Download Figura 19. Colisión de bolas de billar en dos dimensiones

19 de Abril-2017
Universidad Nacional de Colombia
Fundamentos de Mecánica
Choque elástico en dos dimensiones de bolas de billar
G7M3
Informe 1
Cesar Cubillos, Jose Jimenez, Liced Lemus, Eduard Riaño
Introducción
Intuitivamente todos nos hemos preguntado, alguna vez en nuestras vidas sobre algún
fenómeno en particular que ocurre en la naturaleza y el cual podemos presenciar
diariamente. La ciencia que puede explicar algunos de estos fenómenos es la física; debido
a que puede explicar los movimientos de un cuerpo o partícula en el espacio, por ejemplo,
al levantar un objeto, al realizar cambios fuertes de temperatura, al caminar, el girar, al
golpear un objeto contra otro y entre muchos más.
El billar es un juego para algunos o un deporte para otros que se basa en la precisión ,
concentración y el conocimiento clave de las matemáticas y por supuesto de física ( Bosch,
2011) , su teoría de juego es matemáticamente exacta , su desarrollo geométrico es muy
variado, con complicados ángulos de incidencia y de reflexión , así como distancias y
fuerzas que necesitan ser calculadas correctamente por cada jugador ( Parera, 2010)
La física involucrada en el juego del billar nos presenta conceptos y propiedades como la
energía cinética, movimiento rectilíneo uniforme acelerado, leyes de Newton, conservación
de la energía , choque elásticos en partículas y entre otros conceptos.
En este escrito nos concentramos en estudiar la física que está relacionada en el choque
de dos bolas de billar y se demostrará la importancia de los tener algunos conceptos
básicos de esta ciencia y para que así se pueda explicar eficazmente los fenómenos que
cotidianamente observamos a nuestro alrededor como lo es: un sencillo choque de bolas
de billar.
Marco teórico
Cuando dos bolas de billar chocan, las direcciones de sus velocidades justamente después
del choque forman 90º. Sin embargo, deja de cumplirse la condición de que las bolas de
billar ruedan sin deslizar, y como consecuencia de ello, la velocidad de su centro de masa e
incluso sus direcciones cambian durante un cierto tiempo, hasta que se restablece la
condición de rodar sin deslizar. Las direcciones finales de las velocidades de las dos bolas
dejan de formar 90º. A continuación se evalúa un sistema ideal en la colisión de dos bolas
de billar.
Figura 1. Una bola de billar rueda sin deslizar sobre el tapete con velocidad u1 y choca con una bola
de billar idéntica en reposo
Choque bidimensional
Supondremos que las dos bolas de billar tienen la misma masa m y el mismo radio R, que el
choque es perfectamente elástico, e=1. Despreciamos el efecto del rozamiento entre las
superficies de las dos bolas en el breve intervalo de tiempo en el que están en contacto en
el momento del choque. Las velocidades de los centros de masa de las dos bolas
inmediatamente después del choque y sus direcciones están dadas por las expresiones.
V1=u1·senθ
V2=u1·cosθ
b=2R·senθ
b se denomina parámetro de impacto
En la figura 2 se muestra, las velocidades del centro de masa de las esferas y la velocidad
angular de rotación, antes del choque y después del choque. La bola incidente rueda sin
deslizar, la velocidad de su centro de masa u1 y la velocidad angular de rotación ω1 forman
90º, la relación entre sus módulos es ω1=u1 / R.
Después del choque, la velocidad angular de rotación no cambia, pero cambia la velocidad
de su c.m. tanto en módulo como en dirección, los vectores V1 y ω1 no forman 90º y la
relación entre sus módulos ω1≠V1 / R.
Consideremos la bola que estaba inicialmente en reposo, su c.m. adquiere después del
choque, una velocidad V2 formando un ángulo θ con el eje X , pero no tiene velocidad
angular inicial de rotación, tampoco se cumple la condición de rodar sin deslizar ya que
ω2≠V2 / R.
Figura 2. Velocidades del centro de masa
Movimiento de la bola incidente después del choque
La bola incidente tiene una velocidad u1 y rueda sin deslizar lo largo del eje X, su velocidad
angular de rotación vale u1 / R y su dirección es el eje Y,
ω1x=0
ω1y=u1 /R,
La bola incidente inmediatamente después del choque adquiere una velocidad V0= u1·senθ,
y se mueve en una dirección que hace un ángulo 90-θ con el eje X. La velocidad angular de
rotación no cambia si despreciamos el efecto del rozamiento entre las superficies de las dos
bolas en el breve intervalo de tiempo en el que están en contacto en el momento del
choque. Las componentes de la velocidad de su centro de masa son
V0x= u1·sen2θ
V0y= u1·senθ·cosθ
Las componentes de la velocidad angular de rotación son
ω0x=0
ω0y=u1/R
Figura 3. componentes de velocidad angular de rotación
Las componentes de la velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal
son:
v0x= V0x-ω0y·R= u1·sen2θ- u1= -u1·cos2θ
v0y= V0y+ω0x·R = u1·senθ·cosθ
Figura 4. Componentes de la velocidad del punto P de contacto
El módulo de la velocidad inicial del punto P vale
v0 = u1·cosθ
Movimiento de la bola inicialmente en reposo después del choque
El centro de masa de la bola inicialmente en reposo después del choque adquiere una
velocidad V0= u1·cosθ, y se mueve en una dirección que hace un ángulo -θ con el eje X. La
velocidad angular de rotación ω0 que inicialmente es cero, no cambia si despreciamos el
efecto del rozamiento entre las superficies de las dos bolas en el breve intervalo de tiempo
en el que están en contacto en el momento del choque.
Figura 5. Bola en reposo después del choque
La bola se mueve a lo largo de la dirección que forma un ángulo θ con el eje X, sin
desviarse. La fuerza de rozamiento Fr=μmg disminuye la velocidad del c.m. y aumenta la
velocidad de rotación hasta que se cumpla la condición V=ω·R
Como la velocidad inicial de rotación es cero, la velocidad inicial del punto P de contacto de
la bola con el plano horizontal vale
v0= u1·cosθ
La fuerza de rozamiento se opone a esta velocidad. La ecuación del movimiento del centro
de masa es
La velocidad V del c.m. en instante t es
V= u1·cosθ-μg·t
La posición s del c.m. en el instante t es
s= u1·cosθ·t-μg·t2/2
Las coordenadas del c.m. son x=s·cosθ, y=-s·senθ
Sabiendo que el momento de inercia de una esfera es 2mR2/5
La ecuación de la dinámica de rotación es
La velocidad angular de rotación ω en instante t es
ωR= 5μg·t/2
La bola comienza a rodar sin deslizar en el instante t2 en el que la velocidad del punto P de
contacto de la bola con el plano horizontal es nula
0=V-ω·R
Despejamos el tiempo t,
que es el mismo que t1
La velocidad constante del c.m. de la bola de billar es
En el instante t2 la bola se encuentra a una distancia del origen,
a lo largo de la recta que forma un ángulo –θ con el eje X.
Velocidades finales constantes de las dos bolas de billar
Figura 6. Velocidades finales constantes
El ángulo entre los vectores velocidad V1 y V2 a partir del instante tr=t1=t2 es la suma del
ángulo φ que forma el vector V1con el eje X, y del ángulo θ que forma el vector V2 con el eje
X.
En la figura 7 , se representa este ángulo Φ en función de la fracción β=b/(2R) del
parámetro de impacto. Este ángulo difiere de 90º que es el ángulo entre las direcciones de
las velocidades de las bolas de billar inmediatamente después del choque.
Figura 7. Gráfica del ángulo Φ en función de la fracción β=b/(2R) del parámetro de impacto.
A partir del instante tr el movimiento de las dos bolas de billar es rectilíneo y uniforme
● La primera bola
x=x1+V1x(t-tr)
y=y1+V1y (t-tr)
●
La segunda bola
s=s2+V2(t-tr)
a lo largo de la recta que forma un ángulo –θ con el eje X.
Si las masas del proyectil y del blanco son iguales, i.e., si r = 1, las soluciones posibles
dadas por son: a) w = 0, y b) w = cos φ. La primera solución corresponde a la ausencia de
choque. La solución w = cos φ es la solución general en este caso. Reemplazando este
valor de w en (29), determina u = senφ.
Finalmente, de (30) obtenemos tan θ = cot φ, lo que a su vez implica
θ + φ = π/2, (34)
Es decir, si las dos partículas tienen la misma masa y el choque es elástico, las trayectorias
de las partículas que emergen del choque forman un ángulo recto.
Figura x. Choques de discos duros en dos dimensiones (detalle fuerza normal N)
Balance energético
Energía inicial antes del choque es la energía cinética de traslación del c.m. de la bola
incidente con velocidad u1 y de rotación u1/R alrededor de un eje que pasa por su c.m
Como el choque es elástico, la energía total no cambia. Disminuye la energía de la bola
incidente, y aumenta la energía de la bola que estaba inicialmente en reposo. La energía
final de ambas partículas a partir del instante t>tr cuando ambas ruedan sin deslizar con
velocidad constante sobre el plano horizontal es
Materiales y métodos
Para este experimento nos dirigimos a un club de billar ubicado en las inmediaciones de la
Universidad Nacional de Colombia sede Bogotá. En una mesa de billar 3 bandas del
establecimiento la cual tenía medidas de 2,84 metros de largo, 1,42 metros de ancho y 70
centímetros de altura, dos bolas de billar cada una con un peso de 161 gramos y un
diámetro de 61, 5 milímetros , y un taco de 1,40 metros se filmaron vídeos de las colisiones
de las bolas de billar con un telefono celular Apple iphone 6 plus . Estos videos fueron
analizados y editados mediante el software Tracker para determinar las velocidades y
direcciones antes y después del choque de las bolas.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
De acuerdo a la figura 11 y 12 se puede ver que en el lapso de los 0,3 segundos a los 0,6 s
la posición inicial de la bola “A” que es la que está en reposo de color rojo, en el eje y es
cero, presentando algunos valores variables pero muy cercanos a cero lo cual es debido al
movimiento de la cámara al grabar el choque de las bolas y por lo tanto el programa tracker
lo toma como un movimiento, por otro lado la posición inicial en el eje x de la bola A es de
aproximadamente -0,16 m, de signo negativo ya que así se planteó el sistema coordenado.
Posteriormente del choque que es a parir de los 0,6 segundos la posición final de la bola
con respecto al eje x es de -0,35m es decir que la bola se desplazó 0,20 m o 20 cm la bola
A, así como también su desplazamiento en el eje y fue de 20 cm a los 1,4 segundos
después de registrar el movimiento. Encontrándose así que la magnitud de su
desplazamiento total de la bola A fue de 0,425m al realizarse el choque por la bola de masa
B Figura 13.
Posición Vs Tiempo
Bola A
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-0.05
Posicion en x (m)
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
-0.3
-0.35
-0.4
Tiempo (s)
Figura 11. Posición (m) x vs Tiempo (s) de la masa A
1.4
1.6
Posición Vs Tiempo
Bola A
0.05
0
Posicion en y (m)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.4
1.6
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
Tiempo (s)
Figura 12. Posición (m) y vs Tiempo (s) de la masa A
Posición Vs Tiempo
Bola A
0.45
Magnitud posición (m)
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo (s)
Figura 13. Posición (m) vs Tiempo (s) de la masa A
Por otro lado también se registró la velocidad de la bola A, Fig. 4, en donde se pudo
observar que la velocidad más alta alcanzada fue durante la colisión o cuando se produjo el
choque entre las dos bolas de billar que fue a los 0,6 s lo cual evidencia que mediante la
conservación de la energía al ser un choque elástico se da la transmisión de la energía y
por ende la velocidad de la bola A es obtenida a partir de la velocidad con la que viene la
bola B de color blanco, como se puede observar en el conjunto de datos adjuntados en el
presente informe y en la figura 4, se puede evidenciar que la velocidad que alcanza la bola
A es de 0,47 m/s y la velocidad con la que llega la bola B al momento de la colisión es de
0,50 m/s, sin embargo la velocidad inicial registrada para la bola B fue de 0,80 m/s,
velocidad que fue disminuyendo paulatinamente debido a diversos factores como la fuerza
de fricción que ejerce la superficie de la mesa billar sobre la bola y que se opone al
desplazamiento de la bola, así como también el hecho de que la fuerza que se le imprime a
la Bola B no es constante y solamente se aplica en un momento inicial y por lo tanto su
velocidad también va disminuyendo por disipación de la energía, sin embargo a los 0,6 s se
evidencia una disminución muy acentuada de la velocidad de la bola B lo cual es debido a la
colisión con la bola que está en reposo Figura 18, en este instante la fuerza normal que
ejerce la bola A sobre B, o a la cual se le podría denominar fuerza de reacción hace
disminuir la velocidad de B así como también cambiar la trayectoria , es decir que la
velocidad de las dos bolas en ese instante es prácticamente el mismo, ya que la bola A deja
de estar en reposo adquiriendo la velocidad con la que venía la bola B.
Velocidad Vs Tiempo
Bola A
0.5
0.45
Velocidad (m/s)
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
Tiempo (s)
Figura 14. Posición (m) vs Tiempo (s) de la masa A
Por otro lado analizando el cambio de posición tanto en el eje X y Y de la bola B, se puede
observar que en el eje x avanza hasta casi 0,7 m de distancia figura 15, mientras que en el
eje Y avanza tan solo 0,20 m de distancia después de efectuarse el movimiento figura 16,
por lo tanto de acuerdo a la figura 17 la magnitud de la distancia total recorrida por la bola B
es de 0,6 m, en el lapso de tiempo registrado por el programa y el video.
De acuerdo a lo mencionado previamente en la introducción se esperaría que el ángulo
formado por las dos bolas de billar al momento de la colisión fuese de 90º , el cual hace
parte de un valor teórico pero el cual no tiene en cuenta otros parámetros que pueden
afectar este ángulo esperado como lo es la fricción bola- superficie y además que se debe
cumplir que la masa de las dos bolas sean de igual magnitud, en nuestro experimento
practico pudimos observar que el ángulo formado entre las dos bolas fue de 79º es decir 11º
menos de lo esperado.
Por otro lado analizando la energía cinética del sistema se puede mencionar que la energía
cinética más alta de la bola A es antes de la colisión debido a que la fuerza ejercida sobre
la bola, hace que se utilice esa energía para la generación del movimiento o desplazamiento
de la misma, energía que se va perdiendo poco a poco y más cuando esa energía cinética
es trasmitida a la bola A que se encentra en reposo.
Posición Vs Tiempo
Masa B
0.2
Posicion en x (m)
0.1
0
0.000
-0.1
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
Tiempo (s)
Figura 15. Posición (m) en X vs tiempo (s) de la masa B
Posición Vs Tiempo
Masa B
0.25
Posicion en y (m)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
1.400
1.600
Tiempo (s)
Figura 16. Posición (m) en el eje Y VS Tiempo (s) de la masa B
1.800
Posición Vs Tiempo
Masa B
Magnitud de la posición (m)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
Tiempo (s)
Figura 17. Posición (m) en el eje Y VS Tiempo (s) de la masa B
Velocidad Vs Tiempo
Masa B
0.9
0.8
Velocidad (m/s)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Tiempo (s)
Figura 18. Velocidad (m/s) VS Tiempo (s) de la masa B
A continuación se adjuntan los valores teóricos obtenidos de las velocidades finales de las
bolas de billar por conservación de la energía.
Bola B
Bola A
Figura 19. Colisión de bolas de billar en dos dimensiones
N
F
-N
Figura 20. Fuerza involucradas en la colisión.
Lo aprendido del programa Tracker
Con la utilización de videos de mediana o alta resolucion se pueden analizar varios
problemas del área de la física para poder describir y comprender el movimiento de las
cosas u objetos, lo cual se facilita con la utilización del programa Tracker a partir de los
datos que arroja el programa, por lo tanto en primer lugar fue necesario descargar el
programa tracker y a su vez realizar la descarga del Quick time para poder subir y analizar
los videos que en este caso fue la colisión de las bolas de billar, luego de la descarga se
procedió a importar o subir el video al programa y al realizar esta acción posteriormente a
cada masa o bola involucrada en el movimiento relacionado a las colisiones y grabado con
la cámara se le asignó un nombre a cada uno de los objetos involucrados en movimiento
como “Bola A” y “Bola B” para que así se pudiera marcar la trayectoria de cada una de las
masas, también se usó una vara de calibración que en nuestro caso fue el diámetro de las
bolas que fue de 6,150 cm, se determinó el ángulo formado entre las bolas después del
choque con la utilización del transportador disponible en el programa y el peso de las bolas
el cual se determinó con la utilización de una balanza, por otro lado se establecieron los
ejes coordenados del sistema utilizando como referencia el eje X y el eje Y en el sistema.
A cada masa se le asigno la opción de una nueva trayectoria para que el programa leyera
las trayectorias de cada una de las masas y para esto se seleccionó cada una de las bolas
y se le asignó una región determinada en donde se registraba la totalidad del movimiento
para que el movimiento se leyera en su en el tiempo que durara la colisión o la sección del
video de interés, luego de la lectura del movimiento, el programa nos permitió obtener datos
de la velocidad, posición, aceleración, energía cinética, y entre otros para poder describir el
movimiento o la colisión de las dos bolas.
*Del programa tracker se pudo aprender a extraer datos cuantitativos del movimiento de los
objetos.
*Se pudo analizar las gráficas y datos obtenidos luego de subir el video.
*Se pudo emplear adecuadamente los ejes coordenados, el transportador para la
determinación de los ángulos formados después de las colisiones y la utilización de la vara
de calibración, para la obtención de datos cercanos a la realidad.
*Se pudo determinar que el uso de tecnología actualmente disponible es una herramienta
mucho más práctica para poder analizar y entender el movimiento de algún fenómeno de la
naturaleza del cual se tenga curiosidad e interés.
*Se aprendió a manejar el programa de tal manera que este pudiera leer adecuadamente
las trayectorias de cada uno de los objetos.
CONCLUSIONES
*El ángulo formado entre las dos bolas billar al momento de la colisión fue de 79º, por ende
se presentó un cambio de la dirección de la velocidad adquirida por la bola A así como
también el valor de su velocidad fue disminuyendo después de la fuerza aplicada y después
de la colisión.
Bibliografía
Bosch, Carlos. 2011. El billar no es de vago: Ciencia, juego y diversión. Fondo de cultura
económica. México D.F.
Parera, Valeriano. 2010.Billar: con efecto y con afecto.Editorial Hispano Europea S.A.
Barcelona, España.
Wallace R. E., Schroeder M. C. Analysis of billiard ball collisions in two dimensions. Am. J.
Phys. 56 (9) September 1988, pp. 815-819