíces cuadradas y que son racionales son las que se ven a continuación:
1 1
√0,25 = √ =
4 2
1
1
√0,0625 = √ =
16 4
4 2
√0, 4̅ = √ =
9 3
9 3
√2,25 = √ =
4 2
1
1
√0,04 = √ =
25 5
4
2
√0,16 = √ =
25 5
1 1
√0, 1̅ = √ =
9 3
81 9
√3,24 = √ =
25 5
64 8
√2,56 = √ =
25 5
36 6
√1,44 = √ =
25 5
1
1
=
√0,01 = √
100 10
1
1
√0,027̅ = √ =
36 6
16 4
√0,64 = √ =
25 5
√0,49 = √
49
7
=
100 10
81
= 14
√0, = √
10000
Observación 1: Varias de las raíces con decimal han sido simplificadas luego de transformalas en fracción y
desspués se ha calculo su raíz cuadrada.
Propiedad De las Raíces Cuadradas:
Sea un valor x pertenecientes a los reales, se cumple siempre que:
√𝑥 2 = |𝑥|
Ejemplo 1: Si x = 2, se tiene que √(2)2 = √2 ∙ 2 = √4 = 2, por otro lado |2| = 2.
Ejemplo 2: Si x = - 4, se tiene que √(−3)2 = √−3 ∙ −3 = √9 = 3, por otro lado |−3| = 3.
Ejemplo 3: Si x = 0, se tiene que √02 = √0 ∙ √0 = √0 = 0, por otro lado |0| = 0.
Observación: No olvides que al decir que un número x se eleva al cuadrado este va acompañado de su signo.
Con lo anterior podemos concluir que el resultado de una expresión que se le aplica el operador raíz cuadrada (y
cuyo valor subradical es positivo o cero) es siempre positiva o igual a cero.
2
Observación: √𝑥 = 𝑥, es decir el cuadrado esta fuera de la raíz y no dentro de ella.
Aquí solamente es posible usar valores positivos o el cero, al usar un número negativo no es posible encontrar
su valor:
2
Ejemplo 1: √4 = √4 ∙ √4 = 2 ∙ 2 = 4
2
Ejemplo 2: √−4 = √−4 ∙ √−4, aquí no es posible calcular porque primero se debe determinar el valor de √−4
cuyo resultado y como según vimos en la Unidad Número 2 de Conjuntos Numéricos pertenece a los números
imaginarios, es decir aquellos de la forma 𝑎𝑖 con 𝑎 ∈ ℝ − {0} e 𝑖 = √−1.
Observación: No olvidar que si se tiene un valor negativo y no al cuadrado dentro de una raíz cuadrada su
resultado es un número imaginario, por lo tanto en el ejemplo √−4 = √4√−1 = 2𝑖. Más adelante en la unidad número
2
10 dedicada a los números complejos veremos el resultado de √−4 = 2𝑖 ∙ 2𝑖.
Sobre Raíces Exactas e Inexactas
Raíces Cuadradas Exactas
Se dice que una raíz cuadrada es exacta cuando el resultado de este es igual a un número, como los observados
en las dos tablas anteriores de la página anterior.
Es decir √𝑥 es una raíz exacta si √𝑥 = 𝑎, con 𝑎 ∈ ℚ+ ∪ {0}.
Raíces Cuadradas Inexactas
Se dice que una raíz es inexacta cuando su resultado no es posible expresarlo a través de un número racional
positivo o igual a cero.
Observación: Todas las raíces cuadradas inexactas pertenecen a los números irracionales, porque son aquellos
números que no tienen una forma racional.
Ejemplo: Esta tabla muestra un ejemplo de algunas de las infinitas raíces cuadradas inexactas existentes.
√2
√11
√19
√27
√3
√12
√20
√28
√5
√13
√21
√29
√6
√14
√22
√30
√7
√15
√23
√31
√8
√17
√24
√32
√10
√10
√26
√33
Observación: La raíz cuadrada de un número primo es siempre inexacta, es decir la raíz cuadrada de un número
primo es un irracional.
Descomposición de las Raíces
Cuadradas Inexactas Naturales
Algunas raíces cuadradas inexactas naturales es posible descomponerlas igualando la cantidad subradical de la
raíz cuadrada como el producto de otra raíz cuadrada exacta (menor a la inicial y mayor o igual a 4) por otra inexacta
(menor a la inicial).
Ejemplo 1: √8 es posible escribirla como √4 ∙ 2 = √4 ∙ √2 luego calculando la raíz exacta se obtiene el siguiente
resultado 2 ∙ √2 = 2√2.
Ejemplo 2: √12 es posible escribirla como √4 ∙ 3 = √4 ∙ √3 luego calculando la raíz exacta se obtiene el
siguiente resultado 2√3.
Ejemplo 3: √18 es posible escribirla como √9 ∙ 2 = √9 ∙ √2 luego calculando la raíz exacta se obtiene el
siguiente resultado 3√2.
Ejemplo 4: √20 es posible escribirla como √4 ∙ 5 = √4 ∙ √5 luego calculando la raíz exacta se obtiene el
siguiente resultado 2√5.
Ejemplo 5: √24 es posible escribirla como √4 ∙ 6 = √4 ∙ √6 luego calculando la raíz exacta se obtiene el
siguiente resultado 2√6.
Ejemplo 6: √27 es posible escribirla como √9 ∙ 3 = √9 ∙ √3 luego calculando la raíz exacta se obtiene el
siguiente resultado 3√3.
Ejemplo 7: √32 es posible escribirla como √16 ∙ 2 = √16 ∙ √2 luego calculando la raíz exacta se obtiene el
siguiente resultado 4√3.
El ejemplo 7 también es posible resolverlo de la siguiente manera √32 = √4 ∙ 8 = √4 ∙ √8 = 2√8. Este
resultado es igual a 4√3, solo que el primer resultado no es la descomposición más alta. Este resultado podría aparecer
en las alternativas, sin embargo se hace uso de la descomposición más alta buscando la raíz exacta más alta que divida a
la cantidad subradicar inicial (cuya descomposición es más segura que este dentro de las alternativas de la respuesta).
Por otro 2√8 se puede seguir descomponiendo porque 2√8 = 2 ∙ √4 ∙ 2 = 2 ∙ √4 ∙ √2 = 2 ∙ 2 ∙ √2 = 4√2.
Ejemplo 8: Determinar la descomposición de la siguientes raíces inexactas:
√40 = ________
√75 = _______
√45 = ________
√80 = ________
√48 = ________
√88 = _______
√50 = ________
√90 = ________
√56 = _______
√99 = ________
√60 = ________
√140 = ______
√63 = _______
√1000 = _____
Ejemplo 9: Determinar el valor de la siguiente expresión:
√32 + √36 − √50 + √25 − √48 + √75 =?
Se descomponen las raíces inexactas (en caso de existir) y se calculan las raíces exactas (en caso de existir)
√16 ∙ 2 + 6 − √25 ∙ 2 + 5 − √16 ∙ 3 + √25 ∙ 3
4√2 + 6 − 5√2 + 5 − 4√3 + 5√3
Finalmente se suman aquellas raíces que tengan igual raíz inexacta; también se suman los valores calculados de
las raíces exactas, de la manera que sigue: −1√2 + 11 + 1√2
Solución: La expresión dada es igual a −√2 + 11 + √2. (por propiedad del elementos neutro multiplicativo)
Dada una Raíz Descompuesta
determinar la raíz inexacta inicial
Si se tiene una raíz cuadrada inexacta descompuesta de la forma que sigue 𝑎√𝑏, es posible conocer la raíz
inexacta inicial elevando al cuadrado el valor de a (por ser el resultado de la raíz cuadrada √𝑎2 ) y luego el valor de 𝑎2 se
transforma como cantidad subradical que multiplica a b, dentro de la raíz.
Ejemplo 1: Se la raíz descompuesta 7√2, para conocer cual es su forma como raíz inexacta se eleva al cuadrado
7 y se obtiene el número 49, el cual multiplica a 2 dentro de la raíz quedando la siguiente expresión √49 ∙ 2 = √98.
Luego, la raíz descompuesta 7√2 = √98.
Propiedad: Sobre el orden de las raíces cuadradas.
Propiedad 1: Sean los valores 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , … , 𝑎𝑛 ≥ 0 y además con la condición 𝑎0 < 𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3 < 𝑎4 <
… < 𝑎𝑛 . Se tiene que √𝑎0 < √𝑎1 < √𝑎2 < √𝑎3 < √𝑎4 < … < √𝑎𝑛
Propiedad 2: Sean los valores 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , … , 𝑎𝑛 ≥ 0 y además con la condición 𝑎0 < 𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3 < 𝑎4 <
… < 𝑎𝑛 . Se tiene que −√𝑎𝑛 < ⋯ < −√𝑎4 < −√𝑎3 < −√𝑎2 < −√𝑎1 < −√𝑎0 .
Ejemplo 1: Sean los números 2√3, 4√3, 4, 5√7, 2√7 𝑦 2√8. Determinar el orden de los números dados de
mayor a menor.
Solución:
Para poder aplicar el teorema de orden de las raíces cuadradas, se procedera a cada una de las
raíces descompuestas transformarlas a su forma previamente inexacta, y el resultado de las raíces cuadradas exactas
elevarlas al cuadrado dentro de una raíz, es decir:
-
2√3 = √22 ∙ 3 = √4 ∙ 3 = √12
-
4 = √42 = √16
-
2√7 = √22 ∙ 7 = √4 ∙ 7 = √28
-
4√3 = √42 ∙ 3 = √16 ∙ 3 = √48
-
-
5√7 = √52 ∙ 7 = √25 ∙ 7 = √175
2√8 = √22 ∙ 8 = √4 ∙ 8 = √32
Luego, como 175 < 48 < 32 < 28 < 16 < 12
entonces √175 < √48 < √32 < √28 < √16 < √12 y
finalmente transformando las raíces a sus expresiones originales se concluye lo siguiente:
Respuesta: El orden de mayor a menor de las raíces es 5√7 < 4√3 < 2√8 < 2√7 < 4 < 2√3 .
Ejemplo 2:
Sean los números −2√5, −5√2, −4√2, −7.5, 3√5 𝑦 5√3. Determina el orden de estos
números de menor a mayor.
Solución:
Se prodece a transformar las raíces descompuestas a su forma inicial como inexacta y el valor de
las raíces exactas se elevan al cuadrado (para dejar la expresión dentro de una raíz), es decir:
-
−2√5 = −√22 ∙ 5 = −√4 ∙ 5 = −√20
-
−5√2 = −√52 ∙ 2 = −√25 ∙ 2 = −√50
-
−4√2 = −√42 ∙ 2 = −√16 ∙ 2 = −√32
-
−7.5 = −√7.52 = −√56.25
-
3√5 = √32 ∙ 5 = √9 ∙ 5 = √45
-
5√3 = √52 ∙ 3 = √25 ∙ 3 = √75
Luego, como 20 < 32 < 50 < 56.25 se tiene que −√56.25 < −√50 < −√32 < −√20, y reemplazando a sus
expresiones originales se tiene que −7.5 < −5√2 < −4√2 < −2√5.
Por otro lado como 45 < 80 se tiene que √45 < √80 o lo que es igual a decir que 3√5 < 5√3.
Como todo número positivo es mayor a cualquier número negativo se concluye que:
Solución:
El orden de los números de menor a mayor es −7.5 < −5√2 < −4√2 < −2√5 < 3√5 < 5√3.
Raíces Cúbicas
Se define el operador raíz cúbica de x de la manera que sigue:
3
√𝑥 = 𝑎, con talque 𝑎3 = 𝑥.
3
3
Ejemplo 1:
Determinar la raíz cúbica de 8, es decir √8. Se tiene que 23 = 8, luego √8 = 2.
Ejemplo 2:
Determinar la raíz cúbica de -64, es decir √−64. Se tiene que (−4)3 , luego √−64 = 3.
Ejemplo 3:
Determinar la raíz cúbica de 0, es decir √0. Se tiene que 03 , luego √0 = 0.
3
3
3
Observación:
cantidad subradical.
3
Al contrario de las raíces cuadradas las raíces cúbicas si aceptan números negativos en la
Ejemplo 4:
Hallar el valor de las siguientes raíces cúbicas:
3
3
3
− √−1
3
√729
√1
3
− √−27
3
− √64
3
√−125
√27
3
− √256
Observación: Al igual que las raíces cuadradas las raíces cúbicas tienen raíces exactas e inexactas. Las raíces
cúbicas exactas pertenecen a los números racionales y las raíces cúbicas inexactas a los números irracionales.
Descomposición de Raíces Cúbicas Inexactas
Si se tiene una cierta raíz cúbica inexacta que es posible expresar como el producto de una raíz cúbica exacta y
una exacta, entonces esta raíz es posible descomponerla luego de calcular el valor de la raíz cúbica exacta.
Observación: El proceso es similar al de la descompisición de las raíces cuadradas exactas.
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Descomponer la siguiente raíz cúbica inexacta √24.
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Se tiene que √24 = √8 ∙ 3 = √8 ∙ √3 = 2 ∙ √3 = 2√3.
Ejemplo 1:
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Descomponer la siguiente raíz cúbica inexacta √−54.
Ejemplo 2:
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Se tiene que √−54 = √−27 ∙ 2 = √−27 ∙ √2 = −3√3.
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En algunas ocasiones puede que el valor negativo quede dentro de la raíz cúbica es decir −3√3 = 3√−3. Todo
depende de la respuesta que se encuentre en las alternativas de la pregunta.
Lo anterior es válido dado que no se debe olvidar que las raíces cúbicas admiten cualquier valor real como
cantidad subradical, es decir un número negativo, positivo o cero.
De una raíz cúbica descompuesta
A la forma inexacta original.
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Si se tiene una raíz cúbica inexacta descompuesta de la forma 𝑎 √𝑥 , se procede a elevar al cubo el valor de a y
este resultado se ubica como cantidad subradical dentro del operador raíz cúbica. Es decir la raíz cúbica inexacta original
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es igual a √𝑎3 𝑥 .
Observación 1: Si el valor de a es positivo entonces el valor elevado a tres dentro de la raíz cúbica será positivo.
Observación 2: Si el valor de a es negativo entonces el valor elevado al cubo en la raíz cúbica será negativo.
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Ejemplo 1: Si se tiene la raíz cúbica descompuesta 4√2 su forma original sin descomponer es igual a:
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√43 ∙ 2 = 3√64 ∙ 2 = 3√128
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Ejemplo 2: Si se tiene la raíz cúbica descompuesta −2√3 su forma original sin descomponer es igual a:
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3
√(−2)3 ∙ 3 = √−8 ∙ 3 = √−24
Propiedades de orden de las raíces cúbicas.
Sean números reales positvos que cumplen la siguiente condición 𝑎0 < 𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3 < 𝑎4 <
Propiedad 1:
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… < 𝑎𝑛 . Se tiene que √𝑎0 < 3√𝑎1 < 3√𝑎2 < 3√𝑎3 < 3√𝑎4 < … < 3√𝑎𝑛 .
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Sean las raíces 2√4, 5√2, 4√3 y 4. El orden de menor a mayor de estos números reales es:
Ejemplo:
Solución:
Las raíces cúbicas descompuestas de transforman a su forma original sin descomponer y las
raíces cúbicas exactas se elevan al cubo y se dejan dentro de un operador raíz cúbica.
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-
2√4 = √23 ∙ 4 = √8 ∙ 4 = √32
-
4√3 = √43 ∙ 3 = √64 ∙ 3 = √192
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-
5√2 = √53 ∙ 2 = √125 ∙ 2 = √250
-
4 = √43 = √64
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Luego, como 32 < 64 < 192 < 250 entonces √32 < √64 < √192 < √250 y luego traspasando los
resultados a su forma original se concluye que:
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3
Respuesta:
2√4 < 4 < √192 < √250.
Propiedad 2:
Sean números reales negativos que cumplen la condición 𝑎0 < 𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3 < 𝑎4 < … < 𝑎𝑛 .
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Se tiene que √𝑎0 < 3√𝑎1 < 3√𝑎2 < 3√𝑎3 < 3√𝑎4 < … < 3√𝑎𝑛 .
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Sean los números reales −5, −2√5, −3√3 𝑦 − √33. ¿Cúal es el orden de estos números de
Ejemplo:
menor a mayor?
Solución:
Las raíces cúbicas descompuestas de transforman a su forma original sin descomponer y las
raíces cúbicas exactas se elevan al cubo y se dejan dentro de un operador raíz cúbica.
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-
−5 = √(−5)3 = √−125
-
−3√3 = √(−3)3 ∙ 3 = √−27 ∙ 3 = √−81
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-
−2√5 = √(−2)3 ∙ 5 = √−8 ∙ 5 = √−40
-
− √33 = √(−1)3 ∙ 33 = √−1 ∙ 33 = √−33
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Raíz enésima y sus propiedades
Propiedad 1:
Sobre la definición del resultado de una raíz enésima según su índice.
Caso 1.1:
Si una raíz tiene un índice par natural su resultado será definido en los números reales si la
cantidad subradical es positiva o igual a 0, es decir:
𝑝𝑎𝑟
√𝑥 = 𝑎 si 𝑥 ≥ 0
Además siempre el valor de a (cuando el índice es par) será igual a un número positivo o cero.
Caso 1.2:
Si una raíz tiene un índice impar natural su resultado será definido para todo número real.
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
√𝑥 = 𝑎, para todo x en los reales
Caso 1.2.1:
Además el valor de a sera positivo cuando el valor de x sea positivo.
Caso 1.2.2:
Por otro lado el valor de a sera negativo cuando el valor de x es negativo.
Caso 1.2.3:
El valor de a sera igual a 0 cuando la cantidad subradical x es 0.
Propiedad 2:
Multiplicación de Raíces de igual índice.
𝑛
Sean las raíces √𝑥 y 𝑛√𝑦 definidas en los números reales se tiene que:
𝑛
𝑛
𝑛
√𝑥 ∙ 𝑦 = √𝑥 ∙ √𝑦
Propiedad 3:
División de Raíces de igual índice.
𝑛
Sean las raíces √𝑥 y 𝑛√𝑦 ≠ 0 definidas en los números reales se tiene que:
𝑛
𝑥
√𝑥
√ =𝑛
𝑦
√𝑦
𝑛
Propiedad 4:
De una raíz enésima descompuesta a su forma original inexacta.
𝑛
Sea una raíz descompuesta de la forma 𝑎 √𝑏 , la raíz inexacta sin descomponer es igual a la siguiente expresión:
𝑛
√𝑎𝑛 𝑏
Propiedad 5:
Raíz como una Potencia.
Caso 5.1:
La raíz √𝑥 = 𝑥 𝑛
Observación:
Toda raíz es una potencia de exponente racional.
1
𝑛
𝑚
𝑛
La raiz √𝑥 𝑚 = 𝑥 𝑛
Caso 5.2:
Propiedad 6: Raíz de una Raíz
Si se desea conocer la raíz enésima de la raíz emésima de x, se debe multiplicar los índices de las raíces
quedando la siguiente raíz equivalente a la inicial:
𝑛 𝑚
√ √𝑥 =
Observación:
𝑛∙𝑚
√𝑥
La propiedad número 6 es una consecuencia de la propiedad número 5, en efecto:
1
𝑛
1
1 𝑚
1 1
1
√ √𝑥 = √𝑥 𝑛 = (𝑥 𝑛 ) = 𝑥 𝑛∙𝑚 = 𝑥 𝑛𝑚 =
𝑛 𝑚
𝑛∙𝑚
√𝑥
A continuación unos ejemplos de la aplicación de las propiedades anteriores:
Generalización de la propiedad anterior:
𝑥1 𝑥
2
√ √… 𝑥𝑛√𝑎 =
Propiedad 7:
𝑥1 ∙𝑥2 …𝑥𝑛
√𝑎
Multiplicación de potencias de distinto índice.
𝑛
Caso 1: Sean las raíces √𝑥 y
𝑚
√𝑦 para multiplicar estas raíces se utiliza la transformación de raíz a potencia:
1
𝑛
1
𝑚+𝑛
𝑚
√𝑥 ∙ √𝑦 = 𝑥 𝑛 ∙ 𝑦 𝑚 = 𝑥 𝑚∙𝑛 =
Observación:
En el caso de que el número racional
𝑎
𝑏
la forma 𝑏 la expresión raíz sera igual a √𝑥 𝑎 .
3
Ejemplo 1:
La expresión
2 √3
𝑚+𝑛
𝑚∙𝑛
𝑚∙𝑛
√𝑥 𝑚+𝑛
sea simplificable a un número racional irreducible de
Estadística y
Probabilidades